考点跟踪训练-数学-第31课
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解31---空间几何体
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第31讲 空间几何体[考情分析] 空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．考点一 空间几何体的折展问题核心提炼空间几何体的侧面展开图 1．圆柱的侧面展开图是矩形． 2．圆锥的侧面展开图是扇形． 3．圆台的侧面展开图是扇环．例1 (1)“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为40 km ，山高为4015 km ，B 是山坡SA 上一点，且AB ＝40 km.为了发展旅游业，要建设一条从A 到B 的环山观光公路，这条公路从A 出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为( )A ．60 kmB ．12 6 kmC ．72 kmD ．1215 km 答案 C解析 该圆锥的母线长为(4015)2＋402＝160， 所以圆锥的侧面展开图是圆心角为2×π×40160＝π2的扇形，如图，展开圆锥的侧面，连接A ′B ，由两点之间线段最短，知观光公路为图中的A ′B ，A ′B ＝SA ′2＋SB 2＝1602＋1202＝200， 过点S 作A ′B 的垂线，垂足为H ，记点P 为A ′B 上任意一点，连接PS ，当上坡时，P 到山顶S 的距离PS 越来越小，当下坡时，P 到山顶S 的距离PS 越来越大， 则下坡段的公路为图中的HB ， 由Rt △SA ′B ∽Rt △HSB ， 得HB ＝SB 2A ′B ＝1202200＝72(km)．(2)(2022·深圳检测)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝3，AB ＝1，AD ＝1，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB 等于( )A.12B.13C.35D.34 答案 D解析 由题意知，AE ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2， 在△ACE 中，由余弦定理知， CE 2＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC ·cos ∠CAE ＝1＋3－2×1×3×32＝1， ∴CE ＝CF ＝1，而BF ＝BD ＝2，BC ＝2，∴在△BCF 中，由余弦定理知，cos ∠FCB ＝BC 2＋CF 2－BF 22BC ·CF ＝4＋1－22×2×1＝34.规律方法 空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．跟踪演练1 (1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是( )A ．C ∈GHB ．CD 与EF 是共面直线C ．AB ∥EFD ．GH 与EF 是异面直线 答案 ABD解析 由图可知，还原正方体后，点C 与G 重合， 即C ∈GH ，又可知CD 与EF 是平行直线，即CD 与EF 是共面直线，AB 与EF 是相交直线(点B 与点F 重合)，GH 与EF 是异面直线，故A ，B ，D 正确，C 错误．(2)如图，在正三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝30°，P A ＝PB ＝PC ＝2，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是( )A ．32B ．3 3C ．23D ．2 2 答案 D解析 将三棱锥由P A 展开，如图所示，则∠AP A 1＝90°，所求最短距离为AA 1的长度，∵P A ＝2， ∴由勾股定理可得 AA 1＝22＋22＝2 2.∴虫子爬行的最短距离为2 2.考点二 表面积与体积核心提炼1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr (r ＋l )(r 为底面半径，l 为母线长)． (3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． 2．空间几何体的体积公式(1)V 柱＝Sh (S 为底面面积，h 为高)． (2)V 锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)．(3)V 台＝13(S 上＋S 上·S 下＋S 下)h (S 上，S 下为底面面积，h 为高)．(4)V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．例2 (1)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若S 甲S 乙＝2，则V 甲V 乙等于( )A. 5 B ．2 2 C.10 D.5104答案 C解析 方法一因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合S 甲S 乙＝2，可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l ＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2， 则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆， 所以2πr 1＝4π，2πr 2＝2π，得r 1＝2，r 2＝1. 由勾股定理得，h 1＝l 2－r 21＝5，h 2＝l 2－r 22＝22，所以V 甲V 乙＝13πr 21h113πr 22h 2＝4522＝10.方法二 设两圆锥的母线长为l ，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，侧面展开图的圆心角分别为n 1，n 2， 则由S 甲S 乙＝πr 1l πr 2l ＝n 1πl 22πn 2πl22π＝2，得r 1r 2＝n 1n 2＝2. 由题意知n 1＋n 2＝2π， 所以n 1＝4π3，n 2＝2π3，所以2πr 1＝4π3l ，2πr 2＝2π3l ，得r 1＝23l ，r 2＝13l .由勾股定理得，h 1＝l 2－r 21＝53l ， h 2＝l 2－r 22＝223l ， 所以V 甲V 乙＝13πr 21h113πr 22h 2＝4522＝10.(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，AB ＝ED ＝2FB .记三棱锥E －ACD ，F －ABC ，F －ACE 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则( )A ．V 3＝2V 2B ．V 3＝V 1C ．V 3＝V 1＋V 2D ．2V 3＝3V 1 答案 CD解析 如图，连接BD交AC 于O ，连接OE ，OF .设AB ＝ED ＝2FB ＝2， 则AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2， FB ＝1.因为ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ， 所以FB ⊥平面ABCD ，所以V 1＝V E －ACD ＝13S △ACD ·ED ＝13×12AD ·CD ·ED ＝13×12×2×2×2＝43，V 2＝V F －ABC ＝13S △ABC ·FB ＝13×12AB ·BC ·FB ＝13×12×2×2×1＝23.因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以ED ⊥AC ， 又AC ⊥BD ，且ED ∩BD ＝D ，ED ，BD ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF . 因为OE ，OF ⊂平面BDEF ， 所以AC ⊥OE ，AC ⊥OF . 易知AC ＝BD ＝2AB ＝22， OB ＝OD ＝12BD ＝2，OF ＝OB 2＋FB 2＝3， OE ＝OD 2＋ED 2＝6， EF ＝BD 2＋(ED －FB )2 ＝(22)2＋(2－1)2＝3，所以EF 2＝OE 2＋OF 2，所以OF ⊥OE . 又OE ∩AC ＝O ，OE ，AC ⊂平面ACE ， 所以OF ⊥平面ACE ， 所以V 3＝V F －ACE ＝13S △ACE ·OF＝13×12AC ·OE ·OF ＝13×12×22×6×3＝2， 所以V 3≠2V 2，V 1≠V 3，V 3＝V 1＋V 2,2V 3＝3V 1， 所以选项A ，B 不正确，选项C ，D 正确． 规律方法 空间几何体的表面积与体积的求法(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．跟踪演练2 (1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为( ) A ．802π B ．40 C ．402π D ．405π 答案 C解析 由圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，可得sin ∠ASB ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158， 又△SAB 的面积为515， 可得12SA 2sin ∠ASB ＝515，即12SA 2×158＝515，可得SA ＝45， 由SA 与圆锥底面所成角为45°， 可得圆锥的底面半径为22×45＝210， 则该圆锥的侧面积为π×210×45＝402π.(2)(2022·连云港模拟)如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是( )A.72π24B.73π24C.72π12D.73π12 答案 B解析 如图，设上底面的半径为r ，下底面的半径为R ，高为h ，母线长为l ，则2πr ＝π·1,2πR ＝π·2， 解得r ＝12，R ＝1，l ＝2－1＝1， h ＝l 2－(R －r )2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32，上底面面积S ′＝π·⎝⎛⎭⎫122＝π4， 下底面面积S ＝π·12＝π，则该圆台的体积为13(S ＋S ′＋SS ′)h ＝13×⎝⎛⎭⎫π＋π4＋π2×32＝73π24. 考点三 多面体与球核心提炼求空间多面体的外接球半径的常用方法(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．例3 (1)(2022·烟台模拟)如图，三棱锥V －ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝VA ＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )A ．(2－3)∶1B ．(23－3)∶1C ．(3－1)∶3D ．(3－1)∶2 答案 C解析 因为VA ⊥底面ABC ，AB ，AC ⊂底面ABC ， 所以VA ⊥AB ，VA ⊥AC ， 又因为∠BAC ＝90°，所以AB ⊥AC ，而AB ＝AC ＝VA ＝2，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外接球的半径R ＝12×22＋22＋22＝3，设该三棱锥的内切球的半径为r ， 因为∠BAC ＝90°，所以BC ＝AB 2＋AC 2＝22＋22＝22， 因为VA ⊥AB ，VA ⊥AC ，AB ＝AC ＝VA ＝2， 所以VB ＝VC ＝VA 2＋AB 2＝22＋22＝22， 由三棱锥的体积公式可得，3×13×12×2×2·r ＋13×12×22×22×32·r ＝13×12×2×2×2⇒r ＝3－33， 所以r ∶R ＝3－33∶3＝(3－1)∶3.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．100π B ．128π C ．144π D ．192π 答案 A解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33＝3，23×32×43＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，连接O 1O 2(图略)，则O 1O 2＝1，其外接球的球心O 在直线O 1O 2上．设球O 的半径为R ，当球心O 在线段O 1O 2上时，R 2＝32＋OO 21＝42＋(1－OO 1)2，解得OO 1＝4(舍去)；当球心O 不在线段O 1O 2上时，R 2＝42＋OO 22＝32＋(1＋OO 2)2，解得OO 2＝3，所以R 2＝25，所以该球的表面积为4πR 2＝100π. 综上，该球的表面积为100π.规律方法 (1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解． (2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．跟踪演练3 (1)(2022·全国乙卷)已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( ) A.13B.12 C.33D.22答案 C解析 该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O 组成的圆锥体积最大． 设圆锥的高为h (0<h <1)，底面半径为r ， 则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π(1－h 2)h ，则V ′＝13π(1－3h 2)，令V ′＝13π(1－3h 2)＝0，得h ＝33，所以V ＝13π(1－h 2)h 在⎝⎛⎭⎫0，33上单调递增，在⎝⎛⎭⎫33，1上单调递减，所以当h ＝33时，四棱锥的体积最大． (2)(2022·衡水中学调研)将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为________，该组合体的外接球的体积为________． 答案6823π解析 如图，连接P A 交底面BCD 于点O ，则点O 就是该组合体的外接球的球心．设三棱锥的底面边长为a ， 则CO ＝PO ＝R ＝33a ， 得2×33a ＝2， 所以a ＝6，R ＝2， 所以V ＝43π·(2)3＝823π.专题强化练一、单项选择题1．(2022·唐山模拟)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为()A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．2∶3答案 A解析设球的半径为r，依题意知圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积为2πr·2r＝4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1∶1.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2 B．2 2 C．4 D．4 2答案 B解析设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为2，所以2π×2＝πl，解得l＝2 2.3.某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字．该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图是该正方体的展开图．若图中“致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是()A．最B．美C．逆D．行答案 B解析把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，面“致”与面“美”相对，若“致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是“美”．4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A －B 1CD 1的体积为( ) A.43 B.83 C ．4 D ．6 答案 B解析 如图，三棱锥A －B 1CD 1是由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截去四个小三棱锥A －A 1B 1D 1，C －B 1C 1D 1，B 1－ABC ，D 1－ACD 形成的，又1111ABCD A B C D V －＝23＝8，11111111A A B D C B C D B ABC D ACD V V V V －－－－＝＝＝＝13×12×23＝43， 所以11A B CD V －＝8－4×43＝83.5．(2022·河南联考)小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口(半径较大的圆)卡住，球心到垃圾篓底部的距离为510a ，垃圾篓上底面直径为24a ，下底面直径为18a ，母线长为13a ，则该篮球的表面积为( ) A ．154πa 2B.6163πa 2C ．308πa 2D ．616πa 2 答案 D解析 球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示．根据题意，设垃圾篓的高为h ，则h ＝(13a )2－(12a －9a )2＝410a . 所以球心到上底面的距离为10a . 设篮球的半径为r ， 则r 2＝10a 2＋(12a )2＝154a 2. 故篮球的表面积为4πr 2＝616πa 2.6.(2022·湖北联考)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm ～25 mm)，大雨(25 mm ～50 mm)，暴雨(50 mm ～100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨 答案 B解析 由题意知，一个半径为2002＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为2002×150300＝50(mm)，高为150(mm)的圆锥，所以积水厚度d ＝13π×502×150π×1002＝12.5(mm)，属于中雨．7.(2022·八省八校联考)如图，已知正四面体ABCD 的棱长为1，过点B 作截面α分别交侧棱AC ，AD 于E ，F 两点，且四面体ABEF 的体积为四面体ABCD 体积的13，则EF 的最小值为( )A.22 B.32 C.13 D.33答案 D解析 由题知V B －AEF ＝13V B －ACD ，所以S △AEF ＝13S △ACD ＝13×12×1×1×32＝312，记EF ＝a ，AE ＝b ，AF ＝c ， 则12bc sin 60°＝312，即bc ＝13. 则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°≥2bc －bc ＝bc ＝13，当且仅当b ＝c ＝33时取等号， 所以a 即EF 的最小值为33. 8．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤18，814 B.⎣⎡⎦⎤274，814 C.⎣⎡⎦⎤274，643D ．[18,27] 答案 C解析 方法一 如图，设该球的球心为O ，半径为R ，正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，依题意，得36π＝43πR 3，解得R ＝3.由题意及图可得⎩⎨⎧l 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2，R 2＝(h －R )2＋⎝⎛⎭⎫22a 2，解得⎩⎨⎧h ＝l 22R ＝l 26，a 2＝2l 2－l418，所以正四棱锥的体积V ＝13a 2h＝13⎝⎛⎭⎫2l 2－l 418·l 26＝l 418⎝⎛⎭⎫2－l 218(3≤l ≤33)， 所以V ′＝49l 3－l 554＝19l 3⎝⎛⎭⎫4－l 26(3≤l ≤33)．令V ′＝0，得l ＝26， 所以当3≤l <26时，V ′>0； 当26<l ≤33时，V ′<0，所以函数V ＝l 418⎝⎛⎭⎫2－l 218(3≤l ≤33)在[3，26)上单调递增，在(26，33]上单调递减，又当l ＝3时，V ＝274；当l ＝26时，V ＝643；当l ＝33时，V ＝814，所以该正四棱锥的体积的取值范围是⎣⎡⎦⎤274，643.方法二 如图，设该球的球心为O ，半径为R ，正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，依题意，得36π＝43πR 3，解得R ＝3.由题意及图可得⎩⎨⎧l 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2，R 2＝(h －R )2＋⎝⎛⎭⎫22a 2，解得⎩⎨⎧h ＝l 22R ＝l 26，a 2＝2l 2－l418，又3≤l ≤33，所以该正四棱锥的体积V ＝13a 2h＝13⎝⎛⎭⎫2l 2－l 418·l 26＝l 418⎝⎛⎭⎫2－l 218 ＝72×l 236·l 236·⎝⎛⎭⎫2－l 218 ≤72×⎣⎢⎡⎦⎥⎤l 236＋l 236＋⎝⎛⎭⎫2－l 21833＝643⎝⎛⎭⎫当且仅当l 236＝2－l 218，即l ＝26时取等号， 所以正四棱锥的体积的最大值为643，排除A ，B ，D.方法三 如图，设该球的半径为R ，球心为O ，正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，正四棱锥的侧棱与高所成的角为θ，依题意，得36π＝43πR 3，解得R ＝3，所以正四棱锥的底面边长a ＝2l sin θ，高h ＝l cos θ. 在△OPC 中，作OE ⊥PC ，垂足为E ， 则可得cos θ＝l 2R ＝l 6∈⎣⎡⎦⎤12，32，所以l ＝6cos θ， 所以正四棱锥的体积 V ＝13a 2h ＝13(2l sin θ)2·l cos θ＝23(6cos θ)3sin 2θcos θ＝144(sin θcos 2θ)2. 设sin θ＝t ，易得t ∈⎣⎡⎦⎤12，32，则y ＝sin θcos 2θ＝t (1－t 2)＝t －t 3， 则y ′＝1－3t 2.令y ′＝0，得t ＝33， 所以当12<t <33时，y ′>0；当33<t <32时，y ′<0， 所以函数y ＝t －t 3在⎝⎛⎭⎫12，33上单调递增，在⎝⎛⎭⎫33，32上单调递减．又当t ＝33时，y ＝239；当t ＝12时，y ＝38；当t ＝32时，y ＝38， 所以38≤y ≤239，所以274≤V ≤643. 所以该正四棱锥的体积的取值范围是⎣⎡⎦⎤274，643. 二、多项选择题9．(2022·武汉模拟)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是( ) A ．圆柱的侧面积为4πR 2 B ．圆锥的侧面积为2πR 2C ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．球的体积是圆锥体积的两倍 答案 ACD解析 对于A ，∵圆柱的底面直径和高都等于2R ， ∴圆柱的侧面积S 1＝2πR ·2R ＝4πR 2，故A 正确； 对于B ，∵圆锥的底面直径和高等于2R ， ∴圆锥的侧面积为S 2＝πR ·R 2＋4R 2＝5πR 2，故B 错误； 对于C ，圆柱的侧面积为S 1＝4πR 2，球的表面积S 3＝4πR 2，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C 正确； 对于D ，球的体积为V 1＝43πR 3，圆锥的体积为V 2＝13πR 2·2R ＝23πR 3，即球的体积是圆锥体积的两倍，故D 正确．10．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上且所有面均与内球相切，则( )A ．该正方体的棱长为2B ．该正方体的体对角线长为3＋ 3C ．空心球的内球半径为3－1D ．空心球的外球表面积为(12＋63)π 答案 BD解析 设内、外球半径分别为r ，R ，则正方体的棱长为2r ，体对角线长为2R ，∴R ＝3r ， 又由题知R －r ＝1， ∴r ＝3＋12，R ＝3＋32， ∴正方体棱长为3＋1，体对角线长为3＋3， ∴外接球表面积为4πR 2＝(12＋63)π.11.如图，已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22，A 1B 1＝2，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A ．该四棱台的高为 3B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的体积为32π3答案 AD解析 将四棱台补为如图所示的四棱锥P －ABCD ，分别取BC ，B 1C 1的中点E ，E 1，记四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面中心分别为O 1，O ，连接AC ，A 1C 1，BD 1，B 1D 1，A 1O ，OE ，OP ，PE ，由条件知A 1，B 1，C 1，D 1分别为四棱锥的侧棱P A ，PB ，PC ，PD 的中点， 则P A ＝2AA 1＝4，OA ＝22AB ＝2A 1B 1＝2， 所以OO 1＝12PO ＝12P A 2－OA 2＝3，故该四棱台的高为3，故A 正确；由P A ＝PC ＝4，AC ＝4，得△P AC 为正三角形， 则AA 1与CC 1所成角为60°，故B 错误； 四棱台的斜高h ′＝12PE ＝12PO 2＋OE 2＝12(23)2＋(2)2＝142， 所以该四棱台的表面积为 (22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C 错误；由△P AC 为正三角形，易知OA 1＝OA ＝OC ＝OC 1，OB 1＝OD 1＝OB ＝OD ，所以O 为四棱台外接球的球心，且外接球的半径为2，所以该四棱台外接球的体积为4π3×23＝32π3，故D 正确．12．(2022·聊城模拟)用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴长与短半轴长乘积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是( ) A ．底面椭圆的离心率为22B ．侧面积为242πC ．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36πD ．底面积为42π 答案 ABD解析 不妨过斜圆柱的最高点D 和最低点B 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的几何体是圆柱，如图，矩形ABCD 是圆柱的轴截面，平行四边形BFDE 是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知∠ABF ＝45°， 则BF ＝2AB ，设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ， 则2a ＝2·2b ，即a ＝2b ， c ＝a 2－b 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫22a 2＝22a ， 所以离心率为e ＝c a ＝22，A 正确；作EG ⊥BF ，垂足为G ，则EG ＝6， 易知∠EBG ＝45°，则BE ＝62， 又CE ＝AF ＝AB ＝4，所以斜圆柱侧面积为S ＝2π×2×(4＋62)－2π×2×4＝242π，B 正确；由于斜圆柱的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球的表面积为4π×22＝16π，C 错误；易知2b ＝4，则b ＝2，a ＝22， 所以椭圆面积为πab ＝42π，D 正确．三、填空题13.(2022·湘潭模拟)陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫做陀罗．陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h 1，h 2，r ，且h 1＝h 2＝r ，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S 1和S 2，则S 1S 2＝________.答案22解析 由题意知，圆锥的母线长为l ＝h 21＋r 2＝2r ，则圆锥的侧面积为S 1＝πrl ＝2πr 2，根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为 S 2＝2πrh 2＝2πr 2，所以S 1S 2＝22.14．(2022·福州质检)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，F 是线段A 1B 1上的动点，则AF ＋FC 1的最小值为________． 答案6＋ 2解析 依题意，把正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的上底面△A 1B 1C 1与侧面矩形ABB 1A 1放在同一平面内，连接AC 1，设AC 1交A 1B 1于点F ，如图，此时点F 可使AF ＋FC 1取最小值，大小为AC 1，而∠AA 1C 1＝150°，则AC 1＝AA 21＋A 1C 21－2AA 1·A 1C 1cos ∠AA 1C 1 ＝22＋22－23cos 150° ＝8＋43＝6＋2，所以AF ＋FC 1的最小值为6＋ 2.15.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品(如图所示)．该工艺品可以看成是一个球体被一个棱长为4的正方体的6个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，其中一个截面圆的周长为3π，则该球的半径为________；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积计算公式是S ＝2πRh .由此可知，该实心工艺品的表面积是________．答案5247π2解析 设截面圆半径为r ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即此距离为2，根据截面圆的周长可得3π＝2πr ，得r ＝32，故R 2＝r 2＋22＝254，得R ＝52，所以球的表面积S 1＝25π. 如图，OA ＝OB ＝52，且OO 1＝2，则球冠的高h ＝R －OO 1＝12，得所截的一个球冠表面积S ＝2πRh ＝2π×52×12＝5π2，且截面圆的面积为π×⎝⎛⎭⎫322＝9π4， 所以工艺品的表面积为4πR 2－6⎝⎛⎭⎫S －9π4＝25π－3π2＝47π2.16.(2022·开封模拟)如图，将一块直径为23的半球形石材切割成一个正四棱柱，则正四棱柱的体积取最大值时，切割掉的废弃石材的体积为________．答案 23π－4解析 设正四棱柱的底面正方形边长为a ，高为h ，则底面正方形的外接圆半径r ＝22a ， ∴h 2＋r 2＝h 2＋12a 2＝3，∴a 2＝6－2h 2，∴正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝(6－2h 2)h ＝－2h 3＋6h (0<h <3)， ∴V ′＝－6h 2＋6＝－6(h ＋1)(h －1)，∴当0<h <1时，V ′>0；当1<h <3时，V ′<0；∴V ＝－2h 3＋6h 在(0,1)上单调递增，在(1，3)上单调递减， ∴V max ＝V (1)＝4，又半球的体积为23π×()33＝23π，∴切割掉的废弃石材的体积为23π－4.。
课时跟踪检测31
课时跟踪检测(三十一) 平面向量的数量积[高考基础题型得分练]1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a·b ＝( ) A ．12 B ．8 C ．－8 D ．2 答案：A解析：∵|a |cos 〈a ，b 〉＝4，|b|＝3，∴a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3×4＝12.2．[2018·甘肃兰州诊断考试]已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a －b |＝( )A ．0B ．1C ．2 D. 5 答案：D 解析：|a －b|＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋4＝ 5.3．[2017·山西太原二模]已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，且a ∥b ，则|b |＝( )A ．2 5 B. 5 C ．10 D ．5 答案：B解析：∵a ∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1， ∴b ＝(－1,2)，∴|b |＝(－1)2＋22＝ 5.故选B.4．[2018·东北三校联考]向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 答案：C解析：∵(a ＋b )⊥(2a －b )，∴(a ＋b )·(2a －b )＝0，∴2a 2－a·b ＋2b·a －b 2＝0，∴a·b ＝0， ∴向量a 与b 的夹角为90°.故选C.5．[2017·陕西西安83中二模]称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”，若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．a ⊥(a －b )C ．b ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )答案：C解析：由d (a ，t b )≥d (a ，b )，可知|a －t b |≥|a －b |，所以(a －t b )2≥(a －b )2，又|b |＝1，所以t 2－2(a ·b )t ＋2(a·b )－1≥0.因为上式对任意t ∈R 恒成立，所以Δ＝4(a·b )2－4[2(a·b )－1]≤0，即(a·b －1)2≤0，所以a·b ＝1.于是b ·(a －b )＝a·b －|b |2＝1－12 ＝0，所以b ⊥(a －b )．故选C.6．如图，已知点P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB→＋AC →)( )A ．最大值为8B ．为定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关 答案：B解析：设BC 的中点为D ，连接AD ，AP →，AD →的夹角为θ，则有AP →·(AB →＋AC →)＝2AP →·AD →＝2|AD →|·(|AP→|cos θ)＝2|AD →|2＝6. 7．[2017·陕西咸阳实验中学五模]已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP→＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 答案：D解析：由已知得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，两边点乘向量BC →，得AP→·BC→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB →||BC →|cos (π－B )|AB →|cos B ＋|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以AP →⊥BC→.据此易知点P 的轨迹经过△ABC 的垂心．故选D. 8．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案：9解析：因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB→＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. 9．[2018·河南六市联考]已知向量a ，b ，其中|a|＝2，|b|＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________．答案：π4解析：设向量a 和b 的夹角为θ，由题意知， (a －b )·a ＝a 2－a·b ＝0， ∴2－22cos θ＝0， 解得cos θ＝22，∴θ＝π4.10．[2018·河南洛阳统考]已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB→|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝________. 答案：π4解析：解法一：利用几何意义求解：由已知可知，OA→＋OB →是以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB 的对角线向量OD→，OA →－OB →则是对角线向量BA→，于是对角线相等的平行四边形为矩形，故OA ⊥OB .因此OA →·OB →＝0，∴锐角θ＝π4.解法二(坐标法)：OA→＋OB →＝(sin θ－1，cos θ＋1)，OA →－OB →＝(－sin θ－1，cos θ－1)，由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，可得(sin θ－1)2＋(cos θ＋1)2＝(－sin θ－1)2＋(cos θ－1)2，整理得sin θ＝cos θ，于是锐角θ＝π4.11．[2018·山东潍坊模拟]如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA→|＝________.答案：132解析：因为〈AB →，AC →〉＝60°， 所以AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60° ＝1×3×12＝32. 又AO →＝12(AB →＋AC →)， 所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2 ＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2) ＝14×(1＋3＋9)＝134， 所以|OA →|＝132.[冲刺名校能力提升练]1．[2018·河北衡水模拟]已知|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( )A ．2B ．6C ．2 3D ．12 答案：C解析：∵|4a －b|2＝16a 2＋b 2－8a·b ＝16×1＋4－8×1×2×cos π3＝12.∴|4a －b |＝2 3.2．[2018·河南商丘模拟]在△ABC 中，已知|AB→|＝4，|AC →|＝1，S △ABC＝3，则AB →·AC →的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±2 答案：D解析：∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin ∠BAC ＝12×4×1×sin ∠BAC ＝3， ∴sin ∠BAC ＝32，cos ∠BAC ＝±12， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝±2.3．[2017·陕西咸阳三模]在Rt △ABC 中，CA ＝4，CB ＝3，M ，N是斜边AB 上的两动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤11925，485解析：设MN 的中点为E ，则有CM →＋CN →＝2CE →. 所以CM →·CN →＝14⎣⎡⎦⎤(CM →＋CN →)2－(CM →－CN →)2 ＝|CE →|2－14|NM →|2＝|CE →|2－1.易知|CE →|的最小值等于点C 到斜边AB 的距离，即125，所以CM →·CN→的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫1252－1＝11925. 当点M (或点N )与点A 重合时，|CE →|最大，此时|CE |2＝12＋42－2×1×4×45＝535，所以CM →·CN →的最大值为485.综上，CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤11925，485.4．[2018·江西八校联考]在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________． 答案：1－32解析：由题意得，(|AB →|· |AC →|)2＝(|AB →||AC →|·cos 〈AB →，AC →〉)2＋(|AB →||AC→|sin 〈AB →，AC →〉)2， 即(|AB →||AC →|)2＝(AB →·AC →)2＋(|AB →||AC →|·sin 〈AB →，AC →〉)2， ∴|AB→||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝2－3， ∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝1－32. 5．已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b|，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知得，a·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.(1)①∵|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b|＝4 3.②∵|4a －2b|2＝16a 2－16a·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a －2b|＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7. 即当k ＝－7时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．6．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， 得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0. 即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 化简即得2t 2＋15t ＋7<0， 解得－7<t <－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 但此时夹角不是钝角． 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎨⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.。
2021年高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测31理新人教A版
2021年高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测31理新人教A 版1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.－1n ＋12B ．cosn π2C ．cosn ＋12π D ．cosn ＋22π答案：D 解析：令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B ．133C ．4D ．0答案：D 解析：∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 取得最大值为0.3．[xx·湖北黄冈模拟]已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2答案：C解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于a 1的值不适合上式，故选C.4．[xx·河北保定调研]在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n＝( )A．2n－1 B．2n－1＋1C．2n－1 D．2(n－1)答案：A解析：解法一：由a n＋1＝2a n＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知，a n＝2n －1.解法二：由题意知，a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴数列{a n＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n＋1＝2n，∴a n＝2n－1.5．[xx·山西四校联考]已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－n，则a n＝( ) A．2n－1－1 B．2n－1C．2n－1 D．2n＋1答案：B解析：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－n－2a n－1＋(n－1)，即a n＝2a n－1＋1，∴a n＋1＝2(a n－1＋1)，∴数列{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n＋1＝2·2n－1＝2n，∴a n＝2n－1.6．数列{a n}满足a n＋1＋a n＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝( )A．7 B．6C．5 D．4答案：D解析：依题意，得(a n＋2＋a n＋1)－(a n＋1＋a n)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即a n＋2－a n＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.7．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案：D解析：由题意，得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5 答案：D解析：由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)知，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以当k ∈N 时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.9．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1a 2a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案：6116解析：由题意知，a 1a 2a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)， ∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116.10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.答案：1n解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0，∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n，∵a 1＝1，∴a n ＝1n.11．[xx·山西太原二模]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案：2n 2－n ＋2解析：由已知，得1a n ＋1－1a n＝n ，∴1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，∴1a n －1a 1＝n n －12，∴1a n＝n 2－n ＋22，∴a n ＝2n 2－n ＋2.12．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案：(－3，＋∞)解析：因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.[冲刺名校能力提升练]1．[xx·山东日照实验中学月考]如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210 B ．129C.15 D ．110答案：C解析：∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1， ∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，a n a n －1＋a n a n ＋1＝2， ∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列．又d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.2．已知{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，则a n n的最小值为( )A ．21B ．10C.212 D ．172答案：C解析：由已知条件可知，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1) ＝n 2－n ＋33.又n ＝1时，a 1＝33满足此式，所以a n n＝n ＋33n－1.令f (n )＝a n n＝n ＋33n－1，则f (n )在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数， 又f (5)＝535，f (6)＝212，则f (5)>f (6)，故f (n )＝a n n 的最小值为212.3．[xx·北京海淀区期末]若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9答案：B解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223. ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.4．[xx·贵州贵阳监测]已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则该数列的前2 015项的乘积a 1a 2a 3·…·a 2 015＝________.答案：3解析：由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 015＝4×503＋3，a 1a 2a 3a 4＝1，∴前2 015项的乘积为1503·a 1a 2a 3＝3.5．[xx·甘肃天水一模]已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋a n ＋1＝2n ，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋a n ＋1＝2n，① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝2n . 由a 1＝1，a 1＋a 2＝2，得a 2＝1. 当n 为奇数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －4＋…＋2＋1＝13×2n ＋13； 当n 为偶数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝2n －2＋2n －4＋…＋22＋1 ＝13×2n －13. 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13×2n＋13，n 为奇数，13×2n－13，n 为偶数.6．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性知，5<2－a2<6，∴－10<a <－8. 故a 的取值范围为(－10，－8)．。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测31 Word版含解析
课时跟踪检测(三十一)[高考基础题型得分练]．数列，－，－，…的一个通项公式是等于( )．．π．π答案：解析：令＝，…，逐一验证四个选项，易得正确．．设＝－＋－，则数列{}中的最大项的值是( )．．答案：解析：∵＝－＋，由二次函数的性质，得当＝或时，最大，最大值为.．已知数列{}，＝－，＝－(>)，则当＝－时，的值可以为( )．．．．答案：解析：由题意，得＝－，＝－，＝，＝－，…，则－＝－(∈*)，＝－，故选.．[·河北保定调研]在数列{}中，已知＝，＋＝＋，则其通项公式为＝( )．－＋．－．(－)．－答案：解析：解法一：由＋＝＋，可求＝，＝，＝，…，验证可知＝－.解法二：由题意知＋＋＝(＋)，∴数列{＋}是以为首项，为公比的等比数列，∴＋＝，∴＝－.．数列{}的前项和为，若＝，＋＝(≥)，则＝( )．×＋．×．＋．答案：解析：当≥时，＋＝，则＋＝＋，∴＋－＋＝＋－＝＋，即＋＝＋，∴该数列从第项开始是以为公比的等比数列．又＝＝＝，∴＝(\\(，＝，×－，≥，))∴＝×－＝×，故选.．[·云南一模]在数列{}中，＝，＝，＋＝，则＋＝( )．答案：解析：因为＝，＝，＋＝，所以＝，＝，＝，＝，即数列{}是周期数列，周期为，则＋＝＋＝＋＝，故选.．在数列{}中，已知＝，＝，＋等于＋(∈*)的个位数，则＝( )．．．．答案：解析：由题意得＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.所以数列中的项从第项开始呈周期性出现，周期为，故＝×＋＝＝.．已知数列{}满足＋＝－－(≥)，＝，＝，记＝＋＋…＋，则下列结论正确的是( )．＝－，＝．＝－，＝．＝－，＝。
课时跟踪检测(三十一) 复数
课时跟踪检测（三十一） 复数[达标综合练]1．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A 由题意知，m ＋3>0，m －1<0，所以－3<m <1. 2．若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A 因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.3．若复数z ＝21＋i，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为－i B ．|z |＝2C ．z 2为纯虚数D ．z 的共轭复数为－1－i解析：选C 由题意得z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i.对于A ，由z ＝1－i 得复数z 的虚部为－1，所以A 不正确． 对于B ，|z |＝|1－i|＝ 2，所以B 不正确．对于C ，由于z 2＝(1－i)2＝－2i ，所以z 2为纯虚数，所以C 正确． 对于D ，z ＝1－i 的共轭复数为z ＝1＋i ，所以D 不正确． 4．已知复数z ＝i 1－i，则z ＋22在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ∵z ＝i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋12i ，∴z ＋22＝2－12＋12i ，∴z ＋22在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12，12，位于第一象限． 5．已知i 为虚数单位，复数z ＝(a －i)2，a ∈R ，若复数z 是纯虚数，则|z |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：选C z ＝(a －i)2＝a 2－2a i －1， 若复数z 是纯虚数，则a 2－1＝0，所以a 2＝1. 所以z ＝－2a i ，则|z |＝4a 2＝2.6．已知复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1＝3－i(i 为虚数单位)，则z 1z 2＝( )A.45－35i B ．－45＋35iC ．－45－35iD.45＋35i 解析：选A 由题意，复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1＝3－i ，则z 2＝3＋i ，则根据复数的运算，得z 1z 2＝3－i 3＋i ＝45－35i.7．已知z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，且满足(a ＋i)2＝b i 5，则|z |＝( ) A ．5 B. 5 C ．3D. 3解析：选B 由已知得(a ＋i)2＝b i ，所以a 2－1＋(2a －b )i ＝0，所以a 2－1＝0且2a －b ＝0，解得a ＝1，b ＝2或a ＝－1，b ＝－2，所以|z |＝a 2＋b 2＝ 5.8.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)·z ＝2i ，则下列关于复数z 说法正确的是( ) A ．z ＝－1－i B ．|z |＝2 C ．z ·z ＝2D ．z 2＝2解析：选C 由条件知z ＝2i 1－i＝2i·(1＋i )2＝－1＋i ，A 错；|z |＝2，B 错；z ·z ＝(－1＋i)·(－1－i)＝2，C 正确；z 2＝(－1＋i)2＝－2i ≠2，D 错．9．设z 是复数，|z －i|≤2(i 是虚数单位)，则|z |的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵|z －i|≤2，∴复数z 在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，以2为半径的圆上及其内部．∴|z |的最大值为3. 10．已知复数z ＝2 018＋2 019i2 019－2 018i＋1，则|z |2 018＝( )A ．22 018B ．21 009C ．1D. 2解析：选B ∵z ＝2 018＋2 019i 2 019－2 018i ＋1＝(2 018＋2 019i )i (2 019－2 018i )i ＋1＝(2 018＋2 019i )i2 018＋2 019i ＋1＝1＋i ，∴|z |＝2，则|z |2 018＝21 009.11．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是－2＋i,1－i,2＋2i ，则点D 对应的复数为( )A ．4－iB ．－3－2iC ．5D ．－1＋4i解析：选D 由题得A (－2,1)，B (1，－1)，C (2,2)， 设D (x ，y )，则AB ―→＝(3，－2)，DC ―→＝(2－x,2－y )，因为AB ―→＝DC ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝32－y ＝－2，解得x ＝－1，y ＝4.所以点D 的坐标为(－1,4)，所以点D 对应的复数为－1＋4i.12．若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，则复数z 1|z 1|2＋z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，所以z 2＝－2－i ，复数z 1|z 1|2＋z 2＝2－i|2－i|2－2－i ＝2－i 3－i ＝(2－i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝710－110i.故z 1|z 1|2＋z 2在复平面内对应的点在第四象限．13．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z －2i ＝11－i，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为( )A.132B.262C.102D.52解析：选B 由z －2i ＝11－i ，得z ＝2i ＋11－i ＝2i ＋1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋52i ，∴复数z 在复平面内的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，到原点的距离为14＋254＝262. 14．已知复数z ＝2＋i (i 是虚数单位)，则|z |＝________，i·z ＝________. 解析：由题得|z |＝22＋12＝5，i·z ＝2i ＋i 2＝－1＋2i.答案：5 －1＋2i 15．(2019·浙江高考)复数z ＝11＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 解析：∵z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 2＝12－12i ，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22.答案：2216．(2019·江苏高考)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．解析：(a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ， 因为实部为0，所以a －2＝0，即a ＝2. 答案：217．已知复数z ＝m －1＋(3－m )i(m ∈R )对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是________．解析：复数z ＝m －1＋(3－m )i(m ∈R )在复平面上对应的点的坐标为(m －1,3－m )，如果该点落在x 轴上方，则有3－m >0，解得m <3.答案：(－∞，3)18．已知i 为虚数单位，z ＝1cos 2θ－isin 2θ对应的点在第二象限，则θ是第________象限的角．解析：∵z ＝1cos 2θ－isin 2θ＝cos 2θ＋isin 2θ(cos 2θ－isin 2θ)(cos 2θ＋isin 2θ)＝cos 2θ＋isin 2θ对应的点在第二象限，∴cos 2θ＜0，sin 2θ＞0，∴2k π＋π2＜2θ＜2k π＋π，k ∈Z ，解得k π＋π4＜θ＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4＜θ＜2n π＋π2，θ为第一象限角；当k ＝2n －1(n ∈Z )时，2n π－3π4＜θ＜2n π－π2，θ为第三象限角．综上可得，θ是第一、三象限的角．答案：一、三19．满足条件|z －i|＝|1＋3i|的复数z 在复平面上对应的点(x ，y )的轨迹方程为________________．解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R . ∵|z －i|＝|1＋3i|＝2， ∴|x ＋(y －1)i|＝2， ∴x 2＋(y －1)2＝2，∴x 2＋(y －1)2＝4. 答案：x 2＋(y －1)2＝4[素养强化练]1．[直观想象]若复数z 满足|z ＋3＋i|＝2，则|z |的最大值为( ) A ．3＋ 2 B.10＋ 2 C.5＋ 2D ．3 2解析：选B 由|z ＋3＋i|＝2的几何意义，可知复平面内的动点Z 到定点P (－3，－1)的距离为2，可作图象如图：∴|z |的最大值为|OP |＋2＝(－3)2＋(－1)2＋2＝10＋ 2.2．[直观想象、数学运算]已知复数z ＝5a 2＋i ＋1＋i1－i ，a ∈R ，若复数z 对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0,1)D ．(－∞，1)解析：选A 因为z ＝5a (2－i )5＋(1＋i )22＝2a －a i ＋i ＝2a ＋(1－a )i ，所以由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，1－a <0⇒a >1. 3．[数学运算]复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i.答案：i4．[数学运算]设复数z 满足(1＋2i)z ＝4－3i 3，则|z |＝________. 解析：∵(1＋2i)z ＝4－3i 3＝4＋3i ， ∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2－i ，∴|z |＝22＋(－1)2＝ 5.答案： 5。
高考数学复习考点知识专题讲解课件31---等差数列及其前n项和
新高考 大一轮复习 · 数学
6．一物体从 1960m 的高空降落，如果第 1 秒降落 4.90 m，以后每秒比前一秒多 降落 9.80 m，那么经过________秒落到地面． 解析：设物体经过 t 秒降落到地面． 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为 4.90，公差为 9.80 的等差数列． 所以 4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1 960， 即 4.90t2＝1 960，解得 t＝20. 答案：20
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新高考 大一轮复习 · 数学
题型分类 深度剖析
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新高考 大一轮复习 · 数学
题型一 等差数列基本量的运算
1．(2019·全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 C．Sn＝2n2－8n
B．an＝3n－10 D．Sn＝12n2－2n
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新高考 大一轮复习 · 数学
题组三 易错排查
4．一个等差数列的首项为215，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的公差
d 的取值范围是( ) A．d>785
B．d<235
83 C.75<d<25
D．785<d≤235
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新高考 大一轮复习 · 数学
解析：由题意可得aa19≤ 0>11，， 即221155＋＋89dd≤>11，， 所以785<d≤235.故选 D. 答案：D
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跟踪训练 1 (1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差 d
等于( )
A．0
B．1
人教B高中数学必修一课时跟踪检测：第三章 基本初等函数Ⅰ 31 3 第1课时 含解析
第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数 第一课时 指数函数(一)课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．下列以x 为自变量的函数，其中属于指数函数的是( ) A ．y ＝(a ＋1)x (其中a ＞－1，且a ≠0) B ．y ＝(－3)x C ．y ＝－(－3)x D ．y ＝3x ＋1解析：依据指数函数的定义不难判断B ，C ，D 不属于指数函数．由a ＞－1，且a ≠0，可知a ＋1＞0且a ＋1≠1.所以A 正确．答案：A2．当x ∈[－1,1]时，y ＝3x －2的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1B ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 D ．[0,1]解析：易判断函数y ＝3x －2在R 上是增函数，由f (－1)＝3－1－2＝－53，f (1)＝3－2＝1.所以当x ∈[－1,1]时，函数y ＝3x －2的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1.答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1，x ≤0，x 2，x ＞0，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：当x 0≤0时，2－x 0－1＞1， ∴2－x 0＞2，即－x 0＞1，∴x 0＜－1， 当x 0＞0时，x 20＞1，∴x 0＞1.∴x 0的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选D ． 答案：D4．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(－2，－1)D ．(1,2)解析：f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e ＋1－2＝e －1＞0， 又f (x )是单调递增函数，∴f (x )的零点在区间(0,1)内，故选A ． 答案：A5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．[1，＋∞) 解析：由f [f (a )]＝2f (a )， 得f (a )≥1，当a <1时，有3a －1≥1， ∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1， 综上a ≥23，故选C ． 答案：C6．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，则f (3)＝________.解析：设f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，得a －32＝525＝5－32，所以a ＝5，故f (x )＝5x ，从而f (3)＝53＝125.答案：1257．已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174，则实数a ＝________. 解析：∵f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋b＝52，4＋22a ＋b ＝174，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝－2.解得a ＝－1，b ＝0. 答案：－18．求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2x 2－8x ＋1(－3≤x ≤1)的值域．解：令t ＝－2x 2－8x ＋1， 则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ，又t ＝－2x 2－8x ＋1＝－2(x 2＋4x )＋1＝ －2(x ＋2)2＋9，∵－3≤x ≤1，∴当x ＝－2时，t max ＝9， 当x ＝1时，t min ＝－9，故－9≤t ≤9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫139≤y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－9，即3－9≤y ≤39，故所求函数值域为[3－9,39]．[B 组 技能提升]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，2x －1，x ＜2满足对任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0可知f (x )为增函数，∴a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，2(a －2)≥22－1，即a ≥72，故选A ．答案：A 2．函数f (x )＝1－42a x ＋a(a >0，a ≠1)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(－2，＋∞)解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝1－42＋a＝0. ∴a ＝2.∴f (x )＝1－42·2x ＋2＝1－22x ＋1＝2x －12x ＋1.当x ∈(0,1]时，2x －12x＋1>0，∴只需t ≥(2x ＋1)(2x －2)2x －1恒成立．令2x －1＝m ，∴2x ＝m ＋1.∵x∈(0,1]，∴m∈(0,1]．∴(2x＋1)(2x－2)2x－1＝(m＋2)(m－1)m＝m＋1－2m.又m＋1－2m是增函数，∴当m＝1时，m＋1－2m有最大值0，∴t≥0，故选A．答案：A3．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时有f(x)＝12x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.解析：当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝12－x＋1＝112x＋1＝2x1＋2x，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－2x 1＋2x.答案：－2x 1＋2x4．已知集合P＝{(x，y)|y＝m}，Q＝{(x，y)|y＝a x＋1，a＞0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一个元素，那么m的取值范围是________．解析：如果P∩Q有且只有一个元素，即函数y＝m与y＝a x＋1(a＞0且a≠1)的图象只有一个公共点．∵y＝a x＋1＞1，∴m的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)5．设a＞0，a≠1，如果函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．解：令a x＝t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，当a ＞1时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14， ∴(a ＋1)2＝16，a ＋1＝4，a ＝3. 当0＜a ＜1时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，当t ＝1a 时，y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，∴1a ＝3，∴a ＝13. ∴a 的值为3或13.6．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1， 令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x －1＝0， 解得2x ＝1或2x ＝－12(舍)． 所以x ＝0，所以函数f (x )的零点为0.(2)若f (x )有零点，则方程2a ·4x －2x －1＝0有解． 于是2a ＝2x ＋14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋122－14， 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0，所以2a >14－14＝0，即a >0.。