2018届河南省中原名校高三上学期第二次联考文科数学试题及答案模板

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2024-2025学年河南省高三上学期联考(二)数学试题及答案

2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（）A.22a b ab > B.2211ab a b> C.33a b < D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（）B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x的值域为⎡⎢⎣D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0e k t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan 2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D 由题意可得()(1)e xx f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1x f x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A，故min ||AB ==.9.ABD 当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD 由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD 因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得t <<()0g t '<，得1t -≤<1t <≤，则()g t在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递减，在⎛ ⎝上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，g ⎛= ⎝，g =()g t ⎡∈⎢⎣，即()f x的值域是⎡⎢⎣，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin t x ⎤=∈⎥⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在⎤⎥⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4 由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以sin C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7 由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln 32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15 由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以sin C =（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，sin C =，cos C =，则34sin sin()sin cos cos sin 55B A C A C A C =+=+==由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==，sin sin a C c A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x xa a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x x x a af x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x xf x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n n c -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n nT -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212nn n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=-- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992n n n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n n n n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。

河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第二次模拟考试(文)数学试题及答案解析

河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第二次模拟考试数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 162. 若复数满足，则（）A. B. C. D.3. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知是两条不同直线，是平面，则下列命题是真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 已知)，，若，则（）A. -4B. -3C. -2D. -16. 若把函数的图象向右平移个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.7. 已知函数是上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 已知函数在上至少取得2 次最大值，则正整数的最小值为（）A. 6B. 7C. 8D. 99. 已知点为内一点，且满足，设与的面积分别为，则（）A. B. C. D.10. 四面体的四个顶点都在球的表面上，，，，平面，则球的表面积为（）A. B. C. D.11. 设函数的定义域为，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A. 4B. 3C. 2D. 112. 已知函数在定义域上的导函数为，若无解，且，若在上与在上的单调性相同，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题13. 已知等差数列的前项和为，三点共线，且，则__________．14. 已知函数，若函数在区间上单调递减，则的最大值为_________．15. 在中，角所对的边分别为，且，则角_________．16. 已知函数，若对任意的，函数在上为增函数，则的取值范围为_________．三、解答题17. 已知等比数列的前项和为，且，．(1) 求；(2) 若，数列的前项和为，证明: 数列是等差数列．18. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．(1) 求和的值；(2) 求的值．19. 如图，在矩形中，，平面，分别为的中点，点是上一个动点．(1) 当是中点时，求证:平面平面；(2) 当时，求的值．20. 己知函数，函数．(1) 求时曲线在点处的切线方程；(2) 设函数在上是单调函数，求实数的取值范围．21. 已知函数．(1) 当时，解关于的不等式；(2) 若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4: 坐标系与参数方程已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．(1) 若直线与曲线交于两点，求的值；(2) 求曲线的内接矩形的周长的最大值．23. 选修4-5: 不等式选讲已知函数．(1)求不等式的解集；(2) 若关于的不等式有解，求的取值范围．【参考答案】第Ⅰ卷一、选择题【解析】,所以子集的个数为4故选C2. 【答案】B，故选B3. 【答案】A【解析】，则；，则所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.4. 【答案】B【解析】对于A,，则或n⊂，假命题；对于B, 若,根据线面垂直的性质,可得m∥n，真命题；对于C, 若，则n与α位置关系不确定，假命题；对于D, 若,则或n⊂，假命题，故选B.5. 【答案】B∴，即，∴.故选B.6. 【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位后所得函数为图象关于坐标原点对称，则, -所以的最小值为故选A【解析】函数f（x）是R上的偶函数，可得f（-x）=f（x），又f（1-x）=f（1+x），可得f（2-x）=f（x），故可得f（-x）=f（2-x），即f（x）=f（x-2），即函数的周期是2又x∈[0，1]时，f（x）=x2，要研究函数y=f（x）-log5x在区间[0，5]零点个数，可将问题转化为y=f（x）与y=log5x在区间[0，5]有几个交点如图，由图知，有四个交点．故选B8. 【答案】B【解析】函数的周期为T=6，当时，，当时，，所以函数在上至少取得2 次最大值，有即，所以正整数的最小值为7故选B9. 【答案】B【解析】延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB与E，∵O为△ABC内一点，且满足，∴O为△DABC重心，E为AB中点，∴OD：O E=2：1，∴OC：O E=1：2，∴C E：O E=3：2，∴S△A E C=S△B E C，S△BO E=2S△BOC，∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2所以故选B10. 【答案】D【解析】如图，∵BC=CD=1，∠BCD=60°∴底面△BCD为等边三角形，取CD中点为E，连接B E，∴△BCD 的外心G在B E上，设为G，取BC中点F，连接GF，在Rt△BC E中，由，，得，又在Rt△BFG中，得BG=，过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O，则O为四面体ABCD的外接球的球心，即R=OB，∵AB⊥平面BCD，∴OG⊥BG，在Rt△BGO中，求得OB=，∴球O的表面积为4π故选D11. 【答案】B【解析】函数f（x）的定义域为R，f（-x）=f（x），可知函数是偶函数，f（x）=f（2-x），可知函数的对称轴为：x=1，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，函数g（x）=|cos（）|-f（x）可知函数是偶函数，g（x）=|cos（）|-f（x）=0，可得|cos（）|=f（x），在同一个直角坐标系中画出函数y=|cos（）|，y=f（x）的图象如图：函数在区间上的零点的和为：0．函数在时，两个函数的交点关于x=1对称，零点有3个，零点的和为：3．故选：B．12. 【答案】A【解析】若方程f'（x）=0无解，则f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，x, ,则为定值，设,则, 易知f（x）为R上的增函数，∵g（x）=sin x-cos x-kx，∴g′(x)＝cos x+sin x−k＝sin(x+)−k，又g（x）与f（x）的单调性相同，∴g（x）在R上单调递增，则当x, g'（x）≥0恒成立，则当x, x+ , sin(x+), sin(x+)此时k≤-1，故选A．第Ⅱ卷二、填空题13. 【答案】1009【解析】因为三点共线，且，所以，即所以故答案为1009.14.【答案】2【解析】时，，所以当时，，在上递减；当时，；在上递增；当时，，在上递减，在递增，所以的最大值为2故答案为2.15.【答案】【解析】∵cos2A+cos2B+2sin A sin B=2coc2C，∴1-2sin2A+1-2sin2B+2sin A sin B=2（1-sin2C），即sin2C=sin2A+sin2B-sin A sin B，由正弦定理得：c2=a2+b2-ab，∴cos C＝，且角C角为三角形的内角，即C＝故答案为16.【答案】【解析】当∀a∈时，函数在为增函数，则在此范围内，=（x+a+1）e x≥0恒成立，∵e x＞0，则x+a+1≥0，∵a∈[1，2]，∴b-e a+a+1≥0且b-e a＜2，故b≥e a-a-1且b＜e a+2，令g（a）=e a-a-1，则g′（a）=e a-1，当a∈[1，2]时，g′（a）＞0，∴g（a）在[1，2]递增，g（a）max=g（2）=e2-2-1=e2-3，∴若要b≥e a-a-1在[1，2]内恒成立，只需b≥e2-3即可，综上：e2-3≤b＜e a+2．即e2-3≤b＜e+2故答案为三、解答题17. 解：(1)由得∴公比∴(2)∴∴∴∴∴数列是等差数列.18. 解：(1)在三角形ABC中，由cos A=﹣，可得sin A=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bc cos A，可得a=8，，解得sin C=；(2) cos（2A+）=cos2A cos﹣sin2A sin==．19. 解：（1）∵分别是矩形的对边的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面，又是中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，平面，∴平面平面．（2）连接，∵平面，平面，∴．∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，在矩形中，由得与相似，∴，又，∴，∴20. 解：(1)当时，，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为；(2)因为函数在上是单调函数，所以或由得，所以，，所以；由得，所以，而，所以，所以．综上所述: 实数的取值范围是．21. 解：(1)，当时，恒有，则在上是增函数，又，∴化为，∴.(2)由题意知对任意及时，恒有成立，等价于，当时，由得，因为，所以，从而在上是减函数，所以，所以，即，因为，所以，所以实数的取值范围为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 解：(1) 曲线的直角坐标系方程为: ∴∴直线的参数方程为（为参数）将代入得：设两点所对应的参数为，则∴(2) 设为内接矩形在第一象限的顶点，，则矩形的周长∴当即时周长最大，最大值为16．23.解：(1)∴不等式的解集为(2)由(1)得在上为减函数，在上为增函数∴∴有解，只须∴的取值范围为：。

精选2018届高三数学上学期第二次联考试题文

福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校2018届高三数学上学期第二次联考试题文考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题目要求.1、已知集合{}1,0,1M=-，{}210N x x=-<，则M N=A．{}1,0,1-B．{}0C．{}11x x-≤≤D．{}1x x≤2、已知复数12,z z在复平面内对应点的分别为(1,1),(2,1)--，则21zz的共轭复数为A．3122i- B．3122i+ C．3122i-- D．3122i-+3、执行如右图所示框图，若输出结果为31，则M处的条件为A. ?32≥k B. ?32<k C．?16≥k D. ?16<k4、在等比数列{}n a中，11a=，公比为，且1q≠，若ma=12345a a a a a，则m=A．B．C．D．5、已知抛物线的顶点在坐标原点上，焦点在轴上，上的点(3,)P m-到的距离为，则的方程为A. 28y x= B. 28y x=- C. 24y x= D. 24y x=-6、从3,4,5,6,7中随机取出两个不同的数，则和为奇数的概率为A．B．C．D．7、右图是某几何体的三视图其中正(主)视图是腰长为的等腰三角形，侧(左)视图是直径为的半圆，则该几何体的体积为A．3πB C8、已知函数()f x的图象如右下图所示，则()f x的解析式可以是A．ln()xf xx=B．()xef xx=C．21()1f xx=-D．1()f x xx=-9、下列关于函数()sin(sin cos)f x x x x=+的说法中，错误的是A．()f x的最小正周期为（第3题图）B ．()f x 的图象关于点(,0)8π对称C ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．()f x 的图象向右平移个8π单位后得到一个偶函数的图象10、我们可以利用计算机随机模拟方法计算2y x =与4y =所围成的区域的面积. 先利用计算机产生两个在区间[]0,1内的均匀随机数11,a RAND b RAND ==，然后进行平移与伸缩变换1142,4a a b b =-=，已知试验进行了100次，前次中落在所求面积区域内的样本点数为，最后两次试验的随机数为110.3,0.8a b ==及110.4,0.3a b ==，则本次随机模拟得出的面积的近似值为A ．10.4B ．10.56C ．10.61D ．10.7211、在三棱锥A BCD -中，侧棱,,AB AC AD 两两垂直，,,ABC ACD ABD ∆∆∆的面积分别A BCD -的外接球的体积为 AB．C．D．12、定义在上的函数()f x 满足(2)()1f x f x +=+，且[]0,1x ∈时，()4xf x =；(]1,2x ∈时，(1)()f f x x=. 令[]()2()4,6,2g x f x x x =--∈-，则函数()g x 的零点个数为 A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、已知向量(1,3)a =，(2,)b λ=-，且与共线，则a b +的值为.14、若实数,x y 满足0,1,1.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2z x y =+的最大值和最小值分别和，则m n -=.15、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为、，为的右支上一点，直线1PF 与圆222x y a +=相切，且212PF F F =，则的离心率为.16、已知数列{}n a 满足*(2)(1)(32),(,)n n a n m n m n N =++--∈，若对于任意的*N m ∈，不（第8题图）等式∑=-≥--mi i ak k 2112212恒成立，则实数k 的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin sin sin a A c C b B c A +-=，6cos cos 1A C =.（Ⅰ）求角的大小及sin sin A C 的值；（Ⅱ）若b =ABC ∆的面积.18、（本小题满分12分）进行调查，在高三全体1000100布直方图．算高三全体学生视力在以下的人数，并估计这100名学生视力的中位数（精确到）；（Ⅱ）学习小组发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对高三全体成绩名次在前名和后名的学生进行了调查，部分数据如表1，根据表1及临界表2中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19、（本小题满分12分）如图，在多面体EF ABCD -中，四边形,ABCD ABEF 均为直角梯形，090ABC ABE ∠=∠=，四边形DCEF 为平行四边形，平面ABCD ⊥平面DCEF ．（Ⅰ）求证：平面ADF ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若ABD ∆是边长为的等边三角形，且异面直线BF 与所成的角为，求点到平面BDF 的距离．20、（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为12，且经过点3(1,)2M ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点(2,1)P 的直线与相交于不同的两点,A B ，满足2PA PB PM ⋅=？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）已知函数()ln x m f x e x +=-．（Ⅰ）设1x =是函数()f x 的极值点，求证：ln xe e x e -≥；（Ⅱ）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数的取值范围．（其中正常数满足ln 1a a =）选考题：请在第．．．22．．、．23．．题中任选一题作答，．．．．．．．．．若．多做，则按所做的第一题计分．．．．．．．．．．．．．． 22、[选修4―4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知三点(0,0)O ，(2,)2A π，)4B π．（Ⅰ）求经过,,O A B 的圆的极坐标方程；（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为1cos ,1sin .x a y a ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（为参数），若圆与圆相外切，求实数的值．23、[选修4―5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数()221f x x x =--+. （Ⅰ）解不等式()0f x ≤；（Ⅱ）0x R ∃∈，20()24f x m m -≥，求实数的取值范围.参考答案二、填空题：13、； 14、； 15、53； 16、(,1][3,)-∞-+∞.17、解：（Ⅰ）由sin sin sin sin a A c C b B c A +-=及正弦定理，得ac b c a =-+2221。

河南省顶级名校2018届高三上学期10月月考数学试卷文科含解析

2018-2018学年河南省顶级名校高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A={x|y=}，A∩B=∅，则集合B不可能是（）A．{x|4x＜2x+1} B．{（x，y）|y=x﹣1}C．{y=x﹣1}D．{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}2．i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则log2（a﹣b）的值是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．3．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（）A．πB．2πC．3πD．4π4．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A ．f （x ）=x 2B ．f （x ）=C ．f （x ）=e xD ．f （x ）=sinx6．已知函数f （x ）=ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线l 与直线8x ﹣y +2=0平行，若数列{}的前n 项和为S n ，则S 2018的值为（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数f （x ）=x 2﹣2cosx ，对于上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2； ②； ③|x 1|＞x 2； ④x 1＞|x 2|，其中能使恒成立的条件个数共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．已知O 为坐标原点，双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0）（c ＞0），以OF 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于A ，B ，O 三点，且（+）=0，若关于x 的方程ax 2+bx ﹣c=0的两个实数根分别为x 1和x 2，则以|x 1|，|x 2|，2为边长的三角形的形状是（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 9．设F 1、F 2是双曲线x 2﹣=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P ，使（+）•=0（ O 为坐标原点）且且|PF 1|=λ|PF 2|，则λ的值为（）A．2 B．C．3 D．10．已知函数在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B． C． D．11．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点，则的最小值为（）A．4 B． C． D．712．已知定义在[1，+∞）上的函数，当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图象面积为S n，则S1+S2+…+S n=（）A．2n B．2n C．2n+1﹣2 D．n2+n二、填空题（每题5分，共20分）13．若数列{a n}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则+ +…+=．14．已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为．16．给出下列命题：①函数f（x）=x3+ax2+ax﹣a既有极大值又有极小值，则a＜0或a＞3；②若f（x）=（x2﹣8）e x，则f（x）的单调递减区间为（﹣4，2）；③过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围为a＜﹣3或a＞1；④双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e1，双曲线=1的离心率为e2，则e1+e2的最小值为2．其中为真命题的序号是．三、解答题（题型注释）17．已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos2x﹣（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A 满足f（﹣）=，且sinB+sinC=，求bc的值．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，满足a1=4，且的等差中项，=b n+1，其前n项和为s n，且S2+S6=a4数列{b n}满足b n+1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）数列{a n}的前n项和为T n，若不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n对一切n ∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．19．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．20．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）证明：AC⊥PB；（2）证明：PB∥平面AEC；（3）求二面角E﹣AC﹣B的大小．21．已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2018-2018学年河南省顶级名校高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A={x|y=}，A∩B=∅，则集合B不可能是（）A．{x|4x＜2x+1} B．{（x，y）|y=x﹣1}C．{y=x﹣1}D．{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，分别求出选项中集合B，根据A∩B=∅，作出判断即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣1≥0，解得：x≥1，即A={x|x≥1}，A、由集合中不等式变形得：22x=4x＜2x+1，即2x＜x+1，解得：x＜1，即B={x|x＜1}，满足A∩B=∅；B、B={（x，y）|y=x﹣1}，满足A∩B=∅；C、B={y=x﹣1}，满足A∩B=∅；D、由y=log2（﹣x2+2x+1）=log2[﹣（x﹣1）2+2]≤1，即B={y|y≤1}，此时A∩B={1}，A∩B≠∅，故选：D．2．i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则log2（a﹣b）的值是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数方程化简，利用复数相等的定义，求解方程组，可解得a﹣b的值，再根据对数的性质即可求出．【解答】解：因为，所以由复数相等的定义可知，所以log2（a﹣b）=log22=1．故选：B3．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】二倍角的正弦；诱导公式的作用；余弦函数的对称性．【分析】本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将=sin2x+1令y=，解得x=k（k∈N），代入易得|P2P4|的值．【解答】解：∵=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=sin2x+1若=则2x=2kπ+（k∈N）x=k（k∈N）故|P2P4|=π故选：A4．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥（图中红色部分），它是一个正四棱锥的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高为4．设其外接球的球心O必在高线EF上，利用外接球的半径建立方程，据此方程可求出答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥（图中红色部分），它是一个正四棱锥的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高EF=4．设其外接球的球心为O，O点必在高线EF上，外接球半径为R，则在直角三角形AOF中，AO2=OF2+AF2=（EF﹣EO）2+AF2，即R2=（4﹣R）2+（2）2，解得：R=故选C．5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=e x D．f（x）=sinx【考点】选择结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f （x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解答】解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=e x，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故选D．6．已知函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2018的值为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，可得f′（x ）|x=1=（2ax ）|x=1=2a=8，解得a ．可得f （x ）=4x 2﹣1， ==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵函数f （x ）=ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线l 与直线8x ﹣y +2=0平行，∴f′（x ）|x=1=（2ax ）|x=1=2a=8，解得a=4． ∴f （x ）=4x 2﹣1， f （n ）=4n 2﹣1．∴==．∴数列{}的前n 项和为S n =+…+==．则S 2018=．故选：C ．7．已知函数f （x ）=x 2﹣2cosx ，对于上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2； ②； ③|x 1|＞x 2； ④x 1＞|x 2|，其中能使恒成立的条件个数共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【考点】函数的值．【分析】利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论．【解答】解：∵f （x ）=x 2﹣2cosx ，∴f′（x ）=2x +2sinx ， ∴当x=0时，f′（0）=0；当x ∈[﹣，0）时，f′（x ）＜0，函数f （x ）在此区间上单调递减；当x∈（0，]时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增．∴函数f（x）在x=0时取得最小值，f（0）=0﹣1=﹣1．∵x∈[﹣，]，都有f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数．根据以上结论可得：①当x1＞x2时，则f（x1）＞f（x2）不成立；②当x12＞x22时，得|x1|＞|x2|，则f（|x1|）＞f（|x2|），f（x1）＞f（x2）恒成立；③当|x1|＞x2时，由函数f（x）=x2﹣2cosx是偶函数，知f（x1）=f（|x1|）＞f（x2）不恒成立；④x1＞|x2|时，则f（x1）＞f（|x2|）=f（x2）恒成立．综上可知：能使f（x1）＞f（x2）恒成立的有②④．故选：B．8．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．【解答】解：由（+）=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2﹣2=0，即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，可得∠AOF=45°，由渐近线方程y=±x，可得=1，c=a，则关于x的方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，即有x1x2=﹣，x1+x2=﹣1，即有x12+x22=1+2＜4，可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．故选：A．9．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•=0（O为坐标原点）且且|PF1|=λ|PF2|，则λ的值为（）A．2 B．C．3 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设点P（，m），由=0解出m，根据双曲线的第二定义得e==，求出|PF2|的值，再利用第一定义求出|PF1|的值，即得λ值．【解答】解：由题意得a=1，b=2，∴c=，F1（﹣，0），F2（，0），e=．设点P（，m），∵=（+，m）•（﹣，m）=1+﹣5+m2=0，m2=，m=±．由双曲线的第二定义得e==，∴|PF2|=2，∴|PF1|=2a+|PF2|=4，∴λ===2，故选A．10．已知函数在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，令导函数为0，求出x的值，得到不等式解出k的值即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），所以a﹣1≥0即a≥1，f′（x）=2x﹣=，令f′（x）=0，得x=或x=﹣（不在定义域内舍），由于函数在区间（a﹣1，a+1）内不是单调函数，所以∈（a﹣1，a+1），即a﹣1＜＜k+1，解得：﹣＜k＜，综上得1≤k＜，故选：D11．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点，则的最小值为（）A．4 B． C． D．7【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【分析】设出M，N，P的坐标，根据向量数量积的公式进行转化，利用数形结合转化为线性规划进行求解即可．【解答】解：∵M，N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点，∴设M（a，b），N（﹣a，﹣b），则满足a2+b2=1，设P（x，y），则=（a﹣x，b﹣y）•（﹣a﹣x，﹣b﹣y）=﹣（a﹣x）（a+x）﹣（b﹣y）（b+y）=﹣a2+x2﹣b2+y2=x2+y2﹣（a2+b2）=x2+y2﹣1，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：则原点到直线x+y﹣4=0的距离最小，此时d==2，则z=d2=（2）2=8，则=x2+y2﹣1=8﹣1=7，故选：D．12．已知定义在[1，+∞）上的函数，当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图象面积为S n，则S1+S2+…+S n=（）A．2n B．2n C．2n+1﹣2 D．n2+n【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象，求出三角形的高，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）在[1，+∞）上的图象如图：当n=1时，x∈[1，2]，此时三角形的高为f（）=4，则S1=×1×4=2，当n=2时，x∈[2，4]，此时三角形的高为f（3）=f（）=4=2，则S2=×2×2=2，当n=3时，x∈[4，8]，此时三角形的高为f（6）=f（3）=2=1，则S3=×4×1=2，综上当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的最高点为23﹣n，与x轴围成的面积为S n=×23﹣n×2n﹣1=2．则S1+S2+…+S n=2+2+…+2=2n，故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．若数列{a n}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则+ +…+=2n2+6n．【考点】数列的求和．【分析】根据题意先可求的a1，进而根据题设中的数列递推式求得++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）与已知式相减即可求得数列{a n}的通项公式，进而求得数列{}的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案．【解答】解：令n=1，得=4，∴a1=16．当n≥2时，++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）．与已知式相减，得=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，∴a n=4（n+1）2，n=1时，a1适合a n．∴a n=4（n+1）2，∴=4n+4，∴++…+==2n2+6n．故答案为2n2+6n14．已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O 的表面积．【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=，∴=，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴=，解得R=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为：16π．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为3．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线方程为：bx﹣ay=0，取AB中点为M，圆心C到M的距离丨CM丨=2，=tan∠BAC=2，双曲线的离心率e==，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意知，双曲线过第一、三象限的渐近线方程为bx﹣ay=0，取AB中点为M，如图所示，由勾股定理，可知圆心C（3，0），到M的距离丨CM丨=2，∴=tan∠BAC=2，双曲线的离心率e====3，故答案为：3．16．给出下列命题：①函数f（x）=x3+ax2+ax﹣a既有极大值又有极小值，则a＜0或a＞3；②若f（x）=（x2﹣8）e x，则f（x）的单调递减区间为（﹣4，2）；③过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围为a＜﹣3或a＞1；④双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e1，双曲线=1的离心率为e2，则e1+e2的最小值为2．其中为真命题的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据函数极值和导数之间的关系进行判断．②令f′（x）=（x+4）（x﹣2）e x＜0，解得即可得出f（x）的单调递减区间；③根据点与圆的位置关系进行判断．④由于e1+e2=+=≥即可判断出．【解答】解：①∵f（x）=x3+ax2+ax﹣a，∴f′（x）=3x2+2ax+a若函数f（x）=x3+ax2+ax﹣a既有极大值又有极小值∴△=（2a）2﹣4×3×a＞0，∴a＞3或a＜0，故①正确，②若f（x）=（x2﹣8）e x，则f′（x）=（x2+2x﹣8）e x，由f′（x）＜0，得x2+2x﹣8＜0．即﹣4＜x＜2，即f（x）的单调递减区间为（﹣4，2）；故②正确，③过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则点A在圆的外部，圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=3﹣2a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜，∵点A在圆外，是|AP|=＞r=，即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0，解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜，可得a＜﹣3或1＜a＜，故③错误；④双曲线=1的离心率为e1，双曲线=1的离心率为e2，则e1+e2=+=≥=2，当且仅当a=b时取等号．其最小值为2，正确．故答案为：①②④．三、解答题（题型注释）17．已知函数f（x）=2s inx•cosx+2cos2x﹣（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A 满足f（﹣）=，且sinB+sinC=，求bc的值．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性确定出f（x）的单调递减区间即可；（2）由f（x）解析式，以及f（﹣）=，求出A的度数，将sinB+sinC=，利用正弦定理化简，求出bc的值即可．【解答】解：（1）f（x）=2sinx•cosx+2cos2x﹣=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=π，∵2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）由f（﹣）=2sin[2（﹣）+]=2sinA=，即sinA=，∵A为锐角，∴A=，由正弦定理可得2R===，sinB+sinC==，∴b+c=×=13，由余弦定理可知：cosA===，整理得：bc=40．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，满足a1=4，且的等差中项，=b n+1，其前n项和为s n，且S2+S6=a4数列{b n}满足b n+1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）数列{a n}的前n项和为T n，若不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n对一切n ∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）利用的等差中项，求出公比，可求数列{a n}的通项公式；数列{b n}为等差数列，公差d=1，可求数列{b n}的通项公式；（2）不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则∵是a2和a4的等差中项，∴，∵q＞1，∴q=2，∴依题意，数列{b n}为等差数列，公差d=1又，∴b1=2，∴b n=n+1…（2）∵．不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1）∵n∈N*…∴对一切n∈N*恒成立．而当且仅当，即n=2时等式成立，∴λ≤3…19．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）第3，4，5组中的人数分别为0.18×5×100=30，0.18×5×100=20，0.18×5×100=10．从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者，应从第3，4，5组各抽取人数为，，=1；（2）设“第4组至少有一名志愿者被抽中”为事件A，则P（A）==．20．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）证明：AC⊥PB；（2）证明：PB∥平面AEC；（3）求二面角E﹣AC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理，即可证明AC⊥平面PAB，从而可得AC⊥PB；（2）连结BD，与AC相交于O，连结EO，证明PB∥EO，即可证明PB∥平面AEC；（3）过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则∴∠EOG是二面角E﹣AC﹣B 的平面角，连结EF，即可求二面角E﹣AC﹣B的大小．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB（2）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点又E为PD中点，∴PB∥EO又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，∴PB∥平面AEC（3）解：过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则F为AD中点∵AB⊥AC，∴OG⊥AC又由（1）（2）知，AC⊥PB，EO∥PB，∴AC⊥EO∴∠EOG是二面角E﹣AC﹣B的平面角连结EF，在△EFO中，又PA=AB，EF⊥FO，∴∠EOF=45°∴∠EOG=135°，即二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．21．已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）由题设可知b=1，利用，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）先猜测T的坐标，再进行验证．若直线l的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．【解答】解：（Ⅰ）则由题设可知b=1，又e=，∴=，∴a2=2所以椭圆C的方程是+y2=1．…（Ⅱ）若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1①若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是②…由①②解得．由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．…事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2+y2=1，过点T（0，1）；当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得（18k2+9）x2﹣12kx﹣16=0设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=∵=（x1，y1﹣1），=（x2，y2﹣1）∴=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=（k2+1）x1x2﹣（x1+x2）+=∴，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．…22．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求f′（x），再计算f′（0），和f（0），即可得到切线方程；（2）先求函数的导数f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，并且f′（0）=0，判断零点两侧的正负，得到单调区间；（3）将存在性问题转化为|f（x1）﹣f（x2）|max≥e﹣1，即f（x）max﹣f（x）min ≥e﹣1，根据上一问的单调性得到最小值f （0），再计算端点值f （﹣1）和f （1）比较大小．因为，再令令，求其导数，分情况比较大小，计算a 的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f （x ）=a x +x 2﹣xlna （a ＞0，a ≠1），所以f′（x ）=a x lna +2x ﹣lna ，f′（0）=0，又因为f （0）=1，所以函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y=1；（2）由（1），f′（x ）=a x lna +2x ﹣lna=2x +（a x ﹣1）lna ．当a ＞1时，lna ＞0，（a x ﹣1）lna 在R 上递增；当0＜a ＜1时，lna ＜0，（a x ﹣1）lna 在R 上递增；故当a ＞0，a ≠1时，总有f′（x ）在R 上是增函数，又f′（0）=0，所以不等式f′（x ）＞0的解集为（0，+∞），故函数f （x ）的单调增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）；（3）因为存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1成立，而当x ∈[﹣1，1]时，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min ，所以只要f （x ）max ﹣f （x ）min ≥e ﹣1即可．又因为x ，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表所示：可得f （x ）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）的最小值f （x ）min =f （0）=1， f （x ）的最大值f （x ）max 为f （﹣1）和f （1）中的最大值．因为，令，因为，所以在a ∈（0，1）、（1，+∞）上是增函数．而g （1）=0，故当a ＞1时，g （a ）＞0，即f （1）＞f （﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）．所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即，函数在a∈（0，1）上是减函数，解得．综上可知，所求a的取值范围为．2018年2月14日。

2018届河南省中原名校高三下学期第二次联考理科数学试题及答案

中原名校2017-2018学年高三下期第二次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若0,a b >>集合{|},{|}2a b M x b x N x x a +=<<=<，则集合MN等于（） A.{|x b x < B. {|}x b x a << C. {}2a bx x +<<D. {|}2a b x x a +<<2.已知z 为纯虚数，12z i+-是实数，那么z =（）A. 2iB. 2i -C. 12i D. 12i -3.下列命题正确的个数是（）①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题；②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”；④若随机变量~(,)x B n p ，则.DX np =⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程.A.1B.2C.3D.44.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的P 位于区间43(10,10)--内，则判断框内应填入的条件是（）A. 3T ≤B. 4T ≤C. 5T ≤D. 6T ≤5.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A.6.函数()2y f x π=+为定义在R 上的偶函数，且当2x π≥时，1()()sin ,2x f x x =+则下列选项正确的是（）A. (3)(1)(2)f f f <<B. (2)(1)(3)f f f <<C. (2)(3)(1)f f f <<D.(3)(2)(1)f f f <<7.已知双曲线22221x y a b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）8.若{}n b 为等差数列，244,8.b b ==数列{}n a 满足*111,(),n n n a b a a n N +==-∈则8a =（）A.56B.57C.72D.739.在三角形ABC 中，60,A A ∠=∠的平分线交BC 于D ，AB=4,1()4AD AC AB R λλ=+∈,则AD 的长为（）A.13 D. 10.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12||x x -的取值范围是（）A. 2[0,)3B. 4[0,)9C. 12(,)33D. 14(,)9911.已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2, 120,APD ∠=若点P,A,B,C,D 都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A. 8πB. 12πC. 16πD. 20π12.将数字1,2,3,4填入右侧表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（）种. 1 2 3 4 4 3 1 2 2 1 4 3 3 421A.432B.576C.720D.864第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y ay x x y ，若y x z +=3的最大值为,16则.________=a14.已知,|cos sin |0dx x x a ⎰-=π则73)1(xax x +的展开式中的常数项是.__________（用数字作答）15.已知椭圆C A y x ,,13422=+分别是椭圆的上、下顶点，B 是左顶点，F为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是.___________16.已知定义在R 上的函数)(x f y =存在零点，且对任意R n m ∈,都满足.)()]()([2n m f n f m mf f +=+若关于x 的方程)1,0(log 1|3)]([|≠>-=-a a x x f f a 恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.21cos )6cos(sin )(2-+-⋅=x x x x f π（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值x 时的取值集合；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a ，若.3,21)(=+=c b A f 求a 的最小值.18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的被淘汰.若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图. (Ⅰ)求获得参赛资格的人数；(Ⅱ)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩； (Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响.已知他连续两次答错的概率为 91，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望.ξE .19.如图，在直角梯形ABCP 中， 221,,//===⊥AP BC AB AB AP BC AP ,D 是AP 的中点，E,G 分别为PC,CB 的中点，将三角形PCD 沿CD 折起，使得PD 垂直平面ABCD.（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：AP //平面EFG;（Ⅱ）当二面角G-EF-D 的大小为4π时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值.20.如图，已知抛物线C 的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C 上一点A 作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q 两点. （Ⅰ）若直线PQ 过定点)2,3(- T ，求点A 的坐标；（Ⅱ）对于第（Ⅰ）问的点A ，三角形APQ 能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD 的个数；若不能，说明理由.21.已知函数2ln )(bx x a x f -=图像上一点))2(,2(f P 处的切线方程为.22ln 23++-=x y (Ⅰ)求b a ,的值；(Ⅱ)若方程0)(=+m x f 在区间],1[e e内有两个不等实根，求m 的取值范围；(Ⅲ)令),()()(R k kx x f x g ∈-=如果)(x g 的图像与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <两点，AB 的中点为)0,(o x C ，求证：.0)(0≠'x g22.如图，在锐角三角形ABC 中，D 为C 在AB 上的射影，E 为D 在BC 上的射影,F 为DE 上一点，且满足.DBADFD EF =(Ⅰ)证明：;AE CF ⊥(Ⅱ)若AD=2，CD=3.DB=4，求BAE ∠tan 的值.23.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同单位长度.已知曲线),0(:>=a a C ρ过点)2,0(p 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 232,2（t 为参数）. (Ⅰ)求曲线C 与直线l 的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2得到曲线C '，若直线l 与曲线C '相切，求实数a 的值.24.设函数.|,2||1|)(R a a x x x f ∈-+-=(Ⅰ)当4=a 时，求不等式5)(≥x f 的解集；(Ⅱ)若4)(≥x f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围.中原名校2017－2018学年高三下期第二次联考数学(理)试题参考答案一、选择题：CDCCB ABBDA DB二、填空题： 16.()3,+∞17.解：(Ⅰ)22111()sin sin cos cos cos 222f x x x x x x x x ⎫=++-=+⎪⎝⎭111112cos2sin 2224264x x x π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴函数)(x f 的最大值为34.当)(x f 取最大值时sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈,解得,6x k k Z ππ=+∈.故x的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……………………………………(6分) (Ⅱ)由题意111()sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,化简得 1sin(2).62A π+= ()π,0∈A ,132(,)666A πππ∴+∈, ∴5266A ππ+=, ∴.3π=A在ABC ∆中,根据余弦定理,得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π.由3b c +=,知2924b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,即294a ≥. ∴当32b c ==时,a取最小值32.…………………………..……………………(12分) 18.解：(Ⅰ)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人. .……………………………………………………………..… ………(2分)(Ⅱ)设500名学生的平均成绩为x ,则x ＝(30＋502×0.0065＋50＋702×0.0140＋70＋902×0.0170＋90＋1102×0.0050＋110＋1302×0.0043＋130＋1502×0.0032)×20＝78.48分.…………………………………………………………………………..…………(6分)(Ⅲ)设学生甲答对每道题的概率为()P A ,则21(1())9P A -=,∴()P A ＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5,则(3)P ξ==,31313233=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛(4)P ξ=＝,271031323231313313=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C(5)P ξ=＝.27832312224=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 所以ξ的分布列为E ξ＝13×3＋1027×4＋827×5＝10727.…………………………..……………….. (12分) 19. (Ⅰ)证明：F 是PD 的中点时,EF //CD //AB ,EG //PB ,∴AB //平面EFG ,PB //平面EFG ,AB PB B =,∴平面PAB //平面EFG ,AP ⊆平面PAB ,∴AP //平面EFG .……………………………………………………..………(6分)(Ⅱ)建立如图所示的坐标系,则有(1,2,0)G ,(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)E ,设(0,0,)F a ,(1,2,)GF a =--,(1,1,1)GE =--,平面EFG 的法向量1(,,1)n x y =,则有2010x y a x y --+=⎧⎨--+=⎩,解得21x ay a =-⎧⎨=-⎩. 1(2,n a a ∴=-平面EFD 的法向量2(1,0,0)n =,依题意,12cos ,2n n ==1a ∴=.于是(1,2,1)GF =--.平面PBC 的法向量3(,,1)n m n =,(0,2,2)PC =-, (2,0,0)BC =-,则有22020n m -=⎧⎨-=⎩,解得01m n =⎧⎨=⎩. 3(0,1,1)n ∴=.FG 与平面PBC所成角为θ,则有3sin cos ,GF n θ===, 故有cos θ=………………………………………………………………(12分)20.解：(Ⅰ)设抛物线的方程为22(0)y px p =>,依题意,22p =, 则所求抛物线的方程为22y x =.………………………………………………(2分)设直线PQ 的方程为x my n =+,点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y .由22x my n y x=+⎧⎨=⎩,消x 得2220y my n --=.由0>∆,得220m n +>, 122y y m +=,122y y n ⋅=-.∵AP AQ ⊥,∴0AP AQ ⋅=.设A 点坐标为2,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则有221212()()022a a x x y a y a ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.221212,22y y x x ==,[]1212()()()()40y a y a y a y a ∴--+++=,∴12()()0y a y a --=或12()()40y a y a +++=.∴222n a ma =-或2224n a ma =++, ∵0>∆恒成立. ∴2224n a ma =++.又直线PQ 过定点(3,T ,即3n =,代入上式得22624,22(0,a ma a m a +=++-+=注意到上式对任意m 都成立,故有a =,从而A点坐标为(.…………………………………………(8分)(Ⅱ)假设存在以PQ 为底边的等腰直角三角形APQ ,由第（Ⅰ）问可知,将n 用3n =+代换得直线PQ 的方程为3x my =++.设11(,),P x y 22(,)Q x y ,由232x my y x⎧=++⎪⎨=⎪⎩消x ,得2260y my ---=.∴ 122y y m +=,126y y ⋅=--.∵PQ 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,即221212,42y y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,∵2222121212()234y y y y y y m ++-==++,∴PQ 的中点坐标为2(3,)m m +.m =-,即3230m m ++=.设32()3g m m m =+则2()330g m m '=++>,()g m ∴在R 上是增函数.又(0)0g =<,(1)40g =>,()g m ∴在(0,1)内有一个零点.函数()g m 在R 上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. ……………………..………(12分)21.解：(Ⅰ)()2a f x bx x'=-,()242a fb '=-,()2ln 24f a b =-.∴432ab -=-,且ln2462ln22a b -=-++.解得a ＝2,b ＝1. ……...…………(4分)(Ⅱ)()22ln f x x x =-,设()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,则()222(1)2x h x x x x-'=-=,令()0h x '=,得x ＝1(x ＝－1舍去).当x ∈1[,1)e时,()0h x '>, h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时,()0h x '<, h (x )是减函数.则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤解得2112m e <+≤.………………………………………..………(8分)(Ⅲ)()22ln g x x x kx =--,()22g x x k x'=--.假设结论()00g x '=成立,则有2111222212002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④,①－②,得221121222ln ()()0xx x k x x x ----=.∴120122ln 2x x k x x x =--.由④得0022k x x =-,于是有12120ln 1xx x x x =-,∴121212ln2x x x x x x =-+,即11212222ln 1x x x x x x -=+.⑤ 令12x t x =,22()ln 1t u t t t -=-+ (0＜t ＜1),则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0.∴()u t 在0＜t ＜1上是增函数,有()(1)0u t u <=,∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴()00g x '≠.……………………………………………………………..………(12分)22. (Ⅰ)证明：设CF 与AE 交于点G ,连接DG .EF ADFD DB =,ED AB FD DB ∴=,又△CDE ∽△DBE , CD DBDE BE ∴=.于是有CD AB FD BE =,注意到 CDF ABE ∠=∠,∴△CDF∽△ABE ,∴DCG DAG ∠=∠,∴A D G C 、、、四点共圆.从而有90AGC ADC ∠=∠=︒,∴CF AE ⊥.………………………………………………………………………(5分)CA BDEFGa(Ⅱ)在Rt △CEF 中, ECF AED ∴∠=∠,5BC =,125DE =,45EF ∴=,由2CD CE CB =⋅,知95CE =, 4tan 9ECF ∴∠=.又4tan 3DCB ∠=,442439tan 1643127DCF -∴∠==+. 故24tan 43BAE ∠=.………………………………………………………………(10分)23.解：(Ⅰ)曲线C：222x y a +=,直线l：2y =+.…….. ….…………(5分)(Ⅱ)曲线C '：2224x y a +=,与直线l联立得222442x y a y ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩,消去y ,得22131640x a ++-=,由△0=知,2413a =,a ∴=. ……….…(10分)24. 解：(Ⅰ)()|1||24|f x x x =-+-35,13,1235,2x x x x x x -+≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩,()5f x ∴≥的解集是10|03x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或.…………………... …….…………(5分)(Ⅱ)1x =时,()|2|,f x a =-2a x =时,()12a f x =-,结合()f x 的图像知,24142a a-≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩,解得10a ≥或6a ≤-, 故a的取值范围是{}或.…………………..……………..……(10分) ≥≤-a a a|106。

河南省2018年高考[文科数学]考试真题与答案解析

河南省2018年高考·文科数学·考试真题与答案解析————————————————————————————————————————一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B = A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，，2．设1i2i 1iz -=++，则z =A ．0B ．12C ．1D 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x=-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC -C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15B C D ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省中原名校(即豫南九校)2017-2018学年高一上学期第二次联考数学试题(解析版)Word版含解斩

豫南九校2017-2018学年上期第二次联考高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以，选D.2. 若对于任意实数恒有，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，解得选A.3. 设集合，，则下列表示到的映射的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，所以；；，，所以选C.4. 幂函数在上为增函数，则的取值是（）A. B. C. 或 D.【答案】Am=﹣1；又x∈（0，+∞）时f（x）为增函数，∴当m=2时，m2+2m﹣3=5，幂函数为f （x）=x5，满足题意；当m=﹣1时，m2+2m﹣3=﹣4，幂函数为f（x）=x﹣4，不满足题意；综上，m=2．故选：A．5. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】﹣mx2+mx+1＞0对任意实数x恒成立，当m=0时，不等式成立；当m≠0时，则，解得﹣4＜m＜0．综上，实数m的取值范围是﹣4＜m≤0．故选：B．6. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当x≤0时，y≥1，故选：C7. 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如图，则它的左（侧）视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，上、下平面也是线段，轮廓是正方形，是虚线，左视图为：故选A．考点：三视图8. 若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】由图像知a+b=6，或解得解的个数是1，选D.9. 已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】几何体为一个长方体截取一个三棱锥，所以该几何体的体积是，选D.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．10. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA=PD=1，，∴PA⊥PD，∴PE=，设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=+（﹣d）2，∴d=0，R=，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=3π．故选：A．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．11. 已知是定义在整数集上的减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】为定义在上的减函数；∴解得．故选：．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12. 已知实数满足且，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作与的图像,可得时,所以选C.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如图所示，函数的图像是折线段，其中的坐标分别为，，，则__________.（用数字作答）【答案】0【解析】f（4）=2，f（2）=0．故0．14. 如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________.【答案】24【解析】15. 已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是__________.【答案】【解析】集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，∵A∩B=A，∴A⊆B当A=时，满足题意，此时k+1＞2k，解得k＜1．当A≠时，要使A⊆B成立，则，解得：,综上可得：实数k的取值范围16. 已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】（0，+∞）【解析】如图，当时，有两个根，，（0，1），所以对应四个实根，满足题意；当时，有一个根，（0，1），所以对应一个实根，不满足题意；即实数的取值范围是点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集，，，.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】(1){x|﹣1≤x＜2}；(2)a>3.【解析】试题分析：（1）先解一元二次不等式得集合A，再结合数轴求C U B，以及（2）由，得A⊆C，再结合数轴得的取值范围.试题解析：（1）A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，且B={x|2≤x＜5}，U=R，∴C U B={x|x＜2，或x≥5}，∴A∩（C U B）={x|﹣1≤x＜2}；（2）由A∪C=C，得A⊆C，又C={x|x<a}，A={x|﹣1≤x≤3}，∴a的取值范围是a>3.18. 如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于O，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）根据，得异面直线与所成角为，再通过解三角形得异面直线与所成角的正切值.试题解析：（1）连接交于O，连接OD，在中，O为中点，D为BC中点（2）由（1）知即为所求角.19. 如图，在半径为的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中在直径上，点在圆周上.（1）设，将矩形的面积表示成的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料的面积最大？并求出最大面积.【答案】(1)y=2x，x∈（0，20）.(2)截取AD=10时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为.【解析】试题分析：（1）根据勾股定理得OA=2，再根据矩形面积公式得函数关系式，最后根据实际意义得定义域；（2）先整理成关于二次函数，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法试题解析：（1）AB=2OA=2，∴y=f（x）=2x，x∈（0，20）.（2）时，.∴截取AD=10时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为.20. 已知函数（为常数，且）.（1）当时，求函数的最小值（用表示）；（2）是否存在不同的实数使得，，并且，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2).试题解析：（1）令当即时，当即时，综上：.（2）假设存在，则由已知得,等价于在区间上有两个不同的实根等价于，作出函数图象，可得.法二:亦可用一元二次方程实根分布求解.21. 已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，分别是线段的中点.（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由；（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：解法一：（1）∵平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．2分不妨令∵，∴，即．4分（2）设平面的法向量为，由，得，令，得：．∴．6分设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求．8分（3）∵，∴是平面的法向量，易得，9分又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为10分∴，故所求二面角的余弦值为．12分解法二：（1）证明：连接，则，，又，∴，∴2分又，∴，又，∴4分（2）过点作交于点，则∥平面，且有5分再过点作∥交于点，则∥平面且，∴平面∥平面7分∴∥平面．从而满足的点即为所求．8分（3）∵平面，∴是与平面所成的角，且．∴9分取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角10分∵∽，∴，∵，且∴，，∴12分考点：1、直线与直线垂直的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、二面角的余弦值．22. 已知函数（）且.（1）求的值；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】(1)2；(2)k＜1.【解析】试题分析：（1）代入，解得的值；（2）化简函数得2x﹣1+k，再根据指数函数图像确定实数的取值范围.试题解析：（1）对于函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1），由f（0）=1﹣=0，求得a=2，故f（x）=1﹣=1﹣.（2）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k=2x+1﹣2+k=2x﹣1+k 有零点，则函数y=2x 的图象和直线y=1﹣k有交点，∴1﹣k＞0，求得k＜1.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。

河南省郑州市嵩阳高级中学2018届高三数学上学期第二次阶段检查试题文

嵩阳高中2017-2018学年高三上学期第二次阶段检测文科数学试题一、选择题（共12小题；共60分）1. 若集合，，则A. B. C. D.2. 设，其中，是实数，则A. B. C. D.3. 已知角的终边上一点坐标为，则角的最小值为A. B. C. D.4. 用半径为的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为A. B. C. D.5. 已知，，，则A. B. C. D.6. 已知，且，则A. B. C. D.7. 若关于的方程有实根，则的取值范围是A. B. C. D.8. 函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则A. B. C. D.9. 函数（，，是常数，，）的部分图象如图所示，则的单调递减区间是A. ，B. ，C. ，D. ，10. 已知函数（且）和函数，若与两图象只有个交点，则的取值范围是A. B. C. D.11. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是A. B. C. D.12. 已知方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 命题：“，”的否定为．14. 定义运算，若，，，则．15. 函数（）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则．16. 若时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为．三、解答题（共6小题；共70分）17. 设；，若是的充分不必要条件，求的取值范围．18. 设向量，，．（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值；（3）若，求证：．19. 已知函数．（1）若在处取得极值，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）求在处的切线方程．20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．（1）求的值及的表达式．（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．21. 设函数，（1）求函数的单调区间、极值；（2）若当时，．恒有，试确定的取值范围．22. 已知函数，．（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由（3）当时，证明：．嵩阳高中2016--2017学年高三上学期第二次阶段检测文科数学答案第一部分1-5： BDB CD； 6-12： A D C ADD A第二部分13. ， 14. 15. 1 6.第三部分17. 因为，所以，即．由，得，所以，因为是的充分不必要条件，所以，推不出．所以或解得．所以的取值范围是．18. （1）因为与垂直，所以因此（2）由得又当时，等号成立，所以的最大值为．（3）由得所以19. （1）的定义域为，，因为在处取得极值，所以，解得或（舍），当时，；在处取得极值．所以，（2）令，解得或（舍），当在内变化时，，的变化情况如下：由上表知的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）由（）得：，故，，故切线方程是：，整理得：．20. （1）设隔热层厚度为．由题设，得，即解得，因此的解析式为因为建造费用为，所以隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为（2）由题意得；令，即，解得因为当时，；当时，，所以是的最小值点，且对应的最小值为故当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为万元．21. （1），令得，，当a<3a即a>0时，列表如下：所以在区间内单调递增，在区间和内单调递减，且当时，，时，；当a=3a即 a=0时，，f(x)在R上单调递减，无极值；当a>3a,即a<0时，列表如下所以在区间内单调递增，在区间和内单调递减，且当时，，时，．（2），因为，所以有，因此的对称轴为，得在区间上单调递减，，，由已知，得，且，即，且，解得，又，所以的取值范围是．22. （1）在上恒成立，令，有得得．（2）假设存在实数，使有最小值，．①当时，在上单调递减，，（舍去）；②当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，，满足条件；③当时，在上单调递减，，（舍去）．综上，存在实数，使得当时有最小值．（3）令，由（2）知，．令，，当时，，在上单调递增，所以，所以，即．。

2018届高三上学期第二次月考文数试题Word版含答案

2018届高三上学期第二次月考试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1..已知}22|{},032|{2<<-=≥--=x x B x x x A 2{|60}A x x x =--=，则A B = （） A ．]1,2[-- B ．)2,1[- C ．]1,1[- D ．)2,1[2.已知31log ,31log ,221231===-c b a ，则（） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>3.函数x x x f 1)(+-=在]31,2[--上的最大值是（） A ．23 B ．38- C ．－2 D ．24.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，周期为2，则“)(x f 为[0，1]上的增函数”是“)(x f 为[3，4]上的减函数”的（）条件A ．既不充分也不必要B ．充分不必要 C. 必要不充分 D ．充要 5.给出下列四个结论：①命题“33),2,0(x x x>∈∀”的否定是“33),2,0(x x x≤∈∃”；②“若3πθ=，则21cos =θ”的否命题是“若3πθ≠，则21cos ≠θ”；③q p ∨是真命题，则命题q p ，一真一假；④“函数12-+=a y x有零点”是“函数x y a log =在),0(+∞上为减函数”的充要条件. 其中正确结论的个数为（）A ．１B ．２ C. ３ D ．４6.若实数y x ,满足0ln |1|=--y x ，则y 关于x 的函数的图象大致形状是（）A ．B ． C. D ．7.已知)(),(x g x f 分别是定义在Ｒ上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，=+)1()1(g f （） A ．-3 B ．-1 C.1 D ．3 8.不等式x x 283)31(2-->的解集是（）A ．}42|{<<-x xB ．}42|{<<x x C. }4|{<x x D ．}2|{->x x 9.函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间是（）A ．)0,(-∞B ．)0(∞+， C.)3,(-∞和)1(∞+， D ．（-3,１）10.设函数)(x f 的导函数为)('x f ，若)(x f 为偶函数，且在（０，１）上存在极大值，则)('x f 的图象可能是（）11.若直角坐标平面内的两点Ｐ,Ｑ满足条件：①Ｐ,Ｑ都在函数)(x f y =的图象上；②Ｐ,Ｑ关于原点对称，则称点（Ｐ，Ｑ）是函数)(x f y =的一对“友好点对”，（点对（Ｐ，Ｑ）与（Ｑ，Ｐ）看作同一对“友好点对”），已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,10,)21()(x x x x f x，则此函数的“友好点对”有（）A ．０对B ．１对 C. ２对 D ．３对12.已知函数)()(ln )(2R ∈++=b xb x x x f ，若存在]2,21[∈x ，使得)(')(x xf x f ->，则实数b 的取值范围是（）A ．)2,(-∞B ．)23,(-∞ C.)49,(-∞ D ．)3,(-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设命题1,:200>∈∃x R x p ，则p ⌝为． 14.曲线x xe y =在点),1(e 处切线的斜率为．15.若不等式a x <-1成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是． 16.设1>a ，则函数a e x x f x -+=)1()(2在],1[a -上零点的个数为个．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在极坐标系中，圆Ｃ的方程为)0(cos 2≠=a a θρ，以极点为坐标原点，以x 轴正半轴为极轴建立极平面直角坐标系，设直线为⎩⎨⎧+=+=3413t y t x （t 为参数）（１）求圆Ｃ的标准方程和直线l 的普通方程；（２）若直线l 与圆Ｃ恒有公共点，求实数a 的取值范围. 18. 已知函数k e kx x f x(ln )(+=为常数，e 是自然对数的底数），曲线)(x f y =在点（１，)1(f ）处的切线与x 轴平行，（１）求k 的值；（２）求)(x f 的单调区间.19. 某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2X2列联表并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？（附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为（1，0），若直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是24(4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数）（1）求直线l和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11.||||MA MB +21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的三点，(2,2),A B C --在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上，（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上，（异于A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值.22.已知函数2()ln 2,().f x x x g x x mx =+=- （1）求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（2）若存在01[,]x e e∈使得000'()()2mf x g x x m +≥+成立，求实数m 的取值范围.2018届高三上学期第二次月考文数试题试卷答案一、选择题1-5: ACADB 6-10:BCADC 11、12：BC 二、填空题13.2:,1p x R x ⌝∀∈≤ 14.2e 15. 3a ≥ 16.1 三、解答题17.解：（1）由⎩⎨⎧+=+=3413t y t x ，得直线l 的普通方程为4350x y -+=由22cos ,2cos ,a a ρθρρθ==又222,cos ,x y x ρρθ=+= 所以，圆C 的标准方程为222()x a y a -+= （2）若直线l 与圆Ｃ恒有公共点，a ≤两边平方得2940250a a --≥，所以(95)(5)0a a +-≥所以a 的取值范围是59a ≤或5a ≥. 18.解：（1）由题意得1ln '()xx k x f x e --=又1'(1)0kf e-==，故1k = （2）由（1）知，1ln '()xx k x f x e--= 设1()ln (0)h x x k x x =-->，则211()0h x x x=--<即()h x 在(0,)+∞上是减函数，由(1)0h =知，当01x <<时，()0h x >，从而当1x >时，()0h x <，从而'()0f x <综上可知，()f x 的单调递增区间是（0，1）单调递减区间是(1,)+∞ 19.解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110的学生中，男生有600.053⨯=人，记为123,,A A A ，女生有400.052⨯=人，记为12,B B ；从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：12132311122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B A B A B A B A B B B其中，两名学生恰好为一男一女的可能工巧匠结果共有6种，它们是：111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B ；故所求的概率为63.105P == （2）由频率分布直方图可知，抽取的100名学生中，男生600.2515⨯=人，女生400.37515⨯=人据此可得2X2列联表如下：所以222()100(15251545) 1.79()()()()60403070n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯因为1.79<2.706所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关” 20.解：（1cos()104πθ+-=，所以cos sin 10ρθρθ--=由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的普通方程10x y --=因为244x t y t⎧=⎨=⎩消去t 得曲线C 的普通方程24y x =.(2)点M 的直角坐标为（1，0），点M 在直线l 上，数学尖子生非数学尖子生合计男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计3070100设直线l的参数方程：12(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），A ，B 对应的参数分别为12,t t ，280t --=，所以12128t t t t +==-121211 1.||||8t t MA MB t t -+==== 21.解：（1）由已知，将(2,2)2A B --代入椭圆方程： 2222101041441ab a b⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22205a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为221205x y +=；（2）设点C （m,n ）(m<0,n<0),则BC 的中点为22(,)22m n -- 由已知，求得直线OA 的方程：20x y -=，从而22m n =- ① 因点C 在椭圆上，所以22420m n += ② 由 ①②，解得2n =（舍）1n =-，从而4m =- ∴点C 的坐标为（-4，-1）（3）证明：设001122(,),(2,),(2,)P x y M y y N y y 由P ，B ，M 三点共线，110222222y y y x ++=++整理得001002()22x y y y x -=+- 由P ，C ，N 三点共线，022012244y y y x ++=++整理得00100422x y y y x -=--因C 在在椭圆上，∴2200420x y +=，2200204x y =-从而2200000012220000002(45)2(205)55244416442x y x y x y y y x y x y x y +--===⨯=+---∴122552OM ON y y ⋅== ，∴OM ON ⋅ 为定值，定值为252.22.解：（1）'()ln 1(0)f x x x =+> 令'()0f x =，解得1x e =，则1x e>时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，'()0f x <，函数()f x 单调递减 ①1t e≥时，函数()f x 在[,2](0)t t t +>单调递增因此，函数()f x 取得极小值即最小值，②10t e <<时，12t e <+，则1x e =时，函数数()f x 取得极小值即最小值，min 11()()2f x f e e ==-+ 综上，1t e ≥，min ()()ln 2f x f t t t ==+；10t e <<，min 11()()2f x f e e==-+（2）存在01[,]x e e ∈使得000'()()2mf x g x x m +≥+⇔2max2ln x x m x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭1[,]x e e ∈ 令22()ln x xh x x x-=-，1[,]x e e ∈，则令()ln 2u x x x x =-+，1[,]x e e∈，则'()ln u x x =-，可知1[,1)x e∈时单调增，(1,]x e ∈时单调减且12()20,()20u u e e e=+>=>，因此()0u x > 令'()0h x =，解得1x =，可得1x =是函数()h x 的极大值点，即最大值，(1)1h =-， ∴1m ≤，实数m 的取值范围(,1]-∞.。

高考最新-洛阳市名校联考：2018年上学期高三第二次联

2018—2018学年高三四校第二次联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分。

考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

一．选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意。

） 1．10sin 1+=A ．5sin 5cos +B ．2cos5C ．cos5－sin5D ．－cos5－sin52．已知集合{}3,2,0=A ，{}A b a b a x xB ∈⋅==,,，则B 的子集的个数是A ．4B ．8C ．16D ．153．不等式x x x x 22log log +<+的解集是A ．()1,0B ．()+∞,1C ．()+∞,0D ．()∞+∞-， 4．已知向量m 2)2,1(),3,2(-+-==与若平行，则m 等于A ．－2B ．2C ．21-D ．21 5．函数y ＝sin x |cot x |（0＜x ＜π）的图像的大致形状是A ．)0,2(π=a B ．)0,2(π-=a C ．)0,4(π=aD ．)0,4(π-=a7、在△ABC 中,135sin ,53cos ==B A 则cosC 的值为 A ．6556 B ．6516- C ．6556-D ．6556或6516-8．等差数列{}n a 中，已知93a a =，0<d ，则使它的前n 项和n S 取最大值的正整数n 的值是A ．0B ．5，6C ．6，7D ．1009．给出下列四个命题： ①对于实数m 和向量m m m -=-)(,,恒有； ②对于实数m, n 和向量n m n m -=-)(,恒有； ③若R m m m =∈=则有),(；④若n m a R n m a n a m =≠∈=则有),0,,(。

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·1· 中原名校2017—2018学年上期第二次联考高三文科数学试题及参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合，则（） A. B. C. D. 解：等价于，，，。又，，所以。选C. 考点：绝对值不等式，对数不等式的解法，集合运算。 2.在等差数列中，如果13579272aaaaa，则数列的前9项的和是（）

A. 54 B.81 C. D. 解析：在等差数列中，,又因为

，所以，数列的前9项的和

。选D. 考点：等差数列前n项和，等差中项. 3. 设向量，且，则x的值是（）

A.10 B.-10 C. D. ·2·

解析：因为，所以2x+4(-5）=0，即x=10，选A. 考点：向量垂直，坐标运算。

4.下列有关命题的说法正确的是（） A.命题“”的否命题是：“” B.命题“”是“”充分不必要条件 C.命题“若，则存在，使得”的逆否命题是真命题

D.命题“若，则”逆命题是真命题。解析：A.命题“”的否命题是：“”A错误。B.原命题成立，逆命题不成立，命题“”是“”充分不必要条件，正确。C.当时，命题“若，则存在，使得”的逆否命题是假命题，错

误。D.当a、b异号时命题“若，则”逆命题是假命题。错误。故选B. 考点：量词，命题的四种形式，充分、必要条件。 5.已知实数满足，则函数的最小值为（）

A. B.2 C. D.4 解析：选C。，（当

且仅当时，等号成立）。 ·3·

考点：基本不等式。 6.函数的图像不可能是（）

解析：选D.当时，，C选项有可能。当时，，所以D图像不可能。选D。考点：函数定义域，函数图像。 7.若，则下列不等式正确的是（） A. B. C. D. 解析：因为等价于，又因为，

所以，所以，A错误。因为所以，B错误。因为，所以函数是减函数，所以，所以C错误。因为，所以函数是增函数，所以正确。选D. 考点：对数运算，初等函数的单调性的应用。

8.函数（其中）的图像如图所示。为得到的图像，则只要将的图像（） ·4·

A.向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

解析：选B.根据图像可得：因为，取k=0,得：，，，所以向右平移个单位长度。考点：三角函数解析式，三角函数图像变换。

9.已知角满足,则等于（） A. B. C. D. 解析：因为，所以，所以。选C. 考点：三角变换求值。

10.已知函数的图像在点A处的切线与直线 ·5·

2x-y+2=0平行，若数列的前n项和为，则的值为（）

A. B. C. D. 解析：因为，所以，又函数的图像在点A处的切线与直线2x-y+2=0平行，所以，所

以。所以，所以。选A. 考点：导数的几何意义，数列裂项相消法求和。 11.已知函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（） A.0 B.1 C.1008 D.2017 解析：因为函数是奇函数，又, 且，所以，又因为数列是公差不为0的等差数列，，故。选B. 考点：函数对称性，等差数列的性质，等差中项。 ·6·

12.设是定义在R上的奇函数，且，当，有恒成立，则不等式的解集是（） A. B. C. D.

解析：选D。当，有恒成立，则，在时递减，化为，，画出在时的示意图，知。

同理由是定义在R上的奇函数，则是偶函数，如图，在时递增，化为，，所以。综上：不等式的解集是。

考点：奇函数，导数，数形结合能力,转化能力。二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) ·7·

13.设，变量x，y满足条件，则z的最大值为。解析：作出不等式组表示的平面区域即可行域如图所示。

把变形为，则得到斜率为-2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线，由图可以看出，当直线经过

可行域上的点A时，截距z最大，解方程组，得A点坐标为（5,2），所以。考点：线性规划。 14.在中，AB=2，AC=3，,则BC= 。

解析：因为且AB=2，所以,即. 在中，,即9=4+|BC|. 解得. 考点：向量的数量积，余弦定理。 15.已知函数f(x)对应关系如表所示,数列{an}满足 ·8·

a1=3,an+1=f(an),则a2017= . x 1 2 3 f(x) 3 2 1 解析:由题意知a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,所以数列{an}是周期为2的数列,所以a2017=a1=3. 答案: 3 考点：递推公式，周期数列，识表能力。 16.设函数的定义域为D，如果，存在唯一的，使

（C为常数）成立。则称函数在D上的“均值”为C。已知四个函数：

① ② ③ ④ 上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是。(填入所有满足条件函数的序号)

解析：对于①，由得，即，时y都有唯一解。对于②，由得，即，当时，y无解。对于③ ·9·

，由得，即，时y都有唯一解。对于④，由得，即siny=1-sinx，如sinx=-1时y不存在。所有填①③。考点：函数的定义，阅读理解能力。三解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分）已知等比数列中，（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和为，求数列{}的前n项和. 解析：（1）因为在等比数列中，，

所以，解得：，..........................4分所以数列的通项公式。.............................5分（2）由（1）得，数列的前n项和为

=，..............7分所以数列{}的前n项和 ·10·

=+++= ==....................10分考点：等比数列的通项公式，前n项和，分组求和。 18.（12分）已知函数f(x)=ex-e-x (x∈R且e为自然对数的底数). (1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性； (2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.

解析：(1)∵且y=ex是增函数，是增函数，所以f(x)是增函数. 由于f(x)的定义域为R，且f(-x)=e-x-ex=-f(x)，所以f(x)是奇函数.................4分 (2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立 ⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立.....................6分 ⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立⇔t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成

立⇔ ·11·

对一切x∈R恒成立⇔ 即存在实数使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立......12分考点：函数的奇偶性，单调性，抽象不等式，恒成立问题。

19.（12分）为了保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km内不能收到手机信号，检查员抽查某一考点，在考点正西约km有一条北偏东方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？

解析：如图所示，考点A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1km，在中，,,由正弦定理得：

............3分 ·12·

,.......5分所以,BA=AC=1. 在中，AC=AD,. 所以为等边三角形，CD=1.

,在BC上需要5min，CD上需要5min。......11分答：最长需要5min检查员开始收不到信号，并持续至少5min才算合格。.............12分考点：正弦定理,建模能力，应用能力。

20.(12分）设满足. （1）求函数的对称轴和单调递减区间。

（2）设三内角A,B,C所对边分别为a，b，c且，求在（0，A]上的值域。

解析：（1），................2分因为，所以， ·13·

所以，......................4分对称轴为，所以函数的单调递减区间为。.......6分（2）因为，由正弦定理得，，可变形得，, ....................8分

所以又，所以， ....................10分所以，所以所求的值域为。...............12分考点：三角变换，三角函数图像和性质，求角。

21.（12分）已知函数，（1）求函数的单调区间。