第6讲 函数的三要素(二)(必修1)第6讲 测试题
函数的三要素(复习+习题)
当a>0时，值域为{ }；
当a<0时，值域为{ }
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题
例1 求函数 的值域（答：[4,8]）
例2 当 时，函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是___（答： ）
例设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是____________.（答： ）
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域，注意利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性。
例1
例2 ，的值域为______（答： 、 ）
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率
已知函数函数的三要素定义域值域对应法则1定义域在研究函数问题时要树立定义域优先的原则2值域最值函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类
函数的三要素
1.映射 : A B的概念。
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”。
在理解映射概念时要注意：
1A中元素必须都有象且唯一；
2B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
例1.设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是（）
A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象 C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的D、 是 中所在元素的象的集合
人教版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(教师版)
函数的奇偶性__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 理解函数的奇偶性及其图像特征；2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义 1、图形描述：函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数 定量描述一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，那么称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么称函数()y f x =具有奇偶性。
特别提醒：1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。
换言之，假设所给函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数一定不具备奇偶性。
2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：〔1〕考察函数的定义域是否关于原点对称。
假设不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；假设对称，那么进入第二步；〔2〕判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。
二、函数具有奇偶性的几个结论1、()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图像关于原点对称。
2020_2021学年高一数学上学期高频考点突破专题06函数三要素含解析新人教A版必修第一册
高一数学上学期高频考点突破：专题 06函数三要素模块一：函数定义域 ⑴ 具体函数的自然定义域：目前的限制条件有分母不为零，零的零次方无意义，偶次根式下非负； ⑵ 限制定义域： ① 人为规定的限制，如2()1[12]f x x x =+∈-，，；② 实际背景的限制；⑶抽象复合函数的定义域问题．考点1：具体函数求定义域例1.（1）函数f （x ）的定义域为（ ） A ．[1，6] B ．（﹣∞，1]∪[6，+∞）C ．[﹣6，﹣1]D ．（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）【解答】解：由题意得：x 2﹣7x +6≥0，解得：x ≥6或x ≤1， 故函数的定义域是：（﹣∞，1]∪[6，+∞）， 故选：B ．（2）函数()(1)f x x x x=--的定义域为( )A ．{|0}x x >B ．{|1}x xC ．{|1x x 或0}x <D ．{|01}x x <【解答】解：要使()f x 有意义，则：(1)00x x x -⎧⎨>⎩；解得1x ；()f x ∴的定义域为{|1}x x ．故选：B ．（3）函数y =( )A ．[2-，1]-B ．[2-，1]C ．[2，)+∞D ．(-∞，1)(1⋃，)+∞【解答】解：由220120xxx x +⎧⎪-⎨⎪--⎩①②， 解①得：21x -<． 解②得：1x -或2x ．∴函数y =[2-，1]-．故选：A ．例2.（1）函数()f x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，8]B ．[0，8)C ．[8，)+∞D ．(,8)-∞【解答】解：函数()f x 的定义域为R ；∴不等式220mxmx ++的解集为R ；①0m =时，20恒成立，满足题意；②0m ≠时，则280m m m >⎧⎨=-⎩； 解得08m <；综上得，实数m 的取值范围是[0，8]． 故选：A ． （2）已知函数231()3x f x ax ax -=+-的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．13a >B ．120a -<C ．120a -<<D ．13a【解答】解：要使函数231()3x f x ax ax -=+-的定义域是R ，则230ax ax +-≠对任意实数x 都成立， 当0a =时显然成立；当0a ≠时，需△2120a a =+<，解得120a -<<．综上，a 的取值范围为120a -<． 故选：B ． （3）若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0，2)C ．[0，4)D ．(2，4]【解答】解：()f x 的定义域为R ；210ax ax ∴++>的解集为R ；①0a =时，10>恒成立，210ax ax ++>的解集为R ；②0a ≠时，则240a a a >⎧⎨=-<⎩； 解得04a <<；∴综上得，实数a 的取值范围是[0，4)．故选：C ．考点2：抽象函数求定义域例3.（1）若函数()y f x =的定义域是[2-，3]，则函数(1)y f x =-的定义域是 ． 【解答】解：函数()y f x =的定义域是[2-，3]，∴由213x --，解得14x -．∴函数(1)y f x =-的定义域是[1，4]．故答案为：[1-，4]．（2）函数()y f x =的定义域为[1-，2]，则函数(1)(1)y f x f x =++-的定义域为( ) A ．[1-，3]B ．[0，2]C ．[1-，1]D ．[2-，2]【解答】解：函数()y f x =的定义域为[1-，2]，∴由112112x x -+⎧⎨--⎩，解得11x -． ∴函数(1)(1)y f x f x =++-的定义域为[1-，1]．故选：C ．（3）若函数()f x 的定义域为[0，4]，则函数()g x =的定义域为( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0,1)D ．[0，1)(1⋃，4]【解答】解：()f x 的定义域为[0，4]；()g x ∴满足：02410x x ⎧⎨->⎩；解得01x <；()g x ∴的定义域为[0，1)．故选：B ．模块二：函数值域求解值域问题有两个大致的方向，一个方向是借助于基本函数的图象解决我们熟悉的函数及其复合函数的值域问题，当然每个人熟悉的函数是不一样多的，后面我们也会学习更多的函数，比如对勾函数、指对函数，扩充我们的函数库；另一个是借助于代数基本变形求值域，比如配方法、换元法、分离常数法、判别式法等．当然，这两个方向不是完全独立的，很多时候，进行换元或者分离常数后，一个陌生的函数会转化为我们熟悉的函数，从而利用图象解决值域问题．这里主讲直接法、换元法求值域．考点3：直接法求值域例4.求下列函数值域： （1）232y xx =--+，(0]x ∈-∞，；【解答】174⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，（2）已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0，)+∞，则实数m 的取值范围为()A ．{0，3}-B ．[3-，0]C ．(-∞，3][0-，)+∞D ．{0，3}【解答】解：2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0，)+∞，∴△24(3)12(3)0m m =+-+=，解可得0m =或3m =-，则实数m 的取值范围为{0，3}-． 故选：A ．（3）若函数244y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为[8-，4]-，则m 的取值范围是( )A ．(0，2]B ．(2，4]C ．[2，4]D ．(0,4)【解答】解：函数2()44f x x x =--的图象是开口向上，且以直线2x =为对称轴的抛物线(0)f f ∴=（4）4=-，f （2）8=-函数2()44f x x x =--的定义域为[0，]m ，值域为[8-，4]-， 24m ∴即m 的取值范围是[2，4] 故选：C ．（4）设函数21()2f x x x a =-++（其中5)2a ，若存在m 、n ，当()f x 的定义域为[m ，]n 时，值域为[3m ，3]n ，则实数a 的取值范围是 ． 【解答】解：令21()()322g x f x x x x a =-=--+，结合题意()g x 有2个不相等的零点， 故△420a =+>，解得：522a -<， 故答案为：5(2,)2-．考点4：换元法求值域例5.（1）设函数()f x A ，值域为B ，则(A B = )A ．[0，1]B ．[1-，1]C ．(0,1)D ．{1-，1}【解答】210x -， 11x ∴-，解得：[1A =-，1]而21y x =- 中，[1x ∈-，1]， 故1max y =，0min y =， 解得：[0B ∈，1]，[1A B ∴=-，1]，故选：B ． （2）已知函数21()2f x x =+，则()f x 的值域是( ) A ．1(,]2-∞B ．1[,)2+∞C ．1(0,]2D ．(0,)+∞【解答】解：222x +；∴211022x <+； ()f x ∴的值域为1(0,]2．故选：C ．（3）函数y x =+( ) A ．(-∞，1] B ．[1，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2，)+∞(0)t t =，则21x t =-，∴原函数化为2221(1)22y t t t =-++=--+，∴函数y x =+(-∞，2]．故选：C ．（4）4246y x x =-+； 【解答】[2)+∞，模块三：函数解析式若2(1)1f x x +=+，求()f x ．此时，f 对应的规则是不直接给出的．关键要看f 对1x +进行了什么操作，所以要把21x +变成与1x +相关的：221(1)2(1)2x x x +=+-++，于是2()22f x x x =-+，这就是配凑的方法．也可以令1t x =+，于是1x t =-，代入得到2()(1)1f t t =-+，即换元法．考点5：换元法求解析式例6.（1）已知1)3f x =+，则(1)f x +的解析式为( )A ．4(0)x x +B ．23(0)x x +C ．224(1)x x x -+D ．23(1)x x +【解答】解：设1t =，1t 21,(1)t x t =-=-，所以2()(1)3f t t =-+，即2()(1)3f x x =-+，所以22(1)(11)33f x x x +=+-+=+， 由11x +，得0x ，所以22(1)(11)33f x x x +=+-+=+，(0)x ． 故选：B ．（2）若函数()f x 满足(32)98f x x +=+，则()f x 是( ) A ．()98f x x =+ B ．()32f x x =+C ．()34f x x =--D ．()32f x x =+或()34f x x =--【解答】解：令32t x =+，则23t x -=，所以2()98323t f t t -=⨯+=+． 所以()32f x x =+． 故选：B ．课后作业：1. 函数1()2f x x =+的定义域为( ) A ．(2-，1] B ．(-∞，2)(2--⋃，1)C ．(2,1)-D ．(-∞，2)(2--⋃，1]【解答】解：由1020x x -⎧⎨+≠⎩，解得1x 且2x ≠-．∴函数1()2f x x =+的定义域为(-∞，2)(2--⋃，1]． 故选：D ．2. 已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1]4B ．(-∞，1]4C ．1[4，)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：()f x 的定义域为R ，20x x a ∴++的解集为R ，∴△140a =-，解得14a， ∴实数a 的取值范围是1[,)4+∞．故选：C ．3. 若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(21)y f x =-的定义域是( ) A ．{|01}x xB ．{|02}x xC ．13{|}22x x D ．{|13}x x -【解答】解：函数()y f x =的定义域是[0，2]，∴由0212x -，解得1322x ． ∴函数(21)y f x =-的定义域是13{|}22x x ． 故选：C ．4. 已知函数234y x x =--的定义域是[1-，]m ，值域为25[4-，0]，则m 的取值范围是( )A ．(0，4]B ．3[,4]2C ．3[,3]2D ．3[,)2+∞【解答】解：函数234y x x =--的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为32x =， 如图：(1)f f -=（4）0=，325()24f =-．由图可知，要使函数234y x x =--，[1x ∈-，]m 的值域为25[4-，0]， 则m 的取值范围是3[,4]2．故选：B ．5. 函数()(4)1f x x x x +-的值域为 ． 【解答】解：函数的定义域为[0，)+∞．2()(4)1212(1)33f x x x x x x x =+-=-=--，所以函数的值域为[3-，)+∞． 故答案为：[3-，)+∞．6.已知1(1)232f x x -=+，()6f m =，则m 等于( )A ．32B ．32-C ．14D ．14-【解答】解：设112x t -=，则22x t =+，()47f t t ∴=+，()476f m m ∴=+=，解得14m =-．故选：D ．。
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第6讲 函数及其表示
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第6讲函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．➢考点1 函数的概念[名师点睛]（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同1．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足. 故选：C.2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，()f x ，()g x 是同一函数的是（ ）A ．()2f x x =，()4g x x =B ．()2log a f x x =，()2log a g x x =C ．()4121x x f x -=-，()21x g x =+D ．()11f x x x --()11g x x x --【答案】D 【解析】解：对于A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()4g x x =的定义域为[)0,∞+，故不满足；对于B 选项，()2log a f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2log a g x x =的定义域为()0,∞+，故不满足；对于C 选项，()4121x x f x -=-的定义域为{}0x x ≠，()21xg x =+的定义域为R ，故不满足；对于D 选项，()f x ，()g x 的定义域均为{}1，对应关系均为0y =，故是同一函数.故选：D [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数（ ） A ．至少1个B ．至多1个C ．仅有1个D ．有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =没有交点， 若1在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =有1个交点， 故选：B.2．（2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =x -1和y =211x x -+B ．y =x 0和y =1C ．f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D ．f (xg (x 【答案】D 【解析】对于A ，函数y =x -1定义域是R ，函数y =211x x -+定义域是(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，A 不是；对于B ，0y x =定义域是(,0)(0,)-∞+∞，函数y =1定义域是R ，B 不是；对于C ，()2f x x =和()2(1)g x x =+对应法则不同，C 不是；对于D ，f (x和g (x (0,)+∞，并且对应法则相同，D 是.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y =与0y x =B ．y x =与2y =C ．22log y x =与22log y x =D ．1ln 1xy x+=-与()()ln 1ln 1y x x =+-- 【答案】D 【解析】对于A ：1y =定义域为R ，0y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确；对于B ：y x =定义域为R ，2y =的定义域为{}|0x x ≥，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确；对于C ：22log y x =的定义域为{}|0x x >，22log y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确； 对于D ：由101xx +>-可得()()110x x +-<，解得：11x -<<，所以1ln 1x y x+=-的定义域为{}|11x x -<<，由1010x x +>⎧⎨->⎩可得11x -<<，所以函数()()ln 1ln 1y x x =+--的定义域为{}|11x x -<<且()()1ln 1ln 1ln1xy x x x+=+--=-，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确， 故选：D.➢考点2 函数的定义域[典例]1．（2022·北京·模拟预测）函数()()=-的定义域是_______．lg2f x x【答案】1[,2)2- 【解析】 由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤<则函数()()lg 2f x x =-的定义域是1[,2)2- 故答案为：1[,2)2-2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[0,8]，则函数()g x =义域是（ ）A ．(1,32)B ．(1,2)C ．(1,32]D ．(1,2] 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =的定义域是[0,8]， 所以04802,,12101x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧∴∴<≤⎨⎨->>⎩⎩.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（ ）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(12,0)-B ．(12,0]-C ．1(,)3+∞D ．1(,]3-∞ 【答案】B 【解析】∵()f x =的定义域为R ，∴只需分母不为0即可，即230ax ax +-≠恒成立， （1）当0a =时，30恒成立，满足题意，（2）当0a ≠时，24(3)0a a ∆=-⨯-<，解得120a -<<， 综上可得120a -<≤. 故选：B. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =13x -的定义域为（ ） A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3，＋∞)D ．(3，＋∞)【答案】C 【解析】要使函数y =13x -有意义，则 所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030，解得32x ≥且3x ≠，所以函数y =13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3，＋∞). 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数y 22x ππ-≤≤)的定义域是（ ）A ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,26ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．,02π⎡-⎫⎪⎢⎣⎭D ．,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A由题意，得512sin 0log (12sin )022x x x ππ⎧⎪->⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，则1sin 212sin 122x x x ππ⎧<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，即sin 022x x ππ≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，∴[,0]2x π∈-.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)=-y f x 的定义域为[]1,3，则函数()3log y f x =的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[]1,9C ．[]0,2D ．[]0,9 【答案】B 【解析】由[]1,3x ∈，得[]10,2x -∈， 所以[]3log 0,2x ∈，所以[]1,9x ∈． 故选：B ．4．（2022·全国·高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985]，则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为（ ）A ．211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由抽象函数的定义域可知，21120189852112021985x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得21198520182021x， 所以所求函数的定义域为211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -<<B ．12m -<≤C ．12m -≤≤D ．12m -≤< 【答案】C 【解析】由题意得：()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立.10m +=即1m =-时，()f x =10m +≠时，只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩， 解得：12m -<≤， 综上：1,2m ，故选：C .6．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【解析】解：由1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，所以0x ≤，所以函数的定义域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞7．（2022·全国·高三专题练习）函数y =的定义域是R ，则a 的取值范围是_________． 【答案】[)0,4【解析】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ①当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意；②当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<，∴实数a 的取值范围为[)0,4． 故答案为：[)0,4.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则a的范围是________． 【答案】[1,5) 【解析】当1a =时，()1f x =，即定义域为R ；当1a ≠，要使()f x 的定义域为R ，则2()(1)(1)10g x a x a x =-+-+>在x ∈R 上恒成立，∴()()210{1410a a a ->∆=---<，解得15a <<， 综上，有15a ≤<， 故答案为：[1,5)➢考点3 函数解析式[典例]1.(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________．(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．【答案】(1)f(x)＝x2－1(x≥1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x【解析】(1)方法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. 所以⎩⎨⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .2．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f (x )的解析式． （1）f (x )是一次函数，且满足f (f (x ))=4x －3；（2）已知f (x )满足2f (x )+f (1x)=3x ，求f (x )的函数解析式．（3）已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)． 【解】（1）因为f (x )是一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()2f f x k kx b b k x kb b =++=++，又因为f (f (x ))=4x －3，所以243k x kb b x ++=-，故243k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩或23k b =-⎧⎨=⎩，所以()21f x x =-或()23f x x =-+；（2）将1x 代入()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此()()123132fx f x x ff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得()()120f x x x x=-≠. (3)令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y=()()21y y -+-+，所以f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()()2211x f x x x =≠-+B ．()()2211xf x x x =-≠-+ C ．()()211x f x x x =≠-+D ．()()211x f x x x =-≠-+ 【答案】A 【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+ ，所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 所以()()2211xf x x x =≠-+，故选：A. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3，则f （x ）＝（ ） A ．x 2+4x B ．x 2+4C ．x 2+4x ﹣6D ．x 2﹣4x ﹣1 【答案】A【解析】()()()22123141f x x x x x -=+-=-+-，所以()24f x x x =+.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且2()2()f x f x x x +-=-，则()f x =（ ）A ．223x x +B ．223x x +C ．2223x x+D ．23x x +【答案】D【解析】令x 为x -，则2()2()f x f x x x -+=+， 与2()2()f x f x x x +-=-联立可解得，2()3x f x x =+．故选：D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是一次函数，满足()()98f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =- C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 【答案】AD 设()f x kx b =+，由题意可知()()()298f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以298k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩或34k b =-⎧⎨=-⎩，所以()32f x x =+或()34f x x =--. 故选：AD.5．（2022·山东济南·二模）已知函数2()23f x x x =--+，则(1)f x +=______． 【答案】24x x -- 【解析】解：因为2()23f x x x =--+，所以()()22(+1)+12+143f x x x x x =--+-=-，(1)f x +=24x x --.故答案为：24x x --.6．（2022·全国·高三专题练习）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x =_________【答案】23x +或29x --. 【解析】因为()f x 为一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()()21f f x f kx b k kx b b k x b k =+=++=++⎡⎤⎣⎦， 因为()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，所以()2149k x b k x ++=+恒成立， 所以()2419k b k ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩，所以()23f x x =+或()29f x x =--， 故答案为：23x +或29x --.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数)25f x =+，则()f x 的解析式为_______【答案】()()212f x x x =+≥【解析】2t +=，则2t ≥，且()22x t =-， 所以()()()2224251f t t t t =-+-+=+，()2t ≥所以()()212f x x x =+≥，故答案为：()()212f x x x =+≥.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数f (x )对x ≠0的一切实数都有f (x )＋2f (2020x)＝3x ，则f (x )＝_________. 【答案】4040()f x x x=- 【解析】 因为()202023f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得()2020232020x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()()2020232020232020f x f x x x f f x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得4040()f x x x=-. 故答案为：4040()f x x x=-. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()323f x f x x --=，则()f x =___________.【答案】3x【解析】因为()()323f x f x x --=，所以()()323f x f x x --=-，同除以2得()()31322f x f x x --=-，两式相加可得()33322f x x =，即()3f x x =.故答案为：3x .10．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，求()f x ；（2）已知1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x .【解】（1）∵f （x ）为二次函数，∴f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵f （0）＝c ＝2，∵f （x +1）﹣f （x ）＝x ﹣1，∴2ax +a +b ＝x ﹣1，∴a 12=，b 32=-， ∴f （x ）12=x 232-x +2． （2）∵()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①，∴f （1x ）+2f （x ）1x=，② ①-②×2得：﹣3f （x ）＝x 2x-， ∴2()(0)33xf x x x =-≠➢考点4 分段函数1．（2022·广东梅州·二模）设函数()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，则()()22log 6f f -+=（ ） A ．2B ．6C ．8D ．10 【答案】B 【解析】 解：因为()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，所以()()2log 61222log 83,log 623f f --====，所以()()22log 66f f -+=. 故选：B.2．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()8f =（ ）A ．10B ．9C ．7D ．6【答案】C 【解析】因为()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()()()()()()()812913107f f f f f f f =====.故选：C.3．（2022·浙江省江山中学高三期中）已知[]1,1∈-a ，函数()()()22sin 2, 21,π⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-++>⎪⎩x a x a f x x a x a x a 若()() 1=f f a ，则=a _______.【答案】1-或34【解析】()()()01f f a f ==,当01a ≤≤时，()()0sin 21π=-=f a ，得14a k =--，故34a =；当10a -≤<时，()201f a ==，故1a =-.故答案为：34a =或1a =-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知0a >，且1a ≠，函数()()2log 21,0,0a xx x f x a x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()12f f -=，则=a ___________，()4f x ≤的解集为___________.【答案】∞⎛- ⎝⎦【解析】①由题可知，()()()()121log 212a f f f a a ---==+=，则2221a a -=+，即4220a a --=，解得22a =，故a =②当0x 时，())2214f x x=+，解得602x；当0x <时，()4x f x =恒成立.故不等式的解集为∞⎛- ⎝⎦.∞⎛- ⎝⎦. [举一反三]1．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）已知函数()()21,13,1xx f x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()9f =（ ） A ．2B ．9C ．65D ．513 【答案】A 【解析】()09(93)(6)(3)(0)212f f f f f =-====+=,故选：A2．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()()1,221,2xx f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()2log 12f =（ ）A ．13B ．6-C ．16D ．3- 【答案】A 【解析】因为()2log 31,2∈，则()22log 122log 33,4=+∈，所以()()()()22log 31log 322211log 122log 3log 3223f f f -⎛⎫=+==== ⎪⎝⎭，故选：A.3．（2022·安徽安庆·二模）已知函数()()()lg ,10R 10,01axx x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩且()12f =，则()41log 310f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（ ） A．1-．1-．1．1【答案】A【解析】∵()1102a f ==，∴lg 2a =,由()()()lg ,10R 10,01ax x x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩，知()()lg ,102,01x x x f x x ⎧--≤<=⎨≤≤⎩. 于是()241log 3log log 32411log 3lg 2121211010f f ⎛⎫--=-=--=--=- ⎪⎝⎭故选:A4．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦___________. 【答案】-2【解析】因为()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()()22323log 32f f f ---===-⎡⎤⎣⎦ 故答案为：-25．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增， ()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<，又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立； ③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-； ()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-， ()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 6．（2022·浙江省临安中学模拟预测）设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则=a __________，1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】146 【解析】 若01a <<，则112a <+<，由()()1f a f a =+，得()211a a =+-，即24a a =， 解得：0a =（舍去）或14a =；若1a ≥，由()()1f a f a =+，得()()21211a a -=+-，该方程无解.综上可知，14a =，()()142416f f a =⎛⎫ =⎪-⎝=⎭ 故答案为：14； 67．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知函数，则()()1f f =___________；方程()1f x =的解集为___________． 【答案】 1 {1,e}【解析】()()()()11e e,1e lne 1f f f f =====，()1,1e 10x x f x x ≤=⇒=⇒=， ()1,1ln 1e x f x x x >=⇒=⇒=， {}0,e .x ∴∈故答案为：1；{}0,e .8．（2022·浙江·高三专题练习）已知()23log ,1,,1,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()(2)f f -=______；若()1f x <，则x 的取值范围是______.【答案】 3 ()1,2-【解析】因为()32(2)8f -=--=， ()()()328l g 8o 3f f f ∴-===，当1x <时，()31f x x =-<，得11x -<<，当1≥x 时，()2log 1f x x =<，得12x ≤<， 故x 的取值范围是()1,2-故答案为：3；()1,2-.9．（2022·浙江浙江·二模）设a ∈R ，函数33(0)()log (0)ax x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则(9)f =________；若1273f f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 2 [)3,∞-+【解析】3(9)log 92f ==， 311log 133f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由()31132733a f f f -⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a -≤，所以3a ≥- 故答案为：2；[)3,∞-+。
【高考四元聚焦】 2014届高三一轮数学(理)复习 第6讲 函数的性质(二)——奇偶性、周期性、对称性
f(x)＝x2＋1x，则 f(－1)＝( A )
A．－2
B．0
C．1
D．2
42
解析：因为函数 f(x)为奇函数， 所以 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2，选 A.
43
3.(2012·山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足
f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1 时，f(x)＝－(x＋2)2；
33
分析：(1)用赋值法；(2)依题设构造 f(－x)与 f(x)的关系； (3)存在型问题，可由存在入手推导相关结论．
解析：(1)证明：令 x＝y＝0，则 2f(0)＝2f2(0)． 又 f(0)≠0，所以 f(0)＝1. (2)令 x＝0，则 f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)， 所以 f(y)＝f(－y)，即 f(x)＝f(－x)， 又 x∈R，所以 f(x)为偶函数．
7
3．(改编)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，
当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则 f(72)＝
.
8
解析：f(72)＝f(72－2)＝f(32)＝f(32－2)＝f(－12)＝f(12) ＝2×12－1＝0.
9
4．(改编)设函数 y＝f(x)(x∈R 的图象关于直线 x＝1 对称，
(2)因为 f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)是奇函数，且单调递增， 所以 f(a2－1)＋f(1－2a)<0，即 f(a2－1)<f(2a－1)．
－1<a2－1<1
所以－1<1－2a<1 a2－1<2a－1
－ 2<a<0或0<a< 2 ⇒0<a<1
0<a<2
函数三要素_经典习题
函数三要素一、定义域1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（7）复合函数定义域 1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②xx f -+=42)( ③ 1+=x x y④ xx y 1+=2. 求下列函数的定义域 （1）8|3x |15x 2xy 2-+--=（1）2|1|)43(432-+--=x x xy （2）)103(log 22327---=x x y（－≦，－3）∪（－3，－1）∪[4，+≦] [－3，－2]∪（5，6）3. 求下列函数的定义域：（1）y=x x x -+||)1(0; (2)y=232531xx -+-; (3)y=1·1-+x x .{x|x ＜0且x ≠-1}. {x|-5≤x ≤5且x ≠〒3} ［1，+≦）.复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。
已知函数[()]f g x 的定义域为（a,b ），则f （x ）的定义域a ≤x≤b ，推导出…≤g （x ）≤…，即得f （x ）的定义域。
1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：（1）y=f(3x); (2)y=f(x 1); (3)y=f()31()31-++x f x （1）2()23f x + （2）2y =（3）|1|1y x =--2.函数(2)xf 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域 3已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。
第6讲函数的奇偶性与第7讲函数的对称性-原卷版
第6讲 函数的奇偶性通关一、函数奇偶性的定义和性质1. 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称;2. ()f x 是偶函数()f x ⇔的图像关于y 轴对称;()f x 是奇函数()f x ⇔的图像关于原点对称;3. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.4. ()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=.5. 若奇函数()f x 的定义域包含0 ,则(0)0f =. 通关二、函数奇偶性的运算通关三、一些重要类型的奇偶函数 1. 函数()xxf x a a-=+为偶函数, 函数()x xf x a a-=-为奇函数.2. 函数221()(01x x x xxx a a a f x a a a a ----==>++且1)a ≠为奇函数 3. 函数1()log (01axf x a x-=>+且1)a ≠为奇函数.4. 函数(()log (0a f x x a =>且1a ≠ )为奇函数.结论一、定义域优先函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.【例1】若函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数,定义域为[1,2]a a -, 则a =__________.b =__________.【变式】已知偶函数32()(1)1f x a x mx =-++的定义域为 ()238,m m m --, 则2m a +=_________.结论二、函数的构造任何一个定义域关于原点对称的函数()F x , 总可以表示为一个奇函数()f x 和 一个偶函数()g x 的和, 其中()()()()(),()22F x F x F x F x f x g x --+-==. 【例2】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且22()()1x xf xg x x ++=+, 则()f x =_________.()g x =_________.【变式】已知()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数,且1()()1f xg x x -=+, 则()f x =_________. ()g x =_________.结论三、奇函数特性1. ()f x 是奇函数 ()()()()()()01f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔-+=⇔=-2. 若 ()f x 是奇函数,且 (0)f 有意义,则 (0)0f =. 【例3】若函数 2()()1x af x x x +=∈+R 是奇函数,则a 的值为（ ）.A.1B. 0C.1- D.1±【变式】若函数 2()()21xf x a x =-∈+R 为奇函数,则实数a 的值（ ）.A .等于 0B. 等于 1C. 等于2D. 不存在结论四、偶函数特性1. ()f x 是偶函数()()()()()01()f x f x f x f x f x f x -⇔-=⇔--=⇔= 2. 若()f x 是偶函数,则 ()()(||)f x f x f x -==.3. 如果偶函数()f x 在y 轴左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量1x ,2x ，谁距离y 轴近,谁的函数值小, 即若 12x x <, 则()()12f x f x <; 反之,若()1f x <()2f x ,则 12x x <;4. 如果偶函数()f x 在y 轴左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量1x ,2x ，谁距离y 轴近, 谁的函数值大, 即若12x x <,则()()12f x f x >; 反之,若 ()1f x ＜()2f x ,则 12x x <.【例4】 设()f x 为定义在[2,2]-上的偶函数, 且()f x 在[2,0]-上是增函数,若(1)()0f m f m --<,则实数 m 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭В. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间(0,)+∞上单调递增.若实数a 满足 ()212log log 2(1)f a f a f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 则a 的最小值是（ ）A.32B. 1C.12D. 2结论五、奇偶性与单调性关系1. 如果奇函数 ()y f x = 在区间 (0,)+∞ 上是递增的,那么函数 ()y f x = 在区间(,0)-∞ 上也是递增的;2. 如果偶函数 ()y f x = 在区间 (0,)+∞ 上是递增的,那么函数 ()y f x = 在区间(,0)-∞ 上是递减的.【例5】设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数,且(1)0f =, 则不等式()()0f x f x x--<的解集为_________.【变式】已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]- , 且在区间[2,0]- 上单调递减,则满足()2(1)10f m f m -+-<的实数m 的取值范围为_________.第7讲 函数的对称性对称轴 : 0x = 对称轴 : x a =对称轴 :每个点关于对称轴对称之后还在图像上. 偶函数中两自变量的中点是中间的 0 ,两函数值相等,有 ()()f x f x =-. 因为轴 对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上,所以若 ()()22,x f x 和 ()()11,x f x 两点关于 x a = 轴对称, ()()12f a x f a x +=-, 则两自变量满足 122(x x a += 因为中点在对称轴上). 通关二、中心对称对称中心:每个点绕着对称中心旋转 180︒后还在图像上. 奇函数中两自变量的中点是中间的0, 两函数值中点是0 ,有 ()()0f x f x +-=. 若将对称中心移到点(,)a b , 可同理,从a 出发,向左向右距离相等,使其自变对称,则它们对应的函数值的中点应为b , 所以()()2f a x f a x b ++-=.当自变量关于a 对称时, 函数值关于b 对称.通关三、常见对称性结论结论一、()()f a x f a x +=-型对函数(),()()y f x f a x f a x =+=-成立()y f x ⇔=的图像关于直线x a =对称. 【例1】如果函数2()f x x bx c =++对任意的实数x ,都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么（ ）A ．(0)(2)(2)f f f <<-B ．(0)(2)(2)f f f <-<C ．(2)(0)(2)f f f <<-D ．(2)(0)(2)f f f -<<【变式】 若函数||()2()x a f x x -=∈R 满足(2)(2)f x f x +=-,且()f x 在[,)m +∞上单调递增,则实数m 的最小值等于_______.对函数(),()()y f x f a x f b x =+=-成立()y f x ⇔=的图像关于直线2a bx +=对称. 【例2】 对于函数()f x ,若存在常数0a ≠ ,使得x 取定义域内的每一个值,都有()(2)f x f a x =-,则称()f x 为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是（ ）A ．()f x =B ．2()f x x =C ．()tan f x x=D ．()cos(1)f x x =+【变式】若函数2()f x x bx c =++对任意x ∈R 都有(1)(3)f x f x -=- ,则以下结论中正确的是（ ）A ．(0)(2)(5)f f f <-<B ．(2)(5)(0)f f f -<<C ．(2)(0)(5)f f f -<<D ．(0)(5)(2)f f f <<-结论三、()y f x a =+为偶函数型()y f x a =+为偶函数()y f x ⇔=的图像关于x a =对称.【例3】函数()y f x =在[0,2]上单调递增,且函数(2)f x +是偶函数,则下列结论成立的是（ ）A ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式】已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)+∞上为减函数,且函数(8)y f x =+为偶函数,则（ ）A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f >结论四、()()f a x f a x +=--型对函数(),()()y f x f a x f a x =+=--成立()y f x ⇔=的图像关于点(,0)a 对称. 【例4】 若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=,则()f x 的图像的对称中心为_______.【变式】已知函数()f x 当4x >时,()2013f x x =-,且(4)(4)0f x f x -++=恒成立,则当4x <时,()f x =____.对函数(),()()y f x f a x f b x =+=--成立()y f x ⇔=的图像关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称.【例5】定义域在(,)-∞+∞上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=--,函数()f x 关于________对称.【变式】已知定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+ ,且函数()f x 在区间(2 ,)+∞上单调递增.如果122x x <<,且124x x +<,则()()12f x f x +的值（ ）A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0结论六、()()f a x f b x c ++-=型对函数(),()()y f x f a x f b x c =++-=成立()y f x ⇔=的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称.【例6】已知()y f x =满足(1)(1)2f x f x ++-+=,则以下四个选项一定正确的是（ ）A ．(1)1f x -+是偶函数B ．(1)1f x -+-是奇函数C ．(1)1f x ++是偶函数D ．(1)1f x +-是奇函数【变式】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ,则()miiix y +=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m结论七、()y f x a =+为奇函数型()y f x a =+为奇函数()y f x ⇔=的图像关于点(,0)a 对称.【例7】若函数(1)y f x =-是奇函数,那么函数()y f x =的图像关于________对称.【变式】已知函数(1)y f x =+是奇函数,当1x >时,2()41f x x x =-+ ,则当1x <时,()f x =________.结论八、()ax bf x cx d+=+型 简单分式函数()(0,0)ax b f x c ax b cx d +=≠+≠+,由变量分离法得对称中心,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【例8】函数21()1x f x x -=+的对称中心是（ ） A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)-【变式】函数()1x af x x a -=--的图像的对称中心是(4,1),则a =____.结论九、含绝对值的函数对称性1.()||f x x a =-的图像关于直线x a =对称，且函数的最小值为0;2.()||||f x x a x b =-+-的图像关于直线2a bx +=对称，且函数的最小值为||b a -; 3.()||||f x x a x b =---的图像关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，且函数的值域为[||,||]a b a b ---,【例9】设函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称,则a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1-【变式】设函数()||||f x x a x b =---的图像关于点(1,0)对称,且函数的最大值为2,则a =______.结论十、两个函数的对称性若函数()y f x =定义域为R ,则函数()y f a x =+与()y f b x =-两函数的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-可得). 【例10】对任意的函数()y f x =在同一直角坐标系中,函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =--的图像恒（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于直线1x =对称C ．关于直线1x =-对称D ．关于y 轴对称【变式】函数(2)y f x =+的图像与函数(4)y f x =-的图像的关系为( )A ．关于1x =对称B ．关于3x =对称C ．关于(1,0)对称D ．关于(3,0)对称结论十一、对称轴斜率为1或－11.(,)a b 关于y x =对称的点的坐标为(,)b a .2.(,)a b 关于y x =-对称的点的坐标为(,)b a --.【例11】已知函数2()()g x f x x =+是奇函数,当0x >时,函数()f x 的图像与函数2log y x =的图像关于y x =对称,则(1)(2)g g -+-=（ ）A ．7-B ．9-C ．11-D ．13-【变式】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称,且(2)(4)1f f -+-=,则a =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4结论十二、对称性与单调性结论1.如果函数()f x 在对称轴0x x =左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量12,x x 谁距离对称轴0x x =近,谁的函数值小,即若1020x x x x -<- ,则()()12f x f x < ;反之,若()()12f x f x <,则1020x x x x -<-;2.如果函数()f x 在对称轴0x x =左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量12,x x 谁距离对称轴0x x =近,谁的函数值大,即若1020x x x x -<- ,则()1f x ()2f x > ;反之,若()()12f x f x <,则1020x x x x ->-.【例12】已知函数()f x 的定义域为R ,且满足下列两个条件:①对任意的12,[4,8]x x ∈ ,当12x x <时,都有()()12120f x f x x x ->- ;②(4)y f x =+是偶函数.若(6),a f =-(11),()b f c f π== ,则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【变式】已知定义在R 上的函数()f x 满足(32)(21)f x f x -=-,且()f x 在[1,)+∞上单调递增,则（ ）A ．()()()0.3 1.130.2log 0.54f f f << B ．()()()0.3 1.130.24log 0.5f f f << C ．()()()1.10.3340.2log 0.5f f f <<D ．。
函数三要素经典习题(含答案)(K12教育文档)
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函数的三要素练习题（一）定义域1、函数()f x ( ）A 、[2,2]-B 、(2,2)-C 、(,2)(2,)-∞-+∞D 、{2,2}-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________; [1,1]-； [4,9]3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。
1][,)2+∞ 4、知函数()f x 的定义域为[]1,1-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
11m -≤≤5、求下列函数的定义域（1)2|1|)43(432-+--=x x x y解:（1）⎩⎨⎧-≠≠⇒≠-+≥-≤⇒≥--3102|1|410432x x x x x x x 且或∴x ≥4或x ≤－1且x ≠－3，即函数的定义域为（－∞,－3)∪（－3，－1）∪［4，+∞］（2）y = {|0}xx ≥ （3）01(21)111y x x =+-++（二）解析式1． 设X=｛x ｜0≤x ≤2｝,Y=｛y ｜0≤y ≤1}，则从X 到Y 可建立映射的对应法则是( ）（A ）x y 32= （B)2)2(-=x y （C ）241x y = （D ）1-=x y 2． 设),(y x 在映射f 下的象是)2,2(y x y x -+,则)14,6(--在f 下的原象是（ ） (A))4,10(- （B ）)7,3(-- （C ）)4,6(-- （D))27,23(-- 3． 下列各组函数中表示同一函数的是（A ）x x f =)(与2)()(x x g = （B ）||)(x x x f =与⎪⎩⎪⎨⎧-=22)(x x x g )0()0(<>x x （C)||)(x x f =与33)(x x g = （D ）11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t x g 4． 已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ )A 。
高中数学必修一(全套教案+配套练习+高考真题)
目录第一讲集合概念及其基本运算第二讲函数的概念及解析式第三讲函数的定义域及值域第四讲函数的值域第五讲函数的单调性第六讲函数的奇偶性与周期性第七讲函数的最值第八讲指数运算及指数函数第九讲对数运算及对数函数第十讲幂函数及函数性质综合运用第一讲集合的概念及其基本运算【考纲解读】1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.集合的概念与运算是历年来必考内容之一,题型主要以选择填空题为主,单纯的集合问题以解答题的形式出现的机率不大,多数与函数的定义域、值域、不等式的解法相联系，解题时要注意利用韦恩图、数轴、函数图象相结合.另外,集合新定义信息题是近几年命题的热点,注意此种类型.2.高考将会继续保持稳定,坚持考查集合运算,命题形式会更加灵活、新颖.【重点知识梳理】一、集合有关概念1、集合的含义：2、集合中元素的三个特性：3、元素与集合之间只能用“”或“”符号连接。
4、集合的表示：常见的有四种方法。
5、常见的特殊集合：6、集合的分类：二、集合间的基本关系1、子集2、真子集3、空集4、集合之间只能用“”“”“=”等连接，不能用“”或“”符号连接。
三、集合的运算1．交集的定义：2、并集的定义：3、交集与并集的性质：A∩A = A A∩Φ= Φ A∩B = B∩A，A∪A = A A∪Φ= A A∪B = B∪A.4、全集与补集（1）全集：（2）补集：知识点一 元素与集合的关系1.已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A，则实数a 构成的集合B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3知识点二 集合与集合的关系1.已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x∈R }，B ＝{x|0＜x<5，x∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【变式探究】 (1)数集X ＝{x|x ＝(2n ＋1)π，n∈Z }与Y ＝{y|y ＝(4k±1)π，k∈Z }之间的关系是( )A ．X ⊂YB ．Y ⊂XC ．X ＝YD ．X≠Y(2)设U ＝{1，2，3，4}，M ＝{x∈U|x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{2，3}，则实数p 的值是( )A ．－4B ．4C ．－6D ．6知识点三 集合的运算1.若全集U ＝{x∈R |x 2≤4}，则集合A ＝{x∈R ||x ＋1|≤1}的补集A C U 为( ) A ．{x∈R |0<x<2} B ．{x∈R |0≤x<2}C．{x∈R |0<x≤2} D．{x∈R |0≤x≤2}2.已知全集U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B ＝{2，4，5，6，8}，则(A C U )∩(B C U )＝( )A ．{5，8}B ．{7，9}C ．{0，1，3}D ．{2，4，6}【变式探究1】若全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e ，f}，A ＝{b ，d}，B ＝{a ，c}，则集合{e ，f}＝( )A ．A∪B B．A∩BC ．(A C U )∩(B C U )D ．(A C U )∪(B C U )典型例题：例1：满足M ⊆{a 1,a 2,a 3,a 4},且M∩{a 1 ,a 2, a 3}={a 1,a 2}的集合M 的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4例2：设A={x|1<x<2}，B={x|x ＞a}，若A B ，则a 的取值范围是______变式练习：1.设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠，则k 的取值范围是2.已知全集}{R x x I ∈=，集合}31{≥≤=x x x A 或，集合}1{+<<=k x k x B ，且=B A C I I )(，则实数k 的取值范围是3.若集合},012{2R x x ax x M ∈=++=只有一个元素，则实数的范围是4.集合A = {x | –1＜x ＜1}，B = {x | x ＜a }，（1）若A ∩B =，求a 的取值范围；（2）若A ∪B = {x | x ＜1}，求a 的取值范围. 例3：设A = {x | x 2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集.例4：定义集合A B 、的一种运算：121*{|A B x x x x x A ==+∈，， 2}x B ∈，若{123}A =，，，{12}B =，，则B A *中所有元素的和为 ．例5：设A 为实数集，满足,, （1）若,求A;（2）A 能否为单元素集？若能把它求出来，若不能，说明理由； （3）求证：若,则基础练习：1. 由实数x,－x,｜x ｜,所组成的集合，最多含（ ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素2. 下列结论中，不正确的是( )A.若a ∈N ，则-a NB.若a ∈Z ，则a 2∈ZC.若a ∈Q ，则｜a ｜∈QD.若a ∈R ，则3. 已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}子集，且A∩B={3},C U B∩A={9},则A=（ ）∅B A ⊆a A ∈⇒11A a∈-1A ∉2A ∈a A ∈11A a -∈332,x x -∉R a ∈3（A ）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}4. 设集合A={1, 3, a}, B={1, a 2-a+1}，若B ⊆A, 则A ∪B=__________5. 满足的集合A 的个数是_____个。
高一数学函数三要素复习题
高一数学函数三要素复习题班级 座号 姓名一、课前练习1、函数1()3f x x =-的定义域为 2、函数()f x =的定义域是3、函数y =____________4、函数2()23f x x x =-++，]0,4x ⎡∈⎣的值域5、设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=_____.6、已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = 7、函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0>x 时，2()1f x x =-+，则当0<x 时，()f x =8、若函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f二、典型例题:例1、（1）求函数y ＝)2(log 15.0x -的定义域。
（2）求函数)0()(≥-=x x x x f 的最小值例2、求]22,0,4y x ax x ⎡=-∈⎣的最小值.例3、有一批材料可以建成长为m 200的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是多少？三、巩固练习1、已知函数x x f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N M （ ） A.{}1>x x B.{}1<x x C.{}11<<-x xD.φ 2、函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为 （ ）A ．{}3,0,1-B ．{}3,2,1,0C ．{}31≤≤-y yD ．{}30≤≤y y3、下列四组函数中，表示同一函数的是 （ ）A ．2)1(1-=-=x y x y 与B ．111--=-=x x y x y 与C ．2lg 2lg 4x y x y ==与D ．100lg 2lg x y x y =-=与 4、函数0y =的定义域是 5、函数1()2x y = [1,)x ∈+∞的值域为 6、设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=-),1(,log ]1,(,2)(81x x x x f x 则满足41)(=x f 的x 值为 7、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则()2f -= . 8、已知f(x)=x 3+bx －8，且f(－2)=10，则f(2)=_____________9、已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f10、已知函数()(0,1)a f x log x a a =>≠的图象如右图示，函数()y g x =与()y f x =互为反函数，则函数()y g x =的解析式为11、如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，可供建造材料总长为30m ，那么宽x （单位为m ）为多少才能建造的每间熊猫居室面积最大，每间居室的最大面积是多少？。