2012年立体几何模拟题教师版

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2012年高考数学基础强化训练题 — 《立体几何》

A BCDEFGHI J2012年高考数学基础强化训练题 — 《立体几何》一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行.④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线.其中假．命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是（）A ．22 B ．21 C ．43 D ．433．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长为（）A ．23B ．32C ．6D ．64．已知二面角α－l －β的大小为600,m 、n 为异面直线,且m ⊥α,n ⊥β,则m 、n 所成的角为（）A ．300B ．600C ．900D ．12005．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 6．两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个7．正方体A ′B ′C ′D ′—ABCD 的棱长为a ，EF 在AB 上滑动，且|EF |=b （b ＜a ＝，Q 点在D ′C ′上滑动，则四面体A ′—EFQ 的体积为（） A ．与E 、F 位置有关 B ．与Q 位置有关 C ．与E 、F 、Q 位置都有关 D ．与E 、F 、Q 位置均无关，是定值 8．（理）高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是（）A ．23B ．2C ．223D ．2（文）三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是（）A ．1，2，3B ．2，4，6C ．1，4，6D ．3，6，9AB C DA 1B 1C 1D 1 第16题图 α9．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A － BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1， S 2，则必有（）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定10．已知球o 的半径是1,ABC 三点都在球面上,AB 两点和AC 两点的球面距离都是4p ,BC 两点的球面距离是3p ,则二面角B －OA －C 的大小是（） A ．4pB ．3p C ．2pD ．23p 11．条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是（）A ．b =（2－1）aB ．b =（2+1）aC ．b =222a - D ．b =222a+ 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________. 14．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______．15．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________. 16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：（）①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号．．）三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与CB 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. DBAOCEF18．（本小题满分12分）如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。

立体几何(模拟1)

1. 若一个球的体积为π34，则它的表面积为________________．2. 已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ．3如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，直线1MN l ⊥于点M ，2MN l ⊥于点N .点, A B 在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==.（Ⅰ）证明AC ⊥NB ；（Ⅱ）若60O ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.解：1. 12π; 2. R =3.解法一: (Ⅰ)由已知221, l MN l l ⊥⊥, 1MN l M ⋂=, 可得2l ⊥平面ABN …………2分由已知1MN l ⊥ ,AM MB MN ==,可知AN NB =且AN NB ⊥. …………4分所以BN ⊥平面ANC ,又AC 在平面ABN 内， ∴AC NB ⊥; …………6分（Ⅱ）∵Rt CAN Rt CNB ∆≅∆, ∴AC BC =, 又已知060ACB ∠=,因此ABC ∆为正三角形.∵Rt ANB Rt CNB ∆≅∆, ∴NC NA NB ==, ……………………………………8分因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心,连结BH ,NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角. ………………………………………………10分在Rt NHB ∆中,ABHB COS NBH NB ∠=== . ……………………………14 解法二: 如图,建立空间直角坐标系M xyz -.令1MN =, 则有(1,0,0)A -,(1,0,0)B ,(0,1,0)N ……………………………………………………………………………2分(Ⅰ)∵MN 与 12,l l 都垂直, 21 l l ⊥, ∴2l ⊥平面ABN . 2l 平行于z 轴. 故可设(0,1,)C m .于是Hl 2l 1NMCBA(1,1,)AC m =,(1,1,0)NB =-. ∴1(1)00AC NB ⋅=+-+= ∴AC NB ⊥. …………6分(Ⅱ)∵(1,1,)AC m =, (1,1,)BC m =-, ∴AC BC =, 又已知060ACB ∠=, ∴ACB ∆为正三角形,2AC BC AB ===.在Rt CNB ∆中,NB ,可得NC =故C ……………………………………8分连结MC ,作NH MC ⊥于H ,设(0,)H λ∴(0,1,)HN λ=-,(0,1MC =. 120HN MC λλ⋅=--=,∴13λ=, …………………………10分 ∴1(0,3H , 可得2(0,,3HN =, 连结BH ,则1(1,3BH =-, ∵ 220099HN BH ⋅=+-=, ∴ HN BH ⊥, 又MC BH H ⋂=,∴ HN ⊥平面ABC ,NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角, 又(1,1,0)BN =-.∴ 43cos 2BH BN NBH BH BN⋅∠===………………………………………14分y1．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点，且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于．2. 如图，在棱长为1的正方体A B C D A B C ''''-中， AP BQ b ==(01)b <<，截面///PQEF A D ，截面///PQGH AD ．（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；（Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；解：1. 8π 2. 解法一：（Ⅰ）证明：在正方体中，AD A D ''⊥，AD AB '⊥，又由已知可得://PF A D '，//PH AD '，//PQ AB ，所以P ⊥，PH PQ ⊥，……………………………5分所以PH ⊥平面PQEF ．所以平面P Q E F 和平面P Q G H 互相垂直．…………………7分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PF PH '=，， (8)分又截面PQEF 和截面PQGH 都是矩形，且1PQ =，…………………………10分所以截面PQGH 和截面PQEF 面积之和是:)PQ '⨯=. 14分解法二：以D 为原点，射线DA ，DC ，/DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D xyz-F E H GQPD /C /B /A /D CBANMABC DA /B /C /D /P Q GH EF由已知得1DF b =-，故(100)A ，，，(101)A '，，，(000)D ，，，(001)D '，，，(10)P b ，，，(11)Q b ，，，(110)E b -，，，(100)F b -，，，(11)G b ，，，(01)H b ，，．………………3分（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得(010)(0)PQ PF b b ==--，，，，，，(101)PH b b =--，，，(101)(101)AD A D ''=-=--，，，，，．因为00AD PQ AD PF ''⋅=⋅=，，所以AD '是平面PQEF 的法向量．因为00A D PQ A D PH ''⋅=⋅=，，所以A D '是平面PQGH 的法向量．因为0AD A D ''⋅=，所以A D AD ''⊥，所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直．………………………………7分（Ⅱ）证明：因为(010)EF =-，，，所以// EF PQ EF PQ =，，又PF PQ ⊥，所以PQEF 为矩形，同理PQGH 为矩形．……………………………10分在所建立的坐标系中可求得2(1)PH b =-，2PF b =，所以2PH PF +=，又1PQ =， ……………………………12分所以截面PQEF 和截面PQGH 13分1．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ C ） A ．313cmB ．323cmC ．343cmD ．383cm2．(几何证明选讲选做题）如图，点P 是O 的直径AB 的延长上的一点，过点P 作圆O 的切线，切点是C ，连接AC，若AC =030CAP ∠=，则PC = ；3．在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE :EB ＝CF :FA ＝CP :PB ＝1:2（如图1）．将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；（III ）求二面角B －A 1P －F 的余弦值；解：1 .C 2．3．(本小题满分14分)A 1BE F C E F A正视图左视图俯视图MEA 1BCF EFAD(I)在图1中，取BE 的中点D ，连结DF.∵AE :EB=CF :FA=1:2， ∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF 是正三角形，又AE=DE=1， ∴EF ⊥AD…………2分在图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ， ∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥BE.又BE∩EF=E ，∴A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BE P……….4分 (II)在图2中，∵A 1E ⊥平面BEP ，BP ⊂平面BEP, ∴A 1E ⊥BP, 又在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=600， ∴△EBP 是等边三角形，取BP 得中点Q ，连接EQ ∴BP ⊥EQ ,又A 1E ⊥BP, EQ ∩A 1E=E ∴EQ ，BP ⊂平面A 1BP ，∴平面A 1EQ ⊥平面A 1BP 在平面A 1EQ 中，作EH ⊥A 1Q, 垂足为H ∴EH ⊥平面A 1BP∴∠EA 1Q 就是A 1E 与平面A 1BP 所成的角，…………………6分又A 1E ⊥平面BEP ，∴A 1E ⊥EQ ，,在Rt △A 1EQ 中， EQ=3， A 1E=1 ∴ tan ∠EA 1Q=31=EA EQ,∴∠EA 1Q=600. 所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为600…………………8分 (III)在图2中，过F 作FM ⊥A 1P 于M ，连结QM ，QF.∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP 是正三角形，.∴PF=PQ=1. ①∵A 1E ⊥平面BEP ，EQ=EF=3， A 1E=1， ∴A 1F=A 1Q=2， ∴△A 1FP ≌△A 1QP,从而∠A 1PF=∠A 1PQ. ② 由①②及MP 为公共边知 △FMP ≌△QMP ， ∴FM ⊥A 1P ，且QM ⊥A 1P ，且MF=MQ ，从而∠FMQ 为二面角B-A 1P-F 的平面角……………10分在Rt △A 1QP 中，A 1Q=A 1F=2，PQ=1，∴A 1P=5. ∵MQ ⊥A 1P, ∴MQ=55211=⋅P A PQ Q A ,∴MF=552. 在△FCQ 中，FC=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得QF=3.在△FMQ 中，cos ∠FMQ=872222-=⋅-+MQ MF QF MQ MF所以二面角B-A 1P-F 的大小余弦值为为78-……………..12分(I)如解法一(II)∵EB ，EF ，A 1E 三条直线两两垂直，以EB ，EF ，A 1E 分别为x 轴， y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，在图1中，AE=1,BE=2,EF=∴A 1(0,0,1)，B(2,0,0) ，P(1,，F(0,3,0)，E(0,0,0)，∴1(2,0,1);(1,3,1)A B AP =-=-，1(0,0,1)A E =- 设(,,)n x y z =平面A 1BP 的一个法向量，∴120000x z A B n x z AP n ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩令3x =，则6,z y = 所以n =设直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为θ， ∴11||sin ||||43A E n A E n θ⋅===⋅ 所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为600 (III) 设(,,)m a b c =平面A 1FP 的一个法向量1(0,3,1);(1,3,1)A F AP =-=-10000A F n c AP n a c ⎧⋅=-=⎪⇒⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩∴0a =，令3b =，则3c =，得m =∴7cos ,8||||43n m n m n m ⋅〈〉===⋅所以二面角B-A 1P-F 的大小余弦值为为78-E F A D1．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若m α⊂，lA α=，点A m ∉，则l 与m 异面；②若m 、l 是异面直线，//l α，//m α且,n l n m ⊥⊥，则n α⊥；③若m l m l //,//,//,//则βαβα； ④若,,,//,//,//.l m lm A l m ααββαβ⊂⊂=点则其中所有正确命题的序号是（）A ．①②③④B ．②③C ．①④D ．①②④2．(几何证明选讲选做题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，过A 的弦与弦CD 相交与点E ，若6AC =，3AE =，则AF = ；3．（本小题满分14分）下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图.（Ⅰ）若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥面PCD ；（Ⅱ）证明：BD ∥面PEC ；（Ⅲ）求面PEC 与面PDC 所成的二面角的余弦值解：1 D 2 123．（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA ⊥面ABCD ，//PA EB ，24PA EB ==， ∵PA AD =,F 为PD 的中点，∴AF PD ⊥ 又∵,CD DA CD PA ⊥⊥，PA AD A = ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD AF ⊥ 又AF PD ⊥，PD AF F = AF ⊥面PCD （Ⅱ）取PC 的中点M ，AC 与BD 的交点为N ，∴12MN PA =，且//MN PA ， ∴MN EB =，且//MN EB ，故BEMN 为平行四边形 ∴//EM BN ，EM ⊂面PEC ，BD ⊄面PEC//BD 面PEC （Ⅲ）分别以.,BC BA BE 为,,x y z 轴建立坐标系，则(4,0,0),(4,4,0),(0,0,2)C D E ，(0,4,0),(0,4,4)A P∵F 为PD 的中点，∴(2,4,2)F∵AF ⊥面PCD ，∴FA 为面PCD 的法向量，(2,0,2)FA =--设平面PEC 的法向量为(,,)n x y z =，(4,0,2)CE =-，(4,4,4)CP =-B EP B C D A 44 俯视图 4 主视图 4 左视图 2 2则n CEn CF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴4204440x zx y z-+=⎧⎨-++=⎩令1x=，(1,1,2)n=-∴3cos,2||||FA nFA nFA n<>==-，∴FA与n的夹角为56π∴面PEC与面PDC所成的二面角的余弦值为。

【高考调研】2012届新课标高考数学(人教A版理)总复习单元能力测试第8章立体几何

第八章单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1.如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为( )A.25B.35C.105D.55 答案 C 解析把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，∠EGF 为AB 和CD 所成的角，F 为正方体一棱的中点．∴EF ＝GF ＝52，EG ＝ 2.∴cos ∠EGF ＝105.2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3 B.82π3 C ．82π D.32π3 答案 B解析 S 圆＝πr 2＝1⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝2，∴V ＝43πR 3＝82π3，故选B.3.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.13cm 3B.23cm 3C.43cm 3D.83cm 3 答案 C解析由三视图可知该几何体为三棱锥，如图所示，其中AC ＝AD ，平面ACD ⊥平面BCD ，E 为CD 的中点，则AE ⊥平面BCD ，且BE ＝AE ＝2，DC ＝2，∴V ＝13×12×BE ×DC ×AE ＝13×12×2×2×2＝43cm 3，故选C.4．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；②若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β；③若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β.其中真命题的序号是( )A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③ 答案 B解析若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能相交、平行或m 在平面β内，故①错；m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α与β可能平行，可能相交，故④错．故选B.5．(2010·湖北卷)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 C解析对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，此时AB 平行于CD ，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a ，b 都平行于平面γ，显然此时直线a ，b 可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④，选C.6.如右图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 C解析连结AC 、BD 交于点O ，连结OE ，易得OE ∥P A . ∴所求角为∠BEO .由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12P A ＝22，BE ＝2，∴cos ∠OEB ＝12，∴∠OEB ＝60°，选C. 7.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105 答案 D解析连结A 1C 1，交B 1D 1于O ，依题意得，A 1C 1⊥B 1D 1，BB 1⊥A 1C 1，又B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D .连结BO ，则∠C 1BO 为所求角，又OC 1＝2，BC 1＝5，∴sin C 1BO ＝C 1O BC 1＝25＝105，选D.8．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233π B ．23π C.736π D.733π 答案 D解析上底半径r ＝1，下底半径R ＝2.∵S 侧＝6π，设母线长为l ，则π(1＋2)·l ＝6π，∴l＝2，∴高h ＝l 2－(R －r )2＝3，∴V ＝13π·3(1＋1×2＋2×2)＝733π.故选D.9．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝AD ＝1，设点C 到平面P AB 的距离为d 1，点B 到平面P AC 的距离为d 2，则有( )A ．1<d 1<d 2B ．d 1<d 2<1C ．d 1<1<d 2D ．d 2<d 1<1 答案 D解析 ∵CD ∥平面P AB .∴C 到平面P AB 的距离等于D 到平面P AB 的距离．过D 作DE ⊥P A ，则DE ⊥平面P AB ，d 1＝DE ＝22. B 与D 到平面P AC 的距离相等．设AC ∩BD ＝O ，则平面PDO ⊥平面P AC ，∴d 2等于D 到PO 的距离，可计算d 2＝33，∴d 2<d 1<1.10．半径为4的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，则△ABC ，△ACD ，△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 C解析设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB ＝12(ab ＋ac ＋bc )≤12(a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22) ＝12(a 2＋b 2＋c 2) ＝12×4R 2＝12×4×42＝32，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．11．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 C解析由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为( )A.124B.118C.19D.112答案 B解析以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系，设BP→＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP →|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．答案 6＋2 3解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱．则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6，上、下底面面积都为34×22＝3，所以此三棱柱的表面积为6＋2 3.14．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AA 1＝AB ＝1，则截面ACC 1A 1的面积为________；异面直线AD 与D 1C 所成角的余弦值为________．答案 3 24解析截面ACC 1A 1为矩形．AA 1＝1，AC ＝3，其面积S ＝3；BD ＝1，BD 1＝2，在△BCD 1中，BC ＝1，CD 1＝2，cos ∠BCD 1＝24.则异面直线AD 与D 1C 所成角的余弦值为24. 15.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 、分别为P A 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BF 与直线AF 异面 ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD . 其中正确的有______个．答案 2解析将几何体展开拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为P A 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．16．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于______．答案 20π解析设球心为O ，球半径为R ，△ABC 的外心是M ，则O 在底面ABC 上的射影是点M ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∠ABC ＝12(180°－120°)＝30°，AM ＝AC2sin30°＝2.因此，R 2＝22＋(AA 12)2＝5，此球的表面积等于4πR 2＝20π.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在下面三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连结BC ′，证明：BC ′∥平面EFG .解析 (1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)．(3)证明：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连结AD ′，则AD ′∥BC ′. 因为E 、G 分别为AA ′、A ′D ′的中点，所以AD ′∥EG ，从而EG ∥BC ′.又BC ′⊄平面EFG ，所以BC ′∥平面EFG . 18．(本小题满分12分)(2010·新课标全国，文)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC ⊥平面PBD ； (2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P －ABCD 的体积．解析 (1)因为PH 是四棱锥P －ABCD 的高，所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ，所以AC ⊥平面PBD ，故平面P AC ⊥平面PBD .(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6，所以HA ＝HB ＝ 3.因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1. 可得PH ＝3，等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.19．(本小题满分12分)在几何体ABCDE 中，∠BAC ＝π2，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝BE ＝2，CD ＝1.(1)设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，求证：l ∥平面BCDE ； (2)设F 是BC 的中点，求证：平面AFD ⊥平面AFE ； (3)求几何体ABCDE 的体积．解析 (1)∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ， ∴CD ∥BE .∵CD ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，∴CD ∥平面ABE . 又l ＝平面ACD ∩平面ABE ，∴CD ∥l . 又l ⊄平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE ， ∴l ∥平面BCDE .(2)在△DFE 中，FD ＝3，FE ＝6，DE ＝3. ∴FD ⊥FE .∵CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥AF ，又BC ⊥AF ，CD ∩BC ＝C ，∴AF ⊥平面BCDE ， ∴AF ⊥FD ，∵EF ∩AF ＝F ， ∴FD ⊥平面AFE .又FD ⊂平面AFD ，∴平面AFD ⊥平面AFE .(3)∵DC ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，∴DC ∥BE∵AB ＝AC ＝2，且∠BAC ＝π2 ∴BC ＝2 2∴SBEDC ＝12(DC ＋BE )×BC ＝3 2由(2)知AF ⊥平面BCED∴V E －BCDE ＝13S BEDC ·AF ＝13×32×2＝2. 20．(本小题满分12分)如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，ED ⊥DG ，EF ∥DG .且AB ＝AD ＝DE ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1.(1)求证：BF ∥平面ACGD ； (2)求二面角D -CG -F 的余弦值．解析方法一 (1)设DG 的中点为M ，连接AM ，FM . 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形．∴MF ∥DE ，且MF ＝DE .∵平面ABC ∥平面DEFG ，∴AB ∥DE ， ∵AB ＝DE .∴MF ∥AB ，且MF ＝AB ，∴四边形ABFM 是平行四边形， ∴BF ∥AM .又BF ⊄平面ACGD ，AM ⊂平面ACGD ，故BF ∥平面ACGD .(2)由已知AD ⊥平面DEFG ，∴DE ⊥AD .又DE ⊥DG ，∴DE ⊥平面ADGC .∵MF ∥DE ，∴MF ⊥平面ADGC .在平面ADGC 中，过M 作MN ⊥GC ，垂足为N ，连接NF ，则∠MNF 为所求二面角的平面角．连接CM .∵平面ABC ∥平面DEFG ，∴AC ∥DM ，又AC ＝DM ＝1，所以四边形ACMD 为平行四边形，∴CM ∥AD ，且CM ＝AD ＝2.∵AD ⊥平面DEFG ，∴CM ⊥平面DEFG ，∴CM ⊥DG.在Rt △CMG 中，∵CM ＝2，MG ＝1，∴MN ＝CM ·MG CG ＝25＝255.在Rt △FMN 中，∵MF ＝2，MN ＝255，∴FN ＝4＋45＝2305.∴cos ∠MNF ＝MN FN ＝2552305＝66.∴二面角D -CG -F 的余弦值为66.方法二由题意可得，AD ，DE ，DG 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0,2)，B (2,0,2)，C (0,1,2)，E (2,0,0)，G (0,2,0)，F (2,1,0)． (1)BF→＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)，CG →＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，∴BF →＝CG →，所以BF ∥CG .又BF ⊄平面ACGD ，故BF ∥平面ACGD . (2)FG→＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)．设平面BCGF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CG →＝y －2z ＝0，n 1·FG →＝－2x ＋y ＝0.令y ＝2，则n 1＝(1,2,1)．则平面ADGC 的法向量n 2＝i ＝(1,0,0)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1×112＋22＋12×12＋02＋02 ＝66.由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D -CG -F 的余弦值为66.21．(本小题满分12分)(2010·重庆卷，理)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝6，点E 是棱PB 的中点．(1)求直线AD 与平面PBC 的距离；(2)若AD ＝3，求二面角A －EC －D 的平面角的余弦值．解析解法一：(1)如图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故直线AD与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离．因P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥AB ，由P A ＝AB 知ΔP AB 为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB .又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面P AB ，故BC ⊥AE ，从而AE ⊥平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离．在Rt ΔP AB 中，P A ＝AB ＝6，所以AE ＝12PB ＝12P A 2＋AB 2＝ 3.(2)过点D 作DF ⊥CE ，交CE 于F ，过点F 作FG ⊥CE ，交AC 于G ，则∠DFG 为所求的二面角的平面角．由(1)知BC ⊥平面P AB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面P AB ，故AD ⊥AE ，从而DE ＝AE 2＋AD 2＝ 6.在Rt ΔCBE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝ 6.由CD ＝6，所以ΔCDE 为等边三角形，故F 点为CE 的中点，且DF ＝CD ·sin π3＝322.因为AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥CE ，又FG ⊥CE ，知FG 綊12AE ，从而FG ＝32，且G 点为AC 的中点．连接DG ，则在Rt ΔADC 中，DG ＝12AC ＝12AD 2＋CD 2＝32.所以cos ∠DFG ＝DF 2＋FG 2－DG 22·DF ·FG ＝63.解法二：(1)如图，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz .设D (0，a,0)则B (6，0,0)，C (6，a,0)，P (0,0，6)，E (62，0，62)．因此AE →＝(62，0，62)，BC →＝(0，a,0)，PC →(6，a ，－6)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0，所以AE ⊥平面PBC . 又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE →|＝ 3.(2)因为|AD →|＝3，则D (0，3，0)，C (6，3，0)．设平面AEC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，又AE →＝(6，3，0)，AE →＝(62，0，62)，故⎩⎨⎧ 6x 1＋3y 1＝0，62x 1＋62z 1＝0，所以y 1＝－2x 1，z 1＝－x 1，可取x 1＝－2，则n 1＝(－2，2，2)．设平面DEC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DC →＝0，n 2·DE →＝0.又DC →＝(6，0,0)，DE →＝(62，－3，62)，故⎩⎨⎧ x 2＝0，62x 2－3y 2＋62z 2＝0.所以x 2＝0，z 2＝2y 2.可取y 2＝1，则n 2＝(0,1，2)．故cos 〈n 1·n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝63. 所以二面角A －EC －D 的平面角的余弦值为63.22．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB >1，点E 在棱AB 上移动，小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点C 1，所爬的最短路程为2 2.(1)求证：D 1E ⊥A 1D ；(2)求AB 的长度；(3)在线段AB 上是否存在点E ，使得二面角D 1－EC －D 的大小为π4，若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解析方法一：(1)连结AD 1，由长方体的性质可知：AE ⊥平面AD 1，∴AD 1是ED 1在平面AD 1内的射影．又∵AD ＝AA 1＝1，∴AD 1⊥A 1D ，∴D 1E ⊥A 1D (三垂线定理)．(2)设AB ＝x ，∵四边形ADD 1A 1是正方形，∴小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点C 1，可能有四种途径，如图甲、乙的最短路程为|AC 1|＝x 2＋4，如图丙、丁的最短路程为|AC 1|＝(x ＋)2＋1＝x 2＋2x ＋2，∵x >1，∴x 2＋2x ＋2>x 2＋2＋2＝x 2＋4， ∴x 2＋4＝22，∴x ＝2.(3)假设存在，连结DE ，设EB ＝y ，过点D 在平面ABCD 内作DH ⊥EC ，连结D 1H ，则∠D 1HD 为二面角D 1－EC －D 的平面角，∴∠D 1HD ＝π4，∴DH ＝DD 1＝1，在Rt △EBC 内，EC ＝y 2＋1，而EC ·DH ＝DC ·AD ，即y 2＋1＝2解得y ＝ 3.即存在点E ，且离点B 为3时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.方法二：(1)如图建立空间直角坐标系，设AE ＝a ，则E (1，a,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，∴DA 1→＝(1,0,1)，D 1E →＝(1，a ，－1)， ∴DA 1→·D 1E →＝0∴D 1E ⊥A 1D ，(2)同方法一．(3)假设存在，平面DEC 的法向量n 1→＝(0,0,1)，D 1C →＝(0,2，－1)，设平面D 1EC 的法向量n 2→＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧D 1C →·n 2→＝0D 1E →·n 2→＝0 即⎩⎨⎧ 0·x ＋2y －z ＝0x ＋ay －z ＝0，解得⎩⎨⎧ z ＝2y x ＝－ay ，∴n 2→＝(2－a,1,2)，由题意得cos n 1→，n 2→＝2(2－a)2＋12＋22＝22. 解得a ＝2－3或2＋3(舍去)，即当点E 离B 为3时，π二面角D1－EC－D的大小为4.。

2012广东省各地月考联考模拟最新分类汇编(理数)12：立体几何4.pdf

2012广东省各地月考联考模拟最新分类汇编（理）：立体几何（4）【广东省肇庆市2012届高三第二次模拟理】6. 已知某几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为 B. C. D. 【答案】A 【解析】由三视图可知，几何体是底部是一底面对角线长为的正方形，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长。

设正方形的边长为，则，即，所以，长方体的体积为,球的体积为故几何体的体积为. 【广东省湛江市2012届高三普通高考模拟测试（二）理】4. —个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【广东省镇江一中2012高三10月模拟理】4. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧（左）视图可以为 A. B. C. D. 【答案】D 【广东省云浮中学2012届高三第一次模拟理】6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A. B.C. D. 【答案】B 【广东省云浮中学2012届高三第一次模拟理】 7.已知平面，直线，点A，有下面四个命题： A . 若，则与必为异面直线； B. 若则； C. 若则； D. 若，则. 其中正确的命题是（）【答案】D 【广东省云浮中学2012届高三第一次模拟理】 8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（） A. 0B. 1C. D. 【答案】D 【广东省粤西北九校2012届高三联考理】5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) A．B．C．D．【答案】A 【广东省英德市一中2012届高三模拟考试理】10.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____. 【答案】【广东省镇江一中2012高三10月模拟理】18．（本题满分分）如图，四棱锥中，是的中点,，，且，，又面. (1) 证明:; (2) 证明:面; (3) 求四棱锥的体积. 【答案】解：（1）证明：由面.，所以-----------------------------------2f 又--------------------------------------3f 所以-----------------------------------4f （2）取中点，连结--------6f 则，且，所以是平行四边形---------------------7f ，---------------------------------------8f 且所以面;-----------------------------9f （3）-----------------------------------10f 过作，交于，由题得---------11f 在中，--------------------------12f 所以---------------------------------------13f 所以----------------------------------------------------------14f 【广东省肇庆市2012届高三第一次模拟理】19.（本小题满分14分）如图4，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）的侧面与底面ABC垂直，，. (Ⅰ) 求侧棱在平面上的正投影的长度． (Ⅱ) 设AC的中点为D，证明底面； (Ⅲ) 求侧面与底面ABC所成二面角的余弦值； (Ⅰ) ∵是斜三棱柱, ∴平面，故侧棱B1B在平面上的正投影的长度等于侧棱的长度．(2分) 又,故侧棱在平面的正投影的长度等于. (3分) (Ⅱ)证明： ∵，，∴ ∴三角形是等腰直角三角形，（5分）又D是斜边AC的中点，∴（6分） ∵平面⊥平面，∴A1D⊥底面（7分） (Ⅲ)作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，∵A1D⊥面ABC，得A1D⊥AB． ∴平面，（8分）从而有，∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．（9分） ∵，∴ ∴三角形是直角三角形， ∴ED∥BC ，又D是AC的中点， ∴， ∴，即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为. (14分) （方法二） (Ⅰ)同方法一 (Ⅱ)同方法一 (Ⅲ)∵， ∴ ∴三角形是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，则， ∴ (8分) 以D为原点，所在的直线为轴，DC所在的直线为轴，平行于BE的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则设平面的法向量为，则，即化简得令，得，所以是平面的一个法向量. (11分) 由（I）得A1D⊥面ABC，所以设平面ABC的一个法向量为 (12分) 设向量和所成角为，则 (13分) 即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为. (14分) 【广东省肇庆市2012届高三上学期期末理】18. （本题满分14分）已知平面是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，已知（I））求证：⊥平面；（II）求二面角的余弦值．（Ⅲ）求三棱锥的体积. 平面ABC，∠＝90°，方法1：空间向量法如图建立空间直角坐标系，因为＝4，则（I），，∴，∴ ， ∴，∴ ∵ 平面 ∴ ⊥平面（5分）（II）平面AEO的法向量为，设平面 B1AE的法向量为，即令x＝2，则 ∴ ∴二面角B1—AE—F的余弦值为（10分）（Ⅲ）因为，∴， ∴ ∵， ∴ (14 分) 方法2：依题意可知，平面ABC，∠＝90°，，∴ （I）∵，O为底面圆心，∴BC⊥AO，又∵B1B⊥平面ABC，可证B1O⊥AO，因为＝，则,∴ ∴B1O⊥EO，∴⊥平面；（5分）（II）过O做OM⊥AE于点M，连接B1M， ∵B1O⊥平面AEO，可证B1M⊥AE， ∴∠B1MO为二面角B1—AE—O的平面角， C1C⊥平面ABC，AO⊥OC，可证EO⊥AO，在Rt△AEO中，可求，在Rt△B1OM中，∠B1OM＝90°，∴ ∴二面角B1—AE—O的余弦值为（10分）（Ⅲ）因为AB=AC，O为BC的中点，所以又平面平面，且平面平面，所以平面, 故是三棱锥的高 ∴ (14分) 【广东省肇庆市2012届高三第二次模拟理】18.（本小题满分14分）【答案】（1）证明：是圆柱的母线，是点关于点对称的点， ∴垂直圆柱的底面，即平面，（1分） ∵平面，∴ （2分） ∵是圆柱上底面的直径，∴ （3分） ∵平面，平面，且（4分） ∴BE⊥平面（5分）（2）解：是圆O的直径，∴是直角，设,在直角三角形中，，（6分），（8分）当且仅当，即时“”成立，（9分） ∵三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而三棱锥的高， ∴三角形的面积最大时，三棱锥的体积也最大，此时，，即三角形是等腰直角三角形（10分） ∴ ∵，∴平面（11分）连结CO，AO，从而有，∴是二面角的平面角（12分）在三角形中，又，，∴ 同理可得，∴ （13分），即二面角的平面角的余弦值为. （14分）【广东省云浮中学2012届高三第一次模拟理】18. （本小题满分14分）如图，四边形中（图1），是的中点，，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离. 【答案】如图取BD中点M，连接AM，ME。

2012届高考数学第一轮立体几何单元练习题(含答案)

2012届高考数学第一轮立体几何单元练习题(含答案)高三数学单元练习题：立体几何（Ⅱ）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是 . 则这两条直线的位置关系（） A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行 2．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（） A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶ 3．正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75° B．60° C．45° D．30° 5．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（） A．如果、n是异面直线，那么 B．如果、n是异面直线，那么相交 C．如果、n共面，那么 D．如果、n共面，那么 6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动（EF<a），若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积是（） A．有最小值的一个变量B．有最大值的一个变量 C．没有最值的一个变量 D．是一个常量 7．已知平面所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（） A．1条B．2条 C．3条 D．4条 8．如图所示，在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细线AM、 BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，若木条绕O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了（） A．10cm B．5cm C．10 cm D．5 cm 9．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（） A．258 B．234 C．222 D．210 10．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（） A． B． C． D． 11．底面边长为a，高为h的正三棱锥内接一个正四棱柱（此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面内），此棱柱体积的最大值（） A． B． C． D． 12．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（） A． B．2+ C．4+ D．第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是__________cm，表面积是______________cm2. 14．如图，矩形ABCD中，DC= ，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1¬―AE―B 的平面角的余弦值是 . 15．多面体上位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7 以上结论正确的为______________. （写出所有正确结论的编号） 16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD―A1B1C1D1内灌注一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；（3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；（4）当容器倾斜如图所示时，BE•BF是定值。

2012高三数学一轮复习单元练习题：立体几何(2)

高三数学单元练习题：立体几何（Ⅱ）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．一条直线与一个平面所成的角等于3π，另一直线与这个平面所成的角是6π. 则这两条直线的位置关系（）A ．必定相交B ．平行C ．必定异面D ．不可能平行2．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（）A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶33D ．1∶)133(-3．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 4．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 5．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //6．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，长为定值的线段E F 在棱AB 上移动（E F <a ），若P 是A 1D 1上的定点，Q 是C 1D 1上的动点，则四面体PQE F 的体积是（）A ．有最小值的一个变量B ．有最大值的一个变量C ．没有最值的一个变量D ．是一个常量7．已知平面βα与所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β 所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．如图所示，在水平横梁上A 、B 两点处各挂长为50c m 的细线A M 、 B N 、AB 的长度为60c m ，在MN 处挂长为60c m 的木条MN 平行于横梁，木条中点为O ，若木条绕O 的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了（）A ．10c mB ．5c mC ．103c mD ．53c m9．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（） A ．258 B ．234 C ．222D ．21010．在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A ．2R πB ．73R π C ．83R πD ．76Rπ 11．底面边长为a ，高为h 的正三棱锥内接一个正四棱柱（此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面内），此棱柱体积的最大值（）A ．h a 29)374(4-B ．h a 29)347(4-C ．h a 29)374(4+D ．h a 29)347(4+12．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（） AB ．C ．D第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.13．某地球仪上北纬30纬线的长度为12πc m ，该地球仪的半径是__________c m ，表面积是______________c m 2.14．如图，矩形ABCD 中，DC=3，AD=1，在DC 上截取DE=1，将△ADE 沿AE 翻折到D 1点，点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时，二面角D 1—AE —B 的平面角的余弦值是 . 15．多面体上位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的ABCDA 1B 1C 1D 1第15题图α一个，则P 到平面的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________.（写出所有正确结论的编号．．） 16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD —A 1B 1C 1D 1内灌注一些水，固定容器底面一边BC 于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形E F GH 的面积不会改变；（3）棱A 1D 1始终与水面E F GH 平行；（4）当容器倾斜如图所示时，BE ·B F 是定值。

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PFEABC

DC1

CB1

2012年4月北京各区一模立体几何试题汇编与解析（2012年东城一模立体几何）（14）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在AD上，正方形ABCD以AD为轴

逆时针旋转角)3(0≤≤到11ABCD的位置，同时点M沿着AD从点A运动到

点D，11MNDC，点Q在1MN上，在运动过程中点Q始终满足QM1cos，记点Q在面ABCD上的射影为0Q，则在运动过程中向量0BQ与BM夹角的正切的最大值为 .

答案：612 （2012年东城一模立体几何）（17）（本小题共13分）如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足1AEFCCP.将△AEF沿EF折起到△1AEF的位置，使二面角

1AEFB成直二面角，连结1AB，1AP.（如图2）

（Ⅰ）求证：EA1⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线EA1与平面BPA1所成角的大小.

图1 图2 x

zA1

FCPB

（Ⅰ）证明：取BE中点D，连结DF. 因为1AECF，1DE，

所以2AFAD，而60A，即△ADF是正三角形. 又因为1AEED, 所以EFAD. „„„„2分所以在图2中有1AEEF，BEEF.„„„„3分

所以1AEB为二面角1AEFB的平面角. 图1 又二面角1AEFB为直二面角，所以1AEBE. „„„5分又因为BEEFE, 所以1AE⊥平面BEF,即1AE⊥平面BEP. „„„6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1AE⊥平面BEP，BEEF，如图，以E为原点，建立空间直角坐标系Exyz，则(0,0,0)E，1(0,0,1)A，(2,0,0)B，(0,3,0)F. 在图１中，连结DP. 因为12CFCPFAPB，

所以PF∥BE，且12PFBEDE. 所以四边形EFPD为平行四边形. 所以EF∥DP，且EFDP.

故点P的坐标为（1，3，0）. 图2

所以1(2,0,1)AB， (1,3,0)BP，1(0,0,1)EA. „„„8分

不妨设平面1ABP的法向量(,,)xyzn，则10,0.ABBPnn

即20,30.xzxy令3y，得(3,3,6)n. „„„„10分所以cos1EAn,11632||||143EAEAnn. „„„„12分故直线1AE与平面1ABP所成角的大小为3. „„„„13分（2012年西城一模立体几何） 4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）243cm （B）223cm （C）28cm （D）24cm 答案：A （2012年西城一模立体几何）17．（本小题满分14分）

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形， 60DBFDAB，且FAFC．（Ⅰ）求证：AC平面BDEF；（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；（Ⅲ）求二面角BFCA的余弦值．

（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，且O为AC中点． „„„„„„1分又 FCFA，所以 ACFO． „„„3分因为 OBDFO，所以 AC平面BDEF． „„„„„„4分（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD//BC，DE//BF，所以平面FBC//平面EAD． „„„„„„7分又FC平面FBC，所以FC// 平面EAD． „„„„„„8分（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且60DBF，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以BDFO，故FO平面ABCD．由OFOBOA,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO．„„„9分设2AB．因为四边形ABCD为菱形，60DAB，则2BD，所以1OB， 3OAOF．

ECBAD

F所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(FCBAO．所以 (3,0,3)CF，(3,1,0)CB．

设平面BFC的法向量为=()x,y,zn，则有0,0.CFCBnn

所以 ．03,033yxzx 取1x，得)1,3,1(n．„„„„„„12分易知平面AFC的法向量为(0,1,0)v． „„„„„„13分由二面角BFCA是锐角，得 15cos,5nvnvnv．

所以二面角BFCA的余弦值为515． „„„„„„14分（2012年海淀一模立体几何）（8）在正方体''''ABCDABCD-中，若点P（异于点B）是

棱上一点，则满足BP与'AC所成的角为45°的点P的个数为（A）0 （B）3 （C）4 （D）6 答案：B （2012年海淀一模立体几何） (16)（本小题满分14分）在四棱锥PABCD-中，AB//CD，ABAD^，4,22,2ABADCD===，PA^平面ABCD，4PA=.

（Ⅰ）设平面PAB平面PCDm，求证：CD//m；（Ⅱ）求证：BD平面PAC；

（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为33，求PQPB

的值．（Ⅰ）证明：因为AB//CD，CD平面PAB，AB平面PAB，

所以CD//平面PAB. „„„„„„„„„„„2分因为CD平面PCD，平面PAB平面PCDm，所以CD//m. „„„„„„„„„„4分（Ⅱ）证明：因为AP^平面ABCD，ABAD^，所以以A为坐标原点，,,ABADAP所

A'B'C'D'

ABC

D在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B，(0,0,4)P，(0,22,0)D，(2,22,0)C. „„„„„„„„„5分所以 (4,22,0)BD，(2,22,0)AC， (0,0,4)AP，

所以(4)22222000BDAC， (4)0220040BDAP.

所以 BDAC，BDAP. 因为 APACA，AC平面PAC， PA平面PAC，

所以 BD平面PAC. 9分

（Ⅲ）解：设PQPB=（其中01＃），(,,)Qxyz，直线QC与平面PAC所成角为.

所以 PQPB=. 所以 (,,4)(4,0,4)xyz-=-.

所以 4,0,44,xyzì=ïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q-+. 所以 (42,22,44)CQ=---+. „„„„„„11分由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为(4,22,0)BD.„„„„„„12分

因为 sincos,CQBDCQBDCQBD×=<>=×



，

所以 2234(42)8326(42)8(44). 解得 7[0,1]12.所以 712PQPB=. „„„„„14分

（2012年朝阳一模立体几何） 4. 已知平面，直线,,abl，且,ab，则“la且lb”是“l”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

zyx

PDCBA C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B （2012年朝阳一模立体几何） 10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

答案：32 （2012年朝阳一模立体几何）17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，=90ABD， EB平面

ABCD，EF//AB，=2AB，=3,=1EBEF，=13BC，且M是BD的中点.

（Ⅰ）求证：EM//平面ADF；（Ⅱ）求二面角D-AF-B的大小；（Ⅲ）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由.

证明：（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN,NF. 在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以1=2MN//AB,MNAB，

又因为1=2EF//AB,EFAB，所以MN//EF且MN=EF. 所以四边形MNFE为平行四边形，所以EM//FN.

又因为FN平面ADF，EM平面ADF，故EM//平面ADF. „„„„„ 4分解法二：因为EB平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-Bxyz. „„„„„1分由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),BAD 3(3,-2,0),(0,0,3),(0,1,3),(,0,0)2CEFM

2 1

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正视图侧视图

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