2018重庆中考几何专题教师版

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2018重庆中考数学试题及答案

2018重庆中考数学试题及答案2018年重庆中考数学试题及答案一、选择题1. 设直线l1过点A(-2,-3)，斜率为k1，直线l2过点B(1,4)，斜率为k2，且k1k2=3，则k1+k2的值为多少？A. 2/3B. 4/3C. 3/2D. 5/2【答案】A. 2/32. 已知直线l过点(3,4)，斜率为3/4，点P在l上，且OP:OQ=1:3。

若点P的坐标为(x,y)，则点Q的坐标为多少？A. (3,6)B. (4,7)C. (9/2,11/2)D. (5/2,9/2)【答案】C. (9/2,11/2)3. 设数列{an}满足a1=2，an+1=(an+3)/2，(n≥1)，则a3的值为多少？A. 4/3B. 7/3C. 8/3D. 11/3【答案】B. 7/34. 已知函数f(x)=x^2+ax+b在点（1,1）处的函数值与导数值相等，则a与b的值分别为：A. a=-2，b=0B. a=0，b=-1C. a=1，b=-2D. a=2，b=1【答案】C. a=1，b=-25. 若x^log2(0.5)+2^log0.5(x^2)=2，则x的值为多少？A. 1B. -1/4C. 1/4D. 4【答案】C. 1/4二、填空题6. 在△ABC中，∠ABC=90°，AC=6，BC=8，则AB的长度为______。

【答案】107. 设2π/3<θ<π，且sinθ=3/5，则cos(π-θ)的值为______。

【答案】-3/58. 将125g的白醋与75g的水混合，得到质量分数为40%的溶液，白醋的浓度为______。

【答案】62.5%9. 在长方体中，一个顶点被任意选定，则与它相邻的顶点个数为______。

【答案】310. 若点P是对称点(-1,4)关于抛物线y=x^2的焦点，则点P的坐标为______。

【答案】(1,0)三、解答题11. 如图，矩形ABCD的边长分别为a和2a，直线l1经过点C，且与AB平行，直线l2经过点D，且与BC平行。

2018届重庆中考复习_重庆中考几何题分类汇编(含答案解析)

重庆中考几何题分类汇编（含答案）类型1 线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验例1 如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM，连接MN 交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP，连接MQ.(1)求证：MQ＝NP；(2)求证：CN＝2CP.针对训练：1．如图Z3－2，在▱ABCD中，AC⊥BC，点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF.(1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度数；(2)若CE⊥EF，求证：CE＝2EF.2．已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，E 为边AC 任意一点，连接BE.(1)如图①，若∠ABE＝15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO ＝1，求BC 的长；(2)如图②，F 也为AC 上一点，且满足AE ＝CF ，过A 作AD⊥BE 交BE 于点H ，交BC 于点D ，连接DF 交BE于点G ，连接AG.若AG 平分∠CAD，求证：AH ＝12AC.3．在△ACB 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 上一点，连接BD ，过点A 作AE⊥BD 于E ，交BC 于F.(1)如图①，若AB ＝4，CD ＝1，求AE 的长；(2)如图②，点G 是AE 上一点，连接CG ，若BE ＝AE ＋AG ，求证：CG ＝2AE.4．在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，连接AD.(1)如图①，E 是AC 的中点，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′，当AD ＝6时，求AE′的值．(2)如图②，在AC 上取一点E ，使得CE ＝13AC ，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′交BC 于点F ，求证：DF ＝CF.类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD于E.(1)若AC＝3，则CE＝________(直接写答案)；(2)如图①，M、N分别为AB和AC上的点，且AM＝AN，连接EM、DN，若∠AME＋∠AND＝180°，求证：DE ＝DN＋ME；(3)如图②，过E作EF⊥AE，交AD的延长线于F，在EC上选取一点H，使得EH＝BE，连接FH，在AC上选取一点G，使得AG＝AB，连接BG、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图Z3－7，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF.(1)若BE＝2EC，AB＝13，求AD的长；(2)求证：EG＝BG＋FC.2．如图，在正方形ABCD 中，点P 为AD 延长线上一点，连接AC 、CP ，过点C 作CF⊥CP 于点C ，交AB 于点F ，过点B 作BM⊥CF 于点N ，交AC 于点M.(1)若AP ＝78AC ，BC ＝4，求S △ACP ；(2)若CP －BM ＝2FN ，求证：BC ＝MC.3．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为一边向外作菱形ABDE ，连接DC ，EB 并延长EB 交AC 于F ，且CB⊥AE 于G.(1)若∠EBG＝20°，求∠AFE；(2)试问线段AE ，AF ，CF 之间的数量关系并证明．类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3 如图Z3－10①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为斜边AC上两点，且AD＝AB，CE＝CB，连接BD、BE.(1)求∠EBD的度数；(2)如图Z3－10②，过点D作FD⊥BD于点D，交BE的延长线于点F，在AB上选取一点H，使得BH＝BC，连接CH，在AC上选取一点G，使得GD＝CD，连接FH、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图，已知在▱ABCD中，G为BC的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2.(1)求证：E是AD中点；(2)若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2，求证：CD＝BF＋DF.2．如图Z 3－12，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，连接AE ，AF ，DE 、EF ，∠DAE ＝∠BAF.(1)求证：CE ＝CF ；(2)若∠ABC＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG.求证：DG⊥GE.3．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 与点B 在AC 同侧，∠ADC ＞∠BAC，且DA ＝DC ，过点B 作BE∥DA 交DC 于点E ，M 为AB 的中点，连接MD ，ME.(1)如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD 与ME 的数量关系是________；(2)如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图③，当∠ADC＝α时，求ME MD的值．(3)如图③，把图3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．在△ABC中，以AB为斜边，作直角三角形ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°.(1)如图①，若AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝6 3，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM 的长；(2)如图②，若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP＝CP；(3)如图③，若AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系(不需要证明)．例4 2017·河南如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：图①中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．针对训练：1．如图①，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＋∠CAD＝180°，连接DE，延长CA交DE于F.(1)求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；(2)若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°，如图②，求证：BC＝2AF；(3)若在△ABC中，如图③所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB与DE交于点F，F为DE的中点，请问(2)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.(1)如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．3．如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现．角平分线平行线，等腰三角形来添．角平分线加垂线，三线合一试试看．例5．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6 3，∠BAD＝60°，且AB＞6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值．针对训练：1．已知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.F.(1)如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；(2)如图②，点P是AC上一点，连接FP，若AP＝CD，求证：∠ADB＝∠CPF.3．已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE 于G，延长DG交BC于H.(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB.4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.当点M在边AD上移动时，连接BM、BP.(1)求证：BM是∠AMP的平分线；(2)△PDM的周长是否发生变化？证明你的结论．类型6 旋转型全等问题：图中若有边相等，可用旋转做实验例6．△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：________．②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：___________；(将结论直接写在横线上)(2)数学思考：如图Z 3－25②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸：如图Z 3－25③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB＝2 2，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．针对训练：1．在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D＝180°，对角线AC 平分∠BAD.(1)如图①，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由．(2)如图②，若将(1)中的条件“∠B＝90°”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若∠DAB＝90°，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由．2．如图①，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD于F，连接AF.(1)求证：∠EAF＝45°；(2)延长AB，AD，如图②，射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．3．如图①，在正方形ABCD内有一点P，PA＝5，PB＝2，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A(如图Z3－28②)，然后连接PP′.(1)请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；(2)如图③，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2 13，PB＝4，PC＝2.请求出∠BPC的度数．重庆中考几何题分类汇编答案例1. 证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠MBQ ＋∠ABC＝180°，∠ACB ＋∠PCN＝180°，∴∠MBQ ＝∠PCN.在△QBM 和△PCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧QB ＝PC ，∠MBQ ＝∠PCN，BM ＝CN ，∴△QBM ≌△PCN(SAS)．∴MQ＝NP.(2)过M 作MG∥AC 交BC 于G ，∵MG ∥AC ，∴∠MGB ＝∠ACB，∠MGC ＝∠PCN，∵由(1)知，∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABC ＝∠MGB，∴MB ＝MG ，∵MB ＝CN ，∴MG ＝CN.在△MGP 和△NCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MPG＝∠CPN，∠MGC ＝∠PC N ，MG ＝NC ，∴△MGP ≌△NCP(AAS)．∴PG ＝CP ，∴CG ＝CP ＋PG ，即CG ＝2CP.∵CM 平分∠ACB，∴∠BCM ＝∠MCA，∵MG ∥AC ，∴∠MCA ＝∠GMC，∴∠BCM ＝∠GMC，∴MG ＝CG ，∵MG ＝CN ，∴CN ＝CG ，∴CN ＝2CP.针对训练1. 解：(1)∵AC⊥BC，∴∠ACB ＝90°，又∵AC＝CF ，∴∠AFC ABC＝35°，∴∠EAF ＝10°；(2)证明：方法1：取CF 的中点M ，连接EM 、AM ，∵CE ⊥EF ，∴EM ＝CM ＝FM ＝12CF ，又∵AC＝AE ，∴AM 为EC 的中垂线，∴∠CAM ＋∠ACE＝90°，又∵∠ECF＋∠ACE＝90°，∴∠CAM ＝∠FCE，又∵∠CEF＝∠ACM＝90°，∴△ACM ∽△CEF ，∴AC CM ＝CE EF，又∵CF＝AC ＝2CM ，∴AC CM ＝CE EF ＝21，即CE ＝2EF ；方法2：延长FE 至M ，使EF ＝EM ，连接CM ，∵CE ⊥EF ，∴△CMF 为等腰三角形，又∵AC＝AE ＝CF ，且∠ACE＝∠CFE(易证)，∴△CMF ≌△CEA ，∴FM ＝CE ＝2EF.2. 解：(1)如图①，在AB 上取一点M ，使得BM ＝ME ，连接ME.在Rt △ABE 中，∵OB ＝OE ，∴BE ＝2OA ＝2，∵MB ＝ME ，∴∠MBE ＝∠MEB＝15°，∴∠AME ＝∠MBE＋∠MEB＝30°，设AE ＝x ，则ME ＝BM ＝2x ，AM ＝3x ，∵AB 2＋AE 2＝BE 2，∴(2x ＋3x)2＋x 2＝22，∴x ＝6－22(负根舍弃)，∴AB ＝AC ＝(2＋ 3)·6－22， ∴BC ＝2AB ＝3＋1.(2)证明：如图②，作CP⊥AC，交AD 的延长线于P ，GM ⊥AC 于M.∵BE ⊥AP ，∴∠AHB ＝90°，∴∠ABH ＋∠BAH＝90°，∵∠BAH ＋∠PAC＝90°，∴∠ABE ＝∠PAC，∴△ABE ≌△CAP ，∴AE ＝CP ＝CF ，∠AEB ＝∠P，在△DCF 和△DCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，∠DCF ＝∠DCP，CF ＝CP ，∴△DCF ≌△DCP ，∴∠DFC ＝∠P，∴∠GFE ＝∠GEF，∴GE ＝GF ，∵GM ⊥EF ，∴FM ＝ME ，∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE ，∴AM ＝CM ，在△GAH 和△GAM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAH＝∠GAM，∠AHG ＝∠AMG，AG ＝AG ，∴△AGH ≌△AGM ，∴AH ＝AM ＝CM ＝12AC.3. 解：(1)∵AB＝4，∴AC ＝AB ＝4.∵CD ＝1，∴AD ＝AC －CD ＝3.∵在Rt △ABD 中，∠BAC ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝5，∵S △ABD ＝12AB·AD＝12AE·BD，∴AE ＝2.4. (2)证明：如图，在线段EB 上截取EH ＝AE ，并连接AH.∵AE ⊥BD ，EH ＝AE ，∴AH ＝2AE.∵BE ＝AE ＋AG ，∴BH ＝BE －HE ＝AG.∵∠BAD ＝∠BEA＝90°，∴∠ABE ＋∠BAE＝∠CAG＋∠BAE＝90°，∴∠ABE ＝∠CA G.∵BA ＝AC ，∴△ABH ≌△CAG ，∴CG ＝AH ＝2AE.4. 解：(1)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，∴∠ADC ＝90°，∠ACD ＝45°.在Rt △ADC 中，AC ＝AD÷sin45°＝2 3.∵E 是AC 的中点，∴CE ＝12AC ＝ 3.∵将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝3，∠ACE ′＝90°.由勾股定理，得AE′＝CE′2＋AC 2＝15.(2)证明：如图，过B 作AE′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H.∵∠ABH ＋∠BAF＝90°，∠CAF ＋∠BAF＝90°，∴∠ABH ＝∠CAF.又∵AB＝AC ，∠BAH ＝∠ACE′＝90°，∴△ABH ≌△CAE ′.∴AH ＝CE′＝CE ，∵CE ＝13AC ，∴AH ＝HE ＝CE. ∵D 是BC 中点，∴DE ∥BH ，∴G 是AD 中点．在△ABG 和△CAF 中：AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACD＝45°，∠ABH ＝∠CAF，∴△ABG ≌△CAF.∴AG ＝CF.∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD.∴DF＝CF.类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2：解：（1）3（2）证明：延长DN 到K ，使得NK ＝ME ，连接AK ，如图①，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠3.⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AN ，∠2＝∠3，ME ＝NK ，∴△AME ≌△ANK (SAS)．∴AE ＝AK ，∠4＝∠5，∴∠4＋∠EAC ＝90°，∴∠5＋∠EAC ＝90°，即∠EAK ＝90°，∵∠EAD ＝45°，∴∠KAD ＝∠EAK －∠EAD ＝90°－45°＝45°.∴∠EAD ＝∠KAD .在△EAD 和△KAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EA ＝KA ，∠EAD ＝∠KAD ，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△KAD (SAS)，∴ED ＝KD .∵DK ＝DN ＋KN ，∴ED ＝DN ＋KN ，又NK ＝ME ，∴ED ＝DN ＋ME .(3)证明：延长AE 到J ，使得EJ ＝AE ，连接JH ，JF.如图②，在△ABE 和△JHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝JE ，∠AEB ＝∠JEH，BE ＝HE ，∴△ABE ≌△JHE(SAS)，∴JH ＝AB ，∠1＝∠2，∵AB ＝AG ，∴JH ＝AG ，∵AE ＝EJ ，EF ⊥AJ ，∴AF ＝JF ，∴∠JAF ＝∠AJF＝45°，即∠2＋∠3＝45°，∵∠BAC ＝90°，∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°，∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD，＝90°－45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，在△JHF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧JH ＝AG ，∠3＝∠4，JF ＝AF ，∴△JHF ≌△AGF(SAS)，∴FH ＝FG.针对训练：1. 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC.∵BE ＝2EC ，设CE ＝x ，BE ＝2x ，∴BC ＝AD ＝AE ＝3x.又∵EG⊥AB，∴∠AEB ＝90°，∴AB 2＝AE 2＋BE 2，即13＝9x 2＋4x 2，∴x ＝1，∴AD ＝3x ＝3.(2)证明：如图，过C 作CH⊥AB 于H ，则四边形CHGF 为矩形．∴CF ＝HG ，∠CHB ＝90°，GF ＝CH.∵AE ⊥BC ，EG ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠CHB＝90°，∠BCH ＋∠B＝90°，∠BAE ＋∠B＝90°，∴∠BCH ＝∠BAE.又∵AE＝BC ，∴△AGE ≌△CHB ，∴GE ＝BH ，AG ＝GF ，∴GE ＝BH ＝BG ＋GH ＝BG ＋CF.2. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，BC ＝4，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝4，∠ADC ＝∠ABC＝90°.∵在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4 2，∴AP ＝78AC ＝72 2， ∴S △ACP ＝12AP·CD＝7 2.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝DC ，∠ABC ＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∵∠BCD ＝90°，CF ⊥CP ，∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°，∴∠1＝∠2，∵在△FBC 和△PDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FBC＝∠3，BC ＝DC ，∠1＝∠2，∴△FBC ≌△PDC(ASA)，∴CF ＝CP ，∵CP －2FN ＝BM ，∴CF －FK ＝BM ，即CK ＝BM ，∵∠FBC ＝90°，BM ⊥CF ，∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC＝90°，∴∠1＝∠4，∵在△ABM 和△BCK 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠4＝∠1，BM ＝CK ，∴△ABM ≌△BCK(SAS)，∴∠7＝∠6.∵BM ⊥CF ，NK ＝NF ，∴BF ＝BK ，∵BF ＝BK ，BM ⊥CF ，∴∠4＝∠5，∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6，∵∠8＝∠4＋∠7，∴∠8＝∠MBC，∴BC ＝解：方法二：如图②，延长BM 交AD 于点G ，过A 作AE⊥BG 于E先证△AEB ≌△BNC(AAS)，∴AE ＝BN ，又证△AEG ≌△BNF(AAS)，∴EG ＝NF ，再证四边形BCPG 为平行四边形，∴BG ＝CP ，∵CP －BM ＝2FN ，∴BG －BM ＝2EG ，∴MG ＝2EG ，∴点E 为MG 中点，∵AE ⊥MG ，EM ＝EG ，∴AM ＝AG ，∴∠3＝∠4，∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠1＝∠2，∴BC ＝MC.3. 解：(1)∵∠EBG＝20°，CB ⊥AE ，∴∠BEG ＝70o ，∠CBF ＝∠EBG＝20°，∵四边形ABDE 是菱形，∴∠ABE ＝∠BEG＝70°，∴∠ABG ＝50°，∵AB ＝BC ，∴∠FCB ＝25°，∴∠AFE ＝∠CBF＋∠FCB＝45°；(2)AE ，AF ，CF 之间的数量关系是AF 2＋CF 2＝2AE 2，证明如下：连接DF ，∵四边形ABDE 是菱形，∴AB ＝DB ，∠DBE ＝∠ABE，∴∠DBF ＝∠ABF，∵BF ＝BF ，∴△DBF ≌△ABF(SAS)，∴DF ＝AF ，∠BDF ＝∠BAF，∵∠BCF ＝∠BAF，∴∠BCF ＝∠BDF，∵CB ⊥AE ，AE ∥DB ，∴DB ⊥CB ，∵CB ＝AB ＝BD ，∴△DBC 是等腰直角三角形，∴DC ＝2BD ＝2AE ，∵∠DPB ＝∠CPF，∴∠CFP ＝∠DBP＝90°，∴DF 2＋CF 2＝DC 2，即有：AF 2＋CF 2＝2AE 2.类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3解：(1)设∠BEC ＝α，∠BDA ＝β，则∠C ＝180°－2α，∠A ＝180°－2β.∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠C ＝90°，即180°－2α＋180°－2β＝90°，∴α＋β＝135°，∴∠EBD ＝45°.(2)证明：法一：如图①，延长BD 至点B′，使得DB′＝DB ，连接FB′、GB′.在△GDB′和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧GD ＝CD ，∠GDB ′＝∠CDB，B ′D ＝BD ，∴△GDB ′≌△CDB.∴GB ′＝BC ＝BH ，∠GB ′D ＝∠CBD.∵FD ⊥BD ，BD ＝DB′，∴FB ＝FB′.∵∠FB ′G ＝45°－∠GB′D，∠HBF ＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD，∴∠FB ′G ＝∠HBF.在△FHB 和△FGB′中，⎩⎪⎨⎪⎧HB ＝GB′，∠HBF ＝∠GB′F，BF ＝B′F，∴△FHB ≌△FGB ′，∴HF ＝GF.法二：如图②，延长FD 至点F ′，使得DF ′＝DF ，连接BF ′.先证△DGF ≌△DCF ′，再证△BHF ≌△BCF ′，∴HF ＝GF .针对训练1. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C .又∵∠1＝∠2，∴△ABE ≌△CDG (ASA)，∴AE ＝CG .∵G 为BC 中点，∴CG ＝12BC ， ∴AE ＝CG ＝12BC ＝12AD ，∴E 是AD 中点．(2)如图，延长BE ，CD 交于点H.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD ，∴∠A ＝∠ADH，∠1＝∠4，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴FH ＝FB.由(1)，E 是AD 中点，∴AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DHE(AAS)，∴AB ＝DH ，∴CD ＝AB ＝DH ＝DF ＋FH ＝DF ＋BF ，即CD ＝BF ＋DF.2. 证明：(1)在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠ADF ＝∠ABE，∵∠DAE ＝∠BAF，∴∠DAE －∠EAF＝∠BAF－∠EAF，即∠DAF＝∠BAE.∴△DAF ≌△BAE ，∴BE ＝DF.又∵BC＝CD ，∴CE ＝CF∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠DFA ＝∠GAH.∵G 为AF 中点，∴AG ＝GF.又∵∠DGF＝∠AGH，∴△DGF ≌△HGA.∴DG ＝GH ，AH ＝DF.又∵AB＝CD ，∴BH ＝CF.又∵AB∥CD，∠ABC ＝120°，∴∠C ＝60°.又∵CE ＝CF ，∴△CEF 为等边三角形，∴CF ＝EF ，∠CFE ＝60°，∴EF ＝BH ，∠DFE ＝∠ABC＝120°.又∵BE＝DF ，∴△EFD ≌△HBE ，∴HE ＝ED ，又∵HG＝DG ，∴DG ⊥GE.3. 解：（1）MD=ME2)MD ＝3ME.理由如下：如图①，延长EM 交DA 于点F.∵BE ∥DA ，∴∠FAM ＝∠EBM.又∵AM＝BM ，∠AMF ＝∠BME，∴△AMF ≌△BME ，∴AF ＝BE ，MF ＝ME.∵DA ＝DC ，∠ADC ＝60°，∴∠BED ＝∠ADC＝60°，∠ACD ＝60°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝30°，∴∠EBC ＝30°，∴CE ＝BE ，∴AF ＝EC ，∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC，∴∠MDE ＝30°.在Rt △MDE 中，tan ∠MDE ＝ME MD ＝33. ∴MD ＝3ME.(3)如图②，延长EM 交DA 于点F ，∵BE ∥DA ，∴∠FAM ＝∠EBM，又∵AM＝BM ，∠AMF ＝∠BME，∴△AMF ≌△BME ，∴AF ＝BE ，MF ＝ME.延长BE 交AC 于点N ，∴∠BNC ＝∠DAC.∵DA ＝DC ，∴∠DCA ＝∠DAC，∴∠BNC ＝∠DCA，∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝∠EBC，∴CE ＝BE ，∴AF ＝CE.∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC，∵∠ADC ＝α，∴∠MDE ＝α2. ∴在Rt △MDE 中，ME MD ＝tan ∠MDE ＝tan α2.4.解：(1)如图①，作EH ⊥BC 于点H .∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠ECH ＝12∠ACB ＝30°， ∵EC ＝4，∠ECH ＝30°，∴EH ＝2，HC ＝2 3.∵BC ＝6 3，∴BH ＝6 3－2 3＝4 3.在Rt △BHE 中，BE 2＝(4 3)2＋22＝52，∴BE ＝2 13.(2)如图②，延长DP 至M ，使DP ＝PM ，连接BM 、AM .在△PDE 和△PMB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PD ＝PM ，∠EPD ＝∠BPM ，PE ＝PB ，∴△PDE ≌△PMB (SAS)．∴BM ＝DE ，∠1＝∠2.∴BM ∥DE .∴∠MBD ＋∠BDE ＝180°.∵CE 平分∠ACB ，DE ＝CD ，∴∠BDE ＝30°＋30°＝60°.∴∠MBD ＝120°.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∴∠3＝60°.∵BM ＝DE ，DE ＝CD ，∴BM ＝CD .在△ABM 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠3＝∠ACD ，BM ＝CD ，∴△ABM ≌△ACD (SAS)．∴AD ＝AM ，∠4＝∠5.∵PD ＝PM ，∴AP ⊥PD .∵∠4＝∠5，∠BAD ＋∠5＝60°，∴∠4＋∠BAD ＝60°，即∠MAD ＝60°.∴∠PAD ＝12∠MAD ＝30°.∵在Rt △APD 中，tan30°＝PD AP，∴AP ＝3PD .(3)第(2)问中的结论成立，理由如下：如图③，延长DP 至N ，使DP ＝PN ，连接BN 、AN ，取BE 、AC 交于点O.在△PDE 和△PNB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PD ＝PN ，∠EPD ＝∠BPN，PE ＝PB ，∴△PDE ≌△PNB(SAS)．∴BN ＝DE ，∠1＝∠2.∵DE ＝CD ，∴BN ＝CD.∵∠AOB ＝∠EOC，∴∠1＋∠3＋∠BAO＝∠2＋∠4＋∠DEC＋∠DCE.∵∠BAO ＝60°，∠DEC ＝∠DCE＝30°，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，∴∠3＝∠4.在△ABN 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠3＝∠4，BN ＝CD ，∴△ABN ≌△ACD(SAS)．∴∠5＝∠6，AN ＝AD.∵PD ＝PN ，∴AP ⊥PD.∵∠NAC ＋∠5＝60°，∴∠NAC ＋∠6＝60°，即∠NAD＝60°.∴∠PAD ＝12∠NAD＝30°， ∵在Rt △APD 中，tan ∠PAD ＝PD AP，∴AP ＝3PD.5. 解：(1)∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝30°，AD ＝6 3，∴cos ∠BAD ＝AD AB ，∴32＝6 3AB，∴AB ＝12. 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝12，∴PM 为△ABC 的中位线，∴PM ＝12AC ＝6.(2)证明：方法一：如图①，在截取ED 上截取EQ ＝PD ，∵∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵AD＝AE ，∴∠2＝∠3，又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4.在△BDP 和△CEQ 中，PD ＝QE ，∠1＝∠4，BD ＝CE ，∴△BDP ≌△CEQ.∴BP ＝CQ ，∠DBP ＝∠QCE，又∵∠5＝∠1＋∠DBP，∠6＝∠4＋∠QCE，∴∠5＝∠6，∴PC ＝CQ ，∴BP ＝CP.方法二：如图②，过点B 作EP 的垂线交EP 的延长线于点M ，过C 点作EP EP 于点N.∵∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵AD＝AE ，∴∠2＝∠3，又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4，在△BMD 和△CNE 中，∠1＝∠4，∠BMD ＝∠CNE＝90°，BD ＝CE ，∴△BMD ≌△CNE.∴BM ＝CN.在△BMP 和△CNP 中，∠5＝∠6，∠BMP ＝∠CNP，BM ＝CN ，∴△BMP ≌△CNP，∴BP ＝CP.方法三：如图③，过点B 作BM ∥CE 交EP 的延长线于点M .略证△BMP ≌△CEP ，∴BP ＝CP .(3)BF 2＋FC 2＝2AD 2.类型4 中位线：三角形中两中点，连接则成中位线例4: 解：（1）PM=PN;PM ⊥PN(2)△PMN 为等腰直角三角形，理由如下：由题意知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，∴∠BAD ＝∠CAE，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE，BD ＝CE.又∵M、P 、N 分别是DE 、CD 、BC 的中点，∴PM 是△CDE 的中位线，∴PM ∥CE 且PM ＝12CE ，∠MPD ＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE. 同理，PN ∥BD 且PN ＝12BD ，∠DBC ＝∠PNC，又∵BD＝CE ，∠ABD ＝∠ACE，∴PM ＝PN ，∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝∠ECD ＋∠DCN＋∠CNP＝∠ACD＋∠ACE＋∠DCN＋∠CBD＝∠ACD＋∠DCN＋∠ABD＋∠CBD＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴PM ⊥PN ，∴△PMN 为等腰直角三角形；(3)△PMN 面积的最大值为492.提示：在旋转的过程中，由(2)中的结论知△PMN 为等腰直角三角形，S △PMN ＝12PN 2＝18BD 2，当S △PMN 有最大值时，则BD 的值最大，由三角形三边关系可推断出当B 、A 、D 三点共线时，BD的值最大，其最大值为14，此时S △PMN ＝12PN 2＝18BD 2＝18×14×14＝492.针对训练：1. 解：(1)证明：延长DA 交BE 于G 点．∵∠BAE ＋∠CAD ＝180°，即∠EAG ＋∠GAB ＋∠CAD ＝180°，∵∠GAB ＋∠BAC ＋∠CAD ＝180°，∴∠EAG ＝∠CAB .∵∠EAG ＝∠AED ＋∠ADE ，∴∠CAB ＝∠AED ＋∠ADE .(2)证明：如图①，过E 点作DA 延长线的垂线，垂足为H .∴∠AHE ＝∠ACB ＝90°，由(1)可知，∠EAH ＝∠BAC ，又∵AE ＝AB ，∴△AHE ≌△ACB ，∴EH ＝BC ，AH ＝AC .∵AC ＝AD ，∴AH ＝AD .∵∠EHA ＝∠FAD ＝90°，∴AF ∥EH .∵A 为DH 中点，∴AF 为△DHE 中位线，∴EH ＝2AF ，∴BC ＝2AF .(3)成立．证明如下：如图②，延长DA 至M 点，使AM ＝DA ，连接EM ，∵∠BAE ＋∠CAD ＝180°，∠CAD ＋∠CAM ＝180°，∴∠BAE ＝∠CAM ，∴∠BAE ＋∠CAC ＝∠CAM ＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠CAM .∵AM ＝AD ，AD ＝AC ，∴AM ＝AC .又∵AB ＝AE ，∠BAC ＝∠EAM ，∴△BAC ≌△EAM ，∴BC ＝EM .∵F 、A 分别为DE 、DM 中点，∴AF 为△DEM 中位线，∴EM ＝2AF ，∴BC ＝2AF .2. 解：(1)证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAE ＝90°，∴∠DAC ＝90°，在△ABE 与△ACD 中，AE ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD＝90°，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD(SAS)，∴CD ＝BE ， ∵在Rt △ABE 中，F 为BE 的中点，∴BE ＝2AF ，∴CD ＝2AF.(2)成立，证明：如图，延长EA 交BC 于G ，在AG 上截取AH ＝AD ，∵∠BAC ＋∠EAD＝180°，∴∠EAB ＋∠DAC＝180°，∵∠EAB ＋∠BAH＝180°，∴∠DAC ＝∠BAH，在△ABH 与△ACD 中，AH ＝AD ，∠BAH ＝∠CAD，AB ＝AC ，∴△ABH ≌△ACD(SAS)，∴BH ＝DC ，∵AD ＝AE ，AH ＝AD ，∴AE ＝AH ，∵EF ＝FB ，∴BH ＝2AF ，∴CD ＝2AF.3. 解：(1)证明：∵AB＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD，∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED，∵∠BAD ＋∠ABD＝∠ADE＋∠EDC，∠EDC ＋∠ACD＝∠AED ，∴∠BAD ＝2∠EDC，∵∠ABF ＝2∠EDC，∴∠BAD ＝∠ABF，∴△ABF 是等腰三角形；(2)方法一：如图①，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ，∵点N 是BG 的中点，∴AN ＝12BH ， ∵∠BAD ＝∠ABF，∠DAC ＝∠CBG，∴∠CAB ＝∠CBA，∴△ABC 是等边三角形．∴AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠BCA＝60°，∵GM ＝AB ，AB ＝AC ，∴CM ＝AG ，∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠BAH ＝∠BCM＝120°，AH ＝CM ，∴△BAH ≌△BCM(SAS)，∴BH ＝BM ，∴AN ＝12BM ，方法二：如图②，延长AN 至K ，使NK ＝AN ，连接KB ，同方法一，先证△ABC 是等边三角形，再证△ANG ≌△KNB (SAS)，所以BK ＝AG ＝CM ，然后可以证得∠ABK ＝∠BCN ＝120°，最后证△ABK ≌△BCN (SAS)，所以BM ＝AK ＝2AN .类型5 角的和差倍分例5：解：(1)如图，过点P 作PG⊥EF 于G.∵PE ＝PF ＝6，EF ＝6 3，∴FG ＝EG ＝3 3，∠FPG ＝∠EPG＝12∠EPF. 在Rt △FPG 中，sin ∠FPG ＝FG PF ＝3 36＝32. ∴∠FPG ＝60°，∴∠EPF ＝2∠FPG＝120°.(2)如图，作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N .∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ，AM ＝AN ，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴NF ＝ME .又∵AP ＝10，∠PAM ＝12∠DAB ＝30°， ∴AM ＝AN ＝AP cos30°＝10×32＝5 3. ∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＝10 3.针对训练：1. 证明：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DB ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DC ＝DB .2. 解：(1)∵AC＝AB ＝4，且CD ＝1，∴AD ＝AC －CD ＝3.在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝5，∵S △ABD ＝12AB·AD＝12AE·BD， ∴AE ＝2.4.(2)证明：如图，取BC 的中点M ，连接AM 交BD 于点N .∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M 为BC 的中点，∴AM ＝BM ＝CM ，AM ⊥BC ，∠NAD ＝∠FCP ＝45°，∴∠AMF ＝∠BMN ＝90°.∵AE ⊥BD ，∴∠MAF ＋∠ANE ＝∠MBN ＋∠BNM ＝90°，又∠ANE ＝∠BNM ，∴∠MAF ＝∠MBN ，∴△AMF ≌△BMN ，∴MF ＝MN ，∴AM －MN ＝CM －MF ，即AN ＝CF .∵AP ＝CD ，∴AC －CD ＝AC －AP ，即AD ＝CP .∴△ADN ≌△CPF ，∴∠ADB ＝∠CPF .3. 解：(1)∵AB ＝BD ，∠BAD ＝45°，∴∠BDA ＝45°，即∠ABD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴当E 、C 重合时，BF ＝12BD ＝12AB . ∵在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2，∴(2BF )2＋BF 2＝(5)2，∴BF ＝1，AB ＝2.在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2＝2AB 2＝2 2.(2)证明：如图，在AF 上截取AK ＝HD ，连接BK.∵∠AFD ＝∠ABF＋∠2＝∠FGD＋∠3且∠ABF＝∠FGD＝90°，∴∠2＝∠3.在△ABK 与△DBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BD ，∠2＝∠3，AK ＝HD ，∴△ABK ≌△DBH ，∴BK ＝BH ，∠6＝∠5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠5＝∠4＝45°，∴∠6＝∠5＝45°，∴∠7＝∠ABD－∠6＝45°＝∠5.在△BFK 与△BFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BK ＝BH ，∠7＝∠5，BF ＝BF ，∴△BFK ≌△BFH.∴∠BFK ＝∠BFH，即∠AFB＝∠HFB.4. 解：(1)证明：由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°，BE ＝EM ，∴∠EMB ＝∠EBM，∴∠EMN －∠EMB＝∠ABC－∠EBM，即∠BMP＝∠MBC.∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠MBC，∴∠AMB ＝∠BMP，∴BM 是∠AMP 的平分线．(2)△PDM 的周长没有发生变化．证明如下：如图，过B 作BQ ⊥MP∵∠A ＝90°，且由(1)知BM 是∠AMP 的平分线，∴BA ＝BQ ，∵∠A ＝∠MQB ＝90°，∠AMB ＝∠BMP ，MB ＝MB ，∴△AMB ≌△QMB (AAS)．∴MA ＝MQ .∵BA ＝BC ，∴BQ ＝BC ，又∵∠BQP ＝90°＝∠C ，BP ＝BP ，∴Rt △BPC ≌Rt △BPQ (HL)．∴PC ＝PQ ，∴△PDM 的周长＝MD ＋MP ＋DP ＝MD ＋MQ ＋QP ＋PD＝MD ＋MA ＋PC ＋PD ＝AD ＋DC ＝2AD .∴△PDM 的周长没有发生变化．类型6 旋转型全等问题：图中若有边相等，可用旋转做实验例6：解：(1)①∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，AB ＝AC ，∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，∴△DAB ≌△FAC ，∴∠B ＝∠ACF，∴∠ACB ＋∠ACF＝90°，即CF⊥BC；②∵△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD ＋CD ，∴BC ＝CF ＋CD.(2)结论①成立，结论②不成立．∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，AB ＝AC.∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，∴△DAB ≌△FAC ，∴∠ABD ＝∠ACF，CF ＝BD ，∴∠BCF ＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，即CF⊥BC；∵BC＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝CH ＝12BC ＝2，∴CD ＝14BC ＝1，∴DH ＝3，同(2)证得△BAD ≌△CAF ， ∴∠ABD ＝∠ACF ＝45°，∴∠BCF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝90°，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5.∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ，∵∠AHD ＝∠ADE ＝∠EMD ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°，∴∠ADH ＝∠DEM ，∴△ADH ≌△DEM ，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3，∵∠ABC ＝45°，∴∠BGC ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1，∴EG ＝GN 2＋EN 2＝10.针对训练：1. 解：(1)AC ＝AD ＋AB .证明如下：∵∠B ＋∠D ＝180°，∠B ＝90°，∴∠D ＝90°.∵∠DAB ＝120°，AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝60°，∵∠B ＝90°，∴AB ＝12AC ，同理AD ＝12AC . ∴AC ＝AD ＋AB .(2)(1)中的结论成立，理由如下：如图①，以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE＝60°，∠ACE 的另一边交AB 的延长线于点E ，∵∠BAC ＝60°，∴△AEC 为等边三角形，∴AC ＝AE ＝CE ，∠E ＝60°，∵∠ABC ＋∠D＝180°，∠DAB ＝120°，∴∠DCB ＝60°，∴∠DCA ＝∠ECB.在△DAC 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC＝∠E，AC ＝CE ，∠DCA ＝∠BCE，∴△DAC ≌△BEC ，∴AD ＝BE ，∴AC ＝AE ＝AD ＋AB.(3)AD ＋AB ＝2AC.理由如下：如图②，过点C 作CE⊥AC 交AB 的延长线于点E∵∠ABC ＋∠D＝180°，∠DAB ＝90°，∴∠DCB ＝90°，∵∠ACE ＝90°，∴∠DCA ＝∠BCE，又∵AC 平分∠DAB，∴∠CAB ＝45°，∴∠E ＝45°，∴AC ＝CE.∴△CDA ≌△CBE ，∴AD ＝BE ，∴AD ＋AB ＝AE.∵在Rt △ACE 中，∠CAB ＝45°，∴AE ＝AC cos45°＝2AC ， ∴AD ＋AB ＝2AC.2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠D＝∠BAD＝90°，AB ＝AD ，∵△ABE 沿AE 翻折得到△AHE，∴△ABE ≌△AHE ，∴AH ＝AB ＝AD ，BE ＝EH ，∠AHE ＝∠AHF＝∠B＝∠D＝90°.在Rt △AHF 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AF ，AH ＝AD ， ∴Rt △AHF ≌Rt △ADF(HL)，∴∠HAF ＝∠DAF，∴∠EAF ＝∠EAH＋∠FAH＝12∠BAH＋12∠HAD＝12∠BAD＝45°，(2)以BM ，DN ，MN 为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图，过点A 作AH ⊥AN 并截取AH ＝AN ，连接BH 、HM ，∵∠1＋∠BAN ＝90°，∠3＋∠BAN ＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABH 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠1＝∠3，AH ＝AN ，∴△ABH ≌△ADN (SAS)，∴BH ＝DN ，∠HBA ＝∠NDA ＝135°，∵∠HAN ＝90°，∠MAN ＝45°，∴∠1＋∠2＝∠HAM ＝∠MAN ＝45°，在△AHM 和△ANM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝AN ，∠HAM ＝∠MAN ，AM ＝AM ，∴△AHM ≌△ANM (SAS)，∴HM ＝NM ，∴∠HBP ＝180°－∠HBA ＝180°－135°＝45°，∴∠HBP ＋∠PBM ＝45°＋45°＝90°，∴△HBM 是直角三角形，∵HB ＝DN ，HM ＝MN ，∴以BM ，DN ，MN 为三边围成的三角形为直角三角形．3. 解：(1)如图①，将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°得△P ′BA ，连接PP ′，则△AP ′B ≌△CPB ， ∴P ′B ＝PB ＝2，P ′A ＝PC ＝1，∠1＝∠2，∠AP ′B ＝∠BPC .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，即∠P ′BP ＝90°，∴∠BP ′P ＝45°.在Rt △P ′BP 中，由勾股定理，得PP ′2＝4.∵P ′A ＝1，AP ＝5∴P ′A 2＝1，AP 2＝5，∴P ′A 2＋PP ′2＝AP 2，∴△P ′AP 是直角三角形，∴∠AP ′P ＝90°，∴∠AP′B＝45°＋90°＝135°，∴∠BPC＝135°.(2)仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，连接PP′，如图②.则△PBC≌△P′BA，∴P′B＝PB＝4，P′A＝PC＝2，∠BPC＝∠BP′A，∴△BPP′为等腰三角形，∵∠ABC ＝120°，∴∠PBP′＝120°，∴∠BP′P＝30°，过点B作BG⊥PP′于G，则∠P′GB＝90°，∴PP′＝2P′G.∵P′B＝PB＝4，∠BP′P＝30°，∴BG＝2，∴P′G＝2 3.∴PP′＝4 3，在△APP′中，∵PA＝2 13，P′A＝2，PP′＝4 3，∴P′A2＋P′P2＝PA2，∴△PP′A是直角三角形，∴∠AP′P＝90°，∴∠BPC＝∠BP′A＝∠PP′B＋∠AP′P＝30°＋90°＝120°.。

2018年重庆市中考数学试题(A卷)及答案(word版)

2018年重庆市中考数学试卷(A 卷）答案及解析一、选择题（本大题12个小题,每小题4分，共48分。

)1.2的相反数是 A 。

2- B 。

12-C 。

12D 。

2【答案】A【解析】根据一个数的相反数就是在这个数的前面添加上“-”即可求解【点评】本题考查了相反数的定义，属于中考中的简单题2．下列图形中一定是轴对称图形的是A。

B。

C。

D.【答案】D【解析】A40°的直角三角形不是对称图形；B 两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形;C 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形;D 矩形是轴对称图形，有两条对称轴【点评】此题主要考查基本几何图形中的轴对称图形和中心对称图形，难度系数不大，考生主要注意看清楚题目要求。

3.为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是 A.企业男员工B.企业年满50岁及以上的员工C.用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工D 。

企业新进员工【答案】C【解析】A 调查对象只涉及到男性员工;B 调查对象只涉及到即将退休的员工；D 调查对直角三角形四边形平行四边形矩形象只涉及到新进员工【点评】此题主要考查考生对抽样调查中科学选取样本的理解，属于中考当中的简单题.4.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形,…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】∵第1个图案中的三角形个数为:2+2=2×2=4；第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=2×3=6;第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=2×4=8；……∴第7个图案中的三角形个数为:2+2+2+2+2+2+2+2=2×8=16；【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律,从而计算出正确结果。

比较简单.5。

重庆市2018年中考数学试题(含解析)

2018年重庆市中考数学试卷（A 卷）答案及解析一、选择题 (本大题12个小题，每小题4分，共48分。

)1.2的相反数是 A .2- B .12-C .12D .2【答案】A【解析】根据一个数的相反数就是在这个数的前面添加上“-”即可求解【点评】本题考查了相反数的定义，属于中考中的简单题2．下列图形中一定是轴对称图形的是A.B.C.D.【答案】D【解析】A40°的直角三角形不是对称图形；B 两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形；C 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形；D 矩形是轴对称图形，有两条对称轴【点评】此题主要考查基本几何图形中的轴对称图形和中心对称图形，难度系数不大，考生主要注意看清楚题目要求。

3.为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是 A.企业男员工 B.企业年满50岁及以上的员工 C.用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工 D.企业新进员工【答案】C【解析】A 调查对象只涉及到男性员工；B 调查对象只涉及到即将退休的员工；D 调查对象只涉及到新进员工【点评】此题主要考查考生对抽样调查中科学选取样本的理解，属于中考当中的简单题。

4.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C 【解析】40°直角三角形四边形平行四边形矩形∵第1个图案中的三角形个数为:2+2=2×2=4;第2个图案中的三角形个数为:2+2+2=2×3=6;第3个图案中的三角形个数为:2+2+2+2=2×4=8;……∴第7个图案中的三角形个数为:2+2+2+2+2+2+2+2=2×8=16;【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果。

(word版)2018届重庆中考复习：重庆中考几何题分类汇编(含答案),文档

重庆中考几何题分类汇编〔含答案〕类型1 线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验例1如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP，连接MQ.(1)求证：MQ＝NP；(2)求证：CN＝2CP.AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM，连接MN(1)针对训练：1．如图Z3－2，在?ABCD中，AC⊥BC，点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF.假设∠ABC＝35°，求∠EAF的度数；假设CE⊥EF，求证：CE＝2EF.2．，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE.如图①，假设∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；(2)如图②，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE1于点G，连接AG.假设AG平分∠CAD，求证： AH＝2AC.(1)3．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F.如图①，假设AB＝4，CD＝1，求AE的长；如图②，点G是AE上一点，连接CG，假设BE＝AE＋AG，求证：CG＝2AE.4．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝6时，求AE′的值．1(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交3BC于点F，求证：DF＝CF.(3)类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD于E.假设AC＝3，那么CE＝________(直接写答案)；如图①，M、N分别为AB和AC上的点，且AM＝AN，连接EM、DN，假设∠AME＋∠AND＝180°，求证：DEDN＋ME；如图②，过E作EF⊥AE，交AD的延长线于F，在EC上选取一点H，使得EH＝BE，连接FH，在AC 上选取一点G，使得AG＝AB，连接BG、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图Z3－7，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF. 假设BE＝2EC，AB＝13，求AD的长；求证：EG＝BG＋FC.2．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP于点C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M.7(1)假设AP＝AC，BC＝4，求S△ACP；8假设CP－BM＝2FN，求证：BC＝MC.3．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为一边向外作菱形ABDE，连接DC，EB并延长EB交AC于F，且CB⊥AE于G.假设∠EBG＝20°，求∠AFE；试问线段AE，AF，CF之间的数量关系并证明．(1)类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3如图Z3－10①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为斜边AC上两点，且AD＝AB，CE＝CB，连接BD、BE.求∠EBD的度数；如图Z3－10②，过点D作FD⊥BD于点D，交BE的延长线于点F，在AB上选取一点H，使得BH＝BC，连接CH，在AC上选取一点G，使得GD＝CD，连接FH、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图，在 ?ABCD中，G为BC的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2.求证：E是AD中点；假设F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2，求证：CD＝BF＋DF.(1)2．如图Z3－12，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，连接AE，AF，DE、EF，∠DAE＝∠BAF.求证：CE＝CF；假设∠ABC＝120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG.求证：DG⊥GE.3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠ADC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME.如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是________；如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；ME如图③，当∠ADC＝α时，求的值．MD4．如图①，等边三角形 ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE.假设CE＝4，BC＝63，求线段BE的长；如图②，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且AP＝3PD；(3)如图③，把图Z3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第(2)问中的结论还成立吗？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由．5．在△ABC中，以AB为斜边，作直角三角形ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°.如图①，假设AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝63，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；如图②，假设AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP＝CP；如图③，假设AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系(不需要证明)．类型4 中位线：三角形中两中点，连接那么成中位线例42021·河南如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．观察猜想：图①中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；(2 )探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3 )拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，假设AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．(1)针对训练：1．如图①，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＋∠CAD＝180°，连接DE，延长CA交DE于F.求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；假设∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°，如图②，求证：BC＝2AF；假设在△ABC中，如图③所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB与DE交于点F，F 为DE的中点，请问(2)中的结论还成立吗？假设成立，请给出证明，假设不成立，请说明理由．2．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＋∠EAD＝180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．(1)3．如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.求证：△ABF是等腰三角形；如图②，BF的延长交AC于点G.假设∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N 是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．类型5 角的和差倍分图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现．角平分线平行线，等腰三角形来添．角平分线加垂线，三线合一试试看．例5．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，EP＝FP ＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB＞63.求∠EPF的大小；假设AP＝10，求AE＋AF的值．针对训练：1．：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.2．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F.如图①，假设AB＝4，CD＝1，求AE的长；如图②，点P是AC上一点，连接FP，假设AP＝CD，求证：∠ADB＝∠CPF.3．，在?ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H.如图①，假设点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB.4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.当点M在边AD上移动时，连接BM、BP.求证：BM是∠AMP的平分线；△PDM的周长是否发生变化？证明你的结论．类型6 旋转型全等问题：图中假设有边相等，可用旋转做实验例6．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________．②BC，CD，CF之间的数量关系为：___________；(将结论直接写在横线上)数学思考：如图Z3－25②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸：如图 Z3－25③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.假设AB1＝2 2，CD＝BC，请求出GE的长．4针对训练：1．在四边形 ABCD中，∠B＋∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD.如图①，假设∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．如图②，假设将(1)中的条件“∠B＝90°〞去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由．如图③，假设∠D AB＝90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．2．如图①，在正方形 ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD于F，连接AF.(1)求证：∠EAF＝45°；(2)延长AB，AD，如图②，射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N，连接MN，假设以BM、DN、MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．3．如图①，在正方形 ABCD内有一点P，PA＝ 5，PB＝ 2，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析问题】根据条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A(如图Z3－28②)，然后连接PP′.请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；(2)如图③，假设在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2 13，PB＝4，PC＝2.请求出∠BPC的度数．∴重庆中考几何题分类汇编答案例1.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠MBQ＋∠ABC＝180°，∠ACB＋∠PCN＝180°，∴∠MBQ＝∠PCN.在△QBM和△PCN中，QB＝PC，MBQ＝∠PCN，∴△QBM≌△PCN(SAS)．∴MQ＝NP.BM＝CN，(2)过M作MG∥AC交BC于G，MG∥AC，∴∠MGB＝∠ACB，∠MGC＝∠PCN，∵由(1)知，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠MGB，∴MB＝MG，MB＝CN，MG＝CN.在△MGP和△NCP中，MPG＝∠CPN，MGC＝∠PCN，∴△MGP≌△NCP(AAS)．MG＝NC，PG＝CP，∴CG＝CP＋PG，即CG＝2CP.∵CM平分∠ACB，∴∠BCM＝∠MCA，∵MG∥AC，∴∠MCA＝∠GMC，∴∠BCM＝∠GMC，MG＝CG，∵MG＝CN，∴CN＝CG，∴CN＝2CP.针对训练1.解：(1)∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵AC＝CF，∴∠AFC＝45°，∵∠ABC＝35°，∴∠EAF＝10°；证明：方法1：取CF的中点M，连接EM、AM，1CE⊥EF，∴EM＝CM＝FM＝CF，2又∵AC＝AE，∴AM为EC的中垂线，∴∠CAM＋∠ACE＝90°，又∵∠ECF＋∠ACE＝90°，∴∠CAM＝∠FCE，AC CE又∵∠CEF＝∠ACM＝90°，∴△ACM∽△CEF，∴＝，CMEFAC CE 2又∵CF＝AC＝2CM，∴＝＝，即CE＝2EF；CMEF 1方法2：延长FE至M，使EF＝EM，连接CM，∵CE⊥EF，∴△CMF为等腰三角形，又∵AC＝AE＝CF，且∠ACE＝∠CFE(易证)，∴△CMF≌△CEA，∴FM＝CE＝2EF.解：(1)如图①，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME.在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE＋∠MEB＝30°，设AE＝x，那么ME＝BM＝2x，AM＝3x，222＋3x)222，∵AB＋AE＝BE，∴(2x＋x＝2∴x＝6－2(负根舍弃)，2∴AB＝AC＝(2＋3)·6－2，2BC＝2AB＝3＋1.证明：如图②，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M.∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH＋∠BAH＝90°，∵∠BAH＋∠PAC＝90°，∴∠ABE＝∠PAC，又∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACP＝90°，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，CD＝CD，DCF＝∠DCP，CF＝CP，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，∠GAH＝∠GAM，1AHG＝∠AMG，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝2AC.AG＝AG，∵解：(1)∵AB＝4，∴AC＝AB＝4.CD＝1，∴AD＝AC－CD＝3.∵在Rt△ABD中，∠BAC＝90°，22∴BD＝AB＋AD＝5，1 1S△ABD＝2AB·AD＝2AE·BD，∴AE＝2.4.证明：如图，在线段EB上截取EH＝AE，并连接AH.AE⊥BD，EH＝AE，∴AH＝2AE.BE＝AE＋AG，∴BH＝BE－HE＝AG.∵∠BAD＝∠BEA＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝∠CAG＋∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAG.BA＝AC，∴△ABH≌△CAG，∴CG＝AH＝2AE.解：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°.在Rt△ADC中，AC＝AD÷sin45°＝23.1∵E是AC的中点，∴CE＝2AC＝3.∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE′＝CE＝3，∠ACE′＝90°.22＝15.由勾股定理，得AE′＝CE′＋AC证明：如图，过B作AE′的垂线交AD于点G，交AC于点H.∵∠ABH＋∠BAF＝90°，∠CAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABH＝∠CAF.又∵AB＝AC，∠BAH＝∠ACE′＝90°，∴△ABH≌△CAE′.1AH＝CE′＝CE，∵CE＝3AC，∴AH＝HE＝CE.∵D是BC中点，∴DE∥BH，∴G是AD中点．在△ABG和△CAF中：AB＝AC，∠BAD＝∠ACD＝45°，∠ABH＝∠CAF，1 1 1∴△ABG≌△CAF.∴AG＝CF.∵AG＝2AD，∴CF＝2AD＝2CD.∴DF＝CF.类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2：解：〔1〕3〔2〕证明：延长DN到K，使得NK＝ME，连接AK，如图①，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠3.在△AME和△ANK中，AM＝AN，∠2＝∠3，∴△AME≌△ANK(SAS)．∴AE＝AK，∠4＝∠5，ME＝NK，∴∠4＋∠EAC＝90°，∴∠5＋∠EAC＝90°，即∠EAK＝90°，∵∠EAD＝45°，∴∠KAD＝∠EAK－∠EAD＝90°－45°＝45°.∴∠EAD＝∠KAD.在△EAD和△KAD中，EA＝KA，EAD＝∠KAD，∴△EAD≌△KAD(SAS)，AD＝AD，ED＝KD.∵DK＝DN＋KN，∴ED＝DN＋KN，又NK＝ME，∴ED＝DN＋ME.(3)证明：延长AE到J，使得EJ＝AE，连接JH，JF.如图②，在△ABE和△JHE中，AE＝JE，AEB＝∠JEH，∴△ABE≌△JHE(SAS)，BE＝HE，JH＝AB，∠1＝∠2，∵AB＝AG，∴JH＝AG，AE＝EJ，EF⊥AJ，∴AF＝JF，∴∠JAF＝∠AJF＝45°，即∠2＋∠3＝45°，∵∠BAC＝90°，∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°，∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD，＝90°－45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，在△JHF和△AGF中，JH＝AG，3＝∠4，∴△JHF≌△AGF(SAS)，∴FH＝FG.JF＝AF，∵针对训练：解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.BE＝2EC，设CE＝x，BE＝2x，∴BC＝AD＝AE＝3x.2 2 2又∵EG⊥AB，∴∠AEB＝90°，∴AB＝AE＋BE，即13＝9x2＋4x2，∴x＝1，∴AD＝3x＝3.证明：如图，过C作CH⊥AB于H，那么四边形CHGF为矩形．CF＝HG，∠CHB＝90°，GF＝CH.AE⊥BC，EG⊥AB，∴∠AEB＝∠CHB＝90°，BCH＋∠B＝90°，∠BAE＋∠B＝90°，∴∠BCH＝∠BAE.又∵AE＝BC，∴△AGE≌△CHB，∴GE＝BH，AG ＝GF，∴GE＝BH＝BG＋GH＝BG＋CF.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，BC＝4，∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠ABC＝90°.∵在Rt△ABC中，AC ＝222，AB＋BC＝477∴AP＝8AC＝22，∴S△AC P＝1AP·CD＝72. 2证明：方法一：如图①，在NC上截取NK＝NF，连接BK.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝DC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∵∠BCD＝90°，CF⊥CP，∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°，∠FBC＝∠3，∴∠1＝∠2，∵在△FBC和△PDC中，BC＝DC，∠1＝∠2，∴△FBC≌△PDC(ASA)，∴CF＝CP，CP－2FN＝BM，∴CF－FK＝BM，即CK＝BM，∵∠FBC＝90°，BM⊥CF，∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC＝90°，∵AB＝BC，∴∠1＝∠4，∵在△ABM和△BCK中，∠4＝∠1，BM＝CK，∴△ABM≌△BCK(SAS)，∴∠7＝∠6.BM⊥CF，NK＝NF，∴BF＝BK，∵BF＝BK，BM⊥CF，∴∠4＝∠5，∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6，∵∠8＝∠4＋∠7，∴∠8＝∠MBC，∴BC＝MC.解：方法二：如图②，延长BM交AD于点G，过A作AE⊥BG于E先证△AEB≌△BNC(AAS)，∴AE＝BN，又证△AEG≌△BNF(AAS)，∴EG＝NF，再证四边形BCPG为平行四边形，∴BG＝CP，CP－BM＝2FN，∴BG－BM＝2EG，∴MG＝2EG，∴点E为MG中点，AE⊥MG，EM＝EG，∴AM＝AG，∴∠3＝∠4，∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠1＝∠2，BC＝MC.解：(1)∵∠EBG＝20°，CB⊥AE，∴∠BEG＝70o，∠CBF＝∠EBG＝20°，∵四边形ABDE是菱形，∴∠ABE＝∠BEG＝70°，∴∠ABG＝50°，∵AB＝BC，∴∠FCB＝25°，∴∠AFE＝∠CBF＋∠FCB＝45°；(2)AE，AF，CF之间的数量关系是AF2＋CF2＝2AE2，证明如下：连接DF，∵四边形ABDE是菱形，∴AB＝DB，∠DBE＝∠ABE，∴∠DBF＝∠ABF，BF＝BF，∴△DBF≌△ABF(SAS)，DF＝AF，∠BDF＝∠BAF，∵∠BCF＝∠BAF，∴∠BCF＝∠BDF，CB⊥AE，AE∥DB，∴DB⊥CB，CB＝AB＝BD，∴△DBC是等腰直角三角形，∴DC＝ 2BD＝ 2AE，2 2 2∵∠DPB＝∠CPF，∴∠CFP＝∠DBP＝90°，∴DF＋CF＝DC，即有：AF2＋CF2＝2AE2.类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3解：(1)设∠BEC＝α，∠BDA＝β，那么∠C＝180°－2α，∠A＝180°－2β.∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，即180°－2α＋180°－2β＝90°，∴α＋β＝135°，∴∠EBD＝45°.证明：法一：如图①，延长BD至点B′，使得DB′＝DB，连接FB′、GB′.GD＝CD，在△GDB′和△CDB中，∠GDB′＝∠CDB，B′D＝BD，∴△GDB′≌△CDB.∴GB′＝BC＝BH，∠GB′D＝∠CBD.FD⊥BD，BD＝DB′，∴FB＝FB′.∵∠FB′G＝45°－∠GB′D，HBF＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD，∴∠FB′G＝∠HBF.HB＝GB′，在△FHB和△FGB′中，∠HBF＝∠GB′F，BF＝B′F，∴△FHB≌△FGB′，∴HF＝GF.法二：如图②，延长 FD至点F′，使得DF′＝DF，连接CF′、BF′.先证△DGF≌△DCF′，再证△BHF≌△BCF′，HF＝GF.针对训练证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C.又∵∠1＝∠2，∴△ABE≌△CDG(ASA)，∴AE＝CG.11G为BC中点，∴CG＝2BC，1AE＝CG＝2BC＝2AD，E是AD中点．如图，延长BE，CD交于点H.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊CD，∴∠A＝∠ADH，∠1＝∠4，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴FH＝FB.由(1)，E是AD中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌△DHE(AAS)，∴AB＝DH，∴CD＝AB＝DH＝DF＋FH＝DF＋BF，即CD＝BF＋DF.2. 证明：(1)在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠ADF＝∠ABE，∵∠DAE＝∠BAF，∴∠DAE－∠EAF＝∠BAF－∠EAF，即∠DAF＝∠BAE.∴△DAF≌△BAE，∴BE＝DF.又∵BC＝CD，∴CE＝CF如图，延长DG交AB于H，连接EH，∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠DFA＝∠GAH.G为AF中点，∴AG＝GF.又∵∠DGF＝∠AGH，∴△DGF≌△HGA.∴DG＝GH，AH＝DF.又∵AB＝CD，∴BH＝CF.又∵AB∥CD，∠ABC＝120°，∴∠C＝60°.又∵CE＝CF，∴△CEF为等边三角形，CF＝EF，∠CFE＝60°，∴EF＝BH，∠DFE＝∠ABC＝120°.又∵BE＝DF，∴△EFD≌△HBE，∴HE＝ED，又∵HG＝DG，∴DG⊥GE.3. 解：〔1〕MD=ME2)MD＝3ME.理由如下：如图①，延长EM交DA于点F.BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM.又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME.DA＝DC，∠ADC＝60°，∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝30°，∴∠EBC＝30°，∴CE＝BE，∴AF＝EC，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE＝30°.ME 3在Rt△MDE中，tan∠MDE＝＝.MD 3MD＝3ME.如图②，延长EM交DA于点F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME.延长BE交AC于点N，∴∠BNC＝∠DAC.DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠BNC＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE＝BE，∴AF＝CE.∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，α∵∠ADC＝α，∴∠MDE＝2.∴在Rt△MDE 中，MEα.＝tan∠MDE＝tan2MD4.解：(1)如图①，作EH⊥BC于点H.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.1CE平分∠ACB，∴∠ECH＝2∠ACB＝30°，∵EC＝4，∠ECH＝30°，∴EH＝2，HC＝2 3.∵BC＝63，∴BH＝63－23＝43.在Rt△中，2＝(43)2＋22＝52，BHE BEBE＝213.∵如图②，延长DP至M，使DP＝PM，连接BM、AM.PD＝PM，在△PDE和△PMB中，∠EPD＝∠BPM，PE＝PB，∴△PDE≌△PMB(SAS)．∴BM＝DE，∠1＝∠2.BM∥DE.∴∠MBD＋∠BDE＝180°.CE平分∠ACB，DE＝CD，∴∠BDE＝30°＋30°＝60°.∴∠MBD＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠3＝60°. BM＝DE，DE＝CD，∴BM＝CD.AB＝AC，在△ABM和△ACD中，∠3＝∠ACD，BM＝CD，∴△ABM≌△ACD(SAS)．∴AD＝AM，∠4＝∠5.PD＝PM，∴AP⊥PD.∵∠4＝∠5，∠BAD＋∠5＝60°，∴∠4＋∠BAD＝60°，即∠MAD＝60°.1∴∠PAD＝2∠MAD＝30°.PD∵在Rt△APD中，tan30°＝，∴AP＝AP3PD.(3)第(2)问中的结论成立，理由如下：如图③，延长DP至N，使DP＝PN，连接BN、AN，取BE、AC交于点O.在△PDE和△PNB中，PD＝PN，EPD＝∠BPN，∴△PDE≌△PNB(SAS)．∴BN＝DE，∠1＝∠2.PE＝PB，DE＝CD，∴BN＝CD.∵∠AOB＝∠EOC，∴∠1＋∠3＋∠BAO＝∠2＋∠4＋∠DEC＋∠DCE.∵∠BAO＝60°，∠DEC＝∠DCE＝30°，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，∴∠3＝∠4.在△A BN和△ACD中，AB＝AC，3＝∠4，∴△ABN≌△ACD(SAS)．∴∠5＝∠6，AN＝AD.BN＝CD，PD＝PN，∴AP⊥PD.∵∠NAC＋∠5＝60°，1∴∠NAC＋∠6＝60°，即∠NAD＝60°.∴∠PAD＝2∠NAD＝30°，PD∵在Rt△APD中，tan∠PAD＝AP，∴AP＝ 3PD.5.解：(1)∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AD＝63，∴cos∠BAD＝AD363，∴AB＝12.，∴＝ABAB2又∵AB＝AC，∴AC＝12，1PM为△ABC的中位线，∴PM＝AC＝6.2证明：方法一：如图①，在截取ED上截取EQ＝PD，∵∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵AD＝AE，∴∠2＝∠3，又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4.在△BDP和△CEQ中，PD＝QE，∠1＝∠4，BD＝CE，∴△BDP≌△CEQ.BP＝CQ，∠DBP＝∠QCE，又∵∠5＝∠1＋∠DBP，∠ 6＝∠4＋∠QCE，∴∠5＝∠6，PC＝CQ，BP＝CP.方法二：如图②，过点B作EP的垂线交EP的延长线于点M，过C点作EP的垂线交EP于点N.∵∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵AD＝AE，∴∠2＝∠3，又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4，在△BMD和△CNE中，∠1＝∠4，∠BMD＝∠CNE＝90°，BD＝CE，∴△BMD≌△CNE.BM ＝CN.在△BMP 和△CNP 中，5＝∠6，∠BMP＝∠CNP，BM ＝CN ，∴△BMP≌△CNP，∴BP＝CP.方法三：如图③，过点 B 作BM ∥CE 交EP 的延长线于点 M.略证△BMP ≌△CEP ，∴BP ＝CP.(3)BF 2＋FC 2＝2AD 2.类型4 中位线：三角形中两中点，连接那么成中位线例4:解：〔1〕PM=PN;PM⊥PN△PMN 为等腰直角三角形，理由如下：由题意知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，∴∠ BAD ＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，BD ＝CE.又∵M、P 、N 分别是DE 、CD 、BC 的中点，∴PM 是△CDE 的中位线，1PM∥CE 且PM ＝CE ，∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE.21同理，PN∥BD 且PN ＝2BD ，∠DBC＝∠PNC，又∵BD＝CE ，∠ABD＝∠ACE，∴PM＝PN ，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ECD＋∠DCN＋∠CNP＝∠ACD＋∠ACE＋∠DCN＋∠CBD＝∠ACD＋∠DCN＋∠ABD＋∠CBD＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴PM⊥PN，∴△PMN 为等腰直角三角形；49 1(3)△PMN 面积的最大值为2.提示：在旋转的过程中，由(2)中的结论知△PMN 为等腰直角三角形，S △PMN＝ 2 2 12△PMN B 、A 、D 三点共线时，BD PN ＝ 8BD ，当S 有最大值时，那么BD 的值最大，由三角形三边关系可推断出当1 2 1 2 1 49 的值最大，其最大值为 14，此时S △PMN＝2PN ＝8BD ＝8×14×14＝2.针对训练：解：(1)证明：延长DA 交BE 于G 点．∵∠BAE ＋∠CAD ＝180°，即∠EAG＋∠GAB＋∠CAD＝180°，∵∠GAB＋∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠EAG＝∠CAB. ∵∠EAG＝∠AED＋∠ADE，∴∠CAB＝∠AED＋∠ADE.(2)证明：如图①，过E点作DA延长线的垂线，垂足为H.∴∠AHE＝∠ACB＝90°，由(1)可知，∠EAH＝∠BAC，又∵AE＝AB，∴△AHE≌△ACB，EH＝BC，AH＝AC.∵AC＝AD，∴AH＝AD.∵∠EHA＝∠FAD＝90°，∴AF∥EH.∵A为DH中点，AF为△DHE中位线，∴EH＝2AF，∴BC＝2AF.成立．证明如下：如图②，延长DA至M点，使AM＝DA，连接EM，∵∠BAE＋∠CAD＝180°，∠CAD＋∠CAM＝180°，∴∠BAE＝∠CAM，∴∠BAE＋∠CAC＝∠CAM＋∠EAC，即∠BAC＝∠CAM.AM＝AD，AD＝AC，∴AM＝AC.又∵AB＝AE，∠BAC＝∠EAM，∴△BAC≌△EAM，BC＝EM.F、A分别为DE、DM中点，∴AF为△DEM中位线，∴EM＝2AF，∴BC＝2AF.解：(1)证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAE＝90°，∴∠DAC＝90°，在△ABE与△ACD中，AE＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴CD＝BE，∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE＝2AF，∴CD＝2AF.成立，证明：如图，延长EA交BC于G，在AG上截取AH＝AD，∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∴∠EAB＋∠DAC＝180°，∵∠EAB＋∠BAH＝180°，∴∠DAC＝∠BAH，在△ABH与△ACD中，AH＝AD，∠BAH＝∠CAD，AB＝AC，∴△ABH≌△ACD(SAS)，BH＝DC，AD＝AE，AH＝AD，∴AE＝AH，EF＝FB，∴BH＝2AF，∴C D＝2AF.解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠BAD＋∠ABD＝∠ADE＋∠EDC，∠EDC＋∠ACD＝∠AED，∴∠BAD＝2∠EDC，∵∠ABF＝2∠EDC，∴∠BAD＝∠ABF，∴△ABF是等腰三角形；方法一：如图①，延长CA至点H，使AG＝AH，连接BH，1∵∵点N是BG的中点，∴AN＝2BH，∵∠BAD＝∠ABF，∠DAC＝∠CBG，∴∠CAB＝∠CBA，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠BCA＝60°，GM＝AB，AB＝AC，∴CM＝AG，∴AH＝CM，AB＝BC，在△BAH和△BCM中，∠BAH＝∠BCM＝120°，AH＝CM，∴△BAH≌△BCM(SAS)，∴BH＝BM，1AN＝2BM，方法二：如图②，延长AN至K，使NK＝AN，连接KB，同方法一，先证△ABC是等边三角形，再证△ANG≌△KNB(SAS)，所以BK＝AG＝CM，然后可以证得∠ABK＝∠BCN＝120°，最后证△ABK≌△BCN(SAS)，所以BM＝AK＝2AN.类型5 角的和差倍分例5：解：(1)如图，过点P作PG⊥EF于G.∵PE＝PF＝6，EF＝6 3，1FG＝EG＝33，∠FPG＝∠EPG＝∠EPF.2FG333在Rt△FPG中，sin∠FPG＝PF＝6＝2.∴∠FPG＝60°，∴∠EPF＝2∠FPG＝120°.如图，作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N.∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠BAC，AM＝AN，PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴NF＝ME.1又∵AP＝10，∠PAM＝2∠DAB＝30°，3AM＝AN＝AP cos30°＝10×2＝53.∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＝10 3.针对训练：证明：如图，过D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥AC于F，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，F＝∠DEB，FCD＝∠B，DF＝DB，∴△DFC≌△DEB，∴DC＝DB.2. 解：(1)∵AC＝AB＝4，且CD＝1，2AD＝AC－CD＝3.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，2BD＝AB＋AD＝5，1 1S△ABD＝2AB·AD＝2AE·BD，∴AE＝2.4.证明：如图，取BC的中点M，连接AM交BD于点N.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，∴AM＝BM＝CM，AM⊥BC，∠NAD＝∠FCP＝45°，∴∠AMF＝∠BMN＝90°.∵AE⊥BD，∴∠MAF＋∠ANE＝∠MBN＋∠BNM＝90°，又∠ANE＝∠BNM，∴∠MAF＝∠MBN，∴△AMF≌△BMN，∴MF＝MN，AM－MN＝CM－MF，即AN＝CF.AP＝CD，AC－CD＝AC－AP，即AD＝CP.∴△ADN≌△CPF，∴∠ADB＝∠CPF.1解：(1)∵AB＝BD，∠BAD＝45°，∴∠BDA＝45°，即∠ABD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，1∴当E、C重合时，BF＝2BD＝2AB.222∵在Rt△ABF中，AB＋BF＝AF，∴(2BF)2＋BF2＝(5)2，∴＝1，＝2.BF AB在Rt△ABD中，AD＝222AB＋BD＝2AB＝22.证明：如图，在AF上截取AK＝HD，连接BK.∵∠AFD＝∠ABF＋∠2＝∠FGD＋∠3且∠ABF＝∠FGD＝90°，AB＝BD，∴∠2＝∠3.在△ABK与△DBH中，∠2＝∠3，AK＝HD，∴△ABK≌△DBH，∴BK＝BH，∠6＝∠5.∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，∴∠5＝∠4＝45°，∴∠6＝∠5＝45°，∴∠7＝∠ABD－∠6＝45°＝∠5.在△BFK与△BFH中，BK＝BH，7＝∠5，∴△BFK≌△BFH.BF＝BF，∴∠BFK＝∠BFH，即∠AFB＝∠HFB.解：(1)证明：由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°，BE＝EM，∴∠EMB＝∠EBM，∴∠EMN－∠EMB＝∠ABC－∠EBM，即∠BMP＝∠MBC.∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MBC，∴∠AMB＝∠BMP，∴BM是∠AMP的平分线．(2)△PDM的周长没有发生变化．证明如下：如图，过B作BQ⊥MP于Q.∵∠A＝90°，且由(1)知BM是∠AMP的平分线，∴BA＝BQ，∵∠A＝∠MQB＝90°，∠AMB＝∠BMP，MB＝MB，∴△AMB≌△QMB(AAS)．∴MA＝MQ.BA＝BC，∴BQ＝BC，又∵∠BQP＝90°＝∠C，BP＝BP，Rt△BPC≌Rt△BPQ(HL)．∴PC＝PQ，∴△PDM的周长＝MD＋MP＋DP＝MD＋MQ＋QP＋PDMD＋MA＋PC＋PD＝AD＋DC＝2AD.∴△PDM的周长没有发生变化．类型6 旋转型全等问题：图中假设有边相等，可用旋转做实验例6：解：(1)①∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，AB＝AC，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，∴△DAB≌△FAC，∴∠B＝∠ACF，∴∠ACB＋∠ACF＝90°，即CF⊥BC；②∵△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∵BC＝BD＋CD，∴BC＝CF＋CD.结论①成立，结论②不成立．∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，AB＝AC.∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD＝∠ACF，CF＝BD，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，即CF⊥BC；∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CF.如图，过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，1∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝ 2AB＝4，AH＝CH＝BC＝2，212∴CD＝4BC＝1，∴DH＝3，同(2)证得△BAD≌△CAF，∴∠ABD＝∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，BC⊥CF，CF＝BD＝5.∵四边形A DEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°，∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，∴△ADH≌△DEM，EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，∵∠ABC＝45°，∴∠BGC＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，2CG＝BC＝4，∴GN＝1，∴EG＝GN＋EN＝10.针对训练：解：(1)AC＝AD＋AB.证明如下：∵∠B＋∠D＝180°，∠B＝90°，∴∠D＝90°.∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，1∵∠B＝90°，∴AB＝2AC，1∴同理AD＝2AC.AC＝AD＋AB.(2)(1) 中的结论成立，理由如下：如图①，以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB的延长线于点E，∵∠BAC＝60°，∴△AEC为等边三角形，AC＝AE＝CE，∠E＝60°，∵∠ABC＋∠D＝180°，∠DAB＝120°，∴∠DCB＝60°，∴∠DCA＝∠ECB.∠DAC＝∠E，在△DAC和△BEC中，AC＝CE，DCA＝∠BCE，∴△DAC≌△BEC，AD＝BE，∴AC＝AE＝AD＋AB.(3)AD＋AB＝2AC.理由如下：如图②，过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠ABC＋∠D＝180°，∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∵∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝45°，∴∠E＝45°，∴AC＝CE.∴△CDA≌△CBE，AD＝BE，AD＋AB＝AE.∵在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，ACAE＝cos45°＝2AC，AD＋AB＝2AC.解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，∵△ABE沿AE翻折得到△AHE，∴△ABE≌△AHE，∴AH＝AB＝AD，BE＝EH，AHE＝∠AHF＝∠B＝∠D＝90°.在Rt△AHF和Rt△ADF中，AF＝AF，AH＝AD，Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)，∴∠HAF＝∠DAF，1 1 1∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝2∠BAH＋2∠HAD＝2∠BAD＝45°，以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图，过点A作AH⊥AN并截取AH＝AN，连接BH、HM，∵∠1＋∠BAN＝90°，∠3＋∠BAN＝90°，∴∠1＝∠3，AB＝AD，在△ABH和△ADN中，∠1＝∠3，AH＝AN，∴△ABH≌△ADN(SAS)，BH＝DN，∠HBA＝∠NDA＝135°，∵∠HAN＝90°，∠MAN＝45°，∴∠1＋∠2＝∠HAM＝∠MAN＝45°，AH＝AN，在△AHM和△ANM中，∠HAM＝∠MAN，AM＝AM，∴△AHM≌△ANM(SAS)，HM＝NM，∴∠HBP＝180°－∠HBA＝180°－135°＝45°，∴∠HBP＋∠PBM＝45°＋45°＝90°，∴△HBM是直角三角形，HB＝DN，HM＝MN，∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．解：(1)如图①，将△PBC绕点B逆时针旋转90°得△P′BA，连接PP′，那么△AP′B≌△CPB，P′B＝PB＝2，P′A＝PC＝1，∠1＝∠2，∠AP′B＝∠BPC.∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，即∠P′BP＝90°，∴∠BP′P＝45°.在Rt△P′BP中，由勾股定理，得PP′2＝4.∵P′A＝1，AP＝5∴P′A2＝1，AP2＝5，2 2 2∴P′A＋PP′＝AP，∴△P′AP是直角三角形，∴∠AP′P＝90°，∴∠AP′B＝45°＋90°＝135°，∴∠BPC＝135°.仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，连接PP′，如图②.那么△PBC≌△P′BA，∴P′B＝PB＝4，P′A＝PC＝2，∠BPC＝∠BP′A，∴△BPP′为等腰三角形，∵∠ABC＝120°，∴∠PBP′＝120°，∴∠BP′P＝30°，过点B作BG⊥PP′于G，那么∠P′GB＝90°，∴PP′＝2P′G.∵P′B＝PB＝4，∠BP′P＝30°，∴BG＝2，∴P′G＝2 3.∴PP′＝43，在△APP′中，∵PA＝213，P′A＝2，PP′＝4222 3，∴P′A＋P′P＝PA，∴△PP′A是直角三角形，∴∠AP′P＝90°，∴∠BPC＝∠BP′A＝∠PP′B＋∠AP′P＝30°＋90°＝120°.。

2018年重庆市中考数学试卷---全面解析版精品

2018年重庆市中考数学试卷---全面解析版一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．1、在-6，0，3，8这四个数中，最小的数是（A）A、-6B、0C、3D、8考点：有理数大小比较．专题：计算题．分析：根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小，解答即可．解答：解：∵8＞3＞0＞-6，∴最小的数是-6．故选A．点评：本题考查了有理数大小的比较，熟记：正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小．2、计算（a3）2的结果是（C）A、aB、a5C、a6D、a9考点：幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）计算即可．解答：解：（a3）2=a3×2=a6．故选C．点评：本题考查了幂的乘方，注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．3、下列图形中，是中心对称图形的是（B）A、B、C、D、考点：中心对称图形．专题：数形结合．分析：根据中心对称图形的定义来判断：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解答：解：A、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；B、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；C、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；D、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形．故选B．点评：本题主要考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．4、如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（D）A、60°B、50°C、45°D、40°考点：平行线的性质．分析：根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．解答：解：∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°-80°-60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．5、下列调查中，适宜采用抽样方式的是（A）A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况考点：全面调查与抽样调查．专题：应用题．分析：调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析．普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．解答：解：A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间，适合抽样调查，B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率，采用全面调查，C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量，采用全面调查，D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况，采用全面调查，故选A．点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，比较简单．6、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（B）A、60°B、50°C、40°D、30°考点：圆周角定理．分析：在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．解答：解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；∵∠OCB=40°，∠C0B=180°-∠OBC-∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A= ∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°，故选B．点评：本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．7、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（D）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据抛物线的开口方向判断a 的正负；根据对称轴在y 轴的右侧，得到a ，b 异号，可判断b 的正负；根据抛物线与y轴的交点为（0，c），判断c 的正负；由自变量x=1得到对应的函数值为正，判断a+b+c 的正负．解答：解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；又∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴a ，b 异号， ∴b ＞0；又∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，又x=1，对应的函数值在x 轴上方，即x=1，y=ax 2+bx+c=a+b+c ＞0；所以A ，B ，C 选项都错，D 选项正确．故选D ．点评：本题考查了抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）中各系数的作用：a ＞0，开口向上，a ＜0，开口向下；对称轴为x=-，a ，b 同号，对称轴在y 轴的左侧；a ，b 异号，对称轴在y 轴的右侧；抛物线与y 轴的交点为（0，c ），c ＞0，与y 轴正半轴相交；c ＜0，与y 轴负半轴相交；c=0，过原点．8、为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y （公里）与时间x （天）的函数关系的大致图象是（D ）A 、B 、C 、D 、考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：根据y随x的增大而减小，即可判断选项A错误；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项B错误；根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大减小得比开始的快，即可判断选项C、D的正误．解答：解：∵y随x的增大而减小，∴选项A错误；∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，∴选项B错误；∵施工队随后加快了施工进度，∴y随x的增大减小得比开始的快，∴选项C错误；选项D正确；故选D．点评：本题主要考查对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键．9、下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（C）A、55B、42C、41D、29考点：规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：由于图②5个=1+2+2，图③11个=1+2+3+2+3，图④19=1+2+3+4+2+3+4，由此即可得到第⑥个图形中平行四边形的个数．解答：解：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41．故选C．点评：本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．10、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（C）A、1B、2C、3D、4考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：几何综合题．分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE-S△FEC，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为：EF=DE= CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6-3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴= ，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：= = ，∴S△FGC=S△GCE-S△FEC= ×3×4- ×4×（×3）= ≠3．故选C．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）11、据第六次全国人口普查结果显示，重庆常住人口约为2880万人．将数2880万用科学记数法表示为万．考点：科学记数法—表示较大的数．专题：数字问题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将2880万用科学记数法表示为2.88×103．故答案是：2.88×103．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12、如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AB于D、E两点，若AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC 的面积比为．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方直接得出答案．解答：解：∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为AD：AB=1：3，∴△ADE与△ABC的面积比为：1：9．故答案为：1：9．点评：此题主要考查了相似三角形的性质，根据相似比性质得出面积比是解决问题的关键．13、在参加“森林重庆”的植树活动中，某班六个绿化小组植树的棵数分别是：10，9，9，10，11，9．则这组数据的众数是．考点：众数．专题：计算题．分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，有时众数可以不止一个．解答：解：在这一组数据中9是出现次数最多的，故众数是9；故答案为9．点评：本题为统计题，考查众数定义．如果众数的概念掌握得不好，就会出错．14、在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于．考点：弧长的计算．专题：计算题．分析：根据弧长公式l= 把半径和圆心角代入进行计算即可．解答：解：45°的圆心角所对的弧长= =1．故答案为1．点评：本题考查了弧长公式：l= （n为圆心角的度数，R为半径）．15、有四张正面分别标有数学-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为．考点：概率公式；解分式方程．专题：计算题．分析：易得分式方程的解，看所给4个数中，能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可．解答：解：解分式方程得：x= ，能使该分式方程有正整数解的只有0（a=1时得到的方程的根为增根），∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为．故答案为：．点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到使分式方程有整数解的情况数是解决本题的关键．16、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵．考点：三元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．解答：解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．点评：本题考查了三元一次方程组在实际生活中的应用．解题的关键是发掘等量关系列出方程组，难点是将方程组中的其中一个未知数看作常数，用含有一个未知数的代数式表示另外两个未知数，然后代入所求黄花的代数式．二．解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）17、|-3|+（-1）2018×（π-3）0- + ．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：先算出-3的绝对值是3，-1的奇数次方仍然是-1，任何数（0除外）的0次方都等于1，然后按照常规运算计算本题．解答：解：原式=3+（-1）×1-3+4=3点评：本题考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算．18、解不等式2x-3＜，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解答：解：3（2x-3）＜x+16x-9＜x+15x＜10x＜2∴原不等式的解集为x＜2，在数轴上表示为：点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．19、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定．专题：证明题．分析：根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC∥EF．解答：证明：∵AF=DC，∴AC=DF，又∵AB=DE，∠A=∠D，∴△ACB≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF．点评：本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，难度适中．20、为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．解答：解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．点评：考查设计作图；得到点M是AB的垂直平分线与以点C为圆心，以AB的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键．四．解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤21、先化简，再求值：，其中x满足x2-x-1=0．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算．最后根据化简的结果，可由x2-x-1=0，求出x+1=x2，再把x2=x+1的值代入计算即可．解答：解：原式= ×= ×= ，∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，∴= =1．点评：本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法．22、如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE= ．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE= ，OA=5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（-3，4），把A（-3，4）代入y= ，确定反比例函数的解析式为y=- ；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y=kx+b（k≠0），求出k和b．（2）先令y=0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可．解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图，∵sin∠AOE= ，OA=5，∴sin∠AOE= = = ，∴AD=4，∴DO= =3，而点A在第二象限，∴点A的坐标为（-3，4），将A（-3，4）代入y= ，得m=-12，∴反比例函数的解析式为y=- ；将B（6，n）代入y=- ，得n=-2；将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得，解得，∴所求的一次函数的解析式为y=- x+2；（2）在y=- x+2中，令y=0，即- x+2=0，解得x=3，∴C点坐标为（0，3），即OC=3，∴S△AOC= •AD•OC= •4•3=6．点评：本题考查了点的坐标的求法和点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了正弦的定义、勾股定理以及三角形面积公式．23、为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．专题：计算题；图表型．分析：（1）根据留守儿童有4名的占20%，可求得留守儿童的总数，再求得留守儿童是2名的班数；（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列出树状图可得出来自一个班的共有4种情况，则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．解答：解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个），只有2名留守儿童的班级个数为：20-（2+3+4+5+4）=2（个），该校平均每班留守儿童的人数为：=4（名），补图如下：；（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，有树状图可知，共有12中等可能的情况，其中来自一个班的共有4种情况，则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为：= ．点评：本题是一道统计题，考查了条形统计图和扇形统计图，及树状图的画法，是重点内容，要熟练掌握．24、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：证明题；几何综合题．分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD ≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案．解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC= =2 ，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG= BC= ．答：EG的长是．（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用．专题：应用题；分类讨论．分析：（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得y1的解析式．把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得y2的解析式，；（2）分情况探讨得：1≤x≤9时，利润=P1×（售价-各种成本）；10≤x≤12时，利润=P2×（售价-各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可．解答：解：（1）设y1=kx+b，则，解得，∴y1=20x+540（1≤x≤9，且x取整数）；设y2=ax+b，则，解得，∴y2=10x+630（10≤x≤12，且x取整数）；（2）设去年第x月的利润为W万元．1≤x≤9，且x取整数时，W=P1×（1000-50-30-y1）=-2x2+16x+418=-2（x-4）2+450，∴x=4时，W最大=450万元；10≤x≤12，且x取整数时，W=P2×（1000-50-30-y2）=（x-29）2，∴x=10时，W最大=361万元；∵450万元＞361万元，∴这个最大利润是450万元；（3）去年12月的销售量为-0.1×12+2.9=1.7（万件），今年原材料价格为：750+60=810（元）今年人力成本为：50×（1+20%）=60元．∴5×[1000×（1+a%）-810-60-30]×1.7（1-0.1×a%）=1700，设t=a%，整理得10t2-99t+10=0，解得t= ，∵9401更接近于9409，∴≈97，∴t1≈0.1，t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980，∵1.7（1-0.1×a%）≥1，∴a≈10．答：a的整数解为10．点评：本题综合考查了一次函数和二次函数的应用；根据二次函数的最值及相应的求值范围得到一定范围内的最大值是解决本题的易错点；利用估算求得相应的整数解是解决本题的难点．26、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2 ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形．专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论．分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式；（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2 ，tan∠CFB= ，即tan60= ，解得BF=2，即3-t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；（2）当0≤t＜1时，S=2 t+4 ；当1≤t＜3时，S=- t2+3 t+ ；当3≤t＜4时，S=-4 t+20 ；当4≤t＜6时，S= t2-12 t+36 ；（3）存在．理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB= = ，∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，∴AE=HE=3-t或t-3，1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM= AH= ，在Rt△AME中，cos∠MAE═ ，即cos30°= ，∴AE= ，即3-t= 或t-3= ，∴t=3- 或t=3+ ，2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，即3-t=1或t-3=1，∴t=2或t=4；3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合，∴AE=3，即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3- 或t=3+ 或t=2或t=4或t=0．点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．。

【中考数学】2018最新版本中考数学综合专题训练【几何综合题】精品专题解析(历年真题-可打印)

中考数学综合专题训练【几何综合题】精品专题解析
几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合
题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同
时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键．解几何综合题，还应注意以下几点：
⑴注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造
基本图形．
⑵掌握常规的证题方法和思路．
⑶运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用
数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（南充，10分）⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F 是BE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长．
解：（1）证明：连接OD，AD．AC是直径，
∴AD⊥BC．⊿ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．
又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角，
∴∠C＝∠BED．
1。

《几何综合探究问题》(共48题)中考专项配套练习(重庆专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ；（3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。

2018年中考数学重庆专版专题突破课件专题三常见几何证明探究

专题三丨常见几何证明探究
|针对训练|
1．如图 Z3－2，在▱ABCD 中，AC⊥BC，点 E、点 F 分别在 AB、BC 上，且满足 AC＝AE＝CF，连接 CE、AF、EF. (1)若∠ABC＝35°，求∠EAF 的度数； (2)若 CE⊥EF，求证：CE＝2EF.
图 Z3－2
专题三丨常见几何证明探究
图 Z3－1
专题三丨常见几何证明探究
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠MBQ＋∠ABC＝180°， ∠ACB＋∠PCN＝180°，∴∠MBQ＝∠PCN.在△QBM 和△PCN 中， QB＝PC， ∠MBQ＝∠PCN，∴△QBM≌△PCN(SAS)．∴MQ＝NP. BM＝CN， (2)过 M 作 MG∥AC 交 BC 于 G， ∵MG∥AC， ∴∠MGB＝∠ACB， ∠MGC＝∠PCN， ∵由(1)知， ∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠MGB，∴MB＝MG，∵MB＝CN， ∴MG＝CN.在△MGP 和△NCP 中， ∠MPG＝∠CPN， ∠MGC＝∠PCN，∴△MGP≌△NCP(AAS)． MG＝NC， ∴PG＝CP，∴CG＝CP＋PG，即 CG＝2CP.∵CM 平分∠ACB， ∴∠BCM＝∠MCA，∵MG∥AC，∴∠MCA＝∠GMC，∴∠BCM＝∠GMC， ∴MG＝CG，∵MG＝CN，∴CN＝CG，∴CN＝2CP.
∠DCF＝∠DCP， CF＝CP，
∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF， ∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH 和△GAM 中， ∠GAH＝∠GAM， 1 ∠ AHG ＝∠AMG， ∴△ AGH ≌△ AGM ，∴ AH ＝ AM ＝ CM ＝ AC. 2 AG＝AG，

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25．在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．（1）如图1，若AB=AC，∠BAD=30°，AD=6，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP【分析】（1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出AB，即可；（2）先利用互余判断出，∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可；【解答】（1）解：∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AD=6，∴cos∠BAD=，∴AB===12，∴AC=AB=12，∵点P、M分别为BC、AB边的中点，∴PM=AC=6，（2）如图2，在ED上截取EQ=PD，∵∠ADB=90°，∴∠BDP+∠ADE=90°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，∴∠AEC=∠ADB=90°∵∠AED+∠PEC=90°，∴∠BDP=∠PEC，在△BDP和△CEQ中，，∴△BDP≌△CEQ，∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，∴∠EPC=∠PQC，∴PC=CQ，∴BP=CP25．在△ABC中，AB=AC，点D，点E在边BC上不同的两点，且∠ADE=75°．（1）如图1，若∠BAC=90°，CD=，求BC的长；（2）如图2，若∠BAC=90°，∠EAD=45°，求证：DC=BE；【考点】相似形综合题．【分析】（1）作DG⊥AC于G，证明出△ABC是等腰直角三角形，进而求出AG的长，即可求出BC的长；（2）作DH⊥AE于H，设DC=a，利用a表示出BC、DE和CD的长，根据线段之间的关系得到结论；【解答】解：（1）如图1所示，作DG⊥AC于G，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠1=∠B=45°，∵∠ADE=75°，∴∠2=60°，∠DAG=30°，∴DG=CG=CD=1，AD=2DG=2，∴AG==，∴AC=AG+CG=+1，∴BC=AG=+；（2）如图2所示，作DH⊥AE于H，设DC=a，则DG=CG=a，∴AD=2DG=a，AG=a，∴AC=AG+CG=a，∴BC=AC=（+1）a，∵∠EAD=45°，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AH=DH=AD=a，∵∠4=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=60°，∴DE=2EH，∴DE=DH÷=a，∴BE=BC﹣DE﹣CD=a=DC，∴DC=BE ；25.（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC 边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，证得△ADE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根据勾股定理求得EF的长；（2）先设等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的长，最后根据CM与DE的长度之比求得3ED=2MC；【解答】解：（1）如图1∵点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点∴AD⊥BC，AD=BC=CD=，∠DAE=∠C=45°∴AC=CD=5又∵∠EDF=90°，FC=2∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF（ASA）∴AE=CF=2∴在Rt△AEF中，EF==（2）设等边三角形边长为2，则BD=CD=1∵等边三角形ABC中，DF∥AB∴∠FDC=∠B=60°∵∠EDF=90°∴∠BDE=30°∴DE⊥BE∴BE=，DE=如图2，连接DM，则Rt△DEF中，DM=EF=FM ∵∠FDC=∠FCD=60°∴△CDF是等边三角形∴CD=CF=1∴CM垂直平分DF∴∠DCN=30°∴Rt△CDN中，DN=，CN=，DF=1∴在Rt△DEF中，EF==∵M为EF的中点∴FM=DM=∴Rt△MND中，MN==∴CM=+=∴==∴3ED=2MC25.在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF 与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=32，CD=2，求AG的长度；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；【答案】(1)、5；(2)、AG⊥GD，AG=DG；证明过程见解析；【解析】试题分析：(1)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，进而求得∠HAD=90°，即可；(2)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH ≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，得到△H△AD为等边三角形，即可；(3)、延长DG 与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，得到△H△AD为等腰三角形，即可．试题解析：(1)、如图1，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形D CEF是正方形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BC的中点，∴BG=EG，在△BGH和△EGD中，∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG，∴△BGH ≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DCF=90°，∴∠DCB=90°， ∴∠ACD=45°， ∴∠ABH=∠ACD=45°，在△ABH 和△ACD 中， ∵AB=AC ，∠ABH=∠ACD ，BH=CD ， ∴△ABH ≌△ACD （SAS ）， ∴∠BAH=∠CAD ，AH=AD ， ∵∠BAH+∠HAC=90°，∴∠CAD+∠HAC=90°，即∠HAD=90°， ∴AG ⊥GD ，AG=GD ；在Rt △ABC 中，AB=AC=2， ∴BC=6 在Rt △DCH 中，DC=2，HC=BC ﹣BH=6﹣2=4， ∴DH=22DC HC =25， ∴GD=21DH=5， ∴AG=GD=5．（2）AG ⊥GD ，AG=DG ；如图2，延长DG 与BC 交于H ，连接AH 、AD ，∵四边形DCEF 是正方形， ∴DE=DC ，DE ∥CF ， ∴∠GBH=∠GED ，∠GHB=∠GDE ， ∵G 是BC 的中点，∴BG=EG ，在△BGH 和△EGD 中， ∵∠GBH=∠GED ，∠GHB=∠GDE ，BG=EG ， ∴△BGH ≌△EGD （AAS ），∴BH=ED ，HG=DG ， ∴BH=DC ， ∵AB=AC ，∠BAC=∠DCF=60， ∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，∴∠ABC=∠ACD=60°，在△ABH 和△ACD 中， ∵AB=AC ，∠ABH=∠ACD ，BH=CD ， ∴△ABH ≌△ACD （SAS ），∴∠BAH=∠CAD ，AH=AD ， ∴∠BAC=∠HAD=60°， ∴AG ⊥HD ，∠HAG=∠DAG=30°，∴tan ∠DAG=tan30°=33， ∴AG=DG ；25．如图，四边形ABCD 为矩形，连接AC ，AD=2CD ，点E 在AD 边上．（1）如图1，若∠ECD=30°，CE=4，求△AEC 的面积；（2）如图2，延长B A 至点F 使得AF=2CD ，连接FE 并延长交CD 于点G ，过点D 作DH ⊥EG 于点H ，连接AH ，求证：FH=2AH+DH ；（【解析】试题分析：（1）根据30°的直角三角形求CD 和ED ，再利用面积公式求△AEC 的面积；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△AFM ≌△ADH ，得AM=AH ，FM=DH ，则△MAH 是等腰直角三角形，有2AH ，根据线段的和代入得结论；（3）根据将线段AE 绕点A 旋转一定的角度α（0°＜α＜30°）得到线段AE′，先计算当AE 旋转时DN 的最小值和最大值，当α=0°时，DN 最小；当α=180°时，DN 最大，分别计算，写出结论．试题解析：（1）在Rt △EDC 中，∵∠EDC=30°， ∴ED=12EC=12×4=2，cos30°=DC EC， ∴DC=EC•cos30°=4×323 ∴AE=2DC ﹣3﹣2，∴AEC S V =12×AE ×DC=12（3﹣2）×3=12﹣3 （2）过A 作AM ⊥AH ，交FG 于M ，∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°，又∵∠FAD=∠MAD+∠FAM=90°，∴∠FAM=∠DAH，∵AF∥CD，∴∠F=∠FGD∵DH⊥EG，∴∠DHE=∠HDG+∠FGD=90°，∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°，∴∠FGD=∠EDH，∴∠F=∠EDH，又∵AF=2CD，AD=2CD，∴AF=AD，∴△AFM≌△ADH，∴AM=AH，FM=DH，∴△MAH是等腰直角三角形，∴MH=2AH，∵FH=MH+FM，∴FH=2AH+DH；25.（12分）已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任一点．（1）如图（1），若∠A=45°，AB=6，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．（2）如图（2），若2∠AEB=180°﹣∠BED，∠ABE=60°，求证：BC=BE+DE【答案】（1）362）证明参见解析；【解析】试题分析：（1）首先证明△AFB与△EFD为等腰直角三角形，然后在△ABF中依据勾股定理可求得BF和AF的长，从而得到DF的长，然后在Rt△EDF中，可求得DE的长；（2）延长DE至K，使EK=EB，连结AK．首先证明∠AEB=∠AEK，然后依据SAS证明△AEB≌△AEK，由全等三角形的性质及等边三角形的判断定理可证明△AKD为等边三角形，于是得到KD=BC，通过等量代换可得到问题的答案；（3）记AB与DE的交点为O．首先证明依据菱形的性质可得到∠ABC=2∠ABD，然后依据平行四边形的性质可证明∠CDE=∠BOE，最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案．试题解析：（1）如图1所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=6，AB∥CD．∴∠A=∠ADE=45°．∵AD⊥BE，∴∠AFB=DFE=90°．∴△AFB与△EFD为等腰直角三角形．∴BF2+AF2=AB2，即：2BF2=6，∴BF=AF=3．∵△EFD为等腰直角三角形，∴EF=DF=AD﹣AF=6﹣3．∴DE=2EF=2（6﹣3）=23﹣6．（2）如图2所示：延长DE至K，使EK=EB，联结AK．∵2∠AEB=180°﹣∠BED，∴∠BED=180°﹣2∠AEB=180°﹣∠AEB﹣∠AEK．∴∠AEB=∠AEK．在△AEB和△AEK中BK KEAEB AEKAE AE⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△AEK．∴∠K=∠ABE=60°，Ak=AB．又∵AB=AD，∴AK=AD．∴△AKD为等边三角形．∴KD=AD．∴KD=BC．∵KD=KE+DE，∴CB=EB+DE．7.已知两个全等的等腰直角ABC V 、△D EF ，其中∠ACB=∠DFE=90o ，E 为AB 中点，△DE F 可绕顶点E 旋转，线段DE ，EF 分别交线段CA ，CB(或它们所在直线)于 M 、N ．(1)如图l ，当线段EF 经过ABC V 的顶点C 时，点N 与点C 重合，线段DE 交AC 于M,求证：AM=MC ；(2)如图2，当线段EF 与线段BC 边交于N 点，线段DE 与线段AC 交于M 点，连 MN,EC,请探究AM ，MN,CN 之间的等量关系，并说明理由；（1）∵AC =BC ，E 为AB 中点∴CE ⊥AB, ∠ACE ＝∠BCE =12ACB=45o∴∠AEC ＝90o∴∠A =∠ACE=45o∴AE =CE∵DF =EF , ∠DFE ＝90o ∴∠FED =45o ∴∠FED =12∠AEC又∵AE =CE∴AM =MC（2）AM =MN +CN ，理由如下:在AM 截取AH ，使得AH =CN ，连接BH由（1）知AE =CE ，∠A =∠BCE =45o在AHE ∆与CNE ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE AE NCE A CNAH ∴AHE ∆≌CNE ∆∴HE =NE ，∠AEH ＝∠CEN∴∠HEM =∠AEC －∠AEH －MEC =∠AEC －∠CEN －MEC =∠AEC －∠MEF =οο4590-=45o∴∠HEM =∠NEM =45o在HEM ∆与NEM ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE AE NCE A CNAH ∴HEM ∆≌NEM ∆∴HM =MN ∴AM =AH+HM= CN +MN即AM =MN +CN。