创意平板桌建模

问题二：本问题中，将用料成本、产品稳定性首先纳入考虑。由于用料体积需由平板折叠桌的各项设计参数得出，故将未知量用字母表示，进而列式。以用料体积、稳定安全因数分别作为其代表参数，用稳定安全因数和用料体积之比作为综合考虑用料成本和产品稳定性的标准值，利用Lingo软件得出最优解。在表达稳定安全因数时，为得出临界压力，选用一种确定木材考虑问题，实际压力则可直接给定。在得出最优解后，计算出开槽长度。
关键词：平板折叠桌、最优设计、数学模型、多目标优化、压杆稳定、AutoCAD、MATLAB、Lingo
一.问题重述
1.1背景
某公司生产了一种平板折叠桌，为了增大有效使用面积,设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面,又将木板剩余的面积切割成了若干个长短不一的木梁,每个木梁的长度为宽到圆上一点的距离,分别用两根全属棒贯穿两侧的木条。操作简单，外形美观，具有创意性。为进一步开发这种新型平板折叠桌的价值，我们需要综合考虑该产品的生产成本以及其稳定性和适用性。
最后，在平板折叠桌的外观要求全部由顾客制定时，我们建立数学模型将平板折叠桌分为三大类，桌面形状分为凸形、凹形和凹凸结合性。对于每一类，制定不同的平板处理方法，在确定一些满足桌子实用性和美观性基本要求的设计参数的取值范围后，我们给出相应的设计参数最优解的求解步骤。再利用我们所设计的数学模型结合CAD绘图，给出一种个性设计的创意平板折叠桌的动态变化图示。
问题二：若仅知桌子的高度为70cm，圆形桌面的直径为80cm，从产品稳固性、加工简便性和材料节省性三个角度，确定最优的设计加工参数。
问题三：构建一个设计软件的数学模型，使得该设计软件可以根据客户任意给出的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，计算出所需平板材料的形状尺寸和最优设计。
3.45
0.74
0.16
即，得到差值的平均值恰好为2.53cm，则取h=65cm,也得a=152cm。由此得解达到最佳解。
即x=2.53cm,得
根据上题的公式与方法，
5.2.2木条长度
为求各根木条的长度，在X轴正方向取每根木条的中点位置，即从x=0cm处每隔4cm取值，得到 。由勾股定理公式：
x(cm)
2.50
5.00
7.50
10.00
12.50
c(cm)
19.68
19.18
18.36
16.85
15.64
x(cm)
15.00
17.50
20.00
22.50
25.00
c(cm)
13.72
11.27
8.56
4.36
0.00
5.1.3桌角边缘线
由5.1.2中已得结果和图二中 所在三角形的相似关系，列式得：
条件下，使 取得最大值时的重要参数。
再利用得到的设计参数，由MATLAB得出详细的设计数据。
在此种情况下，若客户给定桌角边缘线，可在除最外侧桌腿外的桌腿部分按要求剪切。
5.3.2凹形
若 则桌面图形为凹形，此时将长方形左右两边截去部分，且截取图形与桌面图形中凹陷部分相同，并处于同一水平线上，最外侧两根木条不进行截取，保留原长。
Z=
由上式给出的关系，利用附件8.1附录一中MATLAB示例程序二绘出的四分之一部分桌角边缘线如图：
5.1.4动态描述
当平板折叠桌形态动态变化时，其桌面高度不断变化，
故引入参数h，列出如下方程：
y=
Z=
此方程即为对平板折叠桌动态变化过程的数学描述。
5.2关于问题二的模型建立与求解
由问题二题设知：
5.2.1从产品稳固性、加工简便性和材料节省性三个角度出发寻找最佳解
CAD平板处理例子图示如下：
以下计算步骤与凸形情况相同。若客户给出桌角边缘线，则在已裁减好的部分除最外侧桌腿外按要求剪切。
5.3.3凹凸结合形
若前两种情况均不符合，则将阶梯曲线分为数段，分为凸起段与凹陷段，其中凸起段按照情况5.3.1进行处理，凹陷段按照情况5.3.2处理，最后最外侧两根木条不进行截取，保留原长。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B
我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员(打印并签名)：1.***
2.***
3.***
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
进而，在仅知桌面高度和桌面形状大小的情况下，我们综合考虑成本、产品稳固性和加工简便性，寻找板的最小面积与桌腿所形成的形状（正方形时产品稳固性最好），找到它们其中同时的最优解，再求出在最优解情况下的开槽长度。通过对未知的设计参数进行字母设定，以实用和美观为原则，对各项参数给以适当的取值范围，得到平板折叠桌体积的表达式。为将成本用料和产品稳固性综合考虑，我们去寻找同时到达的最小方差，利用Lingo软件，当其比值最大时，找到了综合考虑成本和产品稳固性的最优解。在最优解各项设计参数已知后，按照几何关系列式求出相应的开槽长度。
l=76-D
木条的长度。
x(cm)
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
根数（个）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
l(cm)
36.20
36.81
37.84
39.34
41.36
44.00
47.43
52
58.56
74.24
5.2.3开槽长度
由几何关系列式：
c=
即可计算出各根木条的开槽长度：
根数（个）
1
2
3
4
5
6
7
8
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
三.问题假设
3.1假设忽略各桌子腿之间的间隙距离。
3.2假设钢筋的大小粗细不计。
3.3用料体积由整块平板体积决定（不受切割部分影响）
3.4 最长腿与桌面相连部分与桌面中心边缘距离为3cm。
四.符号说明
五.模型的建立与求解
5.1关于问题一的模型建立与求解
由问题一题设知：
以平板中心为原点，图一所示X、Y方向为X、Y轴正向，竖直向上为Z轴正向，建立空间直角坐标系。由于平板的结构的轴对称性，故以下只截取其右下四分之一部分进行计算。
二.问题分析
如图，由于桌腿与地面接触时产生的下部三角形空间2和上部三角形空间1相抵消，所以桌子腿的厚度可以忽略不计，故在以下的讨论中将桌子腿看作一条无厚度线段。
问题一：由于折叠桌的桌面形状为近似圆形，木板材料的长宽高、每根木条的宽度、桌面高度及钢筋固定点均为已知值，故可直接通过计算来得出设计加工的各项参数，进而利用CAD和MATLAB绘制出大致的设计图纸和桌角边缘线。由于在产品由平板动态变化至桌子的过程中，桌面高度不断变化，故引入桌面高度这一参数，建立方程，从而得到对创意平板折叠桌的动态过程的描述。
5.1.1木条长度
为求各根木条的长度，在X轴正方向取每根木条的中点位置，即从x=0cm处每隔 取值，得到 。
由勾股定理公式：
易得到各根木条的长度。
x(cm)
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25.00
根数（个）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
l(cm)
35.13
35.51
36.15
37.35
38.35
问题三：在客户提出各种创意平板折叠桌的尺寸参数的情况下，通过将各种设计分为三类，即桌面形状为凸形、凹形和凹凸结合形，并给出分类的数学模型依据，再根据分类结果设定不同的平板处理方法。满足了客户对平板折叠桌外观的要求后，对处理后的平板按照第二问的思路，设置为了满足平板折叠桌基本的实用性和美观性而产生的各项设计参数的取值范围，从用料成本和稳定性的角度用Lingo软件求出稳定安全因数和用料体积之比的最优解，在最优解的数据基础上，用MATLAB计算出各项设计参数。最后自行设计三种平板折叠桌样式，对于每种设计给出三张动态变化图。
创意平板折叠桌的最优设计
摘要
本文讨论了某公司的新型产品创意平板折叠桌的设计问题。从易到难，将问题一步步深化，从各项设计参数已知到客户提出各种需求参数，我们给出最优设计的数学模型。
首先，在平板尺寸、钢筋位置、桌子高度和桌面形状大小均已知的情况下，我们对数据进行计算，给出包括各木条长度、木条开槽长度等的设计加工参数，利用CAD和MATLAB分别绘制出设计图纸及桌角边缘线的四分之一和整体板被切割的图形。建立数学模型，通过讨论桌子在不同高度时的状态，给出对创意平板折叠桌动态变化过程的描述。
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