高中数学 2-3-1,2-3-2幂函数的概念 幂函数的图象和性质课件 湘教版必修1(共33张PPT)
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第四节 幂函数与二次函数
求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下:
考点三
二次函数的图象与性质(多考向探究预测)
考向1二次函数的图象
例题(多选)(2023·湖南岳阳高三检测)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B坐标为(-1,0),
则下列结论正确的是(
= 7.
= 8,
4
故 f(x)=-4x2+4x+7.
(方法 2 利用二次函数的顶点式)设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
2+(-1)
因为 f(2)=f(-1),所以二次函数 f(x)图象的对称轴为直线 x= 2
又根据题意函数有最大值 8,所以 n=8,
所以 y=f(x)=a
1 2
x- +8.
( 1 )-( 2 )
x1≠x2,都有 - >1,不妨令 x1>x2,则
1 2
( 1 )-( 2 )
2
>1⇔f(x
1)-x1>f(x2)-x2,令 g(x)=f(x)-x=ax -2x+1,则函数 g(x)在[1,+∞)上
所以a<0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,
所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.
引申探究2将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得
的线段长为2,且∀x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.
解 因为f(2+x)=f(2-x)对任意的x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.
幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
2024-2025学年高一数学必修第一册(湘教版)配套课件第4章-4.1.3幂函数
【以下各个函数有什么共同的特征？】
【探究】(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜千克，那么他需要支付
的钱数 = 元，这里是的函数；
(2)如果正方形的边长为，那么正方形的面积 = 2，这里是的函数；
(3)如果立方体的棱长为，那么立方体的体积 = 3，这里是的函数；
第4章
4.1.3
幂函数
高中数学
必修第一册
湖南教育版
学习目标
1.通过具体实例，结合函数
变化规律.
1
y x, y , y x 2 , y x , y x 3
x
2.了解幂函数的概念.
核心素养：数学抽象、数学建模、直观想象
的图象，理解幂函数图象的
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幂函数的概念
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整数次幂函数：
实数次幂函数൝
分数次幂函数： = − ( ≠ 0， ∈ N ∗ )
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幂函数的图像
【说明】对于幂函数，特别地研究
在同一坐标系中画出函数
的图像：
【总结】①只有
时图像才是直线；
②图像一定会出现在第一象限，
一定不会出现在第四象限；
③图像一定经过 (1,1) 这个定点；
A.5－a<5a<0.5a
C.0.5a<5－a<5a
解析
1
a
＝5 ，因为
－a
5
1
且5<0.5<5，
所以5a<0.5a<5－a.
√
B.5a<0.5a<5－a
D.5a<5－a<0.5a
a<0 时，函数 y＝x 在(0，＋∞)上单调递减，
2018版高考数学专题指数函数对数函数和幂函数2.3.1幂函数的概念2.3.2幂函数的图象和性质学案湘教版
2．3 幂函数2．3.1 幂函数的概念 2．3.2 幂函数的图象和性质[学习目标] 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝12x 的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．[知识链接]函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x(x ≠0)的图象和性质[预习导引] 1．幂函数的概念一般来说，当x 为自变量而α为非0实数时，函数y ＝x α叫作(α次的)幂函数． 2．幂函数的图象与性质要点一 幂函数的概念 例1 函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．解 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3，在(0，＋∞)上是增函数，当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． ∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3.规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m 2－m －1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．2．幂函数y ＝x α(α∈R )中，α为常数，系数为1，底数为单一的x .这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．跟踪演练1 已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9,3)，则f (100)＝________. 答案 10解析 由题意可知f (9)＝3，即9α＝3， ∴α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f (100)＝12100＝10.要点二 幂函数的图象例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n ＞0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n增幅越快，n ＜0时看|n |的大小．根据幂函数y ＝x n的性质，在第一象限内的图象当n ＞0时，n 越大，y ＝x n递增速度越快，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n ＜0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2，故选B.规律方法 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图象由上到下，指数α由小变大．(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．跟踪演练2 如图是幂函数y ＝x m与y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1 答案 B解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m ＜1，n ＜－1.要点三 比较幂的大小例3 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1312与⎝ ⎛⎭⎪⎫1412；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)0.2514-与6.2514；(4)0.20.6与0.30.4.解 (1)∵y ＝12x 是[0，＋∞)上的增函数，且13＞14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1412. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数，且－23＜－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.2514-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1414-＝212，6.2514-＝2.512. ∵y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，且2＜2.5， ∴212＜2.512，即0.2514-＜6.2514.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量． 跟踪演练3 比较下列各组数的大小：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1234与⎝ ⎛⎭⎪⎫3412. 解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5＞⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5. (2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1234＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1212. y ＝12x 是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3412＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3412＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1234.1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3答案 B解析 函数y ＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数． 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝13x B ．y ＝x12-C ．y ＝53xD ．y ＝x 23答案 D解析 y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A解析 可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又∵y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3. 4．若a ＝(12)35，b ＝(15)35，c ＝(－2)3，则a 、b 、c 的大小关系为________．答案 a ＞b ＞c解析 ∵y ＝x 35在(0，＋∞)上为增函数． ∴(12)35＞(15)35，即a ＞b ＞0.而c ＝(－2)3＝－23＜0，∴a ＞b ＞c . 5．幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.答案 2解析 ∵f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数， 当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1不符合题意． 综上可知m ＝2.1.幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． 3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1. (2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α＜0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.一、基础达标1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值为( ) A ．16 B.116C.12D ．2答案 C解析 设f (x )＝x α，则有2α＝22，解得α＝－12，即f (x )＝x 12-，所以f (4)＝412-＝12.2．下列命题中正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域上是增函数 D ．幂函数的图象不可能在第四象限 答案 D解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，其图象为两条射线，故A 选项不正确；当α＜0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故选项B 不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C 不正确；当x ＞0，α∈R 时，y ＝x α＞0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D 正确．3．下列幂函数中①y ＝x －1；②y ＝x 12；③y ＝x ；④y ＝x 2；⑤y ＝x 3，其中在定义域内为增函数的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数．4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )答案 D解析 在同一坐标系中，画出当0＜x ＜1时，函数y ＝x 2，y ＝x 12，y ＝x －2的图象，如图所示．∴当0＜x ＜1时，有x －2＞x 12＞x 2， 即f (x )＜g (x )＜h (x )．5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝13x答案 A解析 由于y ＝x －1和y ＝13x 都是奇函数，故B 、D 不合题意．又y ＝x 2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C 不合题意．y ＝x －2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．6．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，18)，则满足f (x )＝－27的x 值等于________．答案 －13解析 设f (x )＝x α，由题意可知2α＝18，α＝－3，即f (x )＝x －3.由x －3＝－27可知x ＝－13.7．比较下列各组中两个值的大小： (1)1.535与1.635；(2)0.61.3与0.71.3； (2)3.523-与5.323-；(4)0.18－0.3与0.15－0.3.解 (1)∵幂函数y ＝x 35在(0，＋∞)上单调递增，且1.5＜1.6，∴1.535＜1.635. (2)∵幂函数y ＝x 1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6＜0.7，∴0.61.3＜0.71.3. (3)∵幂函数y ＝x 23-在(0，＋∞)上单调递减，且3.5＜5.3，∴3.523-＞5.323-.(4)∵幂函数y ＝x －0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18＞0.15，∴0.18－0.3＜0.15－0.3二、能力提升8．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．a ＜b ＜cD ．b ＞c ＞a答案 C解析 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上是减函数，又35＞25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2535＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a ＜b .又∵函数y ＝x 25在R 上是增函数，且35＞25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3525＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即c ＞b ， ∴a ＜b ＜c . 9．函数y ＝x －2x －1的图象是( )答案 B解析 方法一 代入选项验证即可． 方法二 y ＝x －2x －1＝x －1－1x －1＝－1x －1＋1，利用函数图象的变换可知选B. 10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( ) A ．7个B ．8个C ．9个D ．无数个 答案 C解析 值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1,2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1,2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1,2，－2}，共有9种情况．11．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 解 (1)设f (x )＝x a ，则由题意可知25a＝5， ∴a ＝12，∴f (x )＝x 12.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， ∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得 0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]， 又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)． 三、探究与创新12．已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． 解 因为m ∈{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }, 所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m ＝1时，f (x )＝x 0条件(1)、(2)都不满足．当m ＝0时，f (x )＝x 3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数． 所以x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域为[0,27]．13．已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．解 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上的函数值随着x 的增大而减小，∴m 2－2m －3<0， 利用二次函数的图象可得－1<m <3. 又∵m ∈N ，∴m ＝0,1,2. 又∵函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数，故m ＝1， ∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递减，∴有以下三种情况：①当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0，即a <－1时，不等式的左边为负数，右边为正数，不等式成立；②当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，3－2a >0时，必有a ＋1>3－2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32；③当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0时，必有a ＋1>3－2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a ，此不等式组无解，综上可得a 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.。
高中数学 2.3.1幂函数的概念教学设计 湘教版必修1
幂函数的概念教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的概念、图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重难点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的概念和一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：问题引入，得出幂函数的概念。
幂函数性质的初步应用．教学过程与操作设计：材料三：幂函数性质归纳．观察图象，总结填写下表：师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．环节教学内容设计师生双边互动组织探究xy=2xy=3xy=21xy=1-=xy定义域值域奇偶性单调性定点师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．材料四：总结常见幂函数的某些共同性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）13,,-===xyxyxy是奇函数，2xy=是偶函数（3）在区间（0，+∞）上函数2132,,,xyxyxyxy====是增函数，1-=xy是减函数。
（4）在第一象限中，函数1-=xy的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。
材料五：例题[例1]（教材例题） 证明幂函数x x f =)(在(0,+∞)上是增函数（重点分析分子有理化的理由，化简的方向和最后的化简结果形式）师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出． 生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．环节 呈现教学材料师生互动设计 尝试 练 习证明：幂函数2)(x x f =在(0, +∞)上是增函数；在(-∞,0)上是减函数学生板演师：评价反馈情况，并重点强调化简的方法，化简的方向和最终结果的保留形式，探究 与 发 现 1．如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为： ．规律1：在第一象限，作直线)1(>=a a x ，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．环节呈现教学材料师生互动设计则有：且任取证明,),,0(,:2121x x x x <+∞∈))(()()(2121222121x x x x x x x f x f +-=-=-,0,0,0212121>+<-<≤x x x x x x 所以因为.),0()()((0)()(22121上是增函数在幂函数）即所以+∞∈=∴<<-x x x f x f x f x f x f ,0,0,0434343<+<-<<x x x x x x 所以因为.)0,()()((0)()(24343上是减函数在幂函数）即所以-∞∈=∴>>-x x x f x f x f x f x f 则且同理任取,),0,(,4343x x x x <-∞∈))(()()(4343242343x x x x x x x f x f +-=-=-。
高中数学 2.3.1幂函数的图像、性质及应用课件 新人教A版必修1
点评：比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若
底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利用幂函
栏 目
链
数的性质比较大小；若底数指数均不同，考虑利用中间值来比较大 接
小．
►跟踪训练
2．比较下列各组数的大小：
11 (1)1.53，1.73，1；
(2)－
22－32，－17023，1.1－43；
例1
函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当
x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
解析：根据幂函数定义得
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
栏
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
目 链
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求，故接
解析：∵f(x)为幂函数，∴2m2＋m＝1，得m＝21或m＝－1.
栏
当m＝12时，f(x)＝x－41＝
1 4
，
目 链 接
x
定义域为x＞0，显然不具有奇偶性；
当m＝－1时，f(x)＝x－1＝x1是奇函数．
答案：－1
题型2 利用你幂函数的性质比较大小
例2 比较下列各组中两个数的大小：
6
6
(1)0.611与0.711；
f(x)＝x3.
点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为
幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验
根，以免增根．
►跟踪训练
1．已知函数f(x)＝(2m2＋m)xm2＋m－1为幂函数且是奇函数，
幂函数是什么意思有什么特性及性质
幂函数是什么意思有什么特性及性质例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1注：y=x-1=1/xy=x0时x≠0等都是幂函数。
当α取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于α取无理数时，初学者则不大容易理解了。
因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
幂函数的图像必须出现在第一象限，而不是第四象限。
它是否出现在第二和第三象限取决于函数的奇偶性；幂函数图像最多只能出现在两个象限；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点必须是原点取正值当α>0时，幂函数y=Xα它具有以下性质：a、图像都经过点1,10,0;b、函数的映像是[0，+∞;c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大;α=1时，导数为常数;0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0;取负值当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、所有图像都通过点1,1；b、图像在区间0，+∞上是减函数;内容补充：若为x-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间-∞，0上单调递增。
其余偶函数亦是如此c、在第一象限中，有两条渐近线，即坐标轴。
自变量接近0，函数值接近+∞, 自变量接近+∞, 函数值接近0。
取零当α=0时，幂函数y=XA具有以下特性：a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点0,1。
它的图像不是直线。
x=0时，函数值没意义关于α，的值是一个非零有理数。
有必要在几种情况下讨论它们的特点：首先我们知道如果α=p/q，且p/q为既约分数即p，q互质，q和p都是整数，则x^p/q=q次根号下x的p次方，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞。
当指数α是负整数时，设α=-k，则y=1/x^k，显然x≠0，函数的定义域是-∞，0∪0,+∞。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：α小于0时，X不等于0；α的分母为偶数时，x不小于0;α当的分母为奇数时，X取R。
4.1.1有理数指数幂(课件)-高一数学(湘教版2019必修第一册)
算法则进行运算，而引入分数指数的概念就可以大大简化根式运算.
当 > 0，, ∈ 且 ≥ 2时，规定 = ，
这样就有
24
4
2
= 2 = 4， 6
1
33
=3
3
−6
=3
1
2
−
=
1
3
=
1
=
−
.
3
，方便多了.
1
−2
= 5，求下列各式的值：
(1) + −1 ；(2)2 + −2 ；(2)
1
2
解：将 +
1
−2
3
3
−
2 − 2
1
1
−
2 − 2
.
= 5两边同时平方，得： + −1 + 2 = 5.
(1) + −1 = 5 − 2 = 3；
(2)将 + −1 两边同时平方，得：2 + −2 + 2 = 9.∴2 + −2 = 7.
∙ = + ，( ) = ，() = .
下面，我们把整数指数幂推广到有理数指数幂.
新知探索——根式
若一个(实)数的次方( ∈ ， ≥ 2)等于，即 = ，则称是的次
方根.
当是奇数时，数的次方根记作 .
当 > 0时， > 0；当 = 0时， = 0；当 < 0时， < 0.
1
−2
1 −3
125 −2
；(3)( ) ；(4)( ) 3 .
4.1.3幂函数(课件)-高一数学(湘教版2019必修第一册)
,则2
= 2
∴=2.即() = 2 .
同理可得，() = −2 .
画出() = 2 和() = −2 的函数图象，
则由图象可知：当 < −1或 > 1时，() > () ；
当 = ±1时，() = ()；
当−1 < < 1时，() < ().
由于底数1.5 < 1.6，所以1.51.4 < 1.61.4 .
(2)1.50.4 ，1.60.4 可看作幂函数 = 0.4 的两个函数值.该函数在[0, +∞)上递增，由
于底数1.5 < 1.6，所以1.50.4 < 1.60.4 .
(3)1.5−1.5 ，1.6−1.5 可看作幂函数 = −1.5 的两个函数值.该函数在(0, +∞)上递减，
新知探索
上面的讨论中用到的自变量， 2 和 3 ，都是自变量的函数.这三种函数我
们已经很熟悉了.
一般来说，当为自变量而为非零实数时，函数 = 叫作(次)幂函数.上
面提到的1，2，3次幂函数，都是正整数次幂函数 = ( ∈ ， ∈ + )的例子.
注：幂函数的表达式 = 中，的系数必须为“1”.
练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
1
1
−2
−2
(1)1.5 与1.4 ；
(2)2
−
3
−4
1
2
3 3
与( )4 .
2
解：(1)∵幂函数 = 在(0, +∞)上是单调递减的，
又1.5 > 1.4，∴1.5
(2)∵2
1
高中数学 231,232幂函数的概念 幂函数的图象和性质课件 湘教版必修1
2
3
(4)y＝x－5; (5)y＝x－3； (6)y＝x－4.
解 (1)y＝x6 的定义域是 R，值域是[0，＋∞)．
(2)y＝x35＝5 x3的定义域是 R，值域是 R.
(3)y＝x14＝4 x的定义域是[0，＋∞)，值域是[0，＋∞)．
(4)y＝x－5＝x15的定义域是{x|x∈R 且 x≠0}，值域是{y|y∈R，
幂函数．
第十四页，共33页。
【变式1】 下列函数中哪些是幂函数：
(1)y＝x12；
4
(4)y＝(x－2)5；
(2)y＝21x； (3)y＝32x； (5)y＝1; (6)y＝x0；
(7)y＝－2·4x; (8)y＝ 1 . 5 x2
解 (1)是幂函数，因为 y＝x12＝x－2； (2)不是幂函数，它是指数函数 y＝12x； (3)不是幂函数，y＝32x＝9x 是指数函数；
第十页，共33页。
α＝qp
α<0
0<α<1
α>1
p、q都 是奇数
q是偶数 p是奇数
q是奇数 p是偶数
第十一页，共33页。
当α>0时，幂函数的图象都经过原点和点(1，1)，在第一象限内， 当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸． (3)幂函数的增减性 在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是递增(dìzēng)函数；当α<0 时，y＝xα是递减函数． (4)幂函数的奇偶性
∴23－23<π6 －23，即(－23)－23<－π6 －23.
22
22
3
(4)4.15>15＝1，0<3.8－3<1－3＝1，(－1.9)5<0，
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数．
预习测评
1．下列函数为偶函数的是
1
( B．y＝x2 D．y＝x3
)．
A．y＝x－1 C．y＝x2
答案
C
1
2． 当 0<x<1 时， f(x)＝x2， g(x)＝x2， h(x)＝x 2 的大小关系是(
－
)．
A．h(x)&lf(x) 答案 D
B．h(x)<f(x)<g(x)
2.3
2.3.2
【课标要求】
1．掌握幂函数的概念．
幂函数
2.3.1 幂函数的概念
幂函数的图象和性质
1 2．熟悉 α＝ 1，2，3， ，－ 1，－ 2 时幂函数 y＝ xα 的图象与性质． 2 3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．
自学导引
1．一般来说，当x为自变量而α为非0实数时，函数y＝xα叫作 幂函数 (α次的)_________(power function)． 一般说来，我们只考虑定义域为[0，＋∞)的分数次幂函数
的幂函数 ． _________
幂函数： 2．
1 1 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝ x，y＝ ，y＝ 2. x x
2 3
代表了幂函数的各种不同类型． x>0 时才能都有 对于一般的非0实数α，幂函数y＝xα只在______ 3． 意义．对于整数次的幂函数，由于图象的对称性，把它们 (0，＋∞) 上的图象和性质说清楚了，其他部分的情形 在__________ 也就很容易了解．
名师点睛
幂函数 (1)幂函数的有关概念与性质
①幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数．y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是 幂函数．②在(0，1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠 近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越 大，函数图象越远离x轴．③幂函数的图象一定会出现在第 一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第 二、三象限内，要看函数的奇偶性；
q是偶数 p是奇数
q是奇数 p是偶数
当α>0时，幂函数的图象都经过原点和点(1，1)，在第一象限
内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸．
(3)幂函数的增减性 在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是递增函数；当α<0时，y＝ xα是递减函数． (4)幂函数的奇偶性
q 令 α＝ (其中 p，q 互素， p 和 q∈N)． p
(0，0) 和______ (1，1) ，即0α＝0，1α＝1； ①都经过两个点______
增 函数； ②是递___
③图象与直线y＝x有如下关系：
0<x<1 α>1 0<α<1 在y＝x下方 __________ 在y＝x上方 __________
x>1
在y＝x上方 __________
在y＝x下方 __________
eαlnx ，可见幂函数 注意到当x>0时，有等式xα＝(eln x)α＝_____
的性质都可以归结到指数函数和对数函数的性质．例如，
递增 ；α<0时，xa 由ex和ln x的递增性立刻得知：α>0时xα _____ xα>0 ． 递减 ，由ex恒为正可知x>0时_____ _____
4．定义在非负数范围内的幂函数y＝xα的定义域只有两种可能： [0，＋∞) ，当α<0时是__________ (0，＋∞) ． 当α>0时是__________ 5．(1)当α>0时，幂函数在区间[0，＋∞)上有如下性质：
幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；
如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (2)幂函数的图象
当指数α＝1时，y＝x的图象是直线；当α＝0时，y＝xα＝
x0＝1是直线(不包括(0，1)点)．除上述特例外，幂函数的 图象都是曲线，如下表.
q α＝ p
α<0
0<α<1
α>1
p、q都 是奇数
p
y＝xq ，这里p是不为0的整数，q是大于1的正整数，并且p ______
互素 ． 和q_____
1 y＝ n ，叫作负整数次的幂函数． 正整数次幂函数的倒数_____ x y＝x－n ，这里n是正整数，x≠0. 一般写成________
整数次 负整数次的幂函数和正整数次的幂函数，统称为________
D．f(x)<g(x)<h(x)
3．当x∈(0，1)时，y＝xp (p∈R)的图象在y＝x的上方，则p的 范围是________．
答案
(－∞，1)
4．已知函数y＝(a2－3a＋3)xa(a为常数)为幂函数，则a＝ ________． 解析 答案 由幂函数定义知a2－3a＋3＝1，解得a＝1或2. 1或2
函数．
解 (1)若
2 m ＋ m－ 1＝ 1， f(x)为正比例函数，则 2 ⇒ m＝ 1. m ＋ 2m≠ 0
(2)若 f(x)为反比例函数，
2 m ＋ m－ 1＝－ 1， 则 2 ⇒ m＝－ 1. m ＋ 2m≠ 0
(3)若
2 m ＋ m－ 1＝ 2， f(x)为二次函数，则 2 m ＋ 2m≠ 0
－1± 13 ⇒ m＝ . 2 (4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1⇒ m＝－1± 2.
(2)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上有如下性质：
(1，1) ，即1α＝1； ①图象都过点_______ 减 函数； ②是递___ y轴 正向无限接近，向右与____ x轴 正向无限接 ③图象向上与____
近．
自主探究
1．y＝1和y＝x0(x≠0)一样吗？它们都是幂函数吗？ 提示 提示 不一样，y＝1不是幂函数，y＝x0(x≠0)是幂函数． 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的底数a为常数，指数为 幂函数与指数函数有什么区别？ 2． 变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常
q
①若 p 是奇数，则 y＝xp的奇偶性取决于 q 是奇数或偶数．当 q 是奇 q 数时，则 y＝xp是奇函数；当 q 是偶数时，则 y＝x 是偶函数．②若 p p
q q
是偶数，则 q 必是奇数，此时 y＝xp既不是奇函数，也不是偶函数．
典例剖析
题型一 幂函数的概念
xm2＋m－1，m为何值时， 【例1】 已知函数f(x)＝(m2＋2m)· f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂