实验误差理论

绪论 物理学是一门以实验为基础的科学，物理现象及其规律的研究都以严格的实验事实为基础，并且不断地受到实验的检验。在物理学的发展中物理实验一直起着非常重要的作用，今后在探索和开拓新的科技领域中，物理实验仍然是一门有力的工具。物理实验课是学生进入大学后系统学习科学实验知识和技能的开端，是后继课程的基础。它在培养学生用实验手段去发现、观察、分析和研究问题，最终解决问题的能力方面起着至关重要的作用.。 一、物理实验课的目的 (1) 通过对物理实验现象的观测和分析,学习运用理论指导实验、分析和解决实验问题的方法.从理论和实际的结合上加深对理论的理解。 (2) 培养学生从事科学实验的初步能力。这些能力是指：通过阅读教材或资料，能概括出实验原理和方法的要点；正确使用基本实验仪器，掌握基本物理量的测量方法和实验操作技能；正确记录和处理数据，分析实验结果和撰写实验报告；自行设计和完成某些不太复杂的实验任务等等。 (3) 培养学生实事求是的科学态度，严肃认真的工作作风，勇于探索、坚忍不拔的钻研精神以及遵守纪律、团结协作、爱护公物的优良品德。 二、物理实验课的主要教学环节 为达到物理实验课的目的，学生应重视物理实验教学的三个重要环节。 1． 实验预习 课前要仔细阅读实验教材或有关的资料，并学会从中整理出实验所用原理、方法、实验条件及实验关键，根据实验任务画好记录数据的表格。有些实验还要求学生课前自拟实验方案，自己设计线路图或光路图，自拟数据表格等。因此，课前预习的好坏是实验中能否取得主动的关键。 2． 实验操作 学生进入实验室后应遵守实验室规则，像一个科学工作者那样要求自己，井井有条地布置仪器，安全操作，注意细心观察实验现象，认真钻研和探索实验中的问题。不要期望实验工作会一帆风顺，在遇到问题时，应看作是学习的良机，冷静地分析和处理它。仪器发生故障时，也要在教师指导下学习排除故障的方法。总之，要把重点放在实验能力的培养上，而不是测出几个数据就以为完成了任务。对实验数据要严肃对待，学生要用钢笔和圆珠笔记录原始数据。如确系记错了，也不要涂改，应轻轻划上一道，在旁边写上正确值（错误多的，须重新记录），使正误数据都能清晰可辨，以供在分析测量结果和误差时参考。不要用铅笔记录，给自己留有涂抹的余地，也不要先草记在另外的纸上再誉写在数据表格里，这样容易出错，况且，这已不是“原始记录”了。希望同学注意纠正自己的不良习惯，从一开始就不断培养良好的科学态度。实验结束时，将实验数据交教师审阅签字，整理还原仪器后方可离开实验室。 3． 实验总结 实验后要对实验数据及时处理。如果原始数据记录删改较多，应加以整理，对重要的数据要重新列表。数据处理过程包括计算、作图、误差分析等。计算要有计算式（或计算举例），代入的数据都要有根据，便于别人看懂，也便于自己检查。作图要按作图规则，图线要规范，美观。数据处理后应写出实验结果以及对有关问题进行讨论。最后要求撰写一份字迹工整、原理简洁明了、对问题的讨论要有自己的独特见解的实验报告。这是每一位大学生必须具备的报告工作成果的能力。 实验报告是实验工作的总结，是交流实验经验、推广实验成果的媒介，学会编写实验报告是培养实验能力的一个方面。写实验报告要用简明的形式将实验结果完整、准确地表达出来，要求文字通顺字迹端正，图表规范，结果正确，讨论认真，实验报告要求在课后独立完成。用学校统一印刷的“实验报告纸”来书写。

实验报告通常包括以下内容： 实验名称表示做什么实验。 实验目的说明为什么做这个实验，做该实验达到什么目的。 实验仪器列出主要仪器的名称、型号、规格、精度等。 实验原理阐明实验的理论依据，写出待测量计算公式的简要过程，画出有关的图（原理图或装置图），如电路图、光路图等。 数据记录实验中所测得的原始数据要尽可能用表格的形式列出，正确表示有效数字和单位。 数据处理根据实验目的对测量结果进行计算或作图表示，并对测量结果进行评定，计算不确定度，计算要写出主要的计算公式和内容。 实验结果要正确写出实验结果表达式并扼要写出实验结论，必要时还需要与公认值进行比较。 问题讨论讨论实验中观察到的异常现象及其可能的解释，分析实验误差的主要来源，对实验仪器的选择和实验方法的改进提出建议，简述自己做实验的心得体会，回答实验思考题。 实验报告必须在做完实验一周内完成，按时交实验报告。实验报告是学生实验成绩考核的主要依据，学生必须认真进行实验总结，撰写合格的实验报告，努力提高科学实验的表达能力。

第一章 测量误差与数据处理 误差理论及数据处理，是一切实验结果中不可缺少的基本内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科，随着科技事业的发展，近年来误差理论的基本概念和处理方法也有很大发展，误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差的性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对测量结果作出评定，最大限度地减少测量误差，或指出减少测量误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。本课程仅限于介绍误差分析的初步知识，着重几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证。 第一节 测量与误差 物理实验主要是再现物体运动形态，探索物理量之间的关系，从而验证理论或发现规律。 进行物理实验，不仅要进行定性的观察，而且还要进行定量的测量，以取得物理量数量的表征。测量就是将待测量与同类标准量（量具）进行比较，得出结果，这个比较的过程就叫测量，比较的结果记录下来就是实验数据。测量数据应包含测量值的大小和单位，二者缺一不可。 一、测量的分类 根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测物体的长，用天平称衡物体的质量，用电流表测电流等，都是直接测量。间接测量是借助函数关系由直接测量的结果计算出所要求的物理量。例如钢球的直径D由直接测量测出，则由公式V=πD3∕6求出钢球的体积就是间接测量。 物理实验中有直接测量，也有间接测量。但大量的物理量是间接测量量，这是因为在某些情况下实现直接测量比较复杂，或者说直接测量精度不高。

此外，根据测量条件来分，有等精度测量和非等精度测量。等精度测量是指在同一（相同）条件下进行的多次测量。如同一个人，用同一个仪器，每次测量时周围环境条件相同，等精度测量每次测量的可靠程度相同。反之，若每次测量时的条件不同，或测量仪器改变，或测量方法、条件改变，这样所进行的一系列测量叫非等精度测量。非等精度测量的结果，其可靠程度自然也不相同。物理实验中大多采用等精度测量。 二、误差与偏差 在任何测量过程中，由于测量仪器、实验条件及其它种种原因，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总有一定的差异，测量值N与真值N0

之差定义为误差，即

ΔN=N–N0

显然误差ΔN有正负大小之分，因为它是指与真值的差值，常称为绝对误差。注

意：绝对误差不是误差的绝对值！ 误差存在于测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低限度，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，是实验中的一项重要工作，也是实验的基本技能。 实验总是根据对测量结果误差限度的一定要求来制定方案和选用仪器的，不要以为仪器精度越高越好，因为测量的误差是各个因素所引起的误差的总合，要以最小的代价来取得最好的结果，要合理的设计实验方案，选择仪器，确定采用这种或那种测量方法，如比较法、替代法、天平的复称法等，都是为了减少测量误差；对测量公式进行这种或那种的修正，也上为了减少某些误差的影响；在调节仪器时，如调节器铅直、水平、要考虑到什么程度才能使它的偏离对实验结果造成的影响可以忽略不计；电表接入电路和选择量程都要考虑到引起的误差大小。在测量过程中某些对结果影响大的关键量，就要努力想办法将它测准；有的量测不太准对结果没什么影响，就不必花太多的时间和精力去对待。处理数据时，某个数据取到多少位，怎样使用近似公式，作图时坐标比例、尺寸大小怎样选取，如何求直线的斜率等，都要考虑到引入误差的大小。 由于客观条件所限、人的认识的局限性，测量不可能获得待测量的真值，只能是近似值。设某物理量真值为χ0，进行n次等精度测量，测量值分别为χ1，χ2，…，χn，（测量过程无明显系统误差）。它们的误差为

011

022

……

0nn 求和

011nniinii 即

011nnniinii

当测量次数n，可以证明01nnii，而且nnii1是0的最佳估计值，称为近真值。 为了估计误差，定义：测量值与近真值的差值为偏差：即ii。 偏差又叫残差，实验中真值得不到，因此误差也无法知道，而测量的偏差可以准确知道，实验误差分析中要计算这种偏差，用偏差来描述测量结果的精确程度。 三、相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫相对误差，用E表示： 000100NNE

由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用N代替N0。在这种情况下，N可能是公认值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，其值用百分数表示，保留两位数。 四、系统误差与随机误差 根据误差的性质和产生的原因，可分为系统误差与随机误差。 系统误差----是指在一定条件下多次测量结果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化，系统误差的特征是它的规律的确定性。系统误差的来源有以下几方面： 仪器误差----由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的。 理论误差----由于测量所依据的理论公式本身的近似性；或实验条件不能达到理论公式所规定的要求；或测量方法所带来的。 观测误差----由于观测者本人生理或心理特点造成的。 例如，用落球法测量重力加速度，由于空气阻力的影响，多次测量的结果总是偏小，是测量方法不完善造成的；用停表测运动物体通过某段路程所需的时间，若停表走时太快，即使测量多次，测量的时间t总是偏大为一固定值，是仪器不准确造成的；在测量过程中，若环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化，是由于环境因素变化引起的……. 在任何一项实验工作和具体测量中，首先必须要办法，最大限度地消除或减少一切可能存在的系统误差。消除系统误差，首先要找到引起系统误差的原因，针对性地采取措施才能消除它的影响，或者对测量结果进行修正。发现系统误差需要改变实验条件和测量方法，反复进行对比，系统误差的减小或消除是比较复杂的问题。 随机误差---实验中即使采取了措施，对系统误差进行修正或消除，并且进行了精心观测，然而每次测量值仍会有差异，其误差值的大小和符号的正负，起伏不定，无确定性，这种误差是由于感官灵敏度和仪器精密度所限，周围环境的干扰以及随着测量而来的其它不可预测的随机因素的影响造成的，因而把它叫做随机误差。当测量次数很多，随机误差就显示出明显的规律性。实践和理论都证明，随机误差服从一定的统计规律（正态分布），其特点是：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大；绝对值相等的正负误差出现的概率相同；绝对值很大的误差出现的概率趋于零。因此增加测量次数，可以减小随机误差，但不能完全消除。 由于测量者的过失，如实验方法不合理，用错仪器，操作不当，读错刻度，记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，不属于测量误差，只要测量者采取严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。