大学物理实验(二)误差理论
大学物理：物理实验误差理论
仪器误差（Error of Instrument）
注明 或 最小分度值的一半
单次测量 结果的误差可以取仪器误差； 多次测量 比较其误差和仪器误差，取两者
中较大的为结果的误差。
相对误差（Relative Uncertainty）
平均绝对误差、标准偏差、极限误差、仪器误差等，都是
有单位的，都是绝对误差，现在用 代x 表。
大学物理：物理实验误差理论
实验一 关于测量的基本理论
Exp.1 Basic Knowledge about Measurement
课程任务（Goal of Experiment）
➢培养实践、理论两方面的科学素养
➢培养和提高科学实验能力：准备实验， 使用仪器设备，观察分析判断，记录、 处理、报告实验过程和结果
Standard Deviation，Limited Error
标准偏差：
x
n
2
(xi x)
i 1
n 1
n
(xi )2
i 1
n 1
平均值的标准偏差：
x
n
n
2
(xi x)
i 1
n(n 1)
n
(xi )2
i 1
n(n 1)
根据例1的数据，计算标准偏差
科学计数法：形式 a 10n 1 a 10
有效数字由 a 确定，单位的变化只是引起 n 的变化。 例如：地球的半径可表示为：
r 6.371103km 6.371106m
如何确定测量结果的有效数字?
误差本身也是有效数字，记录测量数据的有效数字的 最后一位应该到误差发生的一位。
L (15.3 0.5)mm
误差理论-绪论-附答案
绪论大学的物理实验课是高等院校理科的一门必修基础课程，是对学生进行科学实验基本训练，提高学生分析问题和解决问题能力的重要课程。
它与物理理论课具有同等重要的地位。
这里主要介绍测量误差理论、实验数据处理、实验结果表述等初步知识，这是进入大学物理实验前必备的基础。
物理实验可分三个环节：1）课前预习，写预习报告。
2）课堂实验，要求亲自动手，认真操作，详细记录。
3）课后进行数据处理，完成实验报告。
其中：预习报告的要求：1）实验题目、实验目的、实验原理（可作为正式报告的前半部分）。
2）画好原始数据表格，单独用一张纸。
实验报告内容：（要用统一的实验报告纸做）1)实验题目；2)实验目的；3)实验原理：主要公式和主要光路图、电路图或示意图，简单扼要的文字叙述；4)主要实验仪器名称、规格、编号5)实验步骤：写主要的，要求简明扼要；6) 数据处理、作图（要用坐标纸）、误差分析。
要保留计算过程，以便检查；7) 结论：要写清楚，不要淹没在处理数据的过程中；8) 思考题、讨论、分析或心得体会；9) 附：原始数据记录。
测量误差及数据处理误差分析和数据处理是物理实验课的基础，是一切实验结果中不可缺少的内容。
实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量结果的可信赖程度。
对低年级大学生，重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法。
一、测量与误差1、测量：把待测量与作为标准的量（仪器）进行比较，确定出待测量是标准量的多少倍的过程称为测量。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位。
2、测量的分类测量可以分为两类。
按照测量结果获得的方法来分，可分为直接测量和间接测量两类；而从测量条件是否相同来分，又可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。
如用米尺测量物体的长度，用电流表测量电流等。
间接测量是借助函数关系由直接测量的结果计算出的物理量。
大学物理实验-误差理论与数据处理综述
误差理论与数据处理
②依据测量的条件进行分类
※等精度测量:
就是在一定的条件下，由同一测量者，操作同 一测量工具，采用同一方法，测量同一对象， 这样的测量称为等精度测量．即测量的一切条 件都是不变的，变化的因素很小时也可认为是 等精度测量．
不等精度测量 :
③依据测量可重复性进行分类
单次测量： ※多次测量：
误差理论与数据处理
①误差的绝对值有界 有界性 ②小误差出现的概率大于大误差出现 单峰性 的概率 对称性 ③n很大时，绝对值相等、符号相反的 误差，概率相等 ④n很大时，由于正负误差相互抵消， 抵偿性 各误差的代数和趋于零。 通过数学推导，可以得到随机误差的概率密度 分布函数
误差理论与数据处理
或者
一般难以控制，往往不可抗拒。
如：电磁场等的微扰，测量者的心理等。
误差理论与数据处理
•服从的规律： 服从数理统计规律。 •处理方法：
多次测量取平均值，也就是用最佳 估计的办法得近似真值。
③过失误差
由于实验者粗心大意或环境突发干扰而造成的, 该测量值不属于正常测量范围，在处理数据时 应予以剔除。
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
《大学物理实验》课程安排
本学期（8次课16学时）
（1）误差理论与数据处理 （2）实验项目7个 14学时 2学时
误差理论与数据处理
本次课程内容：
一、基本概念 二、随机误差的正态分布率 三、数据处理 *（重点）
四、实验常用的数据处理 方法 *（重点） 五、物理实验课的基本程 序和要求
准确度高 精密度低
准确度高 精密度高
精 确 度 高
误差理论与数据处理
4）误差的表示方法：
大学物理实验牛顿第二定律的验证误差分析
大学物理实验牛顿第二定律的验证误差分析
大学物理实验中，牛顿第二定律的验证是一个重要的实验内容。
牛顿第二定律表明，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。
实验中，我们通过使用弹簧测力计和各种质量的物体来验证这一定律。
在实验过程中，我们首先将弹簧测力计固定在水平桌面上，并将待测物体悬挂在弹簧测力计的下方。
然后，我们逐步增加待测物体的质量，记录对应的拉力和加速度数据。
通过对数据的分析，我们可以验证牛顿第二定律。
在实际操作中，由于实验设备、测量仪器以及人为因素等因素的存在，可能会导致误差的产生。
这些误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是由于实验设备的固有缺陷或者实验操作不当而引起的。
例如，弹簧测力计的刻度不准确、摩擦力的存在等都可能导致系统误差。
为了减小系统误差，我们可以使用多次实验取平均值的方法，并且注意选择精确度更高的实验设备。
随机误差是由于实验中的偶然因素引起的。
例如，读数时的人眼疲劳、环境温度的变化等都可能导致随机误差。
为了减小随机误差，我们可以多次测量同一组数据，并计算其平均值和标准偏差，以提高测量结果的准确性。
在误差分析中，我们可以通过计算相对误差、确定测量结果的可靠性。
相对误差可以通过实测值与理论值之差除以理论值，并乘以
100%来计算。
较小的相对误差表示测量结果较为准确。
大学物理实验中牛顿第二定律的验证是一个重要的实验内容。
在实验过程中，我们需要注意减小系统误差和随机误差，通过误差分析来评估测量结果的准确性。
这样才能得到可靠的实验数据，并验证牛顿第二定律的有效性。
大学物理实验—误差及数据处理
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
大学物理实验误差理论讲解
2 (x)2
方差
(x)2
标准误差
由误差理论，可以证明算术平均值的实验标准偏差
x
n
2
xi x
i 1
nn 1
37 2019/6/10
如果我们把测量结果表示为
x x x
则表示在（x x）范围内包含真值 x 的
可能性是68.3%
38 88522
1
0
30 2019/6/10
算术平均值 ＝（1.01+1.02+2*1.03+8*1.04+8*1.05+ 5*1.06+2*1.07+2*1.08+1.09)/30=1.05
偏差Δxi -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
17 2019/6/10
仪器误差
天平不等臂所造成的 系统误差
18 2019/6/10
aA
a A
bB
O
b
B
转轴与几何中心重合
，由于 aa bb
所以可用弧长反映角
度的大小。
由于偏心，使之用
弧长反映角度 时产
生的系统误差。如： AABB 这是由偏心
造成的。
19 2019/6/10
在一组等精度的重复测量
f(Δx)
中，其偏差位于(, )
范围内的概率为100%。
0
Δx
34 2019/6/10
f (x)
1
e
x
2
2
2
2
σ：（1）常数，（2）误差（从量纲的角度来 判断）如图所示，可以证明：
f(Δx)
大学物理实验理论课2
③ 人为方面的因素
二、正态分布 例如：用秒表测单摆的周期T，将各测量 值出现的次数列表如下。
测量值xi
次 数 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1 1 2 8 8 5 2 2 1.09 1.10 1 0
一、粗大误差产生的原因
产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为： ① 测量人员的主观原因 测量者工作责任感不强、工作过于
疲劳、缺乏经验操作不当，或在测 量时不小心、不耐心、不仔细等， 造成错误的读书或记录。
② 客观外界条件的原因
测量条件意外地改变（如机械冲击、 外界振动、电磁干扰等）。
二、判别粗大误差的准则
算术平均值的标准差
标准差的估值
x
Sx
n
(li x ) 2
i 1 n
n( n 1)
x
n
即在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为 单次测量标准差的 1 / n ，当n愈大，算术平均值越接近被测量 的真值，测量精度也愈高。 增加测量次数，可以提高测量 精度，但测量精度是与n的平方根成 反比，因此要显著提高测量精度， 必须付出较大的劳动。由图2-3可知, σ一定时，当n>10以后， x 的减小很 慢。此外，由于增加测量次数难以 保证测量条件的恒定，从而引入新的 误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测 量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。
算术平均值是真值的最佳估值
下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。
i li Lo
1 2 n (l1 l 2 l n ) nLo
大学物理实验第二版_课后习题答案
P74 1．设电阻箱的额定功率 P 0.5w ，问当取值 R 4321.6 时允许通过的电流等于 多少？ 解： I
P 0.5 0.02236 A 取 22.3mA R 1000
2．电阻箱的准确度等级为 0.2 级，当取值为 56.3Ω时，其误差 R 等于多少？
R m 6 ( b )% (0.2 0.2 )% 0.2213 % 解： R R 56 .3 R 0.2213 % R 0.002213 56 .3 0.1246 0.2
89.04678 3.0811 1.98 89.04678 1.10 = =3 10 3 3
10．由不确定度传递公式计算下列函数。
4
(1) x 3.14, e x ? 解： x 0.01 设. y e x . 则..ln y ln e x x y E x 0.01 y y e x e 3.14 "23.10386685" y E y 0.01 23.10386685 ~ 0.3 y 23.1
3
2
2
2
2
2
2
=0.00735×11.083≈0.081≈0.09 g cm
∴ 11.08±0.09 g cm 8． 解： a
3Байду номын сангаас
0.09 100％≈0.81％ 11 .08
1 a1 a2 a3 a4 a5 1 2.01 2.00 2.04 1.98 1.97 2.00cm 5 5
x =
[
1 (0.0047 2 + 0.0047 2 + 0.0057 2 +0.0067 2 + 0.0037 2 + 0.0253 2 ) 6 6 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
未定系统误差
●要估计出分布范围。 ●对于未定系统误差在物理实验中我们
一般只考虑仪器测量仪器的（最大） 允许误差△仪
（大致与 B 类不确定度B 相当）
如：螺旋测微计制造时的螺纹公差 等
2) 随机误差（又称偶然误差）
由于环境有起伏变化和偶然因素的干扰，使 测量结果略有差异，因而产生误差，这类误差称 为随机误差。
3. 误差的分类
①.系统误差 特点： 确定性 螺旋测微计测小球直径
3. 误差的分类
1)系统误差
特点：总是使测量结果向一个 方向偏离，它有固定的大小，或是 按一定规律变化。
螺旋测微计测小球直径
电压表测电压
②.偶然误差 特点： 随机性
螺旋测微器测钢丝直径
四 误差的修正
• 误差的产生有其必然性和普遍性， 误差自始至终存在于一切科学实验 中，一切测量结果都存在误差
②.相对误差
相对误差是指某一待测物理量的绝对误 差与其测量的最佳值之比，它是没有量纲 的，通常写成百分比的形式。
E N100%
N E＝△g /g本地×100%
＝0.01/9.792×100%
＝0.1%
2. 误差来源
①.仪器误差:（仪器零点不准、仪器水
平或铅直未调整、砝码未校准等）
②.方法误差: 实验理论近似或方法不 完善
按条件分类：
◆等精度测量—若多次测量都是在 相同的条件下进行的，称为等精 度测量
◆不等精度测量—若多次测量是在 测量条件发生变化的条件下进行 称为不等精度测量
二. 误差
• 1. 绝对误差与相对误差 • 2．误差来源 • 3．误差的分类 • 4．误差的几个基本概念
1. 绝对误差与相对误差
①.绝对误差
特点：测量结果的误差大小和符号都不固定 ，其值时大时小，其符号时正时负，就某一次测 量而言没有一定的规律，但在测量次数很大时， 随机误差整体上服从正态分布的统计规律。
正态分布函数： f(x) 1 expx2(/22) 2
f (x)dx 1
随机误差分布的特点：
①单峰性
②对称性
③ 有界性
④抵偿性
n
①.估计方法
B类评定不确定度为
uB
仪 3
（P＝68.3%）
教学中一般可视为均匀分布，
②.仪器误差 的仪确定：
A.由仪器的准确度表示
②.仪器误差 的仪确定：
A.由仪器的准确度表示
B.由仪器的准确度级别来计算
电电表表的的最满大量误程 级 差别%
电流表（0.5级）
B.由仪器的准确度等级计算 电 流 表 （ 0.5 级 ）
(4)随机误差的处理 1)测量的平均值：
xxi n1x ni 1 n(x1x2 xn)
2)标准偏差： 测量列的标准偏差：
Sx
n
(xi x)2
i 1
n 1
平均值的标准偏差：
Sx
Sx n
n
(xi x)2
i1
n(n 1)
多次测量可以减小随机误差
系统然误差与偶然误差的关系
偶然误差 系统误差
随机性 可通过多次测量来减小 确定性 可用特定方法来消除
4. 误差的几个基本概念
①. 精密度 ：重复测量数据相互分散
的程度
偶然误差
②. 正确度 ：实验结果与真值的符合 程度 系统误差
③. 准确度 ：精密度与正确度的综合 反映
我们以打靶为例来比较说明精密度、正确度、 准确度三者之间的关系。图中靶心为射击目标， 相当于真值，每次测量相当于一次射击。
'Ni Ni N
m
' N i 0
i 1
（m→ ∞） m
(N 1 N ) (N 2 N ) . .(.N m N )N i m 0 N
i 1
1 m
N mi1 Ni
N
（近真值）
Ni Ni N （偏差）
二、误差的估计——标准偏差
高斯分布
多次测量中任意一次测量的标准偏差
S
n
2
Ni N
i 1
A类不确定度u A ：
可以通过统计方法来计算(如偶然误差)
uu u u uA
222 2
A 1 A 2 A 3
Am
B类不确定度u B：
不能用统计方法只能用其他方法估算(如仪器误差)
uBuB 21uB 22uB 23 uB 2 n
B类
B类
三、直接测量不确定度的计算
1)A类不确定度的计算：
贝塞尔法
Ni的不确定度
③.环境误差:实验环境、测量条件不 合要求
④.人员误差:操作者生理或心理因素
1
R
Rx 1
Rx Rv
R
Rx 1
RA Rx
1
电流表外接
电流表内接
3 误差的分类
1).系统然误差:系统误差的确 定性可用特定方法来消除.
2).随机误差(偶然误差)随机 性可通过多次测量来减小.
1 )系统误差
在一定条件下（指仪器、方 法和环境）对同一物理量进行多次 测量时，其误差按一定的规律变化， 测量结果都大于真值或都小于真值。
精密度高 正确度低
精密度低 准确度高 正确度高
图(A)
图(B)
图 (C)
本节小结
• 一 测量的含义，要素，分类 • 二 绝对误差，相对误差，修正值 • 三 误差的来源，误差的分类, 精度
•
第二节
直接测量偶然误差的估计
一、用算术平均值表示测量结果
m次：N1，N2，．．．Ni，．．．Nm
任一次的测量误差：
一、不确定度的概念：
由于误差的存在而被测量值不能确 定的程度，是被测量真值在某个量值 范围内的评定。
u 不确定度用 表示
误差以一定的概率被包含在量值范围(u~u)中
_
_
真值以一定的概率被包含在量值范围 (Nu)~(Nu)中
一 测量不确定度的定义
◆不确定度表示由于测量误差存在而对被测 量值不能确定的程度（《JJF027-1991测量 误差的处理》）
◆表征合理地赋予测量之值的分散性与测量 结果相关联的参数（JJF1059-测量不确定 度评定与表示） 1999年5月1日实行
• 目前已经获得国际公认的主要原则有以下三点： ①测量结果的不确定度一般包含若干分量，这些分
量可按其数值的评定方法归并成A、B两类； A类不确定度:是指对多次重复测量结果用统计
limi 0 n i1
正态分布函数的特点
（1）单峰性。绝对值大的误差出现 的可能性（概率）比绝对值小的误差 出现的概率小。
（2）对称性。绝对值相等的正负误 差出现的机会均等，对称分布于真值 的两侧。
（3）有界性。在一定的条件下，误 差的绝对值不会超过一定的限度。
（4）抵偿性。当测量次数很多时， 随机误差的算术平均值趋于零
真值: 任何一个物理量在一定条件下都存在
着一个客观值，这个客观值称为真值。
△N（误差）=Ni（测量值）—N（真值）
1. 绝对误差与相对误差
①.绝对误差
测量重力加速度
单摆:
T 2
l g
g测量值 9.78m 2s2
g本地 9.79m 2s2
g9 .78 9 .7 29 0 .0 2m 1 s2
修正值=真值-测量值= -误 差
第一节 测量与误差
一.测量
• 1.测量的含义 • 2.测量的分类
1. 测量的含义
1. 测量的含义
• 测量就是把待测物理量与作为计量单 位的同类已知量相比较，找出被测量 是单位的多少倍的过程。
• 倍数→ 读数+单位→数据
• 测量的要素：对象，单位，方法，准 确度。
2. 测量的分类
按方法分类：
• 直接测量 • 间接测量
试用拉依达准则剔除坏值。
解：
10
(Li L)2
S i1
3.16cm
101
3 S 3 .1 6 3 9 .4c8 m
L10Li L
=20.33 —10.72
= 9.61>3S
当 数 据 为 11 个 时 可 以 用拉依达准则剔除
本节小结
一.算术平均值 二.标准偏差 三.置信度 四.坏值的剔除
第三节 实验不确定度
试计算算术平均值 L 某次测量值的标准偏差S 算术平均值的标准偏差S L
解： 1 10 L 10 i1 Li
1(4.3 2 2 4.3 2 4 4.3 2 5 4.3 2 0 4.3 24 10
4 . 3 2 4 3 . 3 2 4 7 . 3 2 4 4 . 3 2 4 3 . 3 ) 2
（贝塞尔公式）
n1
算术平均值对真值的标准偏差
S N
n
2
Ni N
i 1
n( n 1 )
例: 用标准米尺测某一物体的长度共10次，
其数据如下：
次 数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L(cm) 42.32 42.34 42.35 42.30 42.34 42.33 42.37 42.34 42.33 42.35
3S:极限误差
lim3S
2.拉依达准则
凡是误差 (NiN)lim3S的数据为坏值，应当 删除，平均值N和误差S应剔除坏值后重新计算。
注 意 ：拉依达准则是建立在 n的条件下，当n较 少时，3S的判据并不可靠，尤其是 n10时更
是如此。
对某一长度L测量11次，其数据如下：
次 数1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 L ( c m ) 1 0 .3 5 1 0 .3 8 1 0 .3 0 1 0 .3 2 1 0 .3 5 1 0 .3 3 1 0 .3 7 1 0 .3 1 1 0 .3 4 2 0 .3 3 1 0 .3 7