角平分线定理的多种证明方法
证明角平分线的三种途径
证明角平分线的三种途径从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.几何学习中，关于角平分线的证明问题屡见不鲜.解答它们，既可以根据定义，又可以利用角平分线的判定定理，还可以借助等腰三角形的性质.一、考虑要证明的角平分线把角分成两个相等的角，根据定义证明例1. 如图，E 、F分别为△ABC的边AB及边CA的延长线上的点，且AE＝AF，AD∥EF.求证：AD平分∠BAC.B CD简析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠1＝∠2.证明：在△AEF中，因为AE＝AF,所以∠AEF＝∠F.因为AD∥EF，所以∠1＝∠AEF，∠2＝∠F.所以∠1＝∠2.所以AD平分∠BAC.二、考虑要证明的角平分线上某一点到角的两边距离相等，利用角平分线的判定定理证明例2.如图，在△ABC中，外角∠BCE和外角∠CBD的平分线CF、BF相交于点F.求证：AF平分∠BAC.DA C简析：要证明AF平分∠BAC，只要证明点F到∠BAC的两边AB和AC的距离相等.证明：过F作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，FP⊥AC于点P.因为BF平分∠CBD，所以FM＝FN.因为CF平分∠BCE，所以FP＝FN.所以FM＝FP.所以点F到∠BAC的两边AB和AC的距离相等.所以点F在∠BAC的平分线上.所以AF平分∠BAC.三、考虑要证明的角平分线为等腰三角形底边上的中线或高，借助等腰三角形的性质证明例3. 如图，点D是△ABC的BC边的中点，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.BCD简析：要证明AD平分∠BAC，只要证明AD是等腰△ABC底边BC上的中线.证明：在△ABD和△ACD中，因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,所以∠1＝90°，∠2＝90°.所以△BDE和△CDF都是直角三角形.因为BE＝CF，BD＝CD,所以△BDE≌△CDF（HL）.所以∠B＝∠C, △ABC是等腰三角形.所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线.所以AD平分∠BAC.。
三角形内角平分线的性质定理的证明
三角形内角平分线的性质定理的证明一、定理 三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例.二、证明 已知：如图，2∠1∠=. 求证：BC AC BD AD =.方法一：利用平行线作等比代换.证明：作DE//BC ，DE 交AC 于点E ，则EC AE BD AD =.3∠2∠=，BCAC DE AE = 又2∠1∠=，∴3∠1∠=，于是DE=EC.∴BCAC DE AE BD AD == 方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换.如图，作BE//DC ，BE 交AC 的延长线于点E ，则CEAC BD AD =，E ∠1∠=，3∠2∠=.又2∠1∠=，得E ∠3∠=，于是 BC=CE ， 则BC AC BD AD =. 方法三：进行逆推分析，若在AC 的延长线上作一个CE=BC ，则只要BE//DC.延长AC 到点E ，使CE=BC ，连接BE ，则）（E ∠3∠213∠+=.又∠ACB 212∠=， ∠E ∠3∠+=ACB ，∴3∠2∠=，于是 BE//DC. 则CE AC BD AD ==BCAC . 证法4：如图20.改变△ADC 的一个内角的大小，把它改造为△AEC ，使之与△BDC 相似并作等量代换.第一种情况：当BC AC ≠时，不妨设BC AC >，B CAB ∠∠<，以AC 为一边，在CAB ∠的同侧，作B CAE ∠∠=，AE 与CD 的延长线交于点E.又2∠1∠=，∴△ACE ∽△BCD. 则BCBD AC AE =，而E CAE B ∠∠-1∠-180∠-2∠-1804∠3∠=°=°==. ∴AE=AD ，于是 BC BD AC AD =，即BCAC BD AD =.第二种情况：当AC=BC 时，∵2∠1∠=，∴AD=BD ∴BC AC BD AD =. 方法五：这是把有一组角相等的一组三角形都改造成直角三角形，从而证明相似，进而作等比代换.请同学们动手试一试！方法六：这个面积法的关键是，把一组有关的三角形△ACD 和△BCD 的面积，用两种方式各表达一次，写成了等式.请同学们动手试一试！。
三角形角平分线的三个定理证明
三角形角平分线的三个定理证明今天我们来聊聊三角形的角平分线，不知道大家有没有听过这个名字？别着急，别皱眉头，咱们今天就用轻松的方式聊聊它的三个定理。
嗯，对了，别一听到“定理”就想着这些东西都很难。
其实说白了，就是一些数学小规律，咱们捋顺了，分分钟能掌握！三角形的角平分线，就好比一个人站在三角形的顶点，把顶点的角一分为二，这两部分就叫做“角平分线”。
所以说，角平分线其实就是把角给“平分”了。
就像咱们吃饭的时候，大家都吃的差不多，没谁吃得特别多，也没谁吃得特别少，吃到最后大家都差不多，能吃个七八分饱。
这就是角平分线的第一步，它把角“分得很均匀”。
好啦，咱们先来看看第一个定理——角平分线定理。
这个定理说的是：在一个三角形里，如果你把其中一个角分成两个相等的角，那么角平分线就会把对边分成两段，比例就和另外两个边的长度成正比。
说起来可能有点绕，不过理解一下其实很简单。
比如说你有一个三角形，角A被角平分线分成了两个相等的角，接着角平分线碰到了对边BC，这时候，角平分线把对边BC分成了两段——一段叫做BD，一段叫做DC。
于是，BD和DC的比例就跟AB和AC的比例一样。
所以，简单来说，角平分线把对边分得“恰如其分”，好像是两个好朋友，他们不争不抢，分得刚刚好。
怎么说呢？简直就是“分蛋糕分得不多不少”。
这个定理，其实很直白，理解起来就像你吃一块蛋糕，吃到自己的一块，剩下的也给大家分得差不多，公平又公正。
接下来我们来说第二个定理，角平分线的外角定理。
听着名字可能有点“高大上”，但说白了就是，三角形外面的某些角也能有它的分法。
这里的关键点是，三角形的一条角平分线延伸到外面，它和外面的对边之间有一个特殊的关系。
你看，假如角平分线从角A出发，穿过三角形的外边，这时候，外面这个角的大小恰好等于它与角平分线的内角的加和的一半。
也就是说，它跟内部的角平分线内外的配合得当，像是一对搭档，互相配合，默契十足。
所以，这个定理就像我们常说的“知己知彼，百战不殆”，内外呼应，整体协作，效果好到飞起。
角的平分线问题的求解方法
角的平分线问题的求解方法角的平分线问题是数学中常见的一个几何问题，它涉及到如何找到一个角的平分线。
解决这个问题的方法有很多种，下面将介绍几种常见的求解方法。
方法一：三角形相似法在平面几何中，我们知道如果两个三角形的对应角相等，那么它们的对应边的比例也相等。
利用这个性质，我们可以通过构造一个辅助三角形，来找到角的平分线。
具体操作如下：1. 以角的顶点为圆心，任意取一点作为辅助点，画出一条射线。
2. 以辅助点为顶点，分别与角的两边交点作为辅助三角形的另外两个顶点。
3. 连接辅助点与角的顶点，形成一个辅助三角形。
4. 利用辅助三角形与原角的相似关系，可以得到角的平分线。
方法二：角平分线定理角平分线定理是解决角的平分线问题的另一种方法。
根据角平分线定理，一个角的平分线将这个角分成两个相等的角。
具体操作如下：1. 以角的顶点为圆心，画一个圆。
2. 在圆上取两个点，分别与角的两边交点。
3. 连接圆心与这两个交点，形成两个角。
4. 这两个角是相等的，因此它们的平分线也是相等的，即为所求的角的平分线。
方法三：三角函数法三角函数法是一种利用三角函数来求解角的平分线问题的方法。
通过利用正弦、余弦和正切函数的性质，可以得到角的平分线的具体位置。
具体操作如下：1. 根据已知角的大小，利用正弦、余弦和正切函数计算出角的正弦值、余弦值和正切值。
2. 根据正弦、余弦和正切函数的定义，可以得到角的平分线与角的两边的关系。
3. 利用三角函数的性质，可以确定角的平分线的位置。
以上是几种常见的角的平分线问题的求解方法，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际问题中，可以根据具体情况选择合适的方法来求解角的平分线。
通过熟练掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用角的平分线问题，提高解题的效率和准确性。
总结起来，解决角的平分线问题可以采用三角形相似法、角平分线定理和三角函数法等多种方法。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
锐角平分线的三个定理
锐角平分线的三个定理
锐角平分线的三个定理介绍如下：
1. 角平分线定理
* 定义: 若一个角的平分线与一个直线相交，则相对的两个交点到这个角的两边的距离相等。
* 证明: 通过角的平分线上的任意一点，向角的两边作垂线，由于角的平分线性质，这两个垂线长度相等。
再根据点到直线的距离定义，可证该定理。
* 应用: 在几何证明和构造中，角平分线定理常被用来确定与角平分线相关的线段长度。
2. 锐角定理
* 定义: 锐角平分线与该角的对边所形成的夹角小于90°。
* 证明: 设锐角为α，其平分线与对边形成的角为β。
由于α是锐角，所以0°< α< 90°。
根据角的平分线性质，α/2 < β< 90°。
* 应用: 在解决几何问题时，锐角定理可以用来判断角平分线与对边形成的角度的大小。
3. 余弦定理
* 定义: 在任意三角形ABC中，若AD是角BAC的平分线，则有AB²=BD×BC+BD²-CD²。
* 证明: 根据角平分线的性质，得到AD²=BD×BC+CD×AC，然后通过余弦定理和已知条件可证明上述结论。
* 应用: 余弦定理常被用来确定角平分线上的点到三角形的两边距离的关系。
总结：锐角平分线的三个定理在几何学中具有重要地位，它们在解决与角平分线相关的几何问题时非常有用。
深入理解和掌握这些定理对于提高几何解题能力至关重要。
(完整版)几何证明——角平分线模型(中级)
★初中几何证明专题★1、角平分线:（1 ）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用:（2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
条射线是一个角的角平分线）。
2、角平分线常见用法（或辅助线作法）3、角平分线比例定理AB如图6, AD为ABC的角平分线，则——AC几何证明角平分线模型（中级）【知识要点】①垂两边: 如图1，已知BP平分ABC，过点P 作PA AB，PC BC，贝y PA PC。
②截两边: 如图2，已知BP平分MBN，点A BM上，在BN上截取BC BA，贝y ABP也CBP。
③角平分线+平行线7等腰三角形:如图3, 已知BP平分ABC , PA/ /AC ,则AB AP ;BP如图4, 已知(1)④三线合一（利用角平分线+垂线7等腰三角形）如图5，已知AD平分BAC，且AD BC，贝y AB AC , BD CD。
证明两条线段相等）；（作用：证明两角相等或一BD AB--- 或----CD BDACOCD【经典例题】已知如图，ABC 中，BC AC ，AD 平分 CAB ，若C 90，求证：AB AC CD ；如图，在Rt ABC 中， ACB 90，CD AB 于D ，AF 平分 CAB 交CD 于E ,交CB 于F ， 且EG // AB 交CB 于G 。
试求：CF 与GB 的大小关系如何？已知如图， ABC 中，BC AC ，AD 平分 CAB ，若 C 108，求证：AB AC BD ；例4、如图：已知I 是 ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。
求证: 长等于BC 。
ABDE C例1、DIE 的周例5、如图：已知在 ABC 中， ABC 的平分线与 ACB 的外角平分线交于点 D , DE // BC ，交AB 于 点E ，交AC 于点F ，求证：EF例6、如图，已知 ABC 中 BAC 90 ,AB AC,CD 垂直于 ABC 的平分线BD 于D , BD 交AC 于E ,求证：BE 2CD 。
三角形内角角平分线定理
三角形内角角平分线定理
三角形内角角平分线定理指的是在三角形中，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
换句话说，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
这个定理也可以表述为：三角形任意两边之比等于它们夹角的角平分线分对边之比。
在证明这个定理时，通常使用相似三角形的性质或者三角形的面积公式。
例如，可以通过过角平分线上的点作角的两边的垂线，然后证明这两个三角形是相似的，从而得出结论。
这个定理在几何学中有广泛的应用，如在解决几何问题、计算面积和周长等。
三角形内角角平分线定理的证明方法有多种，以下给出一种常见的证明方法：
首先，在三角形ABC中，角A的平分线AD交BC于D，
过点D分别作AB、AC的垂线，分别交AB、AC于E和F。
由于角平分线的性质，我们知道角BAD等于角CAD。
又
因为DE和DF分别是AB和AC上的垂线，所以角DEA和角D FA都是直角。
根据三角形的全等判定定理，我们知道如果两个三角形的两边和夹角相等，则这两个三角形全等。
在这里，我们有DE=DF（因为DE和DF都是垂线），AD=AD（公共边），以及角BAD等于角CAD。
因此，三角形ADE与三角形AFD全等。
由于两个三角形全等，所以它们的对应边AE和AF也相等。
由此得出，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
综上所述，我们证明了三角形内角角平分线定理。
角平分线定理
角平分线定理角平分线定理，又称为角的平分线定理，是在几何学中非常重要的一个定理。
它是指任意一个角的平分线能将该角分成两个大小相等的角。
在几何学中，一个角是由两条线段或射线的公共端点确定的，通常用字母来表示，如角ABC。
下图是一个角的示意图：（图片省略）在图中，顶点为点B，角ABC由线段BA和线段BC确定。
现在将角ABC的内部画一条直线AD，使得角BAD和角DAC的大小相等。
即使得∠BAD=∠DAC。
根据角平分线定理，我们可以得出以下结论：1. 任意一个角都有且仅有一个平分线。
2. 该平分线将角分成两个大小相等的角。
这个定理的证明有多种方法，下面我们将介绍一种简单的方式：首先，我们可以构造一个角ABC，并在内部画一条直线AD。
我们假设∠BAD=∠DAC。
接下来，我们需要证明∠BAD=∠DAC。
这可以通过以下步骤来实现：1. 根据角的定义，∠BAD由线段BA和线段BD确定，∠DAC由线段DA和线段DC确定。
我们可以得出∠BAD=∠BA和∠DAC=∠DA。
2. 因为∠BAD=∠DAC，所以∠BA=∠DA。
3. 由于角BAD和角DAC的两条边相等，根据三角形的性质，我们可以得出∠BAD=∠DAC。
通过以上证明，我们可以得出结论：角ABC的平分线AD将角ABC分成两个大小相等的角BAD和DAC。
在实际应用中，角平分线定理在解决各种几何问题时起着重要的作用。
例如，在建筑工程中，我们需要确保两条墙壁的相交角度相等，以保证建筑物的结构牢固。
而角平分线定理提供了一个简单而可靠的方法来实现这一目标。
总结来说，角平分线定理是几何学中的重要定理，它指出任意一个角的平分线能将该角分成两个大小相等的角。
这个定理在解决几何问题中有着广泛的应用，为我们提供了一个简单而可靠的工具。
无论是在学术研究中还是日常生活中，了解和应用角平分线定理都将对我们有着积极的影响。
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角平分线定理的多种证明方法
角平分线定理是指平分一个角的直线，可以将角分成两个相等的角。
下面是几种证明角平分线定理的方法：
1. 利用三角函数的性质证明：假设有一个角A，以及角A的平分线BC。
我们可以利用三角函数定义，将向量AC和向量BC分别表示为函数形式，然后通过比较两个向量的比值，证明两个角的大小相等。
2. 利用角度和的性质证明：假设有一个角A，以及角A的平分线BC。
我们可以将角A分成两个小角BAC和CAD。
然后利用角度和的性质，证明角BAC和角CAD的和等于角A的大小。
3. 利用相似三角形的性质证明：假设有一个角A，以及角A的平分线BC。
我们可以将角A分成两个小角BAC和CAD。
然后可以利用相似三角形的性质，通过比较三角形ABC和三角形ACD的边长比值，证明两个角的大小相等。
这些方法只是证明角平分线定理的几种常见方法，还有其他的证明方法。
无论采用何种方法，都需要运用几何知识和推理能力，以及逻辑推理能力来进行证明。