高中数学《算法案例》课件

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然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
□ v2＝ 19 v1x＋an－2 ， □ v3＝ 20 v2x＋an－3 ，
…
□ vn＝ 21 vn－1x＋a0 ， □ 这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 22 n 个一
次多项式 的值．
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三、进位制
进位制是人们为了 □23 计数 和 □24 运算方便 而约定 的记数系统，“满 k 进一”就是□25 k 进制 ，k 进制的基数
是 k.把十进制数化为 k 进制数时，通常用除 k 取余法．
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第一章 算法初步
1．3 算法案例
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Hale Waihona Puke Baidu课前自主预习
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一、辗转相除法与更相减损术
1．辗转相除法
(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正
整数的□01 最大公约数 的古老而有效的算法．
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(3)下列关于利用更相减损术求 156 和 72 的最大公约数 的说法中正确的是( )
A．都是偶数必须约简 B．可以约简，也可以不约简 C．第一步作差为 156－72＝84；第二步作差为 72－84 ＝－12 D．以上都不对
解析 约简是为了使运算更加简捷，故不一定要约简， A 错误．C 中第二步应为 84－72＝12，故选 B.
2．更相减损术
(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介
绍的一种求 □07 两个正整数的最大公约数 的算法．
(2)基本过程
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是
□08 偶数 若是，□09 用 2 约简 ；若不是，执行 □10 第二步 第二步，以 □11 较大 的数减去 □12 较小 的数，接着把
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2．做一做
(1)用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数时，需做减
法的次数为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析 (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→ (7,14)→(7,7)，∴共进行 6 次减法．
(2)辗转相除法的算法步骤
第一步，给定□02 两个正整数 m，n .
第二步，计算□03 m 除以 n 所得的余数 r
.
第三步，□04 m＝n，n＝r .
□ 第四步，若 r＝0，则 m，n 的最大公约数等于 05 m ；
否则，返回 □06 第二步
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(2)用“辗转相除法”求得 168 与 486 的最大公约数是
()
A．3
B．4
C．6
D．16
解 析 486 ＝ 168×2 ＋ 150,168 ＝ 150×1 ＋ 18,150 ＝ 18×8＋6,18＝3×6，故 168 与 486 的最大公约数为 6.
□ 所得的差与 13 较小 的数比较，并以大数减小数，继续这 □ 个操作，直到所得的数 14 相等 为止，则这个数(等数)或
这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
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3．辗转相除法与更相减损术的区别与联系
两种方法
辗转相除法
更相减损术
□ 《数书九章》中提出的一种用于计算 15 一元 n 次多项式
的值的方法． 2．把一个 n 次多项式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋
□ a0 改写成如下形式：
f(x)＝ 16 (…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0 .
求多项式的值时，首先计算 □17 最内层括号内 一次 □ 多项式的值，即 v1＝ 18 anx＋an－1 ，
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 五 进 制 的 基 数 是 5 ， 用 0,1,2,3,4,5 六 个 数 字 表 示．( × ) (2)秦九韶算法的优点是减少了乘法运算的次数，提高了 运算效率．( √ ) (3) 用 秦 九 韶 算 法 可 以 求 两 个 正 整 数 的 最 大 公 约 数．( × ) (4)不同进位制中，十进制的数比二进制的数大．( × )
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探究1 求最大公约数 例 1 如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著 《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示 m 除以 n 的余数)，若输入的 m，n 分别为 495,135，则输出的 m＝( )
＋x＋1 当 x＝2 时的值时，v2 的值为( )
A．2
B．5
C．13
D．115
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解析 计算 f(x)＝2x5＋x4＋3x3＋2x2＋x＋1 时，当 x＝2 时，v0＝an＝2，v1＝v0x＋an－1＝2×2＋1＝5，v2＝v1x＋an－2 ＝5×2＋3＝13.
计算法则
除法
减法
终止条件
余数为 0
最大公约数的 最后一步中的除数
选取
减数与差相等 最后一步中的减数
计算特点 步骤较少，运算复杂 步骤较多，运算简单
相同点
同为求两个正整数最大公约数的方法，都 是递归过程
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二、秦九韶算法 1．秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作
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(4)秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的
一种求多项式值的简化算法，其求一个 n 次多项式 f(x)＝anxn ＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 值的算法是：v0＝an，v1＝v0x＋an－1， v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0，vn 为所 求 f(x)的值，利用秦九韶算法，计算 f(x)＝2x5＋x4＋3x3＋2x2