初中数学竞赛专题分类解析第七讲：几何变换讲义

初中数学竞赛公益讲座：几何变换——平移与旋转

By 张波，2018/4/21

一、基础知识简介：

1）平移变换

2）旋转变换，

3）变换中的不变性

参考书目：萧振纲《几何变换与几何证题》

二、例题分析

例1、如下左图，设P为平行四边形ABCD内部一点，求证：∠BAP=∠PCB当且仅当∠PBA=∠ADP。

例2、如上右图，由平行四边形ABCD的顶点A引两条高AE和AF，设AC=a,EF=b,求点A到△AEF垂心的距离。

例3、如下左图，凸六边形ABCDEF的三组对边分别平行，求证：△ACE与△BDF 的面积相等。

例4、如上右图，△ABC的边BC、CA、AB上的点D、E、F分别内分各边的比为t:(1-t)，求证：以线段AD、BE、CF为边的三角形的面积△ 。

例5、如下左图，求作一个正△ABC，使得三个顶点分别在已知的三条平行线上。

例6、如上右图，设四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上，且与四边形的其余三边相切，求证：AD+BC=AB。

例7、如下图，设D、E、F为△ABC所在平面上的三点，且∠∠，∠∠，∠∠，求证：且∠

三、练习题

1、如下左图，设线段AB和CD长度相等，且其交角为，求证：。

2、如上右图，梯形ABCD中，AD⫽BC，在较长的底边BC上取一点E，使得BE等于梯形中位线的长，求证：AC⊥BD的充要条件是ED也等于梯形中位线的长。

3、如下左图，过正△ABC的顶点A在三角形外任作一条直线L，分别过B、C作对边的平行线交L于E、F，BF与CE交于P，求证：BP·BF=CP·CE。

4、如上右图，在任意四边形ABCD外分别以B、D为直角顶点作四个等腰直角三角形BAE、BFC、DCG、DHA，设M、N分别为EF、GH的中点，求证：BM=ND，且BM 与ND平行或共线。

5、如下左图，以知等腰△ABC的顶角A为，D为腰AC延长线上的一点，M 为BD的中点，求证：AD=BC的充要条件是AM⊥MC。

6、如上右图，圆内三条弦 、 、 交于点P ，且三条弦的夹角均为 ，求证：