数列不等式的放缩法ppt课件

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【课件】数列不等式放缩问题课件-2023届高三数学二轮专题复习

（Ⅰ）求{an} 的通项公式；
（Ⅱ）证明数列
bn 2n
1
是等比数列，并求{bn} 的通项公式；
（Ⅲ）求证：对任意的 n N* ， n 1 3 ． b i1 i 2
（Ⅰ）解：设等差数列{an} 的公差为 d ， d 0 ，因为 a3 3a4 S5 ， a1a5 S4 ，
则
aa11
1 2n 1
1 2n1 1
．
c1
c2
c3
cn
1 21 1
1 22 1
1 22 1
1 23 1
1 2n 1
1 2n1 1
1
1 2n1
1
1
变式
2．设数列{an} 的前 n
项和为 Sn
，数列{Sn }
的前 n
项和为Tn
，且满足Tn
3 2
sn
3n
，n N*
（Ⅰ）求 a1 的值．
（Ⅱ）求数列{an} 的通项公式；
n
n
1
,即
an1 n 1
an n
1 ,又 a2 2
a1 1
1
故数列
an n
是首项为
a1
1
1 ,公差为1的等差数列,所以 an n
1 n 11 n
,所以
an n2 .
（3）当 n 1 时, 1 1 7 ；当 n 2 时, 1 1 1 1 5 7 ；
a1
4
a1 a2
444
an 0 an1 an1 4. 当n 2k 1, k N *时，a2k2 a2k 4; 即a2，a4，a6，• • • • • •，a2k是以4为首项，4为公差的等差数列； a2k 4 （k-1) 4=4k=2 2k; 当n 2k, k N *时，a2k1 a2k1 4; 即a1，a3，a5，• • • • • •，a2k1是以2为首项，4为公差的等差数列； a2k1 2 （k-1) 4=4k-2=2 (2k-1); 综上所述，an 2n, n N *。

反证法与放缩法课件

,求证 : 2n
b1
b2
bn
2n
3n N*.
【解析】
1.A 1 1 1 1 1 1 1 n n.
123
n nn
nn
答案：A n
共n项
2.
bn
an a n1
a n1 an
n n2
n2 n
n N*,
n n2. n2 n
bn
n
n
2
n
n
2＞2
n n2 2 n2 n
b1 b2 bn 2n.
仅给出一个已知条件：a3+b3=2
假设a+b＞2，则a＞2-b
∵2=a3+b3，又a＞2-b， ∴2＞(2-b)3+b3 2＞8-12b+6b2 即(b-1)2＜0，这是不可能的故a+b≤2
用反证法证“至多”“至少”型问题
“至多”“至少”型问题的证明方法在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.
(2)如何进行放缩？对 n(n 放1)大或缩小.
【规范答题】 n n 1＞ n2 n, n n 1＜ (n 1)2 2n 1,
2
2
n＜ n n 1…＜…2n…1…, ………………………4分
2
1
2
3
n＜a n＜3
5
2
2n
1
1 3 5 2n 1 ,8分
2
n
n 2
1
＜a
n＜
n
12

指数型数列不等式放缩

2 3n1
1 3n1
1
1 2 3n1
1 6 3n2
1
1
1
1
3n 1 9 3n2 1 8 3n2 3n2 1 8 3n2
n2
再改进： 1 1 1
31 1 32 1
3n 1
1 2
1 8
1 8 31
1 8 3n-2
1
1
1
n-2
5 24 3
1 1 83
5 1 11 8 16 16
再改进： 1 31
1
1 32
1
1 3n
1
1 2
1 8
1 2 32Biblioteka 1 2 3n-15
1
1
1
n-2
18 3
8
1 1
3
10 1 11 16 12 16
引例
求证： 1 1 1 11 3
31 1 32 1
3n 1 16 4
1 3n 1
2 3n
1 3n 1
1 3 3n1
1
1
2 3
n
3
1 1
1
3
1 2
1
3
1 n
1
21 13
2
2
2
【课堂小结】
求证：a1 a2 an k的实质：
寻找一个数列bn , 且bn 同时具备两个条件
条件1：
把
数
列bn
的前n项
和
记
为S
n
,
则S
可
n
求
，
且S
n
k
条件2：存在一个最小的N ,当n N时, an bn恒成立
从第几项开始放缩，取决于两个数列的接近程度。

放缩法证明数列不等式【最终】PPT课件

(3) 放缩模型：等比数列模型，错位相减模型。
例1 例2 例3
例2 (2013广东文19第(3)问 ) 求证： 1 1 1 13 35 5 7
1
1 (n N)
(2n 1)(2n 1) 2
化简转化
左边 1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
2 3 35
2n 1 2n 1
1 1
2n 1 2n
放大
nn
2n n 2n
将通项放缩为等比数列
将通项放缩为错位相减模型
【方法总结之一】
(1) 入手点：不等式左边若可以直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和，一般要先放缩成可求和的数列模型后再求和。
(2) 放缩方法：减小分母（“直接删减”）；
根据 n N* 寻找常数
提示2
1 1 (n 2) n2 n2 n
1 1 1 1
22 32
n2
1 1 + 1 + + 1 2 1
22 2 32 3
n2 n
n
自主探究合作交流
•
同样是使
1 n2
放大，为什么提示1可以证明原不
等式而提示2会出现问题？
• 如何改进提示1的证明过程？
思路一在原有基础上，即从第二项开始放缩，缩小放大程度将通项放得比提示2更小一点，例如提示1
可求和
先求和再放缩
放缩模型等比数列错位相减模型
裂项相消模型
本节课学到的放缩方法
1
11
2n 1 2n
nn
2n n 2n
2
1 n2
n
1 2
1
1 (n 1)(n
1)
1 2
n

数列第8讲不等式放缩教师版

数列第8讲不等式放缩金版P 108 典例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝na n ＋2a n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.解题思路 (1)先根据2S n ＝na n ＋2a n －1和a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，推出数列{a n }的递推公式，再求a n .(2)根据⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的通项公式的结构形式，联系裂项求和法进行适当放缩，再求和，证明T n <4. 规范解答 (1)解法一：当n ＝1时，2S 1＝a 1＋2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，2S n ＝na n ＋2a n －1，①2S n －1＝(n －1)a n －1＋2a n －1－1.②①－②，得2a n ＝na n －(n －1)a n －1＋2a n －2a n －1，所以na n ＝(n ＋1)a n －1.所以a n n ＋1＝a n －1n . 所以a n n ＋1＝a n －1n ＝…＝a 11＋1＝12，即a n ＝n ＋12. 当n ＝1时，a 1＝1也满足此式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.解法二：当n ＝1时，2S 1＝a 1＋2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，2S n ＝na n ＋2a n －1，①2S n －1＝(n －1)a n －1＋2a n －1－1.②①－②，得2a n ＝na n －(n －1)a n －1＋2a n －2a n －1，所以na n ＝(n ＋1)a n －1.所以a n a n －1＝n ＋1n . 所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×32×43×…×n ＋1n ＝n ＋12. 当n ＝1时，a 1＝1也满足此式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)证明：由(1)得a n ＝n ＋12，所以1a 2n ＝4(n ＋1)2<4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝422＋432＋442＋…＋4(n ＋1)2<41×2＋42×3＋43×4＋…＋4n (n ＋1)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<4. 黄皮（首选卷）P 67 17．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，已知正数数列{a n }满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，n ∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．数列{S 2n }是等差数列B ．S n ＝nC ．a n ＝n －n －1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1S 1＋1S 2＋…＋1S 121＝20 答案 ABCD解析由题意可知S n ＞0，当n ＞1时，S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n －S n －1)＋1S n －S n －1，化简，得S 2n －S 2n －1＝1，当n ＝1时，S 21＝a 21＝1，所以数列{S 2n }是首项和公差都为1的等差数列，A 正确；因为S 2n ＝n ，所以S n ＝n ，n ＝1也符合该式，故S n ＝n ，B 正确；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1，n ＝1也符合该式，故a n ＝n －n －1，C 正确；因为当n ＞1时，2(n ＋1－n )＝2n ＋1＋n ＜22S n ＜2n ＋n －1＝2(n －n －1)，记S ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S 121，一方面S ＞2[122－121＋…＋2－1]＝2(122－1)＞20，另一方面S ＜1＋2[(121－120)＋…＋(2－1)]＝1＋2(121－1)＝21. 所以20＜S ＜21.即[S ]＝20，D 正确．故选ABCD ．例3.已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且n n n a a S 242+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧31n a 前n 项和为n T ，求证.325<n T 【解析】（1）na n 2=))1(1)1(1(161)1)(1(81)1(8181223+--=-+=-<n n n n n n n n n n ）（325)1(1)1(1.....32121116181<+--++⨯-⨯+<）（原n n n n 例4.数列{}n a 中，11=a ，.131+=+n n a a （1）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列；（2）求证：2311121<+++n a a a .【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312n -，所以1231n n a =-，因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<，所以11a +21a +1n a 32<. （或者放为1311321-<-=n n n a ）。

高考数学复习放缩法与数列不等式

a3 a 2 a1 ，并加以灵活 a2 a1
运用。
例 3 已知 n∈ N, n>1，求证： 4 6 8 35 7
2n 1 2n 1. 2n 1 2
证 4n2 4n2 1
2n
2n 1 , （从何而来你可知到？）
2n 1 2n
468 357
2n 5 7 9 2n 1 4 6 8
2n 1, 2n
468 ( 357
1
a
2 n
1
11 (
a
2 n
1)2
( 1 )1
a 2 22 n2
a
aa
a
( 1 )1 2 ( 1
an2
) 22
3
aa
( 1 )1 2 22
a2 3 n3
a
( 1 )1 2 22 a
a 2 n 2
2n 1 1
(1)2n 1
a 2n 1 1
a
an
a(
a1
) 2n
1
.
a
证明
（ II ）由
a=1，
1 a1 ≤2
线段 Pn-1Pn+1 作 n 等分的分点中最靠近 Pn+1 的点，设线段 P1P2，P2P3，… ，PnPn+1 的长度分别为
a1,a2,a3, … ,an，其中 a1=1. (I) 写出 a2,a3 和 an(n ≥ 2,∈n N*) 的表达式；
(II) 证明： a1+a 2+a3+… +an<3(n∈ N *).
1) xn
C1n xn 1
1 x
C
2 n
x
n
2
1 x2
C

：利用放缩法证明不等式(共35张PPT)

1 1 1 变式1 求证： 1 2 2 2 2 ( n N ) 2 3 n
分析左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和. 保留第一项， 1 1 1 1 从第二项开 (n 2) 始放缩 n n( n 1) n 1 n 1 1 1 1 1 左边 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n 1 n
保留前两项， 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 3) 从第三项开 2 n n 1 2 n 1 n 1 始放缩
1 1 1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) (n 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n 1
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
分析不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
1 1 (1 ) 1 2 2 左边 1 n 1 1 2 1 2
n
表面是证数列不等式，实质是数列求和
1 2 3 n 变式1 求证： 2 3 n 2 (n N ) 2 2 2 2
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
1 1 1 5 变式3 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 3
分析变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路二将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 4 4 1 1 2 2 2( ) (n 2) 2 n 4n 4n 1 2n 1 2n 1

数列不等式中的放缩法

数列不等式中的放缩法数列不等式的证明是高中数学一个难点,期中最常见的方法是放缩法,这种方法的思维跳跃性大,不好控制,笔者在多年的教学实践中总结下列几种常见的放缩法.一．裂项放缩例1，已知an=1n2,sn=a1+a2+ …+an 求证sn1)∴sn=a1+a2+ …+an 1),∴sn=a1+a2+ …+anb1所以我们要从第2项开始放大:即要使12=b21-q 取q=12 则b2=14 当n=1时b1=1当n>1时bn=12n+1满足an bn所以sn=a1+a2+a3……+aAT/JINeXTrwZDSX3Y/qtUw==n构造无穷递缩等比数列的方法证明数列不等式是通用方法,其中b1和q的取法是多样的,但是要注意始终保证an bn条件下确定是从第几项开始放大，当然有时候存在前面几项放得太大,也需要确定从第几项开始放大更恰当的问题.例5,已知,an=13n-2n,sn=a1+a2+a3……+an.求证sn0)，则有an a1qn-1，若sn为数列{an}的前n项和，则有sn a1(1-qn)1-q .已知正数数列{an}满足an+1an q(q>0)，则有an a1qn-1，若为数列{an}的前n项和，则有sn a1(1-qn)1-q例7, 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n∈N*），其中xn为正实数.（Ⅰ）用xn表示xn+1；（Ⅱ）若x1=4，记an=lgxn+2xn-2 ，证明数列{an}成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn0.∴bn+1bn=32n-1-132n-1=132n-1+1 1时，bn 4a1+an+4a2+an-1+…+4an+a1=4na1+an所以1a1+1a2+…+1an2na1+an其计算过程是对数列{1an进行倒序相加，再应用均值不等式（调和平均数小于或等于算数平均数）就能得到相应的不等式.例8.设数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,都有an>0,且满足(a1+a2+…+an)2=a31+a32+…+.an(1)求数列{an}的通项公式;(2)当09n-14n+3.解(1):当n=1时,a1=s1=a31,所以a1=1.当n=2时,s2=a31+a32,即a1+a2=a31+a32,所以a2=2.由题知,a31+a32+…+a3n=(a1+a2+…+an)2,①a31+a32+…+a3n+a3n-1=(a1+a2+…+an+an+1)2,②由②-①得a3n+1=(a1+a2+…+an+an+1)2-(a1+a2+…+an)2,因为a n+1>0,所以a2n+1=2(a1+a2+…+an)+an+1,③a2n=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2),④由③-④得a2n+1-a2n=an+an+1,所以an+1-an=1.因为a2-a1=1,所以当n≥1时都有an+1-an=1,所以{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列,故an=n.(2)证明:因为bn=(1-λ)(n+12,cn=λ(n+1),所以1bncn=4λ(1-λ)(2n+1)(2n+2)≥16(2n+1)(2n+2)=162n+1-162n+2,所以Tn≥16[(13-14)+(15-16)+…+(12n+1-12n+2)]=16[13+14+15+…+12n+1+12n+2-2(14 +16+…+12n+2)]=16(1n+2+1n+3+…+12n+2-12).设tn=1n+2+1n+3+…+12n+2,倒序相加得2tn=(1n+2+12n+2)+(1n+3+12n+1)+…+(12n+2+1n+2)>43n+4+43n+4+…+43n+4所以tn>2(n+1)3n+4, 从而Tn>16[2(n+1)3n+4-12]=8n3n+4.因为8n3n+4-9n-14n+3=(5n-4)(n-1)(3n+4)(4n+3)≥0,所以Tn>9n-14n+3.<32</n+1-n.。

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变式3 求证： 1 2 3 L n 2 (n N)
2 1 22 2 23 3
2n n
2
例1
求证：1 2
1 22
1 23
L
1 2n
1
(n N)
分析不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
左边
1 (1 1 ) 2 2n
1 1
1
1 2n
1
2
表面是证数列不等式，
实质是数列求和
3
变式1
将通项放缩为错位相减模型
左边 1 2 3 L n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
6
【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
模型后求和.
Q 1 1 1 1 (n 2) n2 n(n 1) n 1 n
保留第一项，从第二项开
始放缩
左边 1 (1 1) (1 1) L ( 1 1)
2 23
n 1 n
11 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
10
变式2 (2013广东理)
求证：1
1 22
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相
消模型.
7
例2 (2013广东文 )
求证： 1 1 1 L
1
1 (n N)
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
变式1
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
2
(n N)
变式2 (2013广东理)
( 1 1) n 1 n
1 1 1 1 7 1 7 (n 3) 42n 4n 4
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
11
变式2 (2013广东理19第(3)问)
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
7 4
(n N)
分析变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变
式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路二将通项放得比变式1更小一点. 保留第一项，
从第二项开
1 n2
1 n2 1
1( 1 2 n 1
1) n 1
(n
2)
始放缩
左边
1
1 2
(1
1) 3
(
1 2
1) 4
L
(
n
1 1
n
1 1)
1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 (1 1) 7 (n 2)
2 2 n n1
2 24
当n = 1时，不等式显然也成立.
注意到 1 1 2n 1 2n
将通项放缩为等比数列
11
左边 1 1 2 22
1 23
L
1 2n
(1 ) 2 2n
1 1
1 1
2n
1
2
5
变式3
求证： 2
1
1
22
2
2
23
3
3
L
n 2n n
2
(n N)
分析左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？
注意到 n n
2n n 2n
1
1 22
1 2
( 12
1) 4
(1 3
1) 5
L
(
n
1 1
n
1 1)
1 1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 1 (1 1) 5 (n 3)
4 2 2 3 n n 1
4 22 3 3
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
13
变式3
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
5 3
(n N)
1 2(1 1 ) 1 2 1 5 (n 2)
3 2n 1
33
开始放缩
当n = 1时，不等式显然也成立. 14
评注
对1 n2
放缩方法不同，得到的结果也不同.
显然 5 3
7 4
2，
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
1 32
L
1 n2
7 4
(n N)
分析变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路一将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1 n(n 1)
1 n 1
1 n
(n 3)
保留前两项，从第三项开始放缩
左边
1
1 22
(1 1) (1 1) L 23 34
12
变式3
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
5 3
(n N)
分析变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路一将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1 n2 1
1( 1 1 ) 2 n 1 n 1
(n 3)
保留前两项，从第三项开
始放缩
左边
“放缩法” 证明数列不等式
1
n
（一）形如 a k (k为常数） i
i 1
例1 求证：1 1 1 L 1 1 (n N)
2 22 23
2n
变式1 求证：1 2 3 L n 2 (n N)
2 22 23
2n
变式2
求证： 1 2 1
1 22 1
1 23 1
L
1 2n 1
1
(n N)
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
左边 1 [(1 1) (1 1) L ( 1 1 )]
2 3 35
2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 1 表面是证数列不等式， 2 2n 1 2 实质是数列求和
9
变式1 求证：1 1 1 L 1 2 (n N)
22 32
n2
分析左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
7 4
(n N)
变式3
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
5 3
(n N)
8
例2 (2013广东文 )
求证： 1 1 1 L
1
1 (n N)
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
分析左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.
Q
1
1( 1 1 )
求证：1 2
2 22
3 23
L
n 2n
2
(n N)
分析不等式左边可用“错位相减法”求和.
由错位相减法得
1 2 3 L n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
表面是证数列不等式，实质是数列求和
4
变式2
求证： 2
1
1
1 22
1
1 23
1
L
1 2n
1
1
(n N)
分析左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？
分析变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路二将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 n2
1 n2
1
4 4n2 1
2( 1 2n 1
1) 2n 1
(n 2)
保留第一
4
左边
1
2
(131) 5Fra bibliotek(1 5
1 7
)
L
(
1 2n 1
1 2n
1)
项，从第二项