数列中的放缩法 ppt课件
数学放缩法
数学放缩法
1 / 4 放缩法的常见技巧
（1）舍掉（或加进）一些项
（2）在分式中放大或缩小分子或分母。
（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。
（4）应用函数的单调性进行放缩
（5）根据题目条件进行放缩。
（6）构造等比数列进行放缩。
（7）构造裂项条件进行放缩。
（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。
使用放缩法的注意事项
（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。
先介绍工具
柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）
均值不等式
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
绝对值三角不等式
定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 数学放缩法
2 / 4 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|．
推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
常用放缩思想
这几个务必牢记
不常见不常用的不等式
数学放缩法
3 / 4
这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了
下面就是常用思路了，主要就是裂项部分
数学放缩法
4 / 4 当年apucng与V_First研究的题
二项平方和
f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2
由f（x）≥0可得△小于等于0
2023年高考数学---数列放缩方法技巧与总结
1
2023年高考数学---数列放缩方法技巧与总结
常见放缩公式：
（1）
()()
21111
2
11=−
−−n
nnnnn；
（2）
(
)
21111
11=−
++nnnnn；
（3）
22214411
2
4412121
==−
−−+
nnnnn；
（4）
()()()
11!11111
2
!!!11+===−
−−−r
rn
rrn
TCr
nrnrnrrrrr；
（5）
(
)1111
1113
12231
++++++
−
n
nnn；
（6）()
()122
212
1==−−+
+−+nnn
nnnnn；
（7）()122
21
1==−++
+++nn
nnnnn；
（8）()12222
22121
11212122===−−++
+−++−++nn
nnnnn
nn；
（9）
()()()()()()()1
21
1222211
2121
212121222121
21−
−
−===−
−−
−−−−−−
−nnnn
nn
nnnnnn
n()
2n；
（10
）
()(
)()()
32111111
11
1111+−−==
+−−
−+−+
nn
nn
nnnnnn
nnn
(
)(
)1111111
2
11112
11
++−
=−=−
+−−−+
−+
nn
nnnnn
nnnn
()11
22
11−
−+
n
nn；
（11）
()
()()
3221222
11
11==
−+−
−+−
+nnnn
nnnn
nnnnn 2
()
(
)()21
22
2
1
1nn
n
nn
nn−−−
==−
−−；
（12）
()()
012111222
21111
111nn
nnnCCCnnnn===−
−++−++
+−； （13）
()()()1
1
11211
2
212121
2121n
nnn
nnn−
−
−=−
−−−
−−．
（14）212
11
112()2()
nnnn
nnnnn+−
+++−−==−．
（15）二项式定理
①由于()
0112(1)
21(11)11(3)
放缩法技巧全总结
1 一、裂项放缩
例1.(1)求nkk12142的值; (2)求证:35112nkk.
解析:(1)因为121121)12)(12(21422nnnnn,所以122121114212nnnknk
(2)因为12112121444111222nnnnn,所以35321121121513121112nnknk
奇巧积累:(1)1211212144441222nnnnn
(2))1(1)1(1)1()1(21211nnnnnnnCCnn
(3))2(111)1(1!11)!(!!11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr
(4)1111(1)1132132(1)nnnn
(5)nnnn21121)12(21
(6) nnn221
(7))1(21)1(2nnnnn
(8) nnnnnnn2)32(12)12(1213211221
(9)knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1
(10) !)1(1!1!)1(nnnn
(11)21212121222)1212(21nnnnnnn
数列求和中常见放缩方法和技巧含答案
. .
- -可修编. 数列求和中常见放缩方法和技巧
一、放缩法常见公式：
（1)111112nnnnn
（2）12122112nnnnnnnnn
（3）211nnnnn
（4）122nn（二项式定理）
（5）1xex，1lnxx（常见不等式）
常见不等式：
1、均值不等式；
2、三角不等式；
3、糖水不等式；
4、柯西不等式；
5、绝对值不等式；
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4. 已知n∈N*，求n2n131211＜…。
证明：因为12222121nnnnnnnn，
则111112212322123nnn . .
- -可修编. 212nn，证毕。
例5. 已知*Nn且)1n(n3221an，求证：2)1(2)1(2nannn对所有正整数n都成立。
证明：因为nnnn2)1(，所以2)1n(nn21an，
又2)1()1(nnnn，
所以2)1n(21n225232)1n(n232221a2n，综合知结论成立。
常用放缩方法技巧
1 常用放缩方法技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
⑴添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3lg2；2)1()1(nnnn
⑷二项式放缩: nnnnnnCCC10)11(2,1210nCCnnn,
2222210nnCCCnnnn )2)(1(2nnnn
(5)利用常用结论：
Ⅰ. 1k 的放缩 ：222121kkkkk
Ⅱ. 21k的放缩(1) ： 2111(1)(1)kkkkk（程度大）
Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211kkkkkk（程度小）
Ⅳ.
21k的放缩(3)：2214112()412121kkkk（程度更小）
Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(mabmambab和)0,0(mbamambab
记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.
Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：()(0)1xfxxx，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()fabfab。
一． 先求和再放缩
例1.)1(1nnan,前n项和为Sn ，求证：1ns
例2.nna)31( , 前n项和为Sn ，求证：21ns
1 二． 先放缩再求和
（一）放缩后裂项相消
例3．数列{}na，11(1)nnan，其前n项和为ns ，求证：222ns
等比数列放缩法技巧全总结
等比数列放缩法技巧全总结
1. 哎呀呀，等比数列放缩法可太有意思啦！比如说，有一个等比数列 1，2，4，8，16……你想把它缩小一点，那就可以把后面的项适当地舍去一些嘛，就像裁剪衣服一样，把多余的部分剪掉。这样是不是很好理解呀？
2. 嘿，等比数列放缩法的技巧之一就是要学会观察规律呀！就像看星星能找到星座一样，在等比数列中找到那些关键的点。比如 3，9，27，81……你能找到它的规律然后巧妙地放缩吗？
3. 哇塞，等比数列放缩法还真不是随便放缩就行的哟！得像走钢丝一样小心翼翼呢。好比有个等比数列 2，4，8，16……那放缩的时候可得好好把握度呀，不然就全乱套啦，对吧？
4. 哟呵，等比数列放缩法的技巧你可别小瞧呀！想象一下你在搭积木，要把合适的积木放上去，才能搭出漂亮的城堡。等比数列也是这样，用对了放缩法，就能得出你想要的结果。像 5，25，125，625……你知道怎么放缩它最合适吗？
5. 哈哈，等比数列放缩法的要点你可得记牢啦！这就好比是你掌握了一把神奇的钥匙，可以打开各种秘密的大门。比如那个等比数列 4，16，64，256……你能拿着这把钥匙巧妙地处理它吗？
6. 哎呀，等比数列放缩法有时候就像是一场冒险！你不知道前方会遇到什么，但充满了刺激和惊喜。就像面对 7，49，343，2401……你敢不敢大胆地去尝试放缩呢？ 7. 嘿呀，等比数列放缩法可不简单哟！但咱可不能被它吓住，得勇敢地去探索。拿那个等比数列 6，36，216，1296……来说，这里面的奥秘可多着呢，你准备好去发现它们了吗？
8. 哇哦，等比数列放缩法真的是很有挑战性呀！但也超级有趣呢。就好像玩游戏打怪兽，每一关都不好过，但过了就特别有成就感。比如面对 8，64，512，4096……你能运用放缩法战胜它吗？
我的观点结论就是：等比数列放缩法充满了奇妙之处和挑战，只要我们认真去学习、去实践
数列的裂项相消法结合放缩法技巧及经典例题讲解
数列的裂项相消法结合放缩法技巧及经典例题讲解
一．放缩技巧
所谓放缩的技巧：即欲证AB，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使ACB，
由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”.常用的放缩技巧
（1）若0,,tataata
（2） 1nn，21nnn，111nn，2(1)nnnn
（3）21111111(1)1(1)(1)1nnnnnnnnnn
（4）22122(1)2(1)11nnnnnnnnnnn
（5）若,,abmR，则,aaaambbmbb
（6）21111111112!3!!222nn
（7）2221111111111(1)()()232231nnn（因为211(1)nnn）
（7）1111111112321111nnnnnnnnn
或11111111123222222nnnnnnnnn
（8）111111123nnnnnnn，
（9）)1(11)1(12kkkkk ，！！（！kkk1)11211
（10） 12112kkkkk
【经典回放】
例1、设数列na的前n项和为nS.已知11a,2121233nnSannn,*nN.
(Ⅰ) 求2a的值；
(Ⅱ) 求数列na的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有1211174naaa.
【解析】(Ⅰ)
依题意,12122133Sa,又111Sa,所以24a；
(Ⅱ)
当2n时,32112233nnSnannn,
321122111133nnSnannn
放缩法
放缩法的主要理论依据
（1）不等式的传递性；
（2）等量加不等量为不等量；
（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 。
放缩法的常见技巧
（1）舍掉（或加进）一些项。
（2）在分式中放大或缩小分子或分母。
（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。
（4）应用函数的单调性进行放缩。
（5）根据题目条件进行放缩。
（6）构造等比数列进行放缩。
（7）构造裂项条件进行放缩。
（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。
不等式是高考数学中的难点，而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。不等式是衡量学生数学素质的有效工具，在高考试题中不等式的考查是热点难点。本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。放缩法的理论依据是不等式性质的传递性，难在找中间量，难在怎样放缩、怎样展开。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的放缩方法。
⒈利用三角形的三边关系
［例1］ 已知a，b，c是△ABC的三边，求证： 证明：﹥∵=为增函数，又∵∴。
点评：学生知道要利用三角形的三边关系，但无法找到放缩的方法，难在构造函数。
⒉利用函数的单调性
［例2］ 求证：对于一切大于1的自然数n，恒有。
证明： 原不等式变形为 ，
令 则
，所以 。
即 是单调增函数（n=2，3，…），所以 。故原不等式成立。 点评：一开始学生就用数学归纳法进行尝试，结果失败，就放弃了。若使不等式的右边变为常数，再用单调性放缩就好了。
⒊利用基本不等式
［例3］已知f（x）=x+(x﹥0) 求证：－
证明：,
设 （1）
（2）
（1）+（2）得
点评：用数学归纳法证明，思路简单，但是难度很大，可以通过二项式定理展开，倒序法与基本不等式相结合进行放缩。
常见的放缩数列表示
放缩数列是一种常见的数学表示，它由一系列的数组成，其中每个数字都是前一个数字的一定比例乘积，也就是说，每个数字都是前一个数字的一定比例放大或缩小。放缩数列在很多数学问题中都有应用，比如统计学中的概率计算、经济学中的货币政策研究等。
放缩数列有很多种表示方法，其中最常见的有等比数列、等差数列、等比等差数列和指数数列。
等比数列是放缩数列中最常见的一种，它的每一项都是等比的，也就是说，每一项都是前一项的一定比例乘积。等比数列的通式为：a1, a1r, a1r2, a1r3, ..., a1rn，其中a1是等比数列的第一项，r是公比，n是项数。
等差数列也是放缩数列中常见的一种，它的每一项都是等差的，也就是说，每一项都是前一项的一定比例加法。等差数列的通式为：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, ..., a1+nd，其中a1是等差数列的第一项，d是公差，n是项数。
等比等差数列是一种特殊的放缩数列，它的每一项都是由前一项的一定比例乘积和一定比例加法的结果组成的。等比等差数列的通式为：a1, a1r+d, a1r2+2d, a1r3+3d, ..., a1rn+nd，其中a1是等比等差数列的第一项，r是公比，d是公差，n是项数。
指数数列也是放缩数列中常见的一种，它的每一项都是由前一项的一定比例乘积组成的。指数数列的通式为：a1, a1b, a1b2, a1b3, ..., a1bn，其中a1是指数数列的第一项，b是公比，n是项数。
上述是最常见的放缩数列表示，在实际应用中，我们可以根据实际情况灵活使用这些表示方法，以解决各种数学问题。
数列的等比式放缩
7.13数列2
0.（巩固一下上一节课的东西...）已知数列｛
na｝的前n项和为
nS，满足
1a=1，
nS+2=2
na，*Nn.（1）求
na通项.（2）求证：
31
)1)(1()1)(1()1)(1(
1nnn
322
211
aaa
aaa
aaa
有时候我们常常要证明类似于
nS
121
n、
2431
1nn，直接求和不好操作，所以我们可
以先做一些放缩...回想一下我们学过的放缩方式，熟练运用有助于日后的解题...
1.（1）证明：1
121
121
121
121
n321
（2）证明：
6047
121
121
121
121
n321
通过对等比数列以及题1可以发现，这种情况下，把持好放缩的度，把它放
成q<1的等比数列是一个比较好的方案...
2.已知数列｛
na｝｛
nb｝满足一下条件：
1a=1，122
1
naa
nn，
nnnaab
1.
（1）求｛
nb｝的通项公式.（2）设｛
nb1｝的前n项和为
nS，求证：
209
41
nS.3.已知
144
11
nn
naa
a，
1a=a，*Nn.（a>0）
（1）若｛
na｝为递减数列，求a的取值范围.
（2）若a=2，
nb=
na-
43，设
nb前n项和为
nS，求证：
nS<1.5.
4.已知数列｛
na｝满足
1a=1，点（
1,
nnaa）在直线y=2x+1上，数列｛
nb｝满
足
11ab，)1111
(*
1-n321aaaaab
nn，其中n≥2且*Nn.
（1）求｛
na｝的通项公式；（2）证明：
111
nn
nn
aa
bb（n≥2且*Nn）.（3）证明：
310
)1
1()1
1)(1
1)(1
1(
321
nbbbb
数列的题目里，出题者为了降低难度，会在前面的小题里为后续的证明给出
提示。题4就是一个很好的例子，三个小题层层推进，最后使题目回归到常规的
模式...所以...
▲没有思路的时候不妨从出题者的角度在前面的小题里找找提示.
*有关数学归纳法：