参数方程的概念用
参数方程及其应用
参数方程及其应用参数方程是数学中一种常用的描述曲线的方法，通过引入参数来表示曲线上的点的坐标。
参数方程的优势在于它可以描述一些复杂的曲线，例如椭圆、双曲线和螺旋线等。
本文将介绍参数方程的基本概念以及其在不同领域中的应用。
一、参数方程的基本概念参数方程由一组函数构成，这些函数分别表示曲线上的点的x坐标和y坐标。
通常用t作为参数，通过给定t的取值范围，我们可以确定曲线上的点。
例如，对于平面上的一条曲线，它的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于t的函数。
通过选择不同的函数形式，我们可以得到各种不同的曲线。
二、参数方程的应用1. 几何学中的参数方程参数方程在几何学中有广泛的应用。
例如，椭圆可以用参数方程表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
通过改变参数t的取值范围，我们可以获得椭圆上的所有点。
另一个例子是螺旋线，它可以通过以下参数方程描述：x = a*cos(t)y = a*sin(t)z = b*t通过改变参数t的取值范围，我们可以得到一条在三维空间中逐渐升高的螺旋线。
2. 物理学中的参数方程参数方程在物理学中也有广泛的应用。
例如，质点在自由落体过程中的运动可以用参数方程描述：x = v0*cos(θ)*ty = v0*sin(θ)*t - (1/2)*g*t^2其中v0表示起始速度，θ表示抛射角度，g表示重力加速度。
通过给定不同的初始条件，我们可以得到不同情况下的自由落体轨迹。
3. 工程学中的参数方程参数方程在工程学中也有一些应用。
例如，在航空领域中，飞机的航迹可以用参数方程表示：x = v*cos(α)*ty = v*s in(α)*tz = h其中v表示飞机的速度，α表示飞机的航向角，t表示时间，h表示飞机的高度。
通过改变参数的取值，我们可以获得飞机在空中飞行的轨迹。
4. 计算机图形学中的参数方程参数方程在计算机图形学中也有广泛的应用。
参数方程的概念学案
参数方程的概念学案导语：参数方程是描述曲线或曲面上各点坐标的一种方式。
它通过引入新的参数变量，将曲线或曲面的坐标表示为参数的函数形式。
本文将介绍参数方程的概念及应用，并通过具体的例子来解释其原理和用途。
一、什么是参数方程参数方程是数学中用来描述曲线或曲面的一种方式。
其主要思想是将曲线或曲面上的点的坐标表示为一个或多个参数的函数形式。
常见的参数方程有二维参数方程和三维参数方程。
1. 二维参数方程二维参数方程是将平面上的点的坐标表示为一个参数的函数形式。
通常情况下，我们用t来表示参数。
例如，对于平面上的一条曲线，我们可以用参数方程表示为x = f(t)，y = g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。
2. 三维参数方程三维参数方程是将空间中的点的坐标表示为多个参数的函数形式。
同样，我们用t1、t2等来表示参数。
例如，对于三维空间中的一个曲面，我们可以用参数方程表示为x = f(t1, t2)，y = g(t1, t2)，z= h(t1, t2)，其中f(t1, t2)、g(t1, t2)和h(t1, t2)是关于t1和t2的函数。
二、参数方程的原理参数方程的原理是利用参数来表示曲线或曲面上的各个点的坐标。
通过改变参数的取值范围，我们可以获得曲线或曲面上的不同点。
参数方程可以将复杂的曲线或曲面分解为简单的参数函数，从而方便进行计算和分析。
三、参数方程的应用参数方程在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学、物理学和工程学等领域。
1. 几何学中的参数方程在几何学中，参数方程常被用来描述曲线和曲面的形状和性质。
例如，通过参数方程，我们可以得到圆、椭圆、抛物线和双曲线等曲线的方程，从而进一步研究它们的几何性质。
参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化 课件
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围， 确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
所以 y＝1±sin θ.
不 妨 取 y ＝ 1 ＋ sin θ ， 则 所 求 的 参 数 方 程 为
x＝cos θ，
(θ 为参数)．
y＝1＋sin θ
归纳升华 1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代 入消元法或加减消元法消去参数． ②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
2．求曲线参数方程的步骤：第一步，建立适当的直 角坐标系，设出曲线上任一点 M 的坐标为(x，y)，画出草 图；第二步，选择适当的参数，参数的选择要考虑两点： 一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第 三步，
根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式；第 四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲线 上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围．)
温馨提示 在互化的过程中，必须使 x，y 的取值范 围保持一致．
类型 1 参数方程的概念
[典例 1] 已知曲线 C 的参数方程为xy＝＝2t2t＋1，(t 为 参数)．
(1)判断点 A(1，0)，B(5，4)，E(3，2)与曲线 C 的位 置关系；
参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程是用一个或多个参数来表示一个几何图形的方程。
通过参数
方程，可以对曲线、曲面以及其他复杂的图形进行描述和分析。
圆的参数方程是用参数t来表示圆上的点的方程。
对于一个圆心为
(x0,y0)，半径为r的圆，参数方程可以表示为：
x = x0 + r * cos(t)
y = y0 + r * sin(t)
其中t的范围是[0,2π)，也可以是其他范围。
这个参数方程描述了
t对应的点在圆上的位置。
在圆的参数方程中，参数t表示从圆心到圆上点的位置，可以是弧度、角度或其他度量方式。
通过不同的参数取值，可以得到圆上的所有点。
圆的参数方程可以用来计算圆的弧长，并且可以通过调整参数的范围
来改变绘制圆的起点和终点位置。
此外，参数方程还可以用来描述其他不
同形状的圆，比如椭圆或抛物线。
除了圆的参数方程，还有许多其他图形的参数方程，比如直线、椭圆、抛物线等。
每个图形的参数方程具有不同的形式和性质，但它们都共同使
用参数来表示图形的位置和形状。
总结来说，参数方程是一种用参数表示几何图形的方程。
圆的参数方
程是一种常见的参数方程形式，可以用参数t描述圆上的点的位置。
参数
方程具有描述复杂图形、计算几何属性和进行进一步分析的优势，广泛应
用于各个学科领域。
2.1参数方程的概念(北师大版)
α-6cos α+26=10sin(α-φ)+26,其中 φ 为锐角,tan φ=
所以2max = 10 + 26 = 36, 从而dmax=6,
3
.
4
即 (-5)2 + ( + 4)2 的最大值为6.
(2)试求当t=4时,曲线C上的点的坐标.
解:(1)把M(3,1)的坐标代入方程组,解得t=0,因此点M在曲线C上.
把N(5,9)的坐标代入方程组,解得t=2,因此,点N也在曲线C上.
1
× 42
2
= 11,
(2)当 t=4时,
即
= 17.
= 4 × 4 + 1,
所以当 t=4 时曲线 C 上的点的坐标为(11,17).
UITANGYANLIAN
5
4已知边长为a的等边三角形ABC的两个端点A,B分别在x轴、y轴的
正半轴上移动,顶点C和原点O分别在直线AB的两侧,记∠CAx=α,则
顶点C的轨迹的参数方程是
.
解析:如图所示,过点C作CD⊥x轴于D.
设点 C 的坐标为(x,y),
= || + ||,
则由
= ||,
的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.同一曲线选取的参数
不同,其参数方程的情势往往也不同.
4.在表述参数方程时,必须指明参数的取值范围.
-5-
§1 参数方程的概念
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Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
初一参数方程知识点
初一参数方程知识点一、参数方程的概念参数方程是描述一个曲线或曲面的方程，其中各个变量都用一个参数来表示。
参数方程通常用于描述动态变化的对象，如粒子在空间中的运动轨迹。
在初一数学中，我们主要学习的是平面上的参数方程。
二、参数方程的表示方式 1. 参数方程的一般形式对于平面上的曲线，可以用参数方程的形式表示为： x = x(t) y = y(t) 其中，x和y分别表示曲线上的点的横坐标和纵坐标，t表示参数。
2.参数方程的图像特点参数方程的图像通常具有以下特点：•曲线的形状和走向可以通过调整参数的取值范围和步长来改变。
•曲线上的点的密集程度取决于参数的步长，步长越小，点越密集，曲线越平滑。
三、常见的参数方程曲线 1. 直线直线可以用参数方程表示为： x = at + b y = ct + d 其中a、b、c和d为常数。
2.抛物线抛物线可以用参数方程表示为： x = at^2 + bt + c y = dt^2 + et+ f 其中a、b、c、d、e和f为常数。
3.圆圆可以用参数方程表示为： x = r cos(t) y = r sin(t) 其中r为半径，t为参数。
四、参数方程的应用参数方程在数学以及其他学科中有广泛的应用，例如： - 物理学中描述粒子的运动轨迹。
- 计算机图形学中描述曲线和曲面的形状。
- 工程学中描述动态系统的变化过程。
五、参数方程的解析与绘图在解析参数方程时，可以通过消去参数的方法得到曲线的解析方程。
对于给定的参数方程，我们可以通过绘制曲线的图像来观察和研究曲线的性质和特点。
六、总结初一阶段，我们了解了参数方程的概念、表示方式和常见的参数方程曲线。
参数方程可以帮助我们更好地描述和理解曲线的形状和特性，同时也为后续学习更高级的数学知识打下了基础。
以上是关于初一参数方程知识点的简要介绍。
希望通过这篇文章的阅读，能让你对参数方程有一个初步的了解，并为你的学习提供一些帮助。
参数方程是数学中的重要内容，掌握了参数方程的基本知识，可以为今后的学习打下坚实的基础。
参数方程的知识点总结
千里之行，始于足下。
参数方程的知识点总结参数方程是表示曲线或曲面的一种方法，它以一或多个变量作为参数来描述曲线或曲面上的点的位置。
参数方程有广泛的应用，包括几何、物理、工程等领域。
下面是对参数方程的知识点的总结。
1. 参数方程的基本概念：参数方程是用参数表示自变量与函数值之间关系的方程。
对于平面上的曲线，一般使用参数t来表示点的位置。
对于三维空间中的曲线或曲面，一般使用参数u和v来表示点的位置。
参数方程中的参数范围可以是实数集，也可以是一个有限区间，取决于具体的问题。
2. 参数方程与直角坐标系的转换：参数方程可以通过参数与直角坐标系中的点坐标之间的关系来进行转换。
对于二维平面上的参数方程，通过改变参数t，可以得到一系列点的坐标。
对于三维空间中的参数方程，通过改变参数u和v，可以得到一系列点的坐标。
3. 参数方程表示的曲线的性质：参数方程可以用来描述曲线的形状、方向等性质。
曲线的方向可以通过参数的变化来决定，当参数递增时，曲线的方向也随之递增。
曲线上任意一点的切线斜率可以通过参数方程对应点处导数计算得到。
4. 参数方程的举例：参数方程可以表示各种各样的曲线和曲面，例如直线、圆等。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
对于直线，通常可以使用参数方程表示为x = at + b，y = ct + d。
对于圆，可以使用参数方程表示为x = r * cos(t)，y = r * sin(t)。
5. 参数方程在几何中的应用：参数方程可以用来表示平面上的曲线、曲面等几何图形。
参数方程可以用来计算曲线的弧长、曲面的面积等几何量。
参数方程可以用来求解曲线与直线或曲线与曲线之间的交点。
6. 参数方程在物理中的应用：参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
参数方程可以用来描述物体的速度、加速度等物理量。
参数方程可以用来求解物体在空间中的位置、速度和加速度等问题。
7. 参数方程在工程中的应用：参数方程可以用来描述工程中的曲线和曲面，例如机械零件的形状等。
数学参数方程知识点总结
数学参数方程知识点总结数学是一门既抽象又具体的学科，其中的参数方程是一种特殊的表示方法。
它能够通过引入参数来描述一条曲线、曲面或者空间中的物体，为我们解决许多复杂问题提供了一种便捷的方式。
本文将总结数学参数方程的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、参数方程的定义参数方程是将自变量和因变量都用参数表示的一种方程形式。
通常，我们用参数t来表示自变量，用x、y、z等表示因变量。
这样，我们可以通过给定参数t的取值范围，求解对应的x、y、z值，从而得到一条曲线、曲面或者空间中的物体。
二、参数方程的优点与一般方程相比，参数方程具有一些独特的优势：1. 参数方程能够表达复杂的几何图形。
通过引入参数，我们可以灵活地描述不规则曲线、曲面以及其他几何形体，使得对其性质和特征的研究更加方便。
2. 参数方程有利于求解隐函数。
有些函数方程很难直接解出，但通过引入参数，我们可以将其分解成一系列简单的参数方程，从而更容易求解。
3. 参数方程使得参数化积分和曲线积分的计算更加简单明了。
对于复杂的曲线和曲面，使用参数方程可以将积分问题转化为对参数的积分，简化计算过程。
三、参数方程的应用参数方程在数学和其它学科中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 几何图形的描述：通过参数方程，我们可以描述圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线的形状和位置。
例如，圆的参数方程可以表示为：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中r为半径，t为参数。
2. 物体的运动轨迹：通过参数方程，我们可以描述物体在空间中的运动轨迹。
比如，一个以点(x0,y0,z0)为起始点，速度为(vx, vy, vz)的物体在t时刻的位置可以由参数方程表示为：x = x0 + vx*ty = y0 + vy*tz = z0 + vz*t这样，我们可以通过参数方程了解物体的位置、速度和加速度等信息。
3. 曲线长度的计算：参数方程可以使曲线的长度计算更加简单。
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相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式:
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m）
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
D、 ( 25 , 0); 16
2、方程{ x sin (为参数)表示的曲线上 y cos2
的一个点的坐标是 ( C )
A、(2,7)B、(1 , 1)，C、(1 , 1), D(1,0)
32
22
训练2：
已知曲线C的参数方程是
点M(5,4)在该 曲线上.
x y
1 2t, at 2 .
(t为参数,a
R)
（1）求常数a;
（2）求曲线C的普通方程.
1+2t=5
解: (1)由题意可知:
a=1
at2=4
解得:
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
由第一个方程得:
t
x 1 2
y=t2
代入第二个方程得: y ( x 1)2 , (x 1)2 4 y为所求.
2
思考题：动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
x 1 5t
所以，点M的轨迹参数方程为
y
2
12t
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x，y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
例1:
已知曲线C的参数方程是xy3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
训练1
1、曲线
x
1
t2
,
(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
B
)
y 4t 3
A、（1，4）；B、(1265 , 0); C、(1, 3);
y
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
500
垂直高度为y，所以
x 100t,
(x,y)
y
500
1 2
gt
2
.（g=9.8m/s2
)
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.