2005-2013年第1-9届北方数学奥林匹克数学试题及解答
第五届北方数学奥林匹克邀请赛
第五届北方数学奥林匹克邀请赛第一天一、(25分)设数列{x n }满足x 1=1,x n =x 2n -1+x n -1+x n -1(n \2).求数列{xn }的通项公式.(张 雷 供题)图1二、(25分)如图1,在锐角v ABC 中,已知AB >AC ,cos B +cos C =1,E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点,且满足ABF =ACE =90b .(1)求证:BE +CF =EF ;(2)设EBC 的平分线与EF 交于点P ,求证:CP 平分BCF .(刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题)三、(25分)已知有26个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少有两个数,一个数整除另一个数.证明:一定存在六个数,其中一个数能被另外五个数整除.(张同君 供题)四、(25分)船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配:水手1、水手2、水手3每人写下一个正整数分别为b 1、b 2、b 3,满足b 1\b 2\b 3,且b 1+b 2+b 3=2009;船长在不知道水手写的数的情况下,将2009枚金币分成3堆,各堆数量分别为a 1、a 2、a 3,且a 1\a 2\a 3.对于水手k (k =1,2,3),当b k <a k 时,可以从第k 堆拿走b k 枚金币,否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数,船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值,并证明你的结论.(张利民 供题)第二天五、(25分)如图2,在给定的扇形AOB 图2中,圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ,在线段OC 上取一点P ,联结AP ,过点B 作直线BQ M AP 交射线OC 于点Q .证明:封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.(徐庆金 供题)六、(25分)设x 、y 、z >0,且x 2+y 2+z 2=3.求证:x2009-2008(x -1)y +z \12(x +y +z ).(杨海滨 贾应红 供题)七、(25分)记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数,且对所有的正整数n ,都有[x [ny ]]=n -1成立.证明:xy =1,且y 是大于1的无理数.(刘康宁 供题)八、(25分)求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.(张 雷 供题)参考答案第一天一、易证x n 是正数.注意到1x n=1x 2n -1+x n -1+x n -1=x 2n -1+x n -1-x n -1x n -1=1+1x n -1-1,即1x n+1=1+1x n -1=,=1+1x 112n -1=212n -1=221-n.故x n =122-1.二、(1)因为ABF=ACE=90b ,所以,E 、B、C 、F四点共圆.于是,CFE =ABC,BEF =ACB .故cos CFE +cos BEF =cos ABC +cos ACB =1,即 CF EF +BE EF =1.因此,BE +CF =EF .图3(2)如图3,在线段EF 上取一点Q ,使EQ =EB .由(1)的结论知FQ =FC.因FQC=12(180b -C FQ )=12EBC =PBC ,所以,B 、C 、P 、Q 四点共圆.故BCP =BQE =12(180b -BEQ )=12BCF .于是,CP 平分BCF .三、将26个数由小到大按升幂排列.把最小数编号为1,对后续数的编号原则为:如果它前面的数都不能整除它,就将这个数编号为1;如果它前面的数有的能整除它,设能够整除它的数中最大编号为k ,就将这个数编号为k +1.当将26个数全部编号后,可以证明这26个数中一定有编号为6的数.假设没有编号为6的数,即这26个数的编号只能是1,2,3,4,5.由抽屉原则知,一定有六个数编号相同,则这六个数必然不能相互整除,与已知矛盾.因此,这26个数中一定有编号为6的数.如果有一个数编号为6,这说明它有一个编号为5的因数.同理,这个数有一个编号为4的因数,,,这样,就得到由六个数组成的因数链,其中每一个数都能被下一个数整除.显然,这六个数中最大的一个能被其余五个数整除.问题得证.四、最大值是673.首先,船长可以确保得到不少于673枚金币.事实上,当船长把金币分成的3堆数目分别为671、670、668时,(1)若b 1\671,则船长可得到不少于671+2=673枚;(2)若b 1<671,则因b 1[670,b 1+b 2+b 3=2009,所以,只有b 1=b 2=670,b 3=669,船长得到的金币数不少于1+670+668>673枚.其次,船长无法确保得到多于673枚金币.事实上,(1)若a 1[671,则a 2[671,a 3\667.当b 1=a 1+2,b 2=a 2-1,b 3=a 3-1时,船长至多得到671+2=673枚;(2)若a 1>671,则因a 3[2009-a 12[13372=66815,故a 3[668.(i)当a 2-a 3\3时,若b 1=a 1-1,b 2=a 2-1,b 3=a 3+2,则船长至多可得a 3+2[668+2=670枚;(ii)当a 2-a 3[2时,若a 3=1,则a 2[3,a 1-a 2\2002,当b 1=a 1-2,b 2=a 2+1,b 3=a 3+1时,船长至多可得2+3+1=6枚;若a 3>1,则2a 2=(a 2+a 3)+(a 2-a 3)[2009-672+2=1339]a 2[669.所以,a 1-a 2\672-669=3,当b 1=a 1-1,b 2=a 2+2,b 3=a 3-1时,船长至多可得a 2+2[671枚.第二天五、联结AB 交OC 于点M .由于BQ M AP ,则四边形APBQ 是梯形.所以,S v AQ M =S v BPM .故S OAQPB =S OA M PB +S v AQM =S O AMPB +S v BMP =S v OAB为定值,即五边形OAQPB 的面积与点C 、P 的选取无关.六、因为x 2+y 2+z 2\(x +y +z )23,所以,x +y +z [3.故只要证x 2009-2008(x -1)y +z \32.而x2009+2008=x2009+1+1+,+12008个\2009x ,同理,y 2009+2008\2009y ,z2009+2008\2009z .所以,只要证x y +z \32Z x y +z +1\92Zx +y +z y +z \92.¹而式¹左边12(x +y )1x +y \923(x +y )1y +z =92.综上,原不等式成立.七、由x ny -1<xny [x ny ,ny ]x ny -1-1<n -1[nxy.故n xy -1<x ,n 1-xy [1.显然,无论xy >1,还是xy <1,以上不等式组对任意的正整数都不能恒成立.因此,xy =1.故nyy=n -1Z n -1[nyy <n Z ny -y [ny <ny.¹式¹右边不等式表明,ny 不是整数,从而,y 是无理数.对式¹左边不等式,当y >1时,显然成立;当0<y <1时,取n =11-y+1,则11-y <n [11-y +1.解得n -2n -1[y <n -1n,即n 2-2nn -1[ny <n -1.所以,ny [n -2[n -1y .于是,ny y<nyy[n -1,矛盾.综上,xy =1,且y 是大于1的无理数.八、最小数为2@1024+2@1023-1015-1.证明:由于209=11@19,209=9@23+2,故该数至少为24位,且被11和19整除.(1)如果该数为24位数,设从右向左数其第i 位的数字为a i (1[i [24),该数设为S .则S =24i =110i -1a i S24i =1(-1)i -1a iS 0(m od 11).设S 1=a 1+a 3+,+a 23,S 2=a 2+a 4+,+a 24.则S 1S S 2(m od 11).又S1+S2=209,由于S1、S2中的最大数不大于108,则最小数不小于101,其差的绝对值不大于7.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2 X0,即S1¢S2(m od11),矛盾.所以,满足条件的数至少为25位.(2)如果该数为25位数,类似上面的设法,令该数为S,S1=a1+a3+,+a25,S2=a2+a4+,+a24.1)如果a25=1,由于S1、S2中的最大数不大于109,则最小数不小于100,其差的绝对值不大于9.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2X 0,即S1¢S2(m od11).此时,不存在满足条件的数.2)如果a25=2,由于S1、S2中的最大数不大于110,则最小数不小于99,其差的绝对值不大于11.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2X0,只有S1=110,S2=99可能满足条件.此时, a1=a3=,=a23=9.(i)如果a24=0,则该数为S=2@1024+1023-1,除以19余5,不满足条件.(ii)如果a24=1,则该数为S=2@1024+2@1023-1-10x,其中,x为奇数.由于2@1024+2@1023-1S8(m od19),而10k模19的余数为10,5,12,6,3,11,15, 17,18,9,14,7,13,16,8,4,2,1循环,于是, x=18t+15.故x=15.此时,满足条件的数为2@1024+2@1023-1015-1.综上,满足条件的最小数为2@1024+2@1023-1015-1.(张同君提供)课外训练数学奥林匹克初中训练题(122)第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数.在上述假定下,有下面四个结论:¹x2是有理数;º(x-1)(x-3)是无理数;»(x+1)2是有理数;¼(x-1)2是无理数.其中,正确的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)32.已知关于x的方程5 2x-a=85x+142,当a为某些正整数时,方程的解为正整数.则正整数a的最小值是().(A)2(B)3(C)4(D)53.设a、b N+,且满足56[a+b[59,019<ab<0191.则b2-a2等于().(A)171(B)177(C)180(D)182图14.如图1,在v ABC中,已知AB>AC,点D、E分别在AB、AC上,且BD=CE.取BE、CD的中点M、N,直线MN分别交AB、AC于点P、Q.则().。
2005小学数学奥林匹克试题和解答
2005小学数学奥林匹克试题和解答PAGE1-NUMPAGES152005年小学数学奥林匹克预赛试卷(A)2005年3月20日上午8：30—9：301．计算：8-1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）＝______。
2．计算：=______。
3．已知，那么x=______。
4．设ab表示a/b＋b/a＋1/2，计算：(1992996)(996498)＝______。
5．图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为______。
6．按英国人的记法，2005年1月8日记作1-8-2005；按美国人的记法，2005年1月8日记作8-1-2005。
那么，2005年全年中共有______天会让英、美两国人在记法上产生误会。
7．某班在一次数学测验中，平均成绩是78分，男、女各自平均成绩是75.5与81分。
这个班男女生人数之比是______。
8．将+、－、×、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是______。
1/2□1/9，1/3□1/8，1/4□1/7，1/5□1/69．有四个正方体，棱长分别是1，1，2，3。
把它们的表面粘在一起，所得的立体图形的表面积可能取得的最小值是______。
10．已知两个不同的单位分数的和是1/2004，且这两个单位分数的分母都是四位数，那么这两个单位分数的分母的差最小值是______。
11．用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色（如图所示），其他地方铺成白色的瓷砖。
如果铺满这个地面共用了97块黑色的瓷砖，那么白色的瓷砖用了______块。
12．A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离的5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在______时______分出发的。
2005年小学数学奥林匹克竞赛五年级组试题(卷)
34陕北某村有一块草场，假设每天草都均匀生长，长的一样快。这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为响应西部大开发，保护生态环境，防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？
2005年小数奥赛六年级组试题及参考答案
一、填空。（每空3分，共60分。）
2005年小学数学奥林匹克竞赛五年级组试题（卷）
一、填空。（每空3分，共60分。）
1、简算：9999＋999＋99＋9=。
2、找规律：1、 4、 9、 16、、 36、 49。
3、鸡兔同笼，有头40，有脚96。问：鸡有；兔有只。
4、○＋○＋○＋□＋□=45，□=○＋○＋○。○=； □=。
5、一个圆形花圃周长36米，每隔3米放一盆花，一共放了盆花？
周长是分米。
19、一块豆腐，要想切成八块，最少的刀就可以完成。
20、用5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用空瓶换的，
那么他至少要买瓶汽水。
二、选择题。（10分 ）
历届北方数学奥林匹克试题
历届北方数学奥林匹克试题目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(?∞,?1)∪(1,+∞)，都有f?1x?+f?1y?=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(?1,0)时，都有f(x)>0.求证：f?119?+f?129?+?+ f?1n2+7n+11?>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,?,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式14.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n ?(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2?4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,?,64分别填入8×8的64个方格，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1?12008<a2006<1.< p="">1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007?n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1??tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)?12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2?214n?1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=?√n?（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥?tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张雷供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ? 97 98 99 100 3 5 7 ? 195 197 199 8 12 ? 392 396 20 ? 788 ? ? ? ? ? M图2其中，第一行各数依次是1,2,?,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax?2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =?x n?12+x n?1+x n?1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张雷供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1）求证：AD +CF =DF ；（2）设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁吕建恒徐庆金供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张利供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009?2008(x?1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨贾应红供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n ?1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n?1+2n2n(n=2,3,?).求通项a n(n=1,2,?). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：?a2+b22+2?b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M 是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x?x|≤12，|x?y|≤12，|y?x|≤12.试求W=x+x+y?xx?xy?yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,?,A n是集合A={1,2,?,29}的一个分划，且A i(i=1,2,?,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,?,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=?(i≠j)，A1∪A2∪?∪A n=A，则称A1,A2,?,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足1?|2??|(n ?1)?|n ?x ||?|?=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,?,x n(n∈?+)，满足x12+x22+?+x n2=111，求S=x1+x2+?+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈?}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m?n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n?1?2,n∈?+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n?1+1b n?1,n∈?+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明1+13??1+131+13?<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)?a+1,a p+1a+1?=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.</a2006<1.<>。
高中数学竞赛-历届IMO试题(1-46届)及答案
1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
初中数学奥林匹克竞赛题及答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。
2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。
两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。
两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。
3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。
4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。
7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。
8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案
2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案1、 计算：11024 +1512 +1256 + (12)+1+2+4+8+……+1024= 2、 计算：1+10+41035 +22463 +15199 +17143= 3、有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是（ ）。
4、设M 、N 都是自然数，记PM 是自然数M 的各位数字之和，PN 是自然数N 的各位数字之和。
又记M*N 是M 除以N 的余数。
已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是（ ）。
5、如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB 将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG 的面积是（ ）。
6、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是（ ）。
7、已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。
如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了（ ）升。
8、在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
那么“新年好”所代表的三位数是（ ）。
9、有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。
那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的（ ）倍。
10、从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。
如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是（ ）。
11、有A 、B 、C 、D 、E 五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。
当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：队名 获胜场数 平局场数 失败场数 进球个数 失球个数A 2 1 0 4 1B 1 2 0 4 2C 1 1 1 2 3D 1 0 3 5 5E 0 2 1 1 5已知A 与E 以及B 与C 都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B 与D 两队之间的比分是（ ）。
2013奥数决赛B卷真题及详细解答
2013年小学数学竞赛决赛试卷2013年4月13日上午10:00—11:30（本卷共14个题，每题10分，总分140分。
第1至12题为填空题，只需要将答案填入空内；13题和14题为解答题，需写出解题过程。
）1、计算（0.125×17 +0.75×114 +128 ）÷（12 －17 ）=（ ）=3102、计算14 +14+8 +14+8+12 +…14+8+12+…+96 =（ ） =14 （1+11+2 +11+2+3 +…11+2+3+…+24） =14 ×（1+11+2 +11+2+3 +…11+2+3+…+24 ）×12 ×2 =12253、将数字3,4,5,6,7,8,9填入下列算式的□中，使得等式成立。
（每个数字只能用一次）2×□□=□×□□=1□□2×78=4×39=1564、五边形ABCDE 由边长为8的正方形ACDE 和等腰△ABC 组成，AB=BC 。
ABCDE 的面积是90，那么，阴影部分的面积=（ ）。
90－8×8÷2－8×3÷2=365、已知一个二位数S ，把它的十位上数字与各位上数字交换后得到的二位数比原来的二位数S 大20%，那么S=（ ）设原数为xy ----新数为yx ----，（10x+y ）（1+15 ）=10y+x ，整理后得到：5x=4yX:y=4：5，所以：45另解：个位数字和十位数字交换后大小相差9的倍数。
如果相差一个9，那么那么原数是45，如果相差18，那么原数大于了两位数。
6、A B C D 为四个不同的二位数。
两两配对可以配成六对，这六对数的平均数分别是12,13,15,17,19,20.那么这四个数中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）两两之和为：24、26、30、34、38、40令：A <B <C < D ABCD 的和为（12+13+15+17+19+20）×2÷3=64A+B=24,C+D=40, B+D=38 那么：A+C=26, 若 B+C=30那么通过A+B=24,与B+C=30可以知道B=14,那么A=10 B=14. C=16, D=24.若：B+C=34 A+B=24,与B+C=34可以知道B=16 A=8, C=18,D=22 ( 不满足四个两位数这个条件),7、一群人到三亚去旅游。
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(A)
5. 在三角形中 , 三条边长成等差数列是 ). 三边的比为 3∶ 4∶ 5 的 ( (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 ( C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要的条件
二、 填空题 ( 每小题 7 分 ,共 35 分)
) ,都有 f + ∞
x+ y ; 1 + xy ( 3) 当 x ∈( - 1 ,0) 时 ,都有 f ( x ) > 0. x z + zx + x =
2 2
169 . 4 ( 张同君 供题)
求 xy + yz + zx 的值 .
π α、 β、 γ ≤ , cos2α + cos2β + 六、 设0≤ 2 2 cos γ = 1. 求证 : 2 ) 2 sin4α+ (1 + cos2β ) 2 sin4β+ 2 ≤(1 + cos α
23 (2) 若取出的 n + 2 个数中 ,不含 an + 1 , an + 2 , …,
a2 n - 1 这 n - 1 个数中的任何一个数 . 把这些数及 a3 n
又 ( 1 + x 1 ) ( 1 - x 2 ) > 0 Ζ x1 - x 2 > x1 x 2 - 1 Ζ - 1 < x2 - x1 < 0. x 1 x2 - 1 由 (3) 得 f
| ai - aj |
nd
< 2. ( 刘康宁 安振平 供题)
第二天
四、 已知 n 位数的各位数字只能取集合 {1 ,2 ,3 ,4 ,5} 中的元素 , 设含有数字 5 且在 5 的前面不含 3 的 n 位数的个数为 f ( n ) . 求 ( 蒋西明 f ( n) . 供题) 五、 如果三个正实数 x 、 y、 z 满足 25 2 2 2 2 x + xy + y = , y + yz + z = 36 , 4
nd
的计算 ,可分如下两种情形 : 情形 1 : 当个位数字不是 5 时 ,则前 n 位数中一 定含有数字 5 ,它是满足条件的一个 n 位数 ,其个数 为 f ( n) . 对于每一个这样的 n 位数 ,从 1 ,2 ,3 ,4 中任 取一个放在它的最右端 ,可得到一个 n + 1 位数 , 因 此 ,个位数字不是 5 的 n + 1 位数有 4 f ( n) 个 . 情形 2 : 当个位数字是 5 时 , 由于在 5 的前面不 能含有 3 ,则前 n 位数的每一位数字均有 4 种取法 . 因此 ,个位数字是 5 的 n + 1 位数有 4 n 个 . 所以 , n f ( n + 1) = 4 f ( n) + 4 , f ( n + 1) f ( n) 即 - n - 1 = 1. n 4 4 显然 , f (1) = 1. f ( n) 则 n - 1 = 1 + ( n - 1) = n . 4 n- 1 故 f ( n) = n・ 4 . 五、 易知三个等式可化为 2 5 2 2 x + y - 2 xy cos 120° = , 2 2 12 2 2 y + z - 2 yz cos 120° = , 2 2 13 2 2 z + x - 2 zx cos 120° = . 2 构造 Rt △ABC 如图 2 所 示 , 其 中 13 5 AB = , BC = , 2 2 12 CA = . 记 P 为 2 图2 △ABC内一点 ,使得 PB = x , PC = y , PA = z , ∠B PC = ∠CPA = ∠A PB = 120° . 因 S △B PC + S △CPA + S △A PB = S △ABC ,则
(B) {1 ,3} ( C) {4} (D) {2 ,5} 2. 已知 a 、 b 都是整数 . 命题甲 : a + b 不 是偶数 , 则 a 、 b 都不是偶数 ; 命题乙 : a + b ). 不是偶数 ,则 a 、 b 不都是偶数 . 则 ( (A) 甲真 ,乙假 (B) 甲假 ,乙真 ( C) 甲真 ,乙真 (D) 甲假 ,乙假 3. 若 c 、 d 是不共线的两个非零平面向 量 ,则下面给出的四组 a 、 b 中 , 不共线的一 ). 组是 ( (A) a = - 2 ( c + d) , b = 2 ( c + d) (B) a = c - d , b = - 2 c + 2 d
x2 - x1 x1 x2 - 1
> 0 ,则 f ( x1 ) > f ( x2 ) .
之外的 2 n 个数组成的集合划分成 n 个子集 : { a1 , a2 n } ,{ a2 , a2 n + 1 } , …,{ an , a3 n - 1 } , 这些子集中任何一个子集中的两个数都满足题设不 等式 . 这样 ,除 a3 n 外 ,还要取的 n + 1 个数必须从这
1 2
.
故原不等式成立 . 三、 在取出的 n + 2 个数中 , 设 al 为最 大 , 则
al ≤a3 n . 把每个数都加上 a3 n - al ,这样处理后不改
变任何两数差的绝对值 . 从而 , 总可以认为取出的
n + 2个数中包括 a3 n ,记 al = a3 n .
(1 ) 若 取 出 的 n + 2 个 数 中 , 除 a3 n 外 还 有
1 1 5 12 ( xy + yz + zx ) sin 120° = × × . 2 2 2 2
故1<
< 2.
故 xy + yz + zx = 10 3 .
24
中 等 数 学
2005 年北京市中学生数学竞赛 ( 高一)
一、 选择题 ( 每小题 5 分 ,共 25 分) 1. 如果 S = {1 ,2 ,3 ,4 ,5} , M = {1 ,3 ,4} , N = { 2 , 4 , 5 } , 那 么 , ( CS M ) ∩ ( CS N ) 等 于
n 个子集中取出 . 根据抽屉原理 , 必存在一个二元子 集 ,它的两个元素都被取出 ,而这两个数必满足题设 不等式 . (2) ,原不等式得证 . 综合 (1) 、 四、 对于满足条件的 n + 1 位数的个数 f ( n + 1)
故 f ( x ) 在 ( - 1 ,0) 上是减函数 . 又 f ( x ) 是奇函数 ,且 f ( x ) > 0 , x ∈( - 1 ,0) , 所 以 , f ( x ) 在 (0 ,1) 上也是减函数 ,且 f ( x ) < 0 ,则有
在 l 上与点 A 距离最近的整点是
若存在常数 c , 对于任意的 x1 ∈[ a , b ] 有唯
六、 设 a = cos2α, b = cos2β, c = cos2γ ,则 0 ≤a 、 b、 c≤ 1 ,且 a + b + c = 1. 从而 ,原不等式等价于 4 4 4 2 2 2 0 ≤a + b + c - 2 ( a + b + c ) + 1 ≤ab + bc + ca + abc . 令 ab + bc + ca = u , abc = v ,则
x x
求证 :
f
1 1 1 +f + …+ f 2 >f 19 29 n + 7 n + 11
1 2
,
其中 n ∈N+ .
(刘 贵 谭祖春 供题)
三、 在公差为 d ( d > 0) 的正数等差数列 a1 , a2 , …, a3 n ( n ≥ 2) 中 , 任取 n + 2 个数 . 证 明 :其中必存在两个数 ai 、 aj ( i ≠j ) , 满足不 等式 1 <
( ).
一的 x2 ∈[ a , b ] , 使得
f ( x1 ) + f ( x2 )
2
= c ,则
称函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的 “均值” 为 c . 那么 , 函数 f ( x ) = 1g x 在 [ 10 , 100 ] 上 的 均 值 为
( ). (A) 10 (B) 1 3 3 ( C) (D) 10 2 4
( 1 + cos2γ ) 2 sin4γ
≤(1 + cos2α ) ( 1 + cos2β ) ( 1 + cos2γ) . ( 谭祖春 供题)
1
+f
1
y
=f
参考答案
一、 如图 1 ,联结 OM 、 OP 、 OQ 、 OC 、 OD . 因为 PC 为 ⊙O 的 切 线 , M 为 弦 AB 的 中 点 ,则 ∠PCO = ∠PMO 图1 = 90° . 所以 , P 、 C、 M、 O 四点共圆 . 同理 , Q 、 D、 O、 M 四点共圆 . 则有 ∠OPM = ∠OCM = ∠ODM = ∠OQM . 故 OP = OQ . 从而 , MP = MQ . 又 MA = MB ,所以 , PA = QB . 二、 在 (2) 中 ,令 y = - x ,得 1 1 f +f = f (0) = 0 ,
=
f
1 19 1 4
+f - f 1
1 29 1 5
+ …+ f + - f 1
n+4 f
1
n + 7 n + 11
2
1 5
- f
1 6
+