江苏省南通市启东中学2017-2018学年高一上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析

江苏省南通市启东中学2017-2018学年高一上学期第二次月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1．cos（﹣870°）=．2．函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω=．3．已知函数f（x）=，a∈R，若f[f（﹣1）]=1，则a=．4．设，，且，则锐角α为．5．已知集合A={y|y=sinx，x∈（0，）}，B={x|y=ln（2x+1）}．则A∪B=．6．设||=1，||=2，且，的夹角为120°；则|2+|等于．7．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．8．若的值为．9．若f（x）=2sin（ωx+Φ）+m，对任意实数t都有，且，则实数m的值等于．10．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（1）＞f（﹣2）＞0，则方程f（x）=0的根的个数为．11．函数的图象为C．如下结论：①函数的最小正周期是π；②图象C关于直线x=π对称；③函数f（x）在区间（）上是增函数；④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）12．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．13．等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数λ的值是．14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣1）=0，若不等式对区间（﹣∞，0）内任意两个不相等的实数x1，x2都成立，则不等式xf（2x）＜0解集是．二、解答题（本大题共6小题，每小题15分，共计90分．）15．（1）已知α，β为锐角，且cosα=，cos（α+β）=﹣，求β；（2）已知tan（+α）=，求的值．16．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．（1）若，求角α的值；（2）若，求的值．17．已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且=0，求t及||18．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE=5m，CF=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm（h≥1）到达距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB 为纵轴建立坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内如水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．19．已知函数f（x）=2asinx•cosx+2cos2x+1，f（）=4，（1）求实数a的值；（2）求f（x）的单调增区间；（3）求函数f（x）在x∈[﹣，]的值域．20．定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x），当．（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明；（Ⅲ）当x∈（0，1]时，关于x的方程有解，试求实数λ的取值范围．江苏省南通市启东中学2017-2018学年高一上学期第二次月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1．cos（﹣870°）=﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式化简后，根据特殊角的三角函数值即可得解．解答：解：cos（﹣870°）=cos870°=cos150°=﹣cos30°=﹣．故答案为：﹣．点评：本题主要考查了诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．2．函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω=2．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用正弦函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的周期公式T=即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．故答案为：2．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，掌握公式是解决问题的关键，属于基础题．3．已知函数f（x）=，a∈R，若f[f（﹣1）]=1，则a=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件利用分段函数的性质得f（﹣1）=2﹣（﹣1）=2，从而f（f（﹣1））=f（2）=a•22=1，由此能求出a．解答：解：∵函数f（x）=，a∈R，∴f（﹣1）=2﹣（﹣1）=2，∵f[f（﹣1）]=1，∴f（f（﹣1））=f（2）=a•22=1，解得a=．故答案为：．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．4．设，，且，则锐角α为45°．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量共线的充要条件求解即可．解答：解：设，，且，所以：sinαcosα=，sin2α=1．则锐角α为45°．故答案为：45°．点评：本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．5．已知集合A={y|y=sinx，x∈（0，）}，B={x|y=ln（2x+1）}．则A∪B={x|x＞﹣}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由正弦函数的性质求出集合A，由对数函数的性质求出集合B，再由并集的定义求A∪B．解答：解：∵集合A={y|y=sinx，x∈（0，）}={y|0＜y＜1}，B={x|y=ln（2x+1）}={x|x＞﹣}，∴A∪B={x|x＞﹣}．故答案为：{x|x＞﹣}．点评：本题考查集合的并集的求法，是基础题，解题时要注意正弦函数和对数函数的性质的合理运用．6．设||=1，||=2，且，的夹角为120°；则|2+|等于2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积定义和数量积的性质即可得出．解答：解：∵||=1，||=2，且，的夹角为120°，∴==﹣1．∴|2+|====2．故答案为：2．点评：本题考查了数量积定义和数量积的性质，属于基础题．7．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．解答：解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．8．若的值为．考点：二倍角的余弦；角的变换、收缩变换．专题：计算题．分析：利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，再利用诱导公式化为2﹣1，将条件代入运算求得结果．解答：解：∵=cos2（+α）=2﹣1=2﹣1=2×﹣1=，故答案为：．点评：本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为2﹣1=2﹣1，是解题的关键．9．若f（x）=2sin（ωx+Φ）+m，对任意实数t都有，且，则实数m的值等于﹣3或1．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由f（t+）=f（﹣t）⇒f（t）=f（﹣t）⇒f（x）=2sin（ωx+Φ）+m的图象关于直线x=对称，从而可求得实数m的值．解答：解：∵f（t+）=f（﹣t），用﹣t替换上式中的t，得f（t）=f（﹣t），∴f（x）=2sin（ωx+Φ）+m的图象关于直线x=对称，∴y=f（x）在对称轴x=处取到最值，∵f（）=﹣1，∴2+m=﹣1或﹣2+m=﹣1，解得：m=﹣3或m=1，故答案为：﹣3或1．点评：本题考查正弦函数的对称性，求得f（x）=2sin（ωx+Φ）+m的图象关于直线x=对称是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（1）＞f（﹣2）＞0，则方程f（x）=0的根的个数为2．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，结合函数零点的判断条件进行求解即可．解答：解：∵函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，∴在（﹣∞，0）上单调递减若f（1）＞f（﹣2）＞0，∴f（1）＞0，﹣f（2）＞0，∴f（2）＜0，则函数f（x）在（1，2）内存在一个零点，x＞0时，方程f（x）=0有1个根，根据奇函数的对称轴可知当x＜0时，方程f（x）=0有1个根，综上方程f（x）=0的根的个数为2个，故答案为：2点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11．函数的图象为C．如下结论：①函数的最小正周期是π；②图象C关于直线x=π对称；③函数f（x）在区间（）上是增函数；④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．其中正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）考点：复合三角函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数的性质，对①②③④逐项分析即可．解答：解：∵f（x）=3sin（2x﹣），∴其最小正周期T==π，故①正确；∵f（π）=3sin（2×π﹣）=3sinπ=﹣3，是最小值，故②正确；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，令k=0，得﹣≤x≤，故（﹣，）为函数f（x）的一个递增区间，故③正确；将y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣）≠3sin （2x﹣），故④错误；综上所述，正确的为①②③．故答案为：①②③．点评：本题考查复合三角函数的单调性与对称性，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．12．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．解答：解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以0＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．13．等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数λ的值是．考点：平面向量数量积的运算；线段的定比分点．专题：计算题．分析：将表示为，利用向量数量积公式，将关系式化简得出关于λ的方程并解出即可．注意0＜λ＜1．解答：解：设等边三角形ABC的边长为1．则，=1﹣λ．（0＜λ＜1），所以1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×（1﹣λ）cos180°．化简+λ=﹣λ（1﹣λ），整理λ2﹣2λ+=0，解得λ=（λ=＞1舍去）故答案为：点评：本题考查向量数量积的运算，平面向量基本定理，关键是将表示为，进行转化，以便应用向量数量积公式计算化简．14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣1）=0，若不等式对区间（﹣∞，0）内任意两个不相等的实数x1，x2都成立，则不等式xf（2x）＜0解集是（，0）∪（0，）．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由对区间（﹣∞，0）内任意两个不相等的实数x1，x2都成立，知g（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上单调递减，由f（x）的奇偶性可判断g （x）的奇偶性及特殊点，从而可作出草图，由图象可解g（2x）＜0，进而得到答案．解答：解：∵对区间（﹣∞，0）内任意两个不相等的实数x1，x2都成立，∴函数g（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（x）为奇函数，∴g（x）=xf（x）为偶函数，g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=g（1）=0，作出g（x）的草图如图所示：xf（2x）＜0即2xf（2x）＜0，g（2x）＜0，由图象得，﹣1＜2x＜0或0＜2x＜1，解得﹣＜x＜0或0＜x，∴不等式xf（2x）＜0解集是（，0）∪（0，），故答案为：（，0）∪（0，）．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式的求解，综合运用函数性质化抽象不等式为具体不等式是解题关键．二、解答题（本大题共6小题，每小题15分，共计90分．）15．（1）已知α，β为锐角，且cosα=，cos（α+β）=﹣，求β；（2）已知tan（+α）=，求的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由已知利用同角基本关系可求sinα，sin（α+β），利用sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin （α+β）cosα﹣sinαcos（α+β）可求sinβ，进而可求（2）由tan（+α）=，结合两角和的正切公式可求tanα，然后把所求式子利用二倍角公式进行化简代入可求解答：解：（1）∵α，β为锐角，且cosα=，cos（α+β）=﹣，∴=，=∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣sinαcos（α+β）==∴β=60°（2）∵tan（+α）=，∴∴tanα=∴====点评：本题主要考查了同角平方关系，和差角公式及二倍角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式16．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．（1）若，求角α的值；（2）若，求的值．考点：三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tanα的值，根据α的范围求得α．（2）根据向量的基本运算根据求得sinα和cosα的关系式，然后同角和与差的关系可得到，再由可确定答案．解答：解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵．∴．（2）∵，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，∴∴，∴．点评：本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题．三角函数与向量的综合题是2015届高考的重点，每年必考的，一定多复习．17．已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且=0，求t及||考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据数量积的运算对条件展开运算即可求得向量夹角；（2）根据=0建立等式，可求出t的值，然后根据模的定义可求出||的值．解答：解（1）∵||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，∴•=﹣6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴cos θ===﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0≤θ≤π，∴θ=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）=（）=t+（1﹣t）=﹣15t+9=0∴t=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴||2=（+）2=，∴||=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查向量数量积的运算、及向量夹角的求解，同时考查了运算求解的能力，属基础题．18．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE=5m，CF=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm（h≥1）到达距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB 为纵轴建立坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内如水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．考点：函数模型的选择与应用．专题：阅读型．分析：（1）由题意可得最高点为（2+h，4），h≥1，将抛物线方程设为顶点式方程，当h=1时，最高点为（3，4），代入方程可求出抛物线方程；（2）将点A（2，3）代入解析式可得一关系式，从而得到方程a[x﹣（2+h）]2+4=0在区间[5，6]内有一解，由此入手能求出达到压水花的训练要求时h的取值范围．解答：解：（1）由题意知最高点为（2+h，4），h≥1．设抛物线方程为y=a[x﹣（2+h）]2+4，当h=1时，最高点为（3，4），方程为y=a（x﹣3）2+4，将A（2，3）代入，得3=a（2﹣3）2+4，解得a=﹣1，∴当h=1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y=﹣（x﹣3）2+4．（2）将点A（2，3）代入y=a[x﹣（2+h）]2+4，得ah2=﹣1，①由题意，方程a[x﹣（2+h）]2+4=0在区间[5，6]内有一解，令f（x）=a[x﹣（2+h）]2+4=﹣[x﹣（2+h）]2+4，则f（5）=﹣（3﹣h）2+4≥0，且f（6）=﹣（4﹣h）2+4≤0．解得1≤h≤，故达到压水花的训练要求时h的取值范围是[1，]．点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．属于中档题．19．已知函数f（x）=2asinx•cosx+2cos2x+1，f（）=4，（1）求实数a的值；（2）求f（x）的单调增区间；（3）求函数f（x）在x∈[﹣，]的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=asin2x+cos2x+2，可得f（）=+=4，即可解得a的值．（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+）+2，由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调增区间．（3）由x∈[﹣，]，可得2x+∈[﹣，]，从而解得函数f（x）在x∈[﹣，]的值域．解答：解：（1）∵f（x）=2asinx•cosx+2cos2x+1=asin2x+cos2x+2∵f（）=asin+cos+2=+=4，∴解得：a=．（2）∵由（1）可得：f（x）=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2，∴由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z可解得：kπ≤x≤kπ，k∈Z，∴f（x）的单调增区间是：[kπ，kπ]，k∈Z，（3）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴f（x）=2sin（2x+）+2∈[2，2]，∴函数f（x）在x∈[﹣，]的值域是[2，2]．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x），当．（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明；（Ⅲ）当x∈（0，1]时，关于x的方程有解，试求实数λ的取值范围．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的零点．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得，f（0）=0，设x∈（0，1]，可得，﹣x∈[﹣1，0），结合已知函数解析式及f（x）=﹣f（﹣x）即可求解；（Ⅱ）先设任意x1、x2（0，1]，且x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1），f（x2）的大小即可判断（Ⅲ）利用换元法，设t=2x，则t∈（1，2]，然后结合二次函数在闭区间上的最值求解即可解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当x=0时，f（x）=0，…当x∈（0，1]时，﹣x∈[﹣1，0），所以，…综上：．…（Ⅱ）证明：任意x1、x2（0，1]，且x1＜x2，则由x1＜x2，故，又，，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，1）上单调递减．…（Ⅲ）λ=2x﹣1﹣4x，设t=2x，则t∈（1，2]，故．…点评：本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，函数的单调性的判断与证明及二次函数闭区间上的最值求解等综合应用．。