高等代数第六章 8第八节 线性空间的同构 太原理工大学
线性代数课件第六章
律 (i), (ii), (v), (vi), (vii), (viii) 显然是满足的, 因此只要 L 对运算封闭且满足规律 (iii)、(iv) 即可. 但由线性空间 的性质知, 若 L 对运算封闭,则即能满足规律(iii),(iv). 因 此我们有
定理 线性空间 V 的非空子集 L 构成子空间的充
那么, V 就称为(实数域 R 上的)向量空间(或线性 空间), V 中的元素不论其本来的性质如何,统称为(实) 向量.
简言之, 凡满足八条规律的加法及乘数运算, 就称为
线性运算; 凡定义了线性运算的集合, 就称为向量空 间.
在第四章中, 我们把有序数组称为向量, 并对它定 义了加法和乘数运算, 容易验证这些运算满足八条规律. 最后, 把对于运算封闭的有序数组的集合称为向量空间. 显然, 那些只是现在定义的特殊情形. 比较起来, 现在的 定义有了很大的推广:
a a; (viii) (a b) (ab) (ab) ab
a b a b .
因此, R+ 对于所定义的运算构成线性空间. 下面讨论线性空间的性质.
三、线性空间的性质
性质 1 零向量是唯一的.
证明 设 0证1, 0明2 是设线性01,空02间是V线中性的空两间个V零中向的量两, 个零向量
这就较清楚地显示出线性空间 Vn 的构造.
若 1 , 2 , ···, n 为 Vn 的一个基, 则对任何 Vn ,
都有一组有序数 x1 , x2 , ···, xn , 使
= x1 1 + x2 2 + ···+ xn n ,
并且这组数是唯一的.
反之 , 任给一组有序数 x1 , x2 , ···, xn , 总有唯一的
所以证明 所(若-以1)证明=0,-在(若-1;)==0,-两在边;乘=10/两, 得边乘 1/ , 得
第六章 线性空间
第六章 线性空间一．内容概述（一） 基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。
两种运算要封闭，八条公理要齐备。
V ,数域F V ∙V →V V ∈∀βα、 使V ∈+βα。
V F ⨯→V ∀k V ∈使k V ∈α。
满足下述八条公理：⑴αββα+=+； ⑵)()(γβαγβα++=++； ⑶对于,V ∈α都有αα=+0，零元素；⑷对于V ∈α，都有0=+βα，称β为α的负元素，记为α-； ⑸βαβαk k k +=+)(；⑹αααl k l k +=+)(；⑺)()(ααl k kl =； ⑻αα=1。
常用的线性空间介绍如下：（ⅰ）2V 、3V 分别表示二维，三维几何空间。
（ⅱ）nF 或nP 表示数域)(P F 上的n 维列向量构成的线性空间。
（ⅲ）[]x F 表示数域上全体多项式组成的线性空间。
[]x F n 表F 上次数不大于n 的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。
（ⅳ）()F M n m ⨯表示数域F 上n m ⨯矩阵的集合构成的线性空间。
当n m =时，记为()F M n m ⨯。
（ⅴ）[]b a R ,表示在实闭区间[]b a ,上连续函数的集合组成的线性空间。
⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。
⑴基 线性空间()F V 的一个基指的是V 中一组向量{}n ααα,,21 满足（ⅰ）n ααα,,21 线性无关；（ⅱ）V 中每一向量都可由n ααα,,21 线性表出。
⑵维数 一个基所含向量的个数，称为维数。
记为V dim 。
⑶坐标 设n ααα,,21 为()F V n 的一个基。
()F V n ∈∀α有n n a a a αααα+++= 2211则称有序数组n a a a ,,21 为α关于基n ααα,,21 的坐标。
记为(n a a a ,,21 )。
⑷过渡矩阵 设()F V n 的二个基n ααα,,21 （ⅰ）n βββ ,,21（ⅱ）且∑==ni iij j a 1αβn j 2,1=则称n 阶矩阵。
第六章线性空间与线性变换
高等代数第六章 线性空间与线性变换第六章 线性空间与线性变换§6.1 线性空间与简单性质一、线性空间的概念定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域．在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域F 和V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对F 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝．如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域F 上的一个线性空间．（1） 加法交换律：αββα＋＝+；（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k F ； （7） ()∈+l k l k l k ,,ααα＋＝F ； （8） ()()ααkl l k ＝，其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域F 中任意数．V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α−．下面我们列举几个线性空间的例子． 例1数域F 上的所有n 维列向量集nF 算规则，它是数域F 上的一个线性空间．特别地，当R F ＝时，n R 称为n 维实向量空间；当C F ＝时，n C 称为n 维复向量空间．例2 数域F 上的全体n m ×矩阵构成一个F 上的线性空间，记为)(F n m M ×． 例3数域F 上的一元多项式全体，记为][x F ，构成数域F 上的一个线性空间．如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域F 上的一个线性空间，记为n x F ][．高等代数讲义例4实系数的n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量构成R 上的一个线性空间．称之为方程组0=Ax 的解空间．例5闭区间],[b a 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为],[b a C ．例6 零空间．注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比n 维有序数组向量要广泛的多．二、性质性质1 零向量是唯一的． 性质2 负向量是唯一的．注：利用负向量，我们定义减法为：)(βαβα−+=−．性质3 对V 中任意向量γβα,,，有（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα−=−)1(；（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α．注：线性空间上的加法和数乘运算与nF 的一样，都满足八条运算规律，所以第四章 中关于向量组的一些概念以及结论，均可以平行地推广到一般的n 维线性空间中来．在这里不再列举这些概念和结论，以后我们就直接引用，不另加说明．§6.2 基与维数本节讨论线性空间的结构一、定义与例子定义1 设V 是数域F 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21L 满足 （1）n εεε,,,21L 线性无关；（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21L 线性表示，则称n εεε,,,21L 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域F 上的n 维线性空间．注1：零空间没有基，其维数规定为0．注2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，第六章 线性空间与线性变换例：连续函数空间],[b a C 就是一个无限维空间．推论1 n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关．注3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一组基，其秩就是维数．推论2 n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基．定义2 设n εεε,,,21L 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21L ，使得n n x x x εεεα+++=L 2211，我们称n x x x ,,,21L 为向量α在基n εεε,,,21L 下的坐标，记作()Tn x x x ,,,21L ．例1 在n 维向量空间nF 中，显然⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100,,010,00121ML M M n εεε,是nF 的一组基．对任一向量Tn a a a ),,,(21L =α都可表示成n n a a a εεεα+++=L 2211，所以Tn a a a ),,,(21L 就是向量α在这组基下的坐标．选取另一组基：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111,,011,00121ML M M n ηηη，对于向量Tn a a a ),,,(21L =α，有()()()n n n n n a a a a a a a ηηηηα+−++−+−=−−11232121L ，所以α在这组基下的坐标为()Tn n n a a a a a a a ,,,,13221−−−−L ．例2 在线性空间n x F ][中，容易验证121,,,1−===n n x x αααL高等代数讲义是n x F ][的一组基．在这组基下，多项式1110)(−−+++=n n x a x a a x f L 的坐标就是它的系数()Tn a a a 110,,,−L ．考虑n x F ][中的另一组基()121,,,1−−=−==n n a x a x βββL ．由泰勒(Taylor)公式，多项式)(x f 可表示为()1)1()(!1)())((')()(−−−−++−+=n n a x n a fa x a f a f x f L ，因此，)(x f 在基n βββ,,,21L 下的坐标为()Tn n a f a f a f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−!1)(,),('),()1(L ． 例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间)(22R ×M 中，考虑向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ． 首先这是一组线性无关组．事实上，若有实数4321,,,k k k k ，使=+++224213122111E k E k E k E k O k k k k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4321， 则有04321====k k k k ，这就说明了22211211,,,E E E E 线性无关．其次，对于任意二阶实矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a aa a A , 可表示为2222212112121111E a E a E a E a A +++=，因此22211211,,,E E E E 是22×M 的一组基，22×M 是4维实线性空间，并且A 在这组基下的 坐标为()Ta a a a 22211211,,,．第六章 线性空间与线性变换二、同构关系1．映射设M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ，使M 中的每个元素a 都有N 中的一个唯一确定的元素'a 与之对应，则称ϕ是集合M 到集合N 的一个映射．'a ∈N 称为a 在映射ϕ下的像，而a 称为'a 在映射ϕ下的原像．记作')(a a =ϕ．M 中元素在ϕ下像的全体构成N 的一个子集，记之为ϕIm 或)(M ϕ。
高等代数课件 第六章
加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积 仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是
的 M n (F) 一个子空间。
W {A M n (F) | | A | 0}不是 M n (F) 的子空间， 因为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I (I ) O W
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
§6.1 向量空间的定义和例子
一、 引例——定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
6.2.1 子空间的概念 6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
一、 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空 子集.对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是 V中一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内.如果W
中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W 对于V
的加法是封闭的.
同样，如果对于W中任意向量α和数域F中任意
数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的
乘法是封闭的.
定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个 非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法 是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.
高等代数-线性空间
α1, α2,, αn 和 β1, β2,, βn 是 V的两组基 ( β1, β2,, βn ) ( α1, α2,, αn ) A
x1
y1
ξ
(α
1
α
2
α
n
)
x2
(
β
1
β
2
β
n
)
y2
xn
yn
α1, α2,, αn 和 β1, β2,, βn 是 V的两组基 ( β1, β2,, βn ) ( α1, α2,, αn ) A
( x 3 + x + 1 ) m x 2 + x + 1 mod f ( x )
例: 用不可约多项式构造有限域
F16 = F2[ x ] / ( x 4 + x + 1 ) 的乘法 :
0
0000 x 5 x 2 + x
0110
x
0010 x 6 x 3 + x 2 1100
x2
0100 x7 x 3+ x + 1 1011
个数少
个数多
β1, β 2,, β t 线性相关
要表出线性无关的向量组，
向量个数一个也不能少！
线性表出
α1, α2, , αs
β1, β2 , , β t
s≥t
线性无关
例: 证明在实线性空间 C∞( R ) 中, 向量集 ex , e2x, … , enx, …
线性无关. 证: 只需证明对任意正整数 n , 向量组
1) 线性无关 2) 能线性表出 V 3) 向量个数 = dim V
坐标变换
当基底改变时, 向量的坐标怎样变化 ? 先看一下基底的变换 …
高代---线性空间
,r }.
定义 4 向量1,2 , ,r ( r 1)线性相关 存在不全为零的
高 等
数 ki P ( i 1, 2, , n )，使 k11 k11 线性无关.
k11 0 成立；否则称1,2 , ,r
代
数 1,2 , ,r 线性无关 设
k11 k22 krr 0 k1 k2 kr 0 .
性 空
f(x)=a0+…+anxn , 且k0+…+knxn=0时有k0==kn=0成立，故
1,x,…,xn,…是R[x]的一个极大无关组 → dimR[x]=∞.
间 本教材仅讨论无限维线性空间.
高 等 代 数
6
线 性 空 间
定义6 dimV= n，如果ε1，ε2，…,εn 线性无关，则称ε1 , ε2 , …,εn 为 V 的一组基（或一个基）；
（统称为运算封闭性），且满足算律：
6
① ＋ ＋ ；
⑤ (ab)α a(bα) ；
② (＋ )＋ ＋(＋ ) ；
⑥ 1 ；
线
性
③ 0V, V,0 ； ⑦ a( ) a a ；
空
④ V , / V , / 0 ； ⑧ (a b) a b .
间
线性空间概念集中体现了现代数学的两大特征： 集合论的思想
8)
等代证明： 0 0 0 0 (0 0) (0 0) 0 (0 0) 0 0 0
数
0 (0) 0 . 类似可证 k0 0 .
要证 (1) ,即证 (1) 是 的负向量. 事实上
8)
(1) 1 (1) (11)) 0 0 → (1) 成立. □
6 常用表达式为：k( ) (k) k .(即证 k(), (k) 是 k 的负
高教线性代数第六章 线性空间课后习题答案
第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,M N M M N N ==I U 。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。
又因,M N M ⊂I 故M N M =I 。
再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。
但,N M N Y ⊂所以M N N =U 。
2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。
证 ),(L N M x Y I ∈∀则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
反之，若)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊂于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
若x M N L M N L ∈∈∈UI I （），则x ，x 。
在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈⊂U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。
线性代数 第六章
*第六章 线性空间与线性变换在第三章中，我们把n 元有序数组叫做n 维向量，讨论了向量的许多性质，并介绍过向量空间的概念.在这里，我们把这些概念推广，使向量及向量的概念更具一般性、更加抽象化.§１ 线性空间的定义与性质定义1 设V 是一个非空集合，R 为实数域，如果对于任意两个元素,αβ∈V ，总有惟一的一个元素γ∈V 与之对应，称为αβ与的和，记作γαβ=+；对于任一数k ∈R 与任一元素α∈V ，总有惟一的一个元素δ∈V 与之对应，称为k 与α的积，记为δ＝k α；并且这两种运算满足以下八条运算规律(对任意,,αβγ∈V ;k ,λ∈R )：(1) αββα+=+;(2) ()()αβγαβγ++=++；(3) 在V 中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何α∈V ，都有α+0＝α；(4) 对任何α∈V ，都有V 中的元素β，使αβ+=0(β称为α的负元素)；(5) 1α＝α；(6) k (λα)＝（k λ）α；(7) (k +λ)α＝k α＋λα；(8) k (αβ+)＝k α+k β.那么，V 就称为R 上的向量空间(或线性空间)，V 中的元素称为(实)向量(上面的实数域R 也可为一般数域).简言之，凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间(或线性空间).注意：向量不一定是有序数组；向量空间V 对加法与数量乘法(数乘)封闭；向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算. 例1 实数域R 上次数不超过n 的多项式的全体，我们记作P ［x ］n ，即P ［x ］n ＝｛a n x n +…+a 1x ０＋a 0｜a n ,a n -1,…，a １，a ０∈R ｝.对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R 上的向量空间.例2 实数域R 上n 次多项式的全体，记作W ，即W ＝｛a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a ０｜a n ,a n -1，…，a １，a ０∈R ，且a n ≠0｝.W 对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R 上的向量空间.因为0(a n x n +a n -1x n -1+…+a １x ０＋a ０)＝0∉W ，即W 对数乘不封闭.例3 全体实函数，按函数的加法、数与函数的乘法，构成R 上的线性空间.例4 n 个有序实数组成的数组的全体S n =｛x =(x 1，x 2，…，x n )｜x 1，x 2，…，x n ∈R ｝对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘k .(x 1，x 2，...，x n )＝(0,0, 0不构成R 上的向量空间，因为1x =0，不满足运算规律(5).例5 正实数的全体，记作R ＋，定义加法、数乘运算为a ⊕b =ab (a,b ∈R ＋)，k ·a =a k （k ∈R ,a ∈R +）.验证R +对上述加法与数乘运算构成R 上的线性空间.证 实际上要验证十条.对加法封闭：对任意a,b ∈R ＋，有a ⊕b ＝ab ∈R ＋；对数乘封闭：对任意k ∈R ,a ∈R ＋，有k ·a ＝a k ∈R ＋；(1) a ⊕b =ab =ba =b ⊕a ;(2) (a ⊕b )⊕c ＝(ab ) ⊕c ＝(ab )c ＝a (bc )＝a ⊕ (b ⊕c )；(3) R ＋中的元素1满足：a ⊕1＝a ·1＝a (1叫做R ＋的零元素)；(4) 对任何a ∈R ＋，有a ⊕a －１＝a －１＝１（a －1叫做a 的负元素）；(5) 1·a ＝a 1＝a ;(6) k ·(λ·a )＝k ·(a λ)k ＝k a λ＝（k λ）·a ；(7) (k +λ)·a=()k a λ+＝k a a λ= k a a λ⊕=k ·a ⊕λ·a ； (8) k ·(a ⊕b )=k ·(ab )=(ab )k =a k b k =a k ⊕b k =k ·a ⊕k ·b .因此，R ＋对于上面定义的运算构成R 上的线性空间.下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简单性质.性质1 零元素是惟一的.假设01，02是线性空间V 中的两个零元素，即对任何α∈V ，有α+01=α,α+02＝α，于是特别有02+01=02,01+02=01,故01=01+02=02+01=02.性质2 任一元素的负元素是惟一的(α的负元素记作-α).假设α有两个负元素β与γ，即αβ+＝0，αγ+＝0.于是()().βββαγβαγγγ=+=++=++=+=00性质3 0α＝0；（－1）α＝－α；k 0＝0.因为 α＋0α＝1α＋0α＝（1+0）α＝1α＝α，所以 0α＝0+0α＝（－α＋α）＋0α＝－α+(α＋0)＝－α＋α＝0又因为 α＋（－1）α＝1α+（－1）α=［1+(－1)］α＝0α＝0，所以 (－1) α=0＋（－1）α＝（－α＋α）＋（－1）α＝－α＋［α＋（－1）α］＝－α＋0＝－α;而 k 0=k ［α＋（－1）α］＝k α＋（－k ）α＝［k +(-k )］α＝0α＝0.性质4 如果k α＝0，那么k ＝0或者α＝0.假设k ≠0，那么α＝1α＝(1k ·k) α=1k(kα)＝1k0＝0.在第三章子空间的概念可推广到一般线性空间中.定义2R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间(简称子空间).一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?因为W是V的一部分，V中运算对W而言，规律(1)，(2)，(5)，(6)，(7)，(8)显然被满足，因此只要W对运算封闭且满足规律(3)(4)即可，但由线性空间的性质3知，若W对运算封闭，则能满足规律(3)(4)，因此有定理1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭.例6在全体实函数组成的线性空间中，所有实系数多项式组成V的一个子空间.§2 维数、基与坐标在第三章，我们讨论了n维数组向量之间的关系，介绍了一些重要概念，如线性组合、线性相关与线性无关等，这些概念及有关性质只涉及线性运算，因此，对于一般的线性空间中的元素(向量)仍然适用，以后我们将直接引用这些概念和性质.基与维数的概念同样适用于一般的线性空间.定义3在线性空间V中，如果存在n个元素α1,α2,…,αn，满足：(1) α1,α2,…,αn线性无关.(2) V中任一元素α都可由α1,α2,…,αn线性表示，那么，α1,α2,…,αn就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数.维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作V n.如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的.若知α1,α2,…,αn为V的一个基，则对任何α∈Vn，都有一组有序数x1, x2,…, x n使α=x1α1+ x2α2+…+ x nαn，并且这组数是惟一的(否则α1,α2,…,αn线性相关).反之，任给一组有序数x1, x2,…, x n，可惟一确定V n中元素α=x1α1+ x2α2+…+ x nαn.这样，V n的元素与有序数组(x1, x2,…, x n)之间存在着一种一一对应，因此可用这组有序数来表示α，于是我们有定义4设α1,α2,…,αn是线性空间V n的一个基，对于任一元素α∈V n，有且仅有一组有序数x1, x2,…, x n使α=x1α1+ x2α2+…+ x nαn，x1, x2,…, x n这组有序数就称为α在基α1,α2,…,αn下的坐标，记作(x1, x2,…, x n).例7在线性空间P［x］3中，α1＝1，α2＝x，α3＝x2，α4＝x3就是P［x］3的一个基，P［x］3的维数是4，P［x］3中的任一多项式f(x)＝a3x3+a2x2＋a1x＋a0可写成f(x)=a3α4＋a2α3＋a1α2＋a0α1，因此f(x)在基α1，α2，α3，α4下的坐标为(a0，a1，a2，a3).易见β1＝1，β2＝1＋x; β3＝2x2，β4＝x3也是P［x］3的一个基，而f (x )=(a 0－a 1)β1＋a 1β2＋22a β2＋a 3β4， 因此f (x )在基β1，β2，β3，β4下的坐标为(a 0－a 1，a 1，22a ，a 3). 取定V n 的一个基α1,α2,…,αn ，设,αβ∈V n ，α＝x 1α1＋x 2α2＋…＋x n αn ，β＝y 1α1＋y 2α2＋…＋y n αn ,于是αβ+=（x 1＋y 1）α1＋(x 2＋y 2)α2＋…＋(x n +y n )αn ，k α＝(kx 1) α1＋(kx 2)α2＋…＋(kx n ) αn .即αβ+的坐标是(x 1＋y 1，x 2＋y 2，…，x n +y n )＝（x 1，x 2，…，x n ）+(y 1，y 2，…，y n )，k α的坐标是(kx 1，kx 2，…，kx n )＝k (x 1，x 2，…，x n ).总之，在线性空间V n 中取定一个基α1,α2,…,αn ，则V n 中的向量α与n 维数组向量空间R n 中的向量(x 1, x 2,…, x n )之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设 α↔ (x 1, x 2,…, x n ), β↔ (y 1，y 2，…，y n ).则(1) αβ+↔ (x 1，x 2，…，x n )+( y 1，y 2，…，y n )；(2) k α↔ k (x 1，x 2，…，x n ).由上面所述，我们可以说V n 与R n 有相同的结构，称Ｖn 与R n 同构.一般地，设V 与U 是R 上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V 与U 同构.易见，同构关系具有传递性，我们有定理2 R 上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等.同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，V n 中的线性运算就可转化为R n 中的线性运算，并且R n 中凡只涉及线性运算的性质都适用于V n ，但R n 中超出线性运算的性质，在V n 中就不一定具备，如内积.§3 基变换与坐标变换事实上，n 维线性空间中，任意n 个线性无关的向量都可以取做空间的基，由例7可见，同一元素在不同的基下有不同的坐标，那么，不同基与不同的坐标之间有怎样的关系呢?设α1,α2,…,αn 及β1, β2,…, βn 是线性空间V n 的两个基，且11112121212122221122,,.n n n n n n n nn n c c c c c c c c c βαααβαααβααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (6.1) (6.1) 式可表为111212122211111211(,,,)(,,,)(,,,).n n n n n n nn n c c c c c c c c c βββαααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=C (6.2) (6.1)和(6.2)称为基变换公式，矩阵C 称为由基α1,α2,…,αn 到基β1, β2,…, βn 的过渡矩阵，C 一定是可逆矩阵.定理3 设V n 中的元素α在基α1,α2,…,αn 下的坐标为(x 1，x 2，…，x n )，在基β1, β2,…,βn 下的坐标为12(,,,)n x x x ''' ，若两个基满足(6.2)，则有坐标变换公式 111122221,.n nn n x x x x x x x x x x x x -''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦C C 或 (6.3) 证 因 112212121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n nx x x x x x x x x '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎡⎤⎢⎥'⎢⎥=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦C ααααβββααα 而α1,α2,…,αn 线性无关，故即有关系式(6.3).例8 在例7中，我们有1234123411000100(,,,)(,,,),00200001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββββαααα111100110001000100,10020000200010001C ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故 121122233344411000100.11000220001x x x x x x x x x x x x x --⎡⎤⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这与例7所得的结果是一致的. §4 线性变换定义5 设A 、B 是两非空集合，如果对于A 中的任一元素α，按照一定的法则，总有B 中的一个确定的元素β与之对应，那么这个法则称为从集合A 到集合B 的映射.如果A ＝Ｂ，A 到A 的映射称为A 的变换.映射常用ϕ表示，A 的变换常用T 表示.A 到B 的映射ϕ使B 中的β与Ａ中的α对应，就记β＝ϕ (α)或β＝ϕα，此时，β称为α在映射ϕ下的像，α称为β在ϕ下的原像，ϕ的像的全体构成的集合称为ϕ的像集，记作ϕ (A )，即ϕ (A)＝｛ϕ (α)｜α∈A ｝.映射的概念是函数概念的推广.例9 设A ＝R ,B ＝R ＋, ϕ (x )＝x 2＋３是R 到R ＋的一个映射，它把x 映射到x 2＋3，7是-2在ϕ下的像.定义6 设U ，V 是R 上的两个线性空间，ϕ是V 到U 上的一个映射，如果ϕ满足(1) ∀α，β∈V , ϕ (α+β)＝ϕ (α)+ ϕ (β)；(2) ∀k ∈R ，α∈V ，ϕ (k α)=k ϕ (α)，那么，ϕ就称为V 到U 的线性映射.当V ＝U 时，V 到U 的线性映射称为V 的线性变换.例10 在线性空间P ［x ］３中，微分运算D 是一个线性变换.因D ［f (x )＋g (x )］＝［f (x )+g (x )］′＝f ′(x )+g ′(x )＝Df (x )+Dg (x )，故 D ［kf (x )］=［kf (x )］′＝kf ′(x )＝kDf (x ).例11 由关系式cos sin sin cos x x T y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααα 确定xOy 平面上的一个线性变换，T 把任一向量按逆时针方向旋转α角.例12 在线性空间R 3中，变换Ｔ(α)=α+(1,0,0), α∈R 3.验证T 不是R 3的线性变换.因T (0α)＝Ｔ(0)=(0,0,0)+(1,0,0)≠0=0·T (α).线性变换具有下述性质：(1) T (0)＝0,T (-α)＝－T (α)；(2) 若β＝k 1α1＋k 2α2＋…＋k m αm ,则T β＝k 1Ｔ α1＋k 2T α2＋…＋k m T αm ;(3) 若α1,α2,…,αm 线性相关，则T α1,T α2,…,T αm 也线性相关. 只证T (0)＝0，其余请读者自证.因 T (0)＝T (0·0)＝0·T (0)＝0.(4) 线性变换T 的像集是V 的子空间，称为T 的像空间.证 设β1，β2∈T (V )，那么，存在α1，α2∈V 使β1＝T α1，β2＝Ｔ α2，从而121212()()T T T T V ββαααα+=+=+∈ (因α1，α2∈V )；111()()k kT T k T V βαα==∈ (因k α1∈V ）.因此，T (V )是V 的子空间.(5) 使T α＝0的α的全体｛α｜α∈V ,T α＝0｝也是V 的子空间，称为线性变换T 的核，记为T -1(0).证 设α1，α2∈T -1(0),那么T α1＝T α2＝0，从而1212()T T T αααα+=+=+=000，即112()T αα-+∈0，11()()T k kT k αα==⋅=00,即11()k T α-∈0.因此，1()T -0是V 的子空间.例13 设有n 阶方阵11121212221112(,,,),n n m n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ααα 其中 12,1,2,,.i i i ni a a i n a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义R n 中的变换T 为： T (x )=Ax (x ∈R n ）,则T 为R n 中的线性变换.证 设,αβ∈R n ，k ∈R ，有T (αβ+)＝A (αβ+)＝A α＋A β＝T (α)＋T (β)；T (k α)＝A (k α)＝k A α=kT (α),故T 为R n 中的线性变换.设12n n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦x R 因12121122(,,,),,,n n n n x x T x x x x αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥===+⎢⎥⎢⎥⎣⎦x Ax ， 可见T 的像空间是由12,,,n ααα 生成的向量空间.T 的核T -1(0)是齐次线性方程组Ax ＝0的解空间.§5 线性变换的矩阵从上节例13看到，关系式T (x )＝Ax (x ∈R n )简单明了地表示出R n 中的一个线性变换，我们当然希望R n (V n )中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示.首先，我们证明下述两个结论.(1) 设12,,,n εεε 是线性空间V n 的一个基，如果V n 的线性变换T 与T ′在这组基上的作用相同，即,1,2,,,i i T T i n εε'== ，那么，T ＝T ′.证T 与T ′相等的意义是它们对V n 的每个向量的作用相同，即T α＝T ′α， ∀α∈V n .设1122n n αεεε=+++x x x ,由i T T εε'=，有11221122.n nn n T x T x T x T x T x T x T T αεεεεεεα=+++'''=+++'=(2) 设12,,,n εεε 是线性空间V n 的一个基，对于V n 任意一组向量12,,,n ααα ，一定有一个线性变换T 使,1,2,,.i i T i n εα==证 设1122n n n x x x V αεεε=+++∈ ,作变换T ，使1122n n T x x x αααα=+++ ，容易验证T 是V n 的线性变换，且1010i i n i T =++⋅++= εαααα.综合以上两点，得定理4 设12,,,n εεε 是线性空间V n 的一个基，12,,,n ααα 是V n 中任意n 个向量，则存在惟一的线性变换T 使,1,2,,.i i T i n εα==以后，记T (12,,,n εεε )＝(12,,,n T T T εεε ).定义7 设12,,,n εεε 是线性空间V n 的一个基，T 是V n 的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：11112121212122221122,,.n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a εεεεεεεεεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (6.4) 用矩阵来表示就是：121212(,,,)(,,,)(,,,),n n n T T T T εεεεεεεεε==A (6.5)其中111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A . 矩阵A 称为T 在基12,,,n εεε 下的矩阵. 因12,,,n εεε 线性无关，(6.4)式中的ij a 是由T 惟一确定的. 可见A 由T 惟一确定.给定一个方阵A ，定义变换T :11221212(,,,)(,,,),n n n n x x x x T T x x αεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A (6.6) 这里1122n n x x x αεεε=+++ .易见T 是由n 阶矩阵A 确定的线性变换，且T 在基12,,,n εεε 下的矩阵是A .这样，在V n 中取定一个基后，V n 的线性变换与n 阶矩阵之间，有一一对应的关系(根据定理4).由关系式(6.6)，α与T α在基下的坐标分别为1122,.n n x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 例14 在P ［x ］3中，取基2312231,,,x x x εεεε====，求微分运算D(线性变换)在这个基下的矩阵.解D 1ε=0=01ε+02ε+03ε+04ε，D 2ε=1=11ε+02ε+03ε+04ε，D 3ε=2x =01ε+22ε+03ε+04ε，D 4ε=3x 2=01ε+02ε+33ε+04ε，所以D 在这个基下的矩阵为：01000020.00030000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦D 例15 在R 3中，取基e 1＝(1，0，0)，e 2＝(0，1，0)，e 3＝(0，0，1)，Ｔ表示将向量投影到yOz 平面的线性变换，即T (x e 1＋y e 2＋z e 3)＝y e 2＋z e 3.(1) 求T 在基e 1, e 2，e 3下的矩阵；(2) 取基为1ε＝2e 1，2ε＝e 1－2 e 2，3ε＝e 3,求T 在该基下的矩阵. 解 (1) T e 1＝Ｔ(e 1＋0 e 2＋0 e 3)＝0，T e 2＝Ｔ(0 e 1＋e 2＋0 e 3)＝e 2， T e 3＝Ｔ(0 e 1＋0 e 2＋e 3)＝e 3， 即123123000(,,)(,,).010001T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦e e e e e e所以Ｔ在基123,,e e e 下的矩阵为：000.010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 由111212122112123333(2)20,1(2)222,2.T T T T T T T T T εεεεεε====-=-=-=-+-=-+===e e e e e e e e e e e e即1231231002(,,)(,,).010001T εεεεεε⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由上例可见，同一个线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的，一般地，我们有定理5 设线性空间V n 的线性变换T 在两组基12,,,n εεε (6.7) 12,,,n ηηη (6.8)下的矩阵分别为A 和B ，从基(6.7)到基(6.8)的过渡矩阵为P ，则B ＝Ｐ-1AP (此时，称A 与B 相似).证 由假设，有(12,,,n ηηη )＝(12,,,n εεε )P ，P 可逆；及T (12,,,n εεε )＝(12,,,n εεε )A ， T (12,,,n ηηη )＝(12,,,n ηηη )B .于是(12,,,n ηηη )B ＝T (12,,,n ηηη )＝Ｔ［(12,,,n εεε )Ｐ］ ＝［T （(12,,,n εεε )）P ＝(12,,,n εεε )AP＝(12,,,n ηηη )P -1ＡP . 因12,,,n ηηη 线性无关，所以B ＝Ｐ－１AP .例16 在例15中123123210(,,)(,,),020001εεε⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦e e e基123,,e e e 到基123,,εεε的过渡矩阵200020001⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,T 在基123,,e e e 下矩阵为000010001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A .由定理5，T 在基123,,e e e 下的矩阵为11210000210020010020001001001110000210241010020002001001001110021000421020010002001001001--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎢==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎢⎥⎣⎣⎦P AP .⎥⎥⎥⎥⎦.这与例15的结论是一致的.定义8 线性变换T 的像空间T (V n )的维数，称为T 的秩；T 的核T －１(0)的维数，称为T 的零度.显然，若A 是T 在一个基下的矩阵，则T 的秩就是R (A ).若T 的秩为r ，则T 的零度为n －r .定义9 线性变换T 在一个基下的矩阵A 的特征值，称为T 的特征值.因相似矩阵的特征值相同，故线性变换T 的特征值与基的选择无关.类似于矩阵，可讨论线性变换的特征值与特征向量.习 题 六1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； (2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k ·αα=；(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法. 2. 设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则U ＝Ｖ.3. 设12,,,r ααα 是n 维线性空间V n 的线性无关向量组，证明V n 中存在向量1,,r nαα+ 使121,,,,,,r r n ααααα+ 成为V n 的一个基(对n -r 用数学归纳法).4. 在R ４中求向量α＝(0,0,0,1)在基1ε＝(1,1,0,1),2ε＝(2,1,3,1),3ε＝(1,1,0,0), 4ε＝(0,1,－1,－1)下的坐标.5. 在R ３中，取两个基1α＝(1，2，1)，2α＝(2，3，3)，3α＝(3，7，1)； 1β＝(3，1，4)，2β＝(5，2，1)，3β＝(1，1，－6)，试求123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵与坐标变换公式. 6. 在R ４中取两个基11223344(1,0,0,0),(2,1,1,1),(0,1,0,0),(0,3,1,0),(0,0,1,0),(5,3,2,1),(0,0,0,1).(6,6,1,3).εαεαεαεα==-⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩. (1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；(2) 求向量(x 1，x 2，x 3，x 4）在后一个基下的坐标； (3) 求在两个基下有相同坐标的向量.7. 证明3阶对称矩阵的全体S 构成线性空间，且S 的维数为6.8. 说明xOy 平面上变换x x T y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 的几何意义，其中(1)1001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 0001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (3) 0110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (4) 0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A .9. 设V 是n 阶对称矩阵的全体构成的线性空间［维数为(1)2n n +］，给定n 阶方阵P ，变换T (A )＝Ｐ′A Ｐ， ∀A ∈Ｖ称为合同变换，试证合同变换T 是V 中的线性变换. 10. 函数集合V 3＝｛α＝(a 2x 2+a 1x +a 0)e x ｜a 2，a 1,a 0∈R ｝对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基α1＝x 2e x , α2＝2x e x , α3＝3e x ，求微分运算D 在这个基下的矩阵.11. 2阶对称矩阵的全体12312323,,a a V a a a a a ⎧⎫⎡⎤⎪⎪==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭A R 对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn 中取一个基123100100,,.001001⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A (1) 在V 3中定义合同变换31110(),0111T V ⎡⎤⎡⎤=∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A A求在基A 1，A 2，A 3下的矩阵及T 的秩与零度. (2) 在V 3中定义线性变换31111(),,1111T V ⎡⎤⎡⎤=∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A A 求T 在基A 1，A 2，A 3下的矩阵及T 的像空间与T 的核.。
高等代数【北大版】68
k1 (1 ) k2 (2 ) L kr (r ), i V , ki P, i 1, 2,L , r .
§6.8 线性空间的同构
3）V中向量组 1,2 ,L ,r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1), (2 ),L , (r )
(k ) (ka1, ka2L , kan )
Hale Waihona Puke k Pk(a1,a2L ,an ) k ( ),
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
归结为它们的坐标的运算.
§6.8 线性空间的同构
一、同构映射的定义
设 V ,V 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：
i) 为双射 ii) ( ) ( ) ( ), , V
k k k , k P
由于W为子空间，所以 W , k W .
从而有 W , k W .
§6.8 线性空间的同构
所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即
W W
故 dimW dim (W ).
注 由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合
这里(a1,a2 ,L ,an )为 在 1, 2 ,L , n 基下的坐标，
就是一个V到Pn的同构映射，所以 V Pn .
§6.8 线性空间的同构
二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
2、设 V ,V 是数域P上的线性空间， 是V到V 的
同构映射，则有
1） 0 0, .
§6.8 线性空间的同构
而 是一一对应，只有 (0) 0. 所以可得 k11 k22 L krr 0. 因此，1,2 ,L ,r 线性相关（线性无关） (1), (2 ),L , (r ) 线性相关（线性无关）.
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6
bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间，则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0
③
bt 1
x1
bt
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/9/20
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
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条件2)可以同样证明 可以同样证明. 对条件 可以同样证明 即 σσ-1(kα’)=kα’=kσσ-1(α’)=σ(kσ-1(α’)) 两边用σ 作用，即得条件 条件2) 两边用 -1作用，即得条件 σ1(kα’)=kσ-1(α’) . 再设σ和 分别是线性空间V到 和 到 的 分别是线性空间 再设 和τ分别是线性空间 到V’和V’到V’’的同构 映射, 我们来证明乘积τσ是 到 的一个同构映射. 的一个同构映射 映射 我们来证明乘积 是V到V’’的一个同构映射 显然， 是 对应的 显然，τσ是1—1对应的映射 由 对应 映射. τσ(α+β) = τ(σ(α)+σ(β))=τσ(α)+τσ(β)， ， τσ(kα)=τ(kσ(α))=kτσ(α) . 看出， 还适合定义11的条件1)与 ，因而是同构 还适合定义 看出， τσ还适合定义 的条件 与2)，因而是同构 映射. 映射
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3. V 中向量组 α1,α2,…,αr 线性相 无)关<＝>它们 线性相(无 关 ＝ 它们 的象σ(α 线性相(无 的象 1),σ(α2),…,σ(αr)线性相 无) 关. 线性相 因为由 k1α1+k2α2+…+krαr=0. 可得 k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr)=0. 反过来， 反过来，由 k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr)=0. 有 σ(k1α1+k2α2+…+krαr)=0. 对应的 只有σ(0)=0 ，所以 因为σ是 因为 是1—1对应的，只有 对应 k1α1+k2α2+…+krαr=0.
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α = a1ε 1 + a 2ε 2 + L + a nε n
β = b1ε 1 + b2ε 2 + L + bnε n
坐标分别是 分别是(a 即向量α, β 的坐标分别是 1,a2,…,an),(b1,b2,…,bn)， 向量 ， 那么有
α + β = (a1 + b1 )ε 1 + (a 2 + b2 )ε 2 + L + (a n + bn )ε n
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因为任一线性空间 到自身的恒等映射 因为任一线性空间V到自身的恒等映射显然是 线性空间 到自身的恒等映射显然是 同构映射，所以性质5表明 表明， 同构映射，所以性质 表明，同构作为线性空间之 间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性. 间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性 既然数域P上任意一个 维线性空间都与P 同构， 上任意一个n维线性空间都与 既然数域 上任意一个 维线性空间都与 n同构， 由同构的对称性与传递性即得 数域P上任意两个 维线性空间都同构. 上任意两个n维线性空间都同构 结论 数域P上任意两个n维线性空间都同构. 综上所述， 综上所述，我们得到 定理12 数域P上两个有限维线性空间同构的<＝> 定理 数域 上两个有限维线性空间同构的 ＝ 上两个有限维线性空间同构 是它们有相同的维数 是它们有相同的维数. 相同的维数
第八节 线性空间的同构
线性空间V的一组基， 设ε1,ε2,…,εn是线性空间 的一组基，在这组基 中每个向量都有确定的坐标 下，V中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标 中每个向量都有确定的坐标， 可以看成 Pn 元素，因此，向量与它的坐标之间的 元素，因此，向量与它的坐标之间的 对应实质上就是 到 的一个映射. 对应实质上就是V到Pn的一个映射 显然这个映射 实质上就是 单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间 线性空间V 是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间 的一个1—1对应 这个对应的重要性表现在 对应. 重要性表现在 与Pn的一个 对应 这个对应的重要性 它与运算的关系上. 设 它与运算的关系上
kα = ka1ε 1 + ka 2ε 2 + L + ka nε n
于是向量α+β, kα的坐标分别是 于是向量 的坐标分别是 (a1+b1,a2+b2,…,an+bn)=(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)， ， (ka1,ka2,…,kan)=k(a1,a2,…,an) .
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因为维数就是线性空间中线性无关向量的最 因为维数就是线性空间中线性无关向量的 维数就是线性空间 大个数，所以由同构映射的性质 同构映射的性质可以推知 大个数，所以由同构映射的性质可以推知 同构的线性空间有相同的维数. 结论 同构的线性空间有相同的维数 4. 如果V1是V的一个线性子空间，那么，V1在映射 如果 的一个线性子空间，那么， 的一个线性子空间 σ下的象集合 下的象集合 下的
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由线性空间的抽象讨论中， 由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空 间的元素是什么， 间的元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义 的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性 而只涉及线性空间在所定义的运算下 所定义的运算 从这个观点看来， 质. 从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加 区别的. 因之，定理12说明了 说明了， 区别的 因之，定理 说明了，维数是有限维线性 本质特征. 空间的唯一的本质特征 空间的唯一的本质特征 特别地，每一个数域P 维线性空间V都与 特别地，每一个数域 上n维线性空间 都与 维线性空间 都与n 元数组所成的空间P 同构， 元数组所成的空间 n同构，而同构的空间有相同的 以前所得到的关于 性质. 由此可知，我们以前所得到的关于n元数组的 性质 由此可知，我们以前所得到的关于 元数组的 一些结论，在一般的线性空间中也是成立的， 一些结论，在一般的线性空间中也是成立的，而不 必一一重新证明. 必一一重新证明
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前面的讨论说明， 前面的讨论说明，在n维线性空间 中取定一 维线性空间V中 就是V到 组基后，向量与它的坐标之间的对应就是 组基后，向量与它的坐标之间的对应就是 到Pn的 一个同构映射 一个同构映射. 因而有 同构映射 数域P 维线性空间都与P 结论 数域 上任一个 n维线性空间都与 n同构 维线性空间都与 同构. 由定义可以看出，同构映射具有下列性质： 由定义可以看出，同构映射具有下列性质： 具有下列性质 1. σ(0)=0, σ(-α)=-σ(α) . 0 - 定义11的 中分别取 中分别取k 即得. 在定义 的2)中分别取 =0, -1即得 即得 2. σ(k1α1+k2α1+…+krαr)=k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr). 定义11的 与 结合的结果 结合的结果. 这是定义 这是定义 的1)与2)结合的结果
σ (V1 ) = {σ (α ) | α ∈ V1 }
维数相同 是σ(V)的子空间，并且 1与σ(V1)维数相同 的子空间，并且V 维数相同.
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5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是 以及两个同构映射的乘积 同构映射. 同构映射 设σ是线性空间 到V’的同构映射 显然逆映射 是线性空间V到 的同构映射, 显然逆映射 σ-1是V’到V的一个 的一个1—1对应的映射 我们来证 -1还 对应的 到 的一个 对应 映射. 我们来证σ 适合定义 的条件1)与2). 适合定义11的条件 与 定义 令α’, β’是V’中任意两个向量，于是 是 中任意两个向量， σσ-1(α’+β’)=α’+β’=σσ-1(α’)+σσ-1(β’) =σ(σ-1(α’)+σ-1(β’)) . 两边用σ 作用，即得条件 条件1) 两边用 -1作用，即得条件 σ-1(α’+β’)=σ-1(α’)+σ-1(β’) .
以上的式子说明在向量用坐标表示之后， 以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们 说明 的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空 运算就可以归结为它们坐标的运算 因而线性空 它们坐标的运算 也就可以归结为 间V的讨论也就可以归结为 n的讨论 为了明确地 的讨论也就可以归结为P 讨论. 说明这一点，先引入下列定义. 说明这一点，先引入下列定义 定义11 数域 上两个线性空间 与V’称为同构的， 数域P上两个线性空间V与 称为同构的 上两个线性空间 称为同构 定义 如果由V到 有一个双射σ 具有以下性质 有一个双射 性质： 如果由 到V’有一个双射 ，具有以下性质： 1) σ(α+β)=σ(α)+σ(β) ; 2) σ(kα)=kσ(α). 其中α, 是 中任意向量 中任意向量， 是 中任意数 中任意数. 其中 β是V中任意向量，k是P中任意数 这样的映 称为同构映射 射σ称为同构映射 称为同构映射.