2018年高中数学北师大版必修五：第1章 §2-2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式包含解析

[A 基础达标]
1．下列命题：
①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；
②数列a ，a －1，a －2，a －3是公差为－1的等差数列；
③等差数列的通项公式一定能写成a n ＝kn ＋b 的形式(k ，b 为常数)；
④数列{2n ＋1}是等差数列．
其中正确命题的序号是( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③④
D ．③④
解析：选C.②③④正确，①中公差为－2.
2．已知{a n }是等差数列，a 1与a 2的等差中项为1，a 2与a 3的等差中项为2，则公差d ＝( )
A ．2
B ．32
C ．1
D ．12
解析：选C.因为{a n }是等差数列，a 1与a 2的等差中项为1，a 2与a 3的等差中项为2，所以a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，两式相减得a 3－a 1＝2d ＝4－2，解得d ＝1.
3．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{da n }是( )
A ．公差为d 的等差数列
B ．公差为2d 的等差数列
C ．公差为d 2的等差数列
D ．公差为4d 的等差数列
解析：选C.由于da n －da n －1＝d (a n －a n －1)＝d 2(n ≥2，n ∈N ＋)，故选C.
4．若一个等差数列的首项a 1＝1，末项a n ＝41(n ≥3)，且公差为整数，则项数n 的取值个数是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：选B.由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，解得d ＝40n －1
.又d 为整数，n ≥3，则n ＝3，5，6，9，11，21，41，共7个．故选B.
5．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125
，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞825
B ．d ＜825 C.875＜d ＜325 D ．875＜d ≤325
解析：选D.设{a n }的通项公式为a n ＝125
＋(n －1)d ，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 10＞1，a 9≤1，即⎩
⎨⎧125＋9d ＞1，125＋8d ≤1，解得875＜d ≤325. 6．已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝15，2a 6＝a 3＋7，且a k ＝13，则k ＝____________． 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .
所以a 4＋a 7＋a 10＝15，即a 1＋6d ＝5，①
2a 6＝a 3＋7，即a 1＋8d ＝7，②
联立解①②组成的方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1， 所以a n ＝n －2，又因为a k ＝13，
令k －2＝13.所以k ＝15.
答案：15
7．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________． 解析：由题意1a 3＋1，1a 5＋1，1a 7＋1
成等差数列， 所以2×1a 5＋1＝12＋1＋11＋1
，解得a 5＝75. 答案：75
8．已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)的图像与x 轴的交点有________个．
解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，
又Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0，
所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．
答案：1或2
9．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．
解：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4
， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1（a 1＋d ）＝a 1＋3d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，
所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .
故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .
10．已知函数f (x )＝3x x ＋3
，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)确定． (1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1x n 是等差数列；
(2)当x 1＝12
时，求x 2 017. 解：(1)证明：因为x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3
(n ≥2且n ∈N ＋)，所以1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， 所以1x n －1x n －1＝13
(n ≥2且n ∈N ＋)， 所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1x n 是等差数列． (2)由第一问知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53
. 所以1x 2 017＝2 017＋53＝2 0223
. 所以x 2 017＝32 022
. [B 能力提升]
11．(2018·“江淮十校”联考)古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金( )
A.3726
斤 B ．4924斤 C ．2斤 D ．8326
斤 解析：选D.由题意可知等差数列{a n }中
⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝4a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝44a 1
＋30d ＝3， 解得d ＝－778，所以a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 2＋a 3)＋9d ＝8326
.故选D. 12．首项为－24的等差数列{a n }，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是________．
解析：设等差数列的公差为d ，则通项公式a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10
＝－24＋9d >0， 解得83
<d ≤3， 即公差的取值范围是⎝⎛⎦⎤83，3.
答案：⎝⎛⎦⎤83，3
13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1.
(1)求证：数列{a n －2n }为等差数列；
(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n )，求{b n }的通项公式．
解：(1)证明：(a n ＋1－2n ＋
1)－(a n －2n )＝a n ＋1－a n －2n ＝1(与n 无关)，故数列{a n －2n }为等差数列，且公差d ＝1.
(2)由第一问可知，
a n －2n ＝(a 1－2)＋(n －1)d ＝n －1，
故a n ＝2n ＋n －1，
所以b n ＝2log 2(a n ＋1－n )＝2n .
14．(选做题)若数列{b n }对于n ∈N ＋，都有b n ＋2－b n ＝d (d 为常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等
差数列．例如c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数4n ＋9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足：a 1＝a ，对于n ∈N ＋，都有a n ＋a n ＋1＝2n .
(1)求证：数列{a n }为准等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)证明：因为a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N ＋)，①
所以a n ＋1＋a n ＋2＝2(n ＋1)，②
②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N ＋)，
所以数列{a n }是公差为2的准等差数列．
(2)因为a 1＝a ，a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N ＋)，
所以a 1＋a 2＝2×1，即a 2＝2－a .
因为a 1，a 3，a 5，…是以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以2－a 为首项，2为公差的等差数列，
所以当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋⎝⎛⎭⎫n 2－1×2＝n －a ，
当n 为奇数时，a n ＝a ＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1×2＝n ＋a －1.
所以a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数n －a ，n 为偶数.。