格点多边形的面积计算
四年级奥数题及答案-求格点图案面积
四年级奥数题及答案-求格点图案面积
【题目】以下这张图里的三个格点图案面积分别是多少?
【解析】
这三个图形都适合用格点面积公式计算面积：
格点多边形面积 = 内格点个数 + 边格点数÷ 2 - 1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
我们先来看喇叭图案：
这个图案周界上有8个格点，图内却没有格点，那么利用格点面积公式我们可以求得这个喇叭形状的面积为：0+8÷2-1=3;
接下来这只小猫的图案：
小猫图案的周界上有20个格点，而图内有2个格点，面积为：2+20÷2-1=11;
小狗图案同理：
我们可以看到小狗图案是由两个格点多边形组成，那我们可以将两个图案分开求解，先求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。
躯干面积：0+12÷2-1=5;
尾巴面积：0+4÷2-1=1;
总面积：5+1=6。
我们在计算像小狗图案这样的有两个或以上的独立格点多边形组成的图案时，可以先求每个独立的格点多边形的面积，再进行求和计算总面积，这样可以避免数漏多个独立图形公共格点而导致计算错误。
点阵中多边形的面积(皮克定理)
学生姓名：年级：小升初科目：数学授课教师：贺琴授课时间：学生签字：点阵中多边形面积你能迅速计算出下列方格图中每个多边形的面积吗【探究1】探究N=0的格点多边形中S与L之间的数量关系编号内部格点边界格点多边形面积/平方厘米面积与格点关系12345【探究2】下面多边形的面积各是多少平方厘米每个多边形边上的格点各有多少个（每个小格子是面积为1平方厘米的正方形）编号内部格点边界格点多边形面积/平方厘米面积与格点的关系123这些图形有什么特点它的面积与它边上的格点数有什么关系（提示：从图形内的格点的个数考虑）如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。
那么S=n÷2【探究3】图形内的格点数变成了2，多边形面积与它边上的格点数又有什么关系呢编号内部格点边界格点多边形面积/平方厘米面积与格点的关系456这些图形与上组图比较又有什么特点它的面积与它边上的格点数有什么关系如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。
那么S=n÷2+1如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。
a表示图形内的格点数。
那么当 a=1时 S=n÷2a=2时 S=n÷2+1a=3时 S=n÷2+2你觉得a=4时会有怎样的规律呢、a=5、a=6时，会怎样呢你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。
S=n÷2+a-1我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积）。
1、数一数下图中的格点，用你发现的公式计算出它们的面积。
2、如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是1，那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗【拓展】如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1，那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗1、如图，每相邻三个点“∵”或“∴”构成的等边三角形的面积是1平方厘米，求阴影部分的面积.【答案】18平方厘米.关于四边形格点多边形的面积同样有它的计算公式：12-+=边界格点内部格点四边形格点多边形面积S关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：内部格点三角形格点多边形面积S=边界格点+22-⨯。
课题学习 格点多边形的面积计算PPT23页
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
课题学习 格点多边形的面积计算
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
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多边形面积奥数
第十讲格点与切割备考导航格点面积及切割是竞赛考试的一个难点知识，本讲将学习正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。
通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题。
利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1典型例题【例1】图中相邻两格点问的距离均为1厘米，三个多边形的面积分别是多少平方厘米?【例2】图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，阴影多边形的面积是多少平方厘米?【例3】如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米，四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?【例4】如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米。
求长方形EFGH的面积。
【例5】如图所示，大正方形的边长为10厘米。
连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。
请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【例6】如图，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积。
【例7】如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点。
请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【例8】已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?小试身手（1）下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米。
三个多边形的面积分别为多少平方厘米?（2）图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积（3）如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?星级挑战（一）夯实基础★★★1、图中相邻两格点问的距离均为l厘米，三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?2、图中每个小正方形的面积是2平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?3、图中每个小正三角形的面积是4平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?4、图中每个小正方形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?5、下图的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。
格点求面积知识点
格点求面积知识点一、格点的概念。
1. 定义。
- 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为格点。
例如，在坐标平面中，点(1,2)、( - 3,5)等都是格点，而像(1.5,3)就不是格点。
二、格点图形。
1. 定义。
- 顶点都是格点的多边形称为格点多边形。
比如一个三角形，它的三个顶点的坐标都是整数，这个三角形就是格点三角形；同样，四边形的四个顶点坐标都是整数时，它就是格点四边形。
三、格点求面积的方法。
1. 皮克定理（Pick's theorem）- 对于一个格点多边形，设其内部格点数为I，边界格点数为B，其面积S 满足公式S = I+(B)/(2)- 1。
- 例如，有一个格点三角形，经观察其内部格点数I = 3，边界格点数 B = 6，根据皮克定理，其面积S=3+(6)/(2)-1=3 + 3-1=5。
2. 分割法。
- 将格点多边形分割成若干个我们熟悉的图形，如三角形、矩形等。
- 比如一个格点五边形，可以通过连接格点将其分割成三个三角形。
分别求出这三个三角形的面积，然后将它们相加就得到了五边形的面积。
假设这三个三角形的面积分别为S_1 = 2，S_2=3，S_3 = 1，那么五边形的面积S = S_1+S_2+S_3=2 +3+1=6。
3. 补形法。
- 把格点多边形补成一个大的规则图形（如矩形），然后用大图形的面积减去补上去的小图形的面积。
- 例如，有一个格点凹四边形，我们可以把它补成一个矩形。
设矩形的面积为S_矩形=10，补上去的三个三角形的面积分别为S_1=1，S_2=2，S_3=1，那么凹四边形的面积S = S_矩形-S_1-S_2-S_3=10 - 1-2 - 1=6。
皮克定理
皮克定理基本信息姓名：乔治·皮克（1859～1943)全名：Georg Pick国籍：奥地利简要介绍数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积。
具体做法一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。
这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。
如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。
由于这个缘故，我们又叫格点为整点。
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。
有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内部格点数目a、边上格点数目b的关系：S=a+b÷2-1。
(其中a表示多边形内部的点数,b表示多边形边界上的点数,S表示多边形的面积)皮克证明及跟P有一条共同边的三角形T。
若P符合皮克公式，则只要证明P加上T的PT亦符合形皮克公式都是成立的。
设P和T的共同边上有c个格点。
P的面积：iP + bP/2 - 1T的面积：iT + bT/2 - 1PT的面积：(iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c) /2 - 1 = iPT + bPT/2 - 1三角形证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：所有平行于轴线的矩形；以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。
矩形设矩形R长边短边各有m,n个格点：AR = (m-1)(n-1)iR = (m-2)(n-2)bR = 2(m+n)-4iR + bR/2 - 1 = (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1 = mn - (m + n) +1 = (m-1)(n-1)直角三角形b = m+n+c-3i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2i + b/2 - 1 = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1 = (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2 =(m-1)(n-1)/2一般三角形逆运用前面对2个多边形的证明：既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。
毕克定理
巧用毕克定理妙解格点面积
上星期在上数学奥数的时候，发现其中的小狗图学生理解比较难，解题比较复杂。
所以我特意加了一节课，让学生对格点面积有个更清楚的认识，学会这类图形面积的计算。
在正方形的方格纸中．每个小方格的顶点叫做格点，这样就建立了一个方格网，方格网中任意两个相邻的交点间的距离均为一个单位．如果方格网中有一个多边形，它的每个顶点均为格点。
那么这个多边形叫做格点多边形。
这种格点多边形的面积计算我们使用毕克定理来计算很方便．
格点面积=内部格点数+周界格点数除以2再减1
注意点:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心.。
三角形格点多边形面积公式
三角形格点多边形面积公式好嘞，今天我们来聊聊三角形格点多边形的面积公式，这可是一门有趣的数学“魔法”。
听起来可能有点儿复杂，但别担心，咱们用轻松的方式来搞定它。
想象一下，咱们在一个大草地上画三角形，那个场景还挺美的，阳光明媚，微风徐徐。
咱们的目标就是找出这个三角形的面积。
好，咱们得弄清楚格点是什么。
格点，就是在坐标平面上那些像小星星一样的点，简单得很。
每个点都有自己的“身份证”，就是坐标，比如（x，y）。
在咱们的三角形里，得有三个这样的格点，才能把这个三角形画出来。
记住了哦，三角形就得有三条边，没得商量！说到面积，大家都知道，面积就是咱们要计算这个三角形所占的“地盘”有多大。
哎呀，这里有个小秘密，咱们可以用一个神奇的公式来算。
这个公式就是：面积等于一半乘以底乘以高。
可是，底和高得从格点里找出来，这个时候，数学就变得有点儿像侦探游戏了。
你得观察、分析，然后找出合适的底和高。
比如，假设你的三角形的三个格点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。
这时，你得先把这些点的坐标拿出来，咱们需要用到它们的“身份证”。
然后，就可以用“行列式”来求面积，这听起来高大上，但其实挺简单。
用这个公式：面积 = 0.5× | x1(y2y3) + x2(y3y1) + x3(y1y2) |。
哈哈，看到这里，可能有人会瞪大眼睛，心想“这是什么鬼”，但没关系，慢慢来，咱们一个一个来拆解。
在这个公式里，x和y的组合就像是一种“调味品”，调出面积的美味。
这个绝对是数学中的“绝配”！我们只要把格点的坐标带进去，算一算，结果就会跳出来，告诉你这个三角形到底有多大。
说不定你会惊叹，“哇，我的三角形居然占了这么多地方！”这是数学给你的小惊喜。
面积的计算不仅仅是为了在考试中得分，生活中也有很多实际应用。
想想看，装修房子的时候，估计你得知道每个房间的面积吧？再比如，农民伯伯们种地也得知道地块的面积，才能种下合适的作物。
大一高数一知识点总结
大一高数一知识点总结随着高等教育的普及和进步，大学高数一已经成为了我们大学生涯中非常重要的课程之一。
对于大一的新生来说，高数一的学习还是比较有难度的。
因此，本篇文档将为大家总结一下大一高数一的知识点，以期能够帮助到广大学子们更好地掌握高数一的知识，顺利完成高数一的学习。
1. 皮克定理皮克定理是大一高数一中的一个重要定理。
它主要用于计算在二维平面内的格点多边形面积。
具体计算公式如下：S = i + b/2 - 1其中，S表示格点多边形的面积，i表示该多边形内部的格点个数，b表示该多边形的边界上格点的个数。
要注意的是，该公式只适用于边界上的格点个数和内部的格点个数都是整数的情况。
2. 多项式函数多项式函数也是大一高数一中比较重要的知识点。
它是以自变量x为底数的幂函数的有限和，通常是以下形式：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn其中，ai是常数项，n是多项式的次数。
多项式函数有很多重要的性质，如多项式函数的次数与其导数的次数的关系、多项式函数的零点与其因子的关系等等。
掌握这些知识点对于理解高数一中的诸多内容都非常重要。
3. 三角函数三角函数是大一高数一中的重要知识点之一，它主要是指正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
三角函数的定义和性质都是比较复杂的，需要我们花费一定的精力去理解和掌握。
在三角函数的学习中，我们需要掌握三角函数的基本性质，如周期性、奇偶性、对称性等等，还需要掌握三角恒等式的内容和计算方法。
4. 数列和极限数列和极限是大一高数一中的核心知识点，它主要是用来研究数学中的趋势和规律。
在学习数列和极限的过程中，我们需要掌握数列的定义、等差数列、等比数列等基本内容，同时也需要掌握数列极限的概念和计算方法。
数列和极限是高数一中比较有难度的部分，需要我们细心地思考和理解。
在具体的计算过程中，我们需要结合具体的例题和练习，多加巩固和练习。
5. 微积分微积分是大一高数一中的重要知识点之一，它主要是通过对变化率的研究来解决一系列数学问题。
格点多边形面积公式（Pick定理）的一个形象解释（转）
格点多边形⾯积公式（Pick定理）的⼀个形象解释（转）Pick定理：如果⼀个简单多边形(以下称为“多边形”)的每个顶点都是直⾓坐标平⾯上的格点，则称该多边形为格点多边形．若⼀个⾯积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则S＝a/2＋b－1．强迫孩⼦们接受⽆法说出道理的东西，很容易打击孩⼦们的求知欲望和学习兴趣．我经过反复琢磨，找到⼀个⾮常浅显的办法，既能够形象的解释Pick定理的道理，⼜能让看清Pick定理的本质．整个解释只需⽤到⼀个很浅显的预备知识：“多边形外⾓和等于⼀个周⾓”．以下图的格点多边形ABCDE为例，其边界上有a个格点，内部有b个格点．设想在平⾯的每个格点放⼀个铁饼，满⾜：(1)每个铁饼都⼀样⼤的圆（或者说是圆柱），圆⼼是格点；(2)每个铁饼都恰好重1克；(3)每个铁饼的半径都做得尽量⼩——不仅铁饼之间互相不重叠，⽽且还使得多边形ABCDE内部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的内部；多边形ABCDE外部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的外部．⾸先，考虑多边形ABCDE的边界以内的铁的总重．这可以分如下两类进⾏计算：第⼀类：其内部格点上放的铁饼．此类总重显然是b克．第⼆类：其边界格点上放的铁饼落在边界以内的铁．假设每个边界格点上放的铁饼，恰有⼀半落在边界以内，则总重为a/2克．但显然在每个顶点处放的铁饼，落在边界以内的铁实际不⾜⼀半，⽐⼀半还少该顶点的⼀个外⾓内所含的铁，所有这种外⾓内所含的铁恰好拼成⼀块完整的铁饼（因为多边形外⾓和等于⼀个周⾓）．所以后⼀类铁的总重是a/2－1克．因⽽，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是a/2＋b－1克．接下来，设想将平⾯上所有铁饼全部熔化，打造成⼀张厚薄均匀的铁板盖在整个平⾯上．这可以看作是：将每个单位正⽅形的四个顶点处的每个90°的扇形铁饼，熔化在这个正⽅形内部，故熔化后每个单位正⽅形内的铁都是1克．进⽽，平⾯上任意图形，其⾯积是多少，其内部就含多少克铁．因⽽，熔化并重新打造后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是S克．最后，注意到这个熔化并重新打造的过程，可以看成是：每个格点处的铁饼中的铁，按(以该格点为中⼼)放射状的⽅式重新适当改动位置⽽已．这样的改动，不会使格点多边形ABCDE外⾯的铁跑到多边形内部，也不会使内部的铁跑到外部．即熔化并重新打造的前后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是不变的，所以S＝a/2＋b－1．。