暑假班 六年级第五讲
奥数五六年级知识点总结第五讲余数与同余
奥数是指奥林匹克数学竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO），是世界性的数学竞赛。
奥数竞赛注重学生的思维能力的发展，培养学生的逻辑推理、问题解决和创新思维能力。
数学竞赛中的知识点是教育学生数学基本概念及运算，以及运用数学的方法来解决问题。
下面是我所总结的奥数五六年级第五讲的知识点，主要涉及到“余数与同余”。
一、余数1.定义：在整除的运算中，除法所得的剩下的数就是余数。
2. 例如：11除以3，商为3，余数为2，记作11≡2（mod 3）。
3.基本性质：（1）两个数相加与他们的余数相加的结果相等。
（2）两个数相乘与它们的余数相乘的结果相等。
（3）两个数的商的余数与这两个数余数的商的结果相等。
（4）两个数的幂次方的余数与这两个数的幂次方的余数的结果相等。
二、同余1. 定义：若整数 a、b、m 为任意给定的整数，若 m 能整除 (a-b)，即 (a-b) 是 m 的倍数，则称a与b对模 m同余，记作a≡b (mod m)。
2.基本性质：（1）若a≡b (mod m)，则a+c≡b+c (mod m)；（2）若a≡b (mod m)，则ac≡bc (mod m)；（3）若a≡b (mod m)，c≡d (mod m)，则a+c≡b+d (mod m)，ac≡bd (mod m)；（4）若a≡b (mod m)，则a^n ≡b^n (mod m)，其中 n 为任意正整数。
三、求余数与同余的方法1.利用除法法则求余数：（1）方法一：将被除数逐位地从左至右除以除数，除的过程中产生的余数就是最终的余数。
（2）方法二：利用整数的性质，寻找适合的数进行整除，或者先利用近似法求商，再求余数。
（3）方法三：利用乘法法则，将除数与整数相乘，再用被除数减去这个乘积来求余数。
2.利用同余法则求余数：（1）将同余公式改写为等式，然后同时减两边的倍数，可以得到一个新的同余公式。
（2）利用同余关系，可以将大数的运算转化为小数的运算，从而简化计算。
小学数学六年级上册-第五讲 一般的分数应用题
第五讲 一般的分数应用题（二）例1.糖果盒中奶糖占糖果总数的83，后来又放入20块奶糖，这是奶糖占糖果总数的127。
现在这盒糖果中有多少块奶糖？练习1.1.在操场做游戏的学生中，男生人数占做游戏总人数的73，后来从教室又走出了11名男生加入游戏，这时男生人数占做游戏总人数的85。
操场上原来做游戏的男生和女生各有多少名？2.王叔叔的钱数是李叔叔的53，当王叔叔又得了210元后，他的钱数是李叔叔的65。
原来王叔叔和李叔叔各有多少钱？例2.有两根绳子，一根长6米，另一根长8米，把两根绳子都剪掉同样长的一部分后，短的一根的长度是长的一根剩下长度的53。
两根绳子各剪掉多少米？练习21.有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。
把两根蜡烛都剪掉同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下长度的21。
两根蜡烛各剪掉多少厘米？2.两根铁丝共长363米，各剪去3米，则第一根剩下的长度是第二根剩下长度的811倍。
原来两根铁丝各长多少米？例3.一辆汽车从甲地到乙地，行了总路程的53多60千米，剩下的是已行的31。
甲乙两地相距多少千米？练习3.1.一辆轿车从甲地到乙地，行了全程的41少20千米，剩下的路程是已行的5倍。
甲乙两地相距多少千米？2.一根绳子，第一次剪去全长的53，第二次剪去剩下的32多10米。
如果两次已将绳子剪完，这根绳子全长多少米？第二次剪去了多少米？例4.有一根1米长的绳子，第一次剪去这根绳子的21，第二次剪去余下的31，第三次剪去第二次余下绳子的41，第四次剪去第三次余下绳子的51。
这样剪了四次后，这根绳子最后还剩多少米？练习4.1.有一根1米长的木条，第一次截掉它的51，第二次截掉余下的61，第三次截掉第二次余下木条的71…这样一直截下去。
，最后一次截掉上次余下木条的101。
问这根木条子最后还剩多少米？2.山上有一棵桃树，树上有100各桃子。
一只猴子偷桃子吃，第一次偷了21，以后8天分别偷了当天桃子数的31，41，…91，101。
六年级下册英语讲义-小升初语法复习：第五讲 动词(含答案)全国通用
第五讲动词知识接力【小学目标】1.了解动词的概念；2.知道动词包括实义动词，系动词，情态动词和助动词；3.知道动词的基本形式，包括第三人称单数形式，现在分词，过去式形式；4.知道四大时态，一般现在时，一般将来时，一般过去式，现在进行时中动词的用法。
【初中目标】1.了解动词的分类和各自的语法功能；2.注意动词的语法意义，不同词形和固定搭配；3.理解在不同语境中的不同时态4.正确运用各种动词，如系表结构，及物动词和不及物动词的区别；5.初中包括八大时态，初一上学期只要求掌握一般现在时和现在进行时的用法。
精彩回顾在一些句型中找找规律，回忆一下我们在小学阶段都学习了哪些有关动词的知识呢？找规律动词的种类和基本形式1.I am mike.She is in Beijing.Are you happy?2.A rabbit has long ears.The car stopped.3.He doesn’t work in the hospital.Did your mother sing a song at the party?5.The little boy can fly a kite.动词的基本形式1.be do have eat2.read---reads work---worksteach---teaches wash---washes pass---passes fox---fixes cry---cries fly---flies3. go---going stand---atandingcome---coming write----writingsit---sitting run----runningtie---tying die---dying4. help---helped walk---walkedlike---liking love---lovingstudy---studied hurry---hurriedplan---planned stop----stopped动词的时态一般现在时A 1.I am a student.She is a kind doctor.They are busy with their work every day.2.Ann gets up at 7 o’clock every morning.I live in Beijing.Lily and Lucy want to go to Tibet.B 1.She always washes her hair on Sunday evenings.2.The sun rises in the east.Knowledge is power.3.It is a fine day today.一般过去时A 1.I was late for school yesterday.You were the best student in our class last term.2.I went to visit my grandpa last Sunday.B 1.My aunt took me to the Carnival yesterday.2.When she was a child, she liked to sing on the hill. 一般将来时A 1.I shall go to the party tonight.What shall we eat?2.I will go to Hog Kong next month.You will get fat if you eat too much.3.We are going to see him tomorrow.She is going to tell you.B She will book a ticket to shanghai tomorrow.Will you come back to see us next year？现在进行时A 1.I am reading a book.2.He is washing his face.3.They are playing football.B 1.Look! My mum is playing chess with my dad.Now, my father is eating watermelon.2.Tom is writing a new novel.He is dong an experiment this month.探求新知1．动词的基本形式英语动词这里主要介绍现在分词和第三人称单数形式。
五升六暑期班阅读与创作辅导讲义(课外辅导班用)
五升六暑期班阅读与创作辅导讲义(课外辅导班用)主题介绍本讲义旨在为五升六暑期班的学生提供阅读与创作辅导。
通过本讲义的研究和实践，学生将提高阅读理解和写作能力，为升入六年级做好充分准备。
目标和研究内容本讲义的目标是培养学生的阅读和创作能力，包括以下研究内容：1. 阅读理解：通过拓展阅读材料和相关练，提高学生的阅读理解能力，包括提取信息、推理判断、主旨归纳等技能。
2. 写作技巧：教授学生写作的基本要素，包括构思、组织结构、语言运用等方面的技巧。
3. 创作实践：激发学生的创造力和想象力，引导他们进行创作实践，包括写作、绘画、表演等形式。
课程安排本讲义将在暑期班的课程中进行，每节课的安排如下：1. 课堂导入：请学生分享上一次课堂的阅读体验，以激发他们对本课题的兴趣。
2. 重点讲解：通过教学材料和示范，讲解阅读和写作的相关技巧和策略。
3. 研究实践：学生将通过个人或小组活动，进行阅读理解和创作实践。
4. 总结与反馈：总结本节课的研究内容，给予学生积极反馈，鼓励他们进一步练和提高。
预期效果通过本讲义的研究，学生将能够：1. 独立阅读并理解各种文本材料，包括故事、说明文等。
2. 运用阅读理解技巧解决问题，提取和归纳信息。
3. 运用写作技巧进行文章构思、组织结构和语言运用。
4. 发挥创造力进行个人创作和表达。
希望通过本讲义的研究，学生们能够在五升六的过渡年级中更好地适应研究要求，为进一步提高研究能力打下坚实的基础。
如果有任何疑问或需要进一步的指导，请随时与我们联系。
祝愿学生们在本次暑期班中取得进步和成就！。
六年级下册语文讲义-小升初专题复习十一：写作 第五讲 想象(含答案)全国通用
专题十一写作第五讲想象【知识点拨】考点名称：想象类习作考点解析：写作是考试中的重难点，占30分，想象类作文是升学考试中的常见类型。
考查形式：写作相关知识：想象合理，设计新颖，语句通顺，卷面格式等【考点突破】例：请以“我到了22世纪的地球上”为题用第一人称，写一篇以叙事为主的想象作文根据故事情节的发展，可以夹叙夹议。
范文：我到了22世纪的地球上在科技突飞猛进的22世纪，到处都发生着日新月异的变化，我们的祖国更是美好无比。
这一天，我在火星上向探测队长请了一天假，驾驶着光子宇宙飞船回到了祖国。
飞船缓缓地降落在中国最大的机场，接待我的是一位讲着一口流利世界语的礼仪小姐。
经过一番仔细观察，我才发现原来她是个机器人。
出了机场，正好是北京时间中午12点。
由于旅途劳累，我的肚子饿得“咕咕”直叫，我急忙上街找饭店。
不料，我一脚踏上大街，就“扑通”摔了一跤。
我慢慢地站起来，走回机场外的人行道。
眼前的一切让我茫然不知所措。
我向四处张望，发现从前行驶在路上的车辆早已不见了踪影。
我询问行人后才知道怎样在移动的大街上行走。
首先，要在旁边的显示器上选定你要去的地方。
我选定了一家40年前就很有名的饭店，然后按下“OK”键。
一刹那间，我已经来到了饭店门口，只见店门被霓虹灯装饰得富丽堂皇。
我一踏上铺着大红地毯的台阶，红外线感应的大门便自动打开，迎宾小姐面带笑容地请我进去，并且亲切地说：“先生，希望您用餐愉快。
”我找了个雅座坐下，发现那迎宾小姐也是个机器人。
在每个餐桌边的墙上都有一个小柜子。
忽然，从柜子里伸出了洗漱用具，我吓了一跳。
这时，那柜中发出温柔的声音：“先生，为了您的健康，请先洗手。
”说着，机械手把药水倒在我手上；接着，机械手用小刷子轻轻地为我清洁双手。
接下来，我点了几样喜欢吃的饭菜：炒面、香肠、卤鸡、菠菜和麻辣火锅。
点完了菜，我轻轻地按一下桌边的电钮，刚才点的饭菜就都自动摆放在了桌上。
我一一品尝，味道好极了！下午，我驾驶着光子宇宙飞船参观了不少城市与现代化的科技工程项目，像西部开发区、上海浦东新区、厦门海沧新区与环岛路、渤海3号油田、长江葛洲坝水利枢纽、北京的12环立交桥、能同时起降百余架飞机的现代化机场……啊，祖国的发展真是一日千里，让人惊叹不已！一天的假期结束了，我依依不舍地告别了亲爱的祖国，驾驶着光子宇宙飞船向火星飞去。
(奥数典型题)第五讲 比例的应用 2023-2024学年六年级下册数学思维拓展含答案
话说唐僧和三个徒弟为普渡众生去西天取经，要经历九九八十一难，困难重重，关卡层层，是常人很难办到的。
师徒四人走了一天，觉得累了，便休息一下。
八戒把钉耙一丢，倒地便睡，唐僧与沙僧打坐，悟空舞动金箍棒。
只见悟空一声“变”，金箍棒由原来的绣花针变成了高耸入云的大柱子。
悟空叫道:“八戒，你猜我的金箍棒现在有多长? ”八戒说:“能有多长，不过10米罢了。
”悟空说:“这金箍棒可神了，5秒能变10米。
”“那25秒能变15米的。
”八戒随口说道。
沙僧说:“这节定算错了，5秒比10米小，25秒比15米大。
”八戒说:＂扯淡，这个理由一点也不充分。
”悟空说:“那我就说说理由，让你们心服口服。
”八戒说: “愿闻其详。
”悟空说:“用解比例的方法，设25秒能变x 米，比例是5:10＝25:x ，5x=250，X ＝50，答案应该是50米啊。
”“这…这…”八戒哑口无言，还有一种方法沙僧补充道:“5秒能变10米，10÷5＝2米，意思是1秒能变2米长，25秒就能变25×2＝50米长。
”八戒如醍醐灌顶，连连称是。
唐僧在一旁听着，说道：你们都很聪明，用不同的方法解开这道题。
以后遇到事情要要深思熟虑。
八戒，你以后可不能瞎掰了，要用理由说明问题。
”“一定，一定，徒儿谨记师父教诲，今后要学好数学……”哈哈哈，师徒四人伴着笑声又启程了。
在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。
成正比或反比的量中都有两种相关联的量，一种量（记作 x ）变化时另一种量（记作 y ）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为 k ）．在判断变量 x 与 y 是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量 k 。
如成正比例；如果 k 是 y 与 x 的积，即在 x 变化时，y 与 x 的积不变：xy ＝k ，那么 y 与 x 成反比例．如果这两 第五讲 比例的应用（奥数典型题）第五讲 比例的应用 2023-2024学年六年级下册数学思维拓展个关系式都不成立，那么 y 与 x 不成（正和反）比例。
2021年人教版永安街小学数学六年级上册：第五讲：圆的认识 --同步讲义+答案
圆的认识知识集结知识元圆的认识知识讲解知识点：圆的基本特征1.圆是由曲线围成的．2.圆上的任意一点到圆的中心点的距离都相等．知识点：认识圆的各部分名称1认识圆心画圆时，圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心，通常用字母“O”表示，如下图：2认识半径圆心到圆上任意一点的距离叫半径，通常用字母“r”表示，如上图中的线段OC．3认识直径通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫直径，通常用字母“d”表示，如上图中的线段BC．4半径与直径的关系在同圆中半径是直径的一半．知识点：圆的对称性1.轴对称图形如果一个图形沿着一条直线对折后两边完全重合，这样的图形叫轴对称图形．对称轴是一条直线，所以直径所在的直线是圆的对称轴．2.中心对称图形（了解）在平面内，一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转前后的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．圆的圆心是它的对称中心．知识点：圆的画法1.手指画圆法以拇指为固定点，食指与拇指间的距离不变，将纸旋转一周，就画成了一个圆．2.实物画圆法把圆形物体（如硬币，象棋等）放在纸上固定不动，用笔沿实物边缘描一周，就画成一个圆．3.系绳画圆法用一个图钉、一根线和一支笔画圆．用图钉将线的一端固定在一点上，用笔将线拉直并绕这个固定点旋转一周，就画成了一个圆．4.圆规画圆法（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把带有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把带有铅笔的一只脚绕这个固定点旋转一周，就画成了一个圆．知识点：圆的图案设计通过欣赏所绘制的图案，体会圆在图案设计中的作用和圆的对称性；由此感受图案的美，感受数学与生活的密切联系，会用圆设计简单图案．1欣赏图案，明确图案是由大小不同的圆组成．2.用圆规和直尺画简单图案．3利用平移，旋转设计简单图案．例题精讲圆的认识例1.'等圆的半径都相等（）．'【答案】正确【解析】题干解析:例2.'两端都在圆上的线段叫直径（）．'【答案】错误【解析】题干解析:需要加上“通过圆心”这个条件．例3.连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做（），用字母（）表示【答案】半径r【解析】题干解析:圆的周长知识讲解知识点：圆周长的认识及圆周长公式的熟悉1.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长.2.圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数.我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示.圆周率是一个无限不循环小数.注：计算时，经常取 3.14.世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人是我国的数学家祖冲之.3.圆的周长公式：π×直径或圆周长=π×半径×2.用字母表示为：或.知识点：根据周长，求圆的半径与直径圆的直径公式：圆的半径公式：例题精讲圆的周长例1.两个圆的周长不同，是因为_______.A．圆心的位置B．圆周率C．直径长度D．圆周长【答案】C【解析】题干解析:例2.圆周率π的值_______A．等于3.14B．大于3.14C．小于3.14【答案】B【解析】题干解析:例3.一个圆形花坛的半径是15米，小红骑一辆车轮外直径为50厘米的自行车绕花坛一周，车轮要转动多少周？【答案】60周.【解析】题干解析:花园的半径为15米=1500厘米，车轮的半径为厘米，半径的比为，周长比也为60:1，所以车轮要转动60周.例4.下图为一个操场的平面图，求这个操场的周长是多少米？【答案】261.32米.【解析】题干解析:半圆的周长为米，再加上两条长，就是阴影部分的周长米.圆的面积知识讲解知识点：圆面积的意义与计算1．圆面积定义圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
第五讲 词语的表达效果
第五讲体会词语的表达效果学习目标知识积累1.词语表达效果题的考察方式及考察类型2.分析词语表达效果题的答题技巧情怀素养感悟重点词语所蕴含的深层内涵。
答题模式1. 弄清词语描写的对象是谁？（找对象）2. 结合词义句意写出这个词表现了所描述对象的什么状况？（抓特征）3. 结合主旨，写出这个词反映了什么情感？（悟感情）牛刀小试品味下列句子中加点的词语，文中的加点词是什么词性?写出了小明怎样的心情?当得知明天不用上课，学校组织我们六年级的同学去雁栖湖春游一天的消息时，刚刚安静下来的教室再次进入热闹状态，甚至人声鼎沸。
大家激动地欢呼，小花听到这个消息脸都高兴红了。
小明的举动最激烈，他本来在写字，听到了这个消息的时候，拿笔的手分明颤抖．．了一下，然后深深吸了一口气，又缓缓呼了出来。
说时迟那时快，“啪”地一声，他放下笔，紧紧地抱着他的同桌王二小喊道：“天啦，我没有听错吧，真的要春游了吗?终于可以玩一天了吗?我高兴得快要疯掉了！”“颤抖”是什么词？有什么作用？上面的题目很简单是吗?别得意,真正的挑战在后面呢,一起来看看吧!常见的题型1. 解释文中加点词语的含义。
2. 结合文章，写出某个词语的深层含义.3. 理解加点词语在文中的含义，并分析其表达效果。
4. 请简要分析句子中加点词语的表达效果。
在优秀的文学作品中，常有一些意味深长或极具表现力的词语，这些简单的词语能够表达丰富的含义，使文章更精彩，下面我们就从四个角度来分析词语的表达效果。
1、从词义角度分析词语表达效果这个词语的本意是，结合上下文所要表达的事情\情感。
【例题】黑熊、灰狼、狐狸组成一个强盗团伙，常常肆无忌惮．．．．地袭击羊群，使羊群不得安宁。
—《权力》解释文中加点词语的含义，并分析其表达效果。
【练习】我指着那位男孩气呼呼地说:“你看你,把狗带进班里,弄得大家还怎么听课?”“我又没带它来,是它自己跑来的。
”男孩低着头,小声辩解。
“那这次就算了,下次千万别带进班里来。
六年级火箭班第五讲------比的应用
六年级火箭班第五讲------比的应用【知识概述】比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具。
比的概念是借助除法的概念建立起来的，比和除法、分数都有实质性的联系，所以比与分数能够相互转化。
运用这种方法可以灵活方便地解决一些实际问题。
精选例题：1. 比的应用之比的应用题【例1】六一期间大洋百货甲、乙、丙三个玩具柜台的营业额共计11.5万元，甲、乙两个柜台营业额之比为3：2，乙、丙两个柜台的营业额之比为3：4.三个柜台的营业额各是多少万元？【例2】科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5：7。
已知数学组与科技组共有69人。
数学组比作文组多多少人？【例3】小刚、小强原有钱数之比为4∶3，如果小刚给小强3.3元，他们的钱数之比就为3∶5，二人共有多少元？练：甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3：4。
原来甲校有图书多少本？【例4】从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子分得12，二儿子分得13，小儿子分得19，但不能把牛卖掉或杀掉。
三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。
后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？练习：古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个男孩，就把遗产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三分之一给女儿，三分之二给母亲。
结果他的妻子生了双胞胎―― 一男一女，这是他没有预料到的。
求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个继承人的比。
（1）从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（ ）：（ ）：（ ）。
（2 从母亲至少得遗产的1/3来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：（ ）。
【例5】甲、乙两个长方形的周长相等，甲的长与宽的比是5∶3，乙的长与宽的比是5∶1，求甲与乙的面积之比【例6】小军行走的路程比小红多1/4，而小红行走的时间却比小军多1/10,求小军与小红的速度比。
秋季六年级 第五讲 数据处理 基础版
第5讲 数据处理知识点一：扇形统计图-认识扇形统计图扇形统计图是用整个圆的面积表示总数量，用圆内各扇形的面积表示各部分数量占总数量的百分比。
知识点二：统计图的选择-三种统计图的特点要正确选择合适的统计图进行统计，首先要掌握三种统计图的不同特点，再根据不同的特点结合实际情况在反复实践中加强对比，这样才能选择合适的统计图。
知识点三：身高的情况 1.分段整理数据并解决问题在分组整理数据时，要根据实际情况来确定每一段的数量，以便清楚地表达信息。
2.绘制复式折线统计图、选择合适的比较方法分析两组数据的区别 在同等情况下，折线越陡，数量变化越大，反之，数量变化越小。
题型一：扇形统计图【典例1】（•广东模拟）某班男、女生情况如图，男生人数占全班人数的（ ）。
A ．26%B ．48%C ．52%【典例2】（•广东模拟）如图是根据淘气家上个月各项支出分配情况绘制的统计图。
如果他家的生活费支出是750元，那么教育支出是（ ）A．2000元B．1000元C．600元D．1500元【典例3】（勃利县期末）如图是六（1）班同学进行体能检测成绩统计图。
（1）六（1）班体能检测成绩优秀的同学比良好的同学少7人，六（1）班在体能检测中几人成绩为待提高？（2）你还能提出哪些数学问题并解答？题型二：统计图的选择【典例1】（广安期末）如果要反映某城市一天24小时内的气温变化，采用（）比较合适。
A．单式折线统计图B．复式折线统计图C．条形统计图【典例2】（临漳县期末）要同时表示运城和北京两地一周内气温的变化情况，应选用（）A．单式折线统计图B．复式折线统计图C．复式条形统计图【典例3】（永城市期末）要表示学校六个年级男、女生的人数情况，应该选用（）统计图比较合适。
A．条形B．复式条形C．折线D．复式折线题型三：统计图表的填补【典例1】（武安市期末）（1）班同学最喜欢的小动物如图所示。
根据图填写下表。
乌龟 猴子 小猫 小狗 熊猫 人数喜欢 的人最多，喜欢 的人最少，喜欢 和 的人一样多。
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第五讲 数的整除 素数、合数与分解质因数
【知识点】
一、素数和合数
1.一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫质数；
如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫合数，合数总可以写成几个素数相乘的形式。
2.“1”为什么既不是质数？也不是合数？ 按合数定义“1”不是合数。
“1”不是质数，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。
如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。
因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数 3. 100以内的素数
熟记20以内的全部素数 二、分解质因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。
分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。
把一个合数分解质因数有两种方法。
一种是利用乘法口诀分解质因数。
另一种是用短除法分解质因数
【典型例题】
一、质数和合数
例1．说出下面各数的约数，哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？ 1、2、3、4、5、6、7、8…19、20 只有1个约数的自然数有：
有两个约数（1和它本身）自然数有： 有两个以上约数的自然数有：
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
例2.下面哪些数是质数？哪些是合数？
19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54
例3.自然数中第一个数是1，它既不是质数也不是合数，把它除外。
第二个数是2，它是质数，把它保留，并且把2的倍数都划掉。
紧靠2后面没被划掉的是3，3是质数，把它保留，并且把3所有的倍数划掉。
紧靠3后面的是5，5是质数，把它保留，并且把5的倍数都划掉……用这样的筛法，把100以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数。
请同学们按上面介绍的方法制作一个100以内的质数表。
4. 把下列各数填入适当的圈内。
11，21，87，31，97，57，33，41，51，61,71，39，81，69，91 素数 合数
例5.最小的奇数又是素数的是，10以内最大的偶数又是合数的是
最小的合数是最小的奇数又是合数的是
二、分解质因数
例6．判断下面的说法对吗？
(1)在自然数中除了质数就是合数。
（ ）
(2)一个合数至少有3个约数。
（ ） (3)3和5是质因数。
（ ）
(4)1是所有自然数的约数。
（ ） (5)所有的奇数都是质数。
（ ） (6)所有的质数都是奇数。
（ ） (7)两个质数相乘的积一定是合数。
（ ） (8)一个数的质因数都是质数。
（ ）
(9)所有的质数分别加上1，所得的和都是偶数。
（ ）
(10)99=11×9，11和9都是99的质因数。
（）
(11)根据90=2×3×3×5，找出90的全部约数是1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。
（）
(12)三个质数的连乘积是874，这三个质数的和是44。
（）
例7. 210=2×3×5×7，你能从这个式子中知道210除了有约数1以外，还有哪些约数吗？
例8.4500的约数共有多少个？
例9. 105分解素因数为，105的素因数有，因数有
36分解素因数为，36的素因数有，
因数有
例10.把下面各数分解质因数。
102= 182=
44= 111=
思考：有4个学生，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，他们的年龄乘积是5040。
他们的年龄各是多少？
【课后练习】
1.填空。
(1)在1～20的自然数中，最大的奇数是（），最小的偶数是（）；奇数中（）是合数，偶数中（）是负数；最小的合数是（），最小的质数是（）；（）既不是合数，又不是奇数。
(2)一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的自然数，个位上是最小的合数，其余数位上的数是0，这个数写作（）。
(3)如果a=5b，而且a、b是两个不同的自然数，那么b一定
是a的（）数。
(4)用三个比10小的质数组成一个三位数，使它同时能被3
和5整除，组成的三位数有（）。
(5)有四张数字卡片，上面分别写有1、0、4、8，请抽三张卡片组成符合下列条件的数，并填在括号里。
能同时被2和3
整除的最大数是（）；能同时被3和5整除的最小数是（）；质数是（）；最大合数是（）。
(6)20以内差为1的两个合数有（）和（），（）和（），（）和（），（）和（）共4对。
(7)10以内（包括10）的数中，所有质数的乘积除以所有偶数的和，商是（）。
(8)一个两位数，它是质数。
如果把它个位上的数字和十位上的数字变换位置后，仍是一个质数。
这样的质数有（），共（）个。
2.判断下面各题，在对的后面画“√”，在错的后面画“×”。
(1)除了2以外，所有的偶数都是合数。
（）
(2)两个质数相乘的积不一定是合数。
（）
(3)A能被B整除，商一定是A的约数。
（）
(4)某数是2的倍数，这个数一定是合数。
（）
(5)能被1和本身整除的数一定是质数。
（）
(6)边长是质数正方形，它的面积一定是合数。
（）
(7)在1～30这些自然数中共有10个质数。
（）
(8)20的质因数有3个。
（）
3.下面的数，哪些是质数？哪些是合数？把合数分解质因数。
23、91、803、507、221、204、111。
4.在（）里填上适当的质数。
10=（）＋（）=（）×（）
=（）－（）
30=（）－（）=（）＋（）
=（）＋（）
42=（）×（）×（）
5.把下面各数分解质因数。
25= 480=
81= 64=
360= 121=
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