学而思奥数2016寒假班提高班第5讲讲义
5盈亏问题j
第五讲 盈亏问题本讲主要学习三种类型的盈亏问题：盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果一、直接计算型【例1】（★★奥数网题库）秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔收获的萝卜有多少个？计划吃多少天？分析：题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160（个）或 4×28＋48＝160（个）．[巩固]（★★奥数网题库）中关村一小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则多出3人.问：合唱队有多少人？分析：“多9人”与“多3人”两者相差9－3＝6（人），每条长椅要多座 4－3＝1（人），因此就知道，共有6÷1＝6（条）长椅，人数是6×3+9＝27（人）．[巩固]（★★奥数网题库）有一批香蕉要分给动物园的小猩猩，如果每只猩猩发10个，还差9个，每只猩猩发9个，还差2个，请问有多少小猩猩？多少个香蕉？分析：“差9个”和“差2个”两者相差9－2＝7（个），每个只猩猩要多发10－9＝1（个），因此就知道，共有小猩猩7÷1＝7（只）猩猩，香蕉有7×10－9＝61（个）．[总结] 以上是三道最基本的盈亏问题题目，要求老师在教学过程中引导学生理解掌握其解法并能让学生熟练运用公式，这对解答后面其他类型的盈亏问题的有帮助．二、条件转化型【例2】（★★★奥数网题库）学而思学校给参加秋游的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，若每辆车乘32人则还有3个空座.问：有多少名同学？多少辆车？分析：这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之转化为基本的盈亏问题．已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：每辆车乘28人多出13名同学；若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：每辆车乘32人少3人，问有多少名学生多少辆车？所以，车数：（13+3）÷（32-28）=4（辆），学生有：28×4+13=125（人）.[巩固]猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐，如果每张餐布周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：一共有多少只小猪，猪妈妈一共带了多少张餐布？分析：每张餐布周围多坐一只小猪就是坐5只小猪，余出4个空位子就是少4只小猪，所以原问题可以转化为：如果每张餐布周围坐4只小猪，则多出6只没处坐；如果每张餐布周围坐5只，还少4只，求有多少只小猪多少张餐布？所以餐布数是：（6+4）÷1=10（张），有小猪：10×4+6=46（只）.[拓展]舞蹈队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则有9人没座，若每条长椅上坐4人则多3个座位.问：舞蹈队有多少人？分析：每条长椅上坐3人则有9人没座说明多9人，每条长椅上坐4人则多3个座位说明少3人，多座一人后相差9+3=12人，所以有长椅12÷1＝12（条），舞蹈队有12×3+9=45（人）.【例3】（★★★★奥数网题库）实验小学少先队员去植树．如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完．问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？分析：这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵．如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6－4）×2＝4（棵）．因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵．问有多少少先队员，一共种多少树苗？人数： [3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），棵数：5×7＋3＝38（棵）或6×7－4＝38（棵）．[巩固]兔子妈妈分白菜：如果其中2只小兔子每只分4棵，其余每只分2棵，则多4棵白菜；如果其中一只小兔子分6棵，其余每只分4棵，则差12棵白菜，问：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？分析：由已知条件，第一种分配：其中2只每只分4棵，其余每只分2棵，则多4棵白菜，我们假设，如果所有的小兔子每只都分2棵，就会多出2×2=4（棵），这样将条件转化为：每只分2棵，则多出4+2×2=8（棵）；第一种分配，如果假设每只小兔子分4棵，就会多出6-4=2（棵），这样将条件转化为：每只分4棵，则差12-2=10（棵），第一次与第二次分配相差8+10=18（棵），两次分配每只小兔子相差4-2=2（只），所以小兔子的总数为：18÷2=9（只），一共有白菜：2×9+8=26（棵）.【例4】（★★★★奥数网题库）用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米.求绳长和井深.分析：把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台9米，说明绳子余9×2=18（米），把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米，说明绳子余2×3=6（米），所以，井深：（18-6）÷（3-2）=12（米），绳子长：12×2+9×2=42（米）.[巩固] 在桥上用绳子测桥离水面的高度.若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米.问：桥有多高？绳子有多长？分析：因为把绳子对折余8米，所以是余了8×2=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了3×2＝6（米）.两种方案都是“盈”，故盈亏总额为16-6=10（米），两次分配数之差为3-2＝1（折）.所以，桥高（8×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），绳子的长度为2×10＋8×2＝36（米）.[总结] 这部分的题目不能直接运用公式计算，首先需要将一定的条件转化，使之成为跟第一部分相类似的题型，在运用公式计算．四、关系互换型【例5】（★★★★奥数网题库）钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角.问小明带了多少钱？分析：此题的关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔.（方法一）都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）90角，这是双亏：分差是8-5=3支，总差是90-15=75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱.钢笔的价钱：［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）小明带的钱数：25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）（方法二）都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多12×5－15=45角，买8支圆珠笔多6角.圆珠笔的价钱［（12×5－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）小明带的钱数13×8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）.[巩固]食堂管理员带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：食堂管理员带了多少钱？分析：因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6＝24元，这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10，所以食堂管理员带的钱数是：12×10＋4＝124元．【例6】（★★★★奥数网题库）有48个香蕉分给两个笼子的小猩猩，已知第二个笼子比第一个笼子多5只猩猩．如果把香蕉全部分给第一个笼子的猩猩，那么每只猩猩4个，有剩余；每只猩猩5个，香蕉不够．如果把香蕉全分给第二个笼子，那么每只猩猩3个，有剩余；每只猩猩4个，香蕉不够．问第二个笼子有多少只猩猩？分析：如果把香蕉全部分给第一个笼子，那么每只猩猩4个，有剩余；每只猩猩5个，香蕉不够．说明第一个笼子猩猩数少于48÷4＝12只猩猩，多于48÷5＝9……3，即多于9只猩猩；如果把香蕉全分给第二组，那么每只猩猩3本，有剩余；每只猩猩4本，香蕉不够．说明第二组只猩猩数少于48÷3＝16只猩猩，多于48÷4＝12只猩猩；因为已知第二组比第一组多5只猩猩，所以，第一组只能是10只猩猩，第二组15只猩猩．[前铺]幼儿园将一筐苹果分给小朋友．如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个．已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果共有多少个？分析：这样的题型需要将对象统一，分给大班的小朋友每人5个则余10个，大班比小班多3个小朋友，相当于分给小班的小朋友每人5个则余10＋3×5＝25（个），盈亏总数＝25＋2＝27（个），小班人数＝27÷（8－5）＝9（人），苹果有9×5＋25＝70（个）．【例7】（★★★★奥数网题库）李涵的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？分析：（法1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花8×3＝24（元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2元，所以要买碧浪洗衣粉袋数24÷2＝12（件）．这样李妈妈带的钱数是10×12＝120（元）．（法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3×8＝24（元），根据普通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所以李妈妈带的钱数是：12×10＝120（元）．[拓展]"六一"儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？分析：花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花10÷2＝5（元），共需要30÷2＋30÷3＝25（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要（30÷5）×2×2＝24（元），说明花球和白球各买30个能省下25－24＝1（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有30×4＝120（个），共买了120×2＝240（个）．[评注] 老师在最后计算出买乙种商品数量的时候要重点解释为什么不是甲种商品的数量，这也是此类盈亏问题的难点．【例8】（★★★★奥数网题库）卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到3倍还少5个大熊猫，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？分析：使大熊猫感到困难的是条件“3倍还少5只大熊猫”．先要转化这一条件，假设还有 10个棵竹子，10＝2×5，就可以多有 5个大熊猫，把“少5大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给2×3＝6（棵）竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差10＋10＋8＝28 (棵），所以原有大熊猫数 28÷（6－5)＝28（只），竹子总数是 5×28＋10＝150（棵）．[前铺]体育中心将一些乒乓球分给若干个人，每人5个还多余10个乒乓球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个乒乓球还缺少8个，问有乒乓球多少个？分析：考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给2×3＝6（个），每人给5个与给6个，总数相差10＋8＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5)＝18（人），乒乓球总数是 5×18＋10＝100（个）．[总结]这种题型中会出现两种物品，一般两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数关系等，我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据基本盈亏问题的解法计算．四、其他类型【例9】（★★★★奥数网题库）有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多．把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7张，但若都分8张则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人都分到60张，而且还多出4张．问共有小朋友多少人？分析：60÷7＝8……4，60÷8＝7……4，说明卡片的盒数是8盒，“若都分8张则还缺少5张”，即如果我们在每盒中加5张（8盒共加40张），每人就可以得到8×8＝64（张），现在实际每人得到60张，即每人需要退出4张，其中要有4张是每人60张后多下来的，还有40张是我们一开始借来的要还出去，即要退出44张，44÷4＝11（人），说明有11人．[巩固]幼儿园老师给小朋友分糖果．若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但至少可分到一块．那么糖果最多有多少块？分析：最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块．根据盈亏计算公式，人数有（1＋10）÷（9－8）＝11（人），糖果最多有9×11－1＝98（块）；最后一人分不到9块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有（8＋10）÷（9－8）＝18（人），糖果最多有9×18－8＝154（块），所以，这批糖果最多有154块．【例10】（★★★★奥数网题库）小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．小同共存了多少钱?分析：假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3分，所以5分币有： 84÷(5－2)＝28(个)2分币有： 28＋22＝50(个)5×28＋2×50＋1×36＝140＋100＋36＝276(分).[前铺]妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡，甲种卡每张1元，丙种卡每张2元．用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张．妈妈给了红红多少钱？乙种卡每张多少钱？分析：“用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张”所以盈亏总额是：1×8＋2×6＝20（元），单价相差2－1＝1（元），所以共可以买乙种卡20÷1＝20（张），妈妈给红红的钱数是：（20＋8）×1＝28（元），乙种卡每张：28÷20=1元4角．【例11】（★★★★奥数网题库）乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。
2016春季班超常班第5讲讲义
y 3 y 11 得到解： （舍） ， 所以 z 5 ， z2
（1）自然数 x、y 满足： 5 x 3 y 23 ，求 x、y 的值. （2）自然数 x、y 满足： 18 x 51y 858 ，求 x、y 的值. [不定方程的解法]★ ★ 【解析】 （ 1 ） 两 边 取 模 3 ， 得 到 5 x 23(mod 3) ， 即 2 x 2(mod 3) ，x 1(mod 3) ， 因为 5x≥23， 即 x≥5， 所以解为：
（1）求下列不定方程的自然数的解数，并找出规律：
3x 7 y 80 ； 3x 7 y 59 ； 3x 7 y 38 .
（2）求不定方程 3x 7 y 2015 的自然数的解数. [不定方程的解法]★ ★ ★
2
五年级 第 5 讲 不定方程 （C 版）
x 22 【解析】 （1）第一个方程： y2
x 4 ，一共有 x+2y=6 只头. y 1
例5
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某地收取电费标准是：每月用电不超过 50 度，每度收 5 角；如果超过 50 度，超出部分按每度 8 角收费．某月甲 用户比乙用户多交 6 元 7 角电费，这个月甲、乙各用了多 少度电？（都按整数度计算） [不定方程的应用]★ ★ 【解析】 如果两用户用电都不超过 50 度，那么相差的电 费必定是 5 角的倍数，无解.如果都超过 50 度，那么相差 的电费必定是 8 角的倍数，也是无解，所以可知甲用户 超过 50 度，乙用户不超过 50 度.可设甲用户超过的部分 (5 50 8 x) 5 y 67 ， 是 x 度， 乙用户用了 y 度， 可列出方程： 变为 183 8 x 5 y ，两边取模 5 ，得到 3 3x 0(mod 5) ， x 4(mod 5) ，由于 8x≤67，所以 x≤8，即 x=4，此时 y=43， 所以甲用了 54 度电，乙用了 43 度电.
学而思小学奥数个精彩讲座总汇全
第1讲计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级[第1讲循环小数与分数]．1．计算：71147 18262 13581333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=7123723174612241488128131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×．具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6910()52719950.5199519(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.59()519950.419950.5191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987-+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x等于多少【分析与解】方法一：1118x68114x112x7111+11148x62+214x1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．方法二：有11131118821x4+==+++，所以18222133x4+==++；所以13x42+=，那么x=．5．求944,43,443,...,44 (43)个这10个数的和．【分析与解】方法一：944+43+443...44 (43)++个=1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个=104444444...44 (49)++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++-个=1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++--个=914111.1009=49382715919⨯-个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=；再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=；再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=；再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=；再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=；再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=；再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=；再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4．所以，这10个数的和为91．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440⨯+++=7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○=○=．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：△=△=．请计算：23155 (0.625)(0.4)33384 1235(0.3)( 2.25) 3104⨯+【分析与解】原式1550.6255155725384218384122562.253⨯=⨯÷=+8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1【分析与解】因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如．那么在所有这种数中。
学而思小学奥数知识点梳理(大纲视图)资料讲解
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
四、
1
①开放型与封闭型
②间隔与株数的关系
2
外层边长数-2=内层边长数
（外层边长数-1）×4=外周长数
外层边长数2-中空边长数2=实面积数
3
①车长+桥长=速度×时间
②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间
学而思小学奥数知识点梳理
学而思教材编写组侍春雷
前言
小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。
③车长甲+车长乙=速度差×追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题
车长=速度和×相遇时间
车长=速度差×追及时间
4
差不变原理
5
假设法的解题思想
6
原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间
7
8
分析差量关系
9
10
11
12
还原法，从结果入手
13
列表消元法
等价条件代换
五、
1
路程和=速度和×相遇时间
n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
学而思奥数2016寒假班提高班第3讲讲义
四年级寒假提高班第3讲作业从日历谈起作业1观察如下某月日历：日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930（1）请在日历中圈出一个横行上相邻的三个日期，使三数之和为42．（2）请在日历中圈出一个竖列上相邻的三个日期，使三数之和为42．【答案】（1）13、14、15；（2）7、14、21【分析】日历数表规律是7天一循环，相邻两个自然数之间差1；同一列相邻两数之差为7；（1）等差数列中项公式，中间项是¸=，横行上是13、14、15这三42314个日期；（2）同问题（1），竖列是7、14、21．作业2从1开始的连续自然数按规则排列如下，能否用如图所示的“X”划掉五个数，使这五个数的和等于240？123456789 101112131415161718 192021222324252627 282930313233343536【答案】能【分析】240548¸=，即中心数为48；每行9个数，48953¸= ，即48在第6行第3列，故能划掉．作业3从1开始的自然数按如图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出四个数，能否使这四个数的和等于214．若能办到，请写出平行四边形框内的最小数；若不能办到，说明理由．123456789 101112131415161718 192021222324252627 282930313233343536【答案】可以，最小为48【分析】最小数为平行四边形左上角的数，若设它为x ，则另三个数可表示为x +1，x +10，x +11，若这四个数和为214，即(1)(10)(11)214x x x x ++++++=，即422214x +=，解得48x =，48953¸= ，在第6行第3列，故可以办到．作业4如图，将从9开始的连续自然数按规律填入数表中，请问：（1）135应该排在第几行第几列？（2）第25行第3列的数是多少？9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26…… ……【答案】（1）第22行第1列；（2）155【分析】（1）(1358)6211-¸= ，所以135在第22行第1列；（2）82463155+´+=．作业5如图，从10开始的连续自然数是按某种规律排列的，请问：（1）312在第几行，第几列？（2）第15行第1列的数是多少？1011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041【答案】（1）第76行第1列；（2）66【分析】（1）2行为1组，一组有8个数，1~9没有写入数表，故(3129)8377-¸= ，即312是第38组的第7个数，应为38276´=行1列；（2）第15行第1列的数在第8组的第一个，观察得知，每组的第一个数构成了以10为首项，以8为公差的等差数列，所以第15行第1列的数为：108766+´=．复习巩固作业1计算：3.7257.442.6 3.72 3.72´+´+【答案】 375.72【分析】原式3.72(57.442.61)3.72101375.72=´++=´=作业2右图中，水平、竖直方向上相邻两个格点的距离为1，那么阴影部分的面积是___________．【答案】27【分析】+¸-=．20162127作业3一列火车通过592米长的桥需31秒钟，以同样的速度穿过319米长的山洞需18秒钟．则这列火车的速度是___________米/秒，全长是_______米．【答案】21；59【分析】速度为(592319)(3118)21-¸-=（米/秒），全长312159259´-=（米）．四年级寒假提高班第3讲练习册答案从日历谈起同步练习1．5B比A大8，C比A大16，D比A大A=---¸=，24，则有(5281624)41A是星期三，则第一个星期日是145+=号．2．20号观察日历得出，上下的数分别比生日那天少7，多7；左右的数分别比生日那天少1，多1；则可以得出中间的数为这四个数的平均数，得80420¸=．3．149、155、157、163十字框的四角的和是中心数的4倍．6244156¸=，1567=222¸××××××，满足条件，十字框的中心数只能在第2列至第6列，此时四个角的数分别是：149、155、157、163．4．（1）232、214；（2）不能；（3）不能显然，方框中心的数是9个数的平均值，即9个数的和为中心数的9倍；三个数中2008不是9的倍数，不能办到；20079223¸= ，即¸=，2238277 2007对应的中心数为223，而223位于第7列，可以办到，最小是2239214+=；-=，最大是2239232 20169224¸=，即2016¸=，224828对应的中心数为224，而224位于第8列，不能办到．5．71总和为框中间两数和的三倍，¸=，则中间两数的和是3993133133，差是7（由数表可知），所以较大的数是：()+¸=，验算1337270¸=××××××，说明70在第6列，70886成立，所以框里最大的数应该是71．6．（1）第45行第2列；（2）448（1）观察知两行为一个完整周期，有9个数，2009222¸=××××××．´+=，所以200在第45行，222145第2列；（2）第100行的最后一个数为：´=．所以第100行的第2列为：509450-=．4502448深化练习7．（1）5列，50，59，68，77；（2）能；（3）不能（1）2542127-¸=，¸=，(12727)250 50，59，68，77，50955¸=……．位于第5列．（2）9999111¸=，111是这个十字架的中间数，111位于第三列的位置，所以可以；（3）10011191¸=，91是这个“王”字的中间数，而91位于第一列的位置，无法作为中间数，所以不可以．8．F考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，除去1，每组12个数，则按照组中数从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、F、G、F、E、D、C、B、A．因此，我们只要考查5000是第几组中的第几个数就可以了，因为5000是除去1后的第4999个数，¸=××× ，即5000是第4999124167417组中的第7个数，所以，5000在F 下方．9．（1）第6行第10列；（2）94（1）最接近87的平方数是2981=，位于第9行第1列，则其下一个数82位于第1行第10列，87与82位于同一列，排在第6个，即87位于第6行第10列．（2）第10行左起第一个数是2=，10100--=．则第7列的数为100(71)94实战练习10． (1) 55(2)73（1）1234567891055+++++++++=．（2）字母a所在的行从左到右依次是：16、23、31、40、50 ，可以发现规律是：相邻两个数的差构成首项是7、公差是1的等差数列，所以a=++++++=．16(789101112)73阶段测试11．77原式=(15.43+24.57)+(55.96-8.96)-(4.33+5.6 7)404710=+-77=.12．19∵17N=；6L=，∴611711922LS N=+-=+-=.1不能。
第5讲.和倍问题.例题+拓展练习
第5讲和倍问题一、讲义例题例1. 学而思三年级奥数基础班和提高班共有图书160本。
基础班的图书本数是提高班的3倍，基础班和提高班各有图书多少本？例2. 甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要是甲仓库存粮是已仓库的3倍，必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？例3.甲、乙两船原有乘客共561人，到某地后，从甲船下去40人，乙船上来10人，这时甲船人数正好是乙船人数的2倍。
问甲、乙两船原来各有乘客多少人？例4.新华书店去年和今年共售书380万册，今年售书量比去年售书量的2倍还多20万册，问去年和今年各售书多少万册？例5. 小猴子聪聪和明明共有28个香蕉，聪聪的香蕉比明明的2倍少2个。
聪聪和明明各有几个香蕉？例6. 一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112千克。
一直苹果的重量是梨的3倍，香蕉的重量比梨少3千克。
一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？二、拓展练习1、小王家养了公鸡和母鸡，一共35只，公鸡的只数是母鸡的4倍，王刚家养的公鸡和母鸡各有多少只？2、某学校五、六年级共有学生150人，五年级的学生人数是六年级学生人数的2倍，五、六年级各有学生多少人？3、某厂生产一批零件，原计划由甲车间生产510件，乙车间生产505件，后因情况变化，要求乙车间完成的数量是甲车间的4倍，那么应从甲车间的任务中拨给乙车间多少件？4、弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟过少本后，弟弟的书是哥哥的2倍？5、小小图书室有故事书和童话书共54本，其中童话的本数比故事书的2倍少6本。
童话书和故事书各有多少本？6、少先队员栽苹果树和梨树共134棵，苹果树比梨树棵树的3倍少10棵，这两种树各栽了多少棵？7、果园里共有梨树、苹果树和桃树410棵，一直苹果树的棵树是梨树的3倍，桃树的棵树比梨树的2倍还多20棵，分别求出桃树、梨树、苹果树各多少棵？。
学而思初二数学寒假班第5讲.梯形.提高班.教师版
梯形初步寒假班第三讲漫画释义找梯形四边形 1级平行四边形四边形 3级梯形四边形 2 级矩形、菱形、正方形寒假班第四讲寒假班第五讲题型切片（两个）对应题目题型目标梯形的定义、等腰梯形的性质及判定例 1；演练 1；例 2 ；例 3 ；演练 2 ；梯形中的常见辅助线例 4 至 6；演练 3 至 5 ；例 7；本讲内容主要分为两个模块，其中模块一主要为梯形的定义、等腰梯形的性质及判定，主要重点练习了和等腰梯形相关的题型，并强化了等腰梯形的性质及判定，学生尤其需要注意的是等腰梯形对角线相等这个性质，比较容易被忽视；模块二主要归纳了梯形中的常见辅助线的作法，老师可以结合班内情况重点对例 6 进行深入拓展，本题可以用梯形中所有的做辅助线的方法，是一道经典题目；本讲的最后一部分是 2013 年北京中考试题，题目难度不大，但是综合了平行四边形，勾股定理等相关知识点，综合性较强．知识互联网题型切片初二寒假·第 5 讲·提高班·教师版模块一梯形的定义、等腰梯形的性质及判定等腰梯形的性质示例剖析①两腰相等②同一底上的两个角相等③对角线相等AD⑴AB=DCO⑵ ABC DCB⑶AC=DBBC判定①两腰相等的梯形是等腰梯形② 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形③对角线相等的梯形是等腰梯形例 1】⑴ 下列说法正确的是（）A ．梯形是特殊的平行四边形B ．等腰梯形的两底角相等C．有两邻角相等的梯形是等腰梯形D．有且只有一组相邻角为直角的四边形是直角梯形⑵ 如图是六个等边三角形组成的一个正六边形，请问图中共有个平行四边形，_____ 个等腰梯形．⑶ 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC ，对角线BD BC ，ADAB，则 A ___ ．⑷如图，直角梯形 ABCD 中， AB//CD ，CB⊥AB，△ ABD 是等边三角形，若 AB=2，则 BC=解析】⑴ D；⑵ 6； 6；⑶ 108°；⑷ 3 ．A初二寒假·第 5 讲·提高班·教师版例2】 如图，在梯形 ABCD 中， AB∥DC ， DB 平分 延长线于点 E ，且 C 2 E ．⑴ 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形．⑵ 若 BDC 30 ， AD 5 ，求 CD 的长． 解析】 ⑴ ∵ AE∥ BD∴ E BDC∵ DB 平分 ADC ∴ ADC 2 BDC=2 E 又 ∵ C 2 E ∴ ADC C∴梯形 ABCD 是等腰梯形⑵ 由⑴ ，得 C 2 E 2 BDC 60 ，且 BC AD5∵在 △BCD 中， C 60 ， BDC 30DBC 90 ∴ DC 2BC 10已知，如图，在△ ABC 中， AB=AC ，BE ⊥AC 交 AC 于点 证：四边形 DBCE 是等腰梯形∵ AB=AC ∴ ABC ACB∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ∴ BDC= CEB =90°在 △ BDC 和 △ CEB 中 CDB BECABC ACB BC CB∴△BDC ≌△CEB （AAS ） ∴BD=CE ， CD=BE ∵ AB=AC ∴ AD=AE ∴ ADE= AED在 △ ADE 中， A ADE+ AED =180 在 △ ABC 中， A ABC+ ACB =180 ∴ ADE= ABC ∴DE//BC∵在△ABC 中，BD 、CE 交于一点 ∴BD 与 CE 不平行 ∴ 四边形 DBCE 是梯形 ∵ BD CE∴ 梯形 DBCE是等腰梯形ADC ，过点 A 作 AE ∥BD ，交 CD 的例 3】 E ，CD ⊥AB 交 AB 于 D ，求C类型图形作法本质典型应用与高有关ADB EFC过A 作AE BC 于E ，过D 作DF BC于F （简称作双高）把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形面积计算与腰有关ADB A E C过D作DE∥AB 交BC 于E （平移一腰）把梯形转化为一个平行四边形和集中两腰、上下底之差的三角形（△DEC ）梯形中四边关系AD EBA D EB C过C作CE ∥ AB ，交AD 延长线于E（平移一腰）A E DB M N C过E 作EM ∥ AB交BC 于M ，EN∥DC 交BC 于N（平移两腰）把梯形转化为两个平行四边形和一个集中两腰和上下底之差的三角形（△EMN ）EA DBDC分别延长BA、CD交于点E （补成三角形）把梯形补全为△EBC梯形中构造特殊三角形与对角线有关ADBOEB C E过D 作DE ∥ AC交BC 延长线于E（平移对角线）把梯形转化为一个平行四边形（ADEC ）和一个集中两条对角线与上下底之和的三角形（△BDE ）集中对角线与腰ADBA MB C E连接AM 并延长交BC 延长线于E（倍长类中线）将梯形切割拼接成一个与它面积相等的三角形（△ABE）梯形的中位线证明；初二寒假·第 5 讲·提高⑴60°．可平移一腰得到等边三角形 ⑵ 18 ．可平移一腰（或延长两腰）得到含 30 的直角三角形，用直角三角形的性质得答∥AB 、EN∥CD 交BC 于 M 、 N ．（也可延长两腰，则需证明三点 共线）例5】 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，∠BOC = 120 ， AD = 2，BC = 4．求等腰梯形 ABCD 的面积．AD 3， AB 4 ， BC 7 ， 则 B = ⑵ 在梯形 ABCD 中， AB∥CD ， A 为．60 ， B 30 ， AD CD6 ，则 AB 的长度⑶ 如图，在梯形 ABCD 中， B 52 ， 是 AD 、 BC 的中点，则 EF 的长度为C 38 ， AD 6 ， BC 10，点E 、F 分别解析】案．⑶ 过点 E 作点评】 BC∵ AE DE ， 90 ， ∴ MEN 90又 ∵ BM AE BF CF DE CN∴ MF NF ， 1∴EF MN2 在 梯 形 ABCD MN BC AD 4， B C 90 ， EF 是 两 底 中 点 的 连 线 （ BC AD），则 EF BC AD ．2的 中 点 有 关夯实基⑴ 等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC ，例梯形拼成三角或四边能力提解析】E作 DE ∥AC ，交 BC 延长线于 E，作 DF⊥BE于F．∵ AD ∥ BC ，∴ ACED 是平行四边形，∴ DE = AC ， CE = AD ．又∵梯形 ABCD 是等腰梯形，∴ AC = DB ，∴ DB = DE ．∴△ DBE 是等腰三角形．∵∠ BOC=120°，AC∥DE，∴∠ BDE =120°．∴∠DBE=∠DEB=30°．又∵DF ⊥BE，1 1 1 1∴BF=EF= BE = (BC+CE )= (BC+AD)= (4＋2)=3．2 2 2 21在 Rt △ DBF 中， BD2=BF 2＋ DF 2，DF= BD，2 ∴DF=3 ．11∴SABCD (AD BC) DF = (2 4) 3 =3 3 ．22∴等腰梯形 ABCD 的面积是3 3 ．例 6】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，B 90 ，C45 ，AD 1，BC 4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF 的长．解析】解法过点D作DG BC于点G．∵ AD∥BC ，B 90 ，∴ A 90 ．可得四边形ABGD 为矩形．BG AD 1 ，AB DG．BC 4 ，∴GC 3．DGC 90 ， C 45B GF C13 又∵E 为 AB 中点， ∴ BE AB ． 22∵ EF∥DC ，3在 △BEF 中， B 90 ，∴ EF 2 ．2 解法二：延长 FE 交 DA 的延长线于点G ．∵ AD∥BC ，EF∥DC ，∴四边形 GFCD 为平行四边形， G 1． ∴ GD FC ．∵ EA EB ， 2 3 ，∴ △GAE≌△ FBE ． ∴AG BF ． ∵ AD 1， BC 4 ，设 AG x ，则 BF x ， CF 4 x ， GD x 1 ．真题赏析例7】 如图，在 YABCD 中， F 是AD 的中点，延长 BC 到点 E ，使2CE BC ，连接 DE ， CF ．3⑴求证：四边形 CEDF 是平行四边形；⑵若 AB 4， AD 6 ， B 60 ，求 DE 的长．（ 2013 北京中考）解析】 ⑴在 YABCD 中， AD ∥BC∵ F 是 AD 中点 .11∴ DF AD ，又 ∵ CE BC .22∴ DF CE 且 DF ∥ CE ∴四边形 CEDF 为平行四边形∴ x 1 4 x ． 解得 x3 2． ∵ C 45 ，∴ 1 45 ．在 △ BEF 中， B 90 ，EF 1 2 3 42 ． 2 点评】 此 外，本题方法还有：⑴ 延长 BA ，CD 交于一点； ⑵ 过点 A 作 DC 的平当然不排除还有其它方法，此题几乎囊括了梯形所有常见的辅助线作法，比较具有代表性．⑵过 D 作 DH BE 于H 在 YABCD 中 ∵ B 60 ∴ DCE 60 ∵ AB 4 ∴ CD 4∴ CH 2 ， DH 2 3 1在 YCEDF 中， CE DF AD 32∴ EH 1在 Rt△ DHE 中 DE (2g 3)21213分析】梯形题目掌握起来比较容易上手，学生只要熟练掌握几种常见的作辅助线的方法即可，学有余力的班级，老师可以带着学生进行下面一道题目的探究巩固本讲知识．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥ CD ，E 是 AD 的中点， BEC 90 ．求证： BC ABCD ．如图，延长 BE 交CD 的延长线于 F 在 △ABE 和△DFE 中点评】 此 题是道经典题型，老师们可以在此题的基础上进行拓展和变形，比如：⑴ 将上题中的 “ BEC 90 ”与“BC AB CD ”交换位置，其它条件不变，你会探究】解析】A FDE ， AE DE ， ∴ △ ABE≌△ DFE ， ∴ BE ∴ CF CD DF AB CD AEB DEF∵ CE BF ， BE EF ，∴ EF ， A B DF BC CF AB CD ．证明吗？⑵ 此题中还可以拓展为：在梯形ABCD中，AB∥CD ，①E是AD的中点；② BEC 90 ；③BC AB CD；④ BE平分ABC；以上四个条件，除由②③ 不能推出①④ 外，由其它任意两个作条件，均个结论，老师可适当可推出另两补充思维拓展训练（选讲）训练1. ⑴在等腰梯形 ABCD中， AD∥BC，对角线 AC⊥BD 于点O， DF ⊥ BC，垂足分别为 E、F，AD= 4，BC =8，则 AE+EF =（ A．9 B．10 C．11⑵如图，形折叠，解析】⑴B训练2.如图，解析】AE⊥BC ， )D．20在梯形 ABCD 中，∠ DCB=90°，AB∥CD ，AB=25 ，点 A 恰好与点 D 重合， BE 为折痕，那么 AD 的长度为；⑵ 30（提示：作高运用勾股定理求边）在梯形 ABCD 中，AD//BC，BD⊥DC ，∠ C=60°， AD= 4，BC=6，过点 A作 AE⊥BD，垂足为E．∵BD⊥DC，∠C=60°，BC=6，∴∠ 1= 30°，CD=3， BDAD//BC ，∠ 2=∠1=30°AE⊥BD，2 ，DE 2 3BDAD=4，AEBE DE 33 23 3．∴ AB AE2BE27．训练 3. 如图，在△ ABC中，ACB 90 ，初二寒假·第 5 讲·提高班·教师版BC=24．将该梯求 AB 的长．1DE∥AC且DE AC，点 F 在 AC延长线上，且2CF 1 AC ．求证：四边形 ADEF 是等腰梯形．2【解析】连接CD ，过点D 作DH AC 于点H ，易知四边形DHCE 为矩形，1∴HC DE AC2∴HC AH又∵ DH AC∴DA DC11∵DE AC,CF AC,DE∥ AC22∴DE CF,DE ∥CF∴四边形DEFC 为平行四边形∴DC EF∴DA EF又∵DE ∥AF∴四边形ADEF 是等腰梯形训练4. 在梯形 ABCD 中， AD//BC ，C 90°，E为CD的中点， EF//AB交BC于点F ．⑴求证：BF AD CF ；⑵当AD 1，BC 7，且BE平分ABC时，求EF 的长．初二寒假·第 5 讲·提高班·教师版解析】 ⑴延长 AD 交 FE 的延长线于 N ， Q NDE FCE 90 °，DEN FEC ， DE CE ，∴△NDE ≌△ FCE ． ∴DN CF ．Q AB∥FN ，AN ∥BF ，∴四边形 ABFN 是平行四边形．∴BF AD DN AD FC ．⑵Q AB∥ EF ，∴ ABE BEF Q ABE CBE ，∴ CBE BEF ．∴EF BF ． ∴EF AD CFAD BC 1 74．A D A DD ，这种题型要确定梯形的腰与底，为此需分类 讨论，解题的关键是，给出四条线段要构成梯形需满足一定的条件．如下图，需满足： b cd a （利用三边关系演练 2】 如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为 2 ，下底长为 4，腰长为2 ，这样的纸片共有 5 张．打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那 么你能拼出哪几种不同的等腰梯形 ?分别画出它们的示意．图．．，并写出它们 的周长． 解析】 如 图：知识模块一 梯形的定义、等腰梯形的性质及判定 课后演练 【演练 1】 ⑴如图，等腰梯形 ABCD 中， AB∥ CD ，对角线 AC 平分BAD B 60 CD 2 ABCD⑵若等腰梯形的三边长分别为3， 4， 11，则这个等腰梯形的周长是（ C ．21或 29D ．21或 22或 29解析】 ⑴ 3 3 ；⑵ B ．分析：很多学生会错选 CAc知识模块二 梯形中的常见辅助线 课后演练演练 3】 如图，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC ，AB DC ，AD到 E ，使 CE AD ．⑴ 写出图中所有与 △ DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；⑵ 探究当等腰梯形 ABCD 的高 DF 是多少时，对角线 AC 与 BD 互相垂直？请回答并说 明理由． 解析】 ⑴ △CDA≌△DCE ， △BAD≌△DCE ；① △CDA≌△ DCE 的理由是： ∵ AD ∥ BC ∴ CDA DCE又∵ DA CE ， CD DC ∴ △CDA ≌△ DCE或②△BAD≌△DCE 的理由是： ∵ AD ∥ BC∴CDADCE又∵四边形 ∴ BADABCD 是等腰梯形，CDA 又∵ AB CD ， AD CE ∴ △BAD≌△DCE⑵ 当等腰梯形 ABCD 的高 DF 为 3时，对角线 AC 与 BD 互相垂直． 理由是：设 AC 与 BD 的交点为点 G ，∴ AC DB又∵ AD CE ， AD∥BC∴四边形 ACED 是平行四边形， ∴ AC DE ， AC∥ DE ∴ DB DE2 ， BC 4 ，延长 BC四边形 ABCD 是等腰梯形， 2 4 2 4 2(2) 周长为 34则BF FE又∵ BE BC CE BC AD 6初二寒假·第 5 讲·提高班·教师版∴ BF FE 3∵ DF 3∴ BDF DBF 45 ， EDF DEF 45∴ BDE BDF EDF 90又 ∵ AC∥ DE ∴ BGC BDE 90 ，即 AC BD ．演练 4】 已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ， AB DC 数及 AC 的长． 解析】 解法一：∵ AD∥BC ，∴四边形 AECD 是平行四边形．∴ AD EC ， AE DC ．∵ AB DC AD 2， BC 4 ，∴ AE BE EC AB ．可证 △BAC 是直角三角形， △ABE 是等边三角形．∴ BAC 90°， B 60°．在 Rt △ ABC 中， AC 2 3 ．∴ B 60°， AC 2 3．解法二：分别作 AF BC ， DG BC ， F 、G 是垂足∴ AFB DGC 90°．∵ AD∥BC ，∴四边形 AFGD 是矩形．∴ AF DG ．∵ AB DC ，∴Rt△AFB≌Rt△DGC ．∴ BF CG ．∵ AD 2 ， BC 4 ，∴ BF 1 ．在 Rt △ AFB 中，AB 2BFB 60°． BF 1，AF 3．FC 3，由勾股定理，得 AC 2 3 ． 过 A 点作 AE∥DC 交BC 于点 E ．AD 2， BC 4．求 B 的度 C解析】 ⑴ 解：分别过 A 、D 作 AE BC 于E ，DF BC 于F ． ∴ AB CD ， EF AD ， BE CF∴ AE DF 4∵ AD 5∴ EF 5∵ BC 11∴ BE 3∴ CD AB BE 2 AE 2 5∴ AB BC CD AD 26⑵ 证明：过 D 作 DE ∥ AC 交 BC 延长线于 E ． ∴ BO C BDE ∵ AD BC∴四边形 ADEC 为平行四边形 ∴ CE AD ， AC DE ∵ AC BD∴ DE BD∵ AD 3， BC 7 ， BD 5 2 ∴ BE 10， BD DE 5 2 ∴ BD 2 DE 22 2 BE 2 ∴ B 60°， AC 2 3 ．点评】 此 题的方法二中用到了： 如果一个直角三角形一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为 30°，这个定理可以让学生了解一下，到初三学习三角函数后就能直接用 了，所以建议老师以第一种方法为主． 另外可以总结有关梯形的一个规律： 如果一个等腰梯形有一底边等于另一底与一腰的和，则该底边的两底角为60°．（可用平移一腰来证明） AD∥ BC ． BC 11，梯形的高为 4 ，求梯形的周长；BC 7， BD 5 2，求证： AC BD ．演练 5】 在等腰梯形 ABCD中， ⑴ 如图 1，若 AD 5 ， 图∵四边形 ABCD 为等腰梯形， AD∥ BCAD∴BDE 90 ∴ BOC 90E第十六种品格：感恩感恩地活着史蒂文斯失业了，一切来得那么突然。
学而思奥数计算专题5-数列求和与公式技巧强化篇
数列求和与公式技巧等差数列最常用的几个公式1. 通项公式：第n项=第1项+(n-1)⨯公差；推导公式：n=(第n项－第1项)÷公差+1。
2. 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2；推导公式：和=中间项⨯项数(等差数列是奇数项)。
【例1】计算：1+2+3+…+24+25【拓展1】计算：4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30+32+34+36 【拓展2】如下图所示的表中有55个数，它们的和是多少？拓展2图【例2】在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第个数是1994。
【拓展】自1开始，每隔3个数一数，得到数列1，4，7，10，…，问第100个数是多少？【例3】在11－45这35个数中，所有不能被3整除的数的和是。
【拓展】从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有个。
【例4】节日期间在一个八层楼房上安装彩灯，共安装彩灯888盏，已知从第二层开始，每一层都比下一层少安装6盏，那么最上面一层安装多少盏灯？【拓展】小玲练习写毛笔字，她星期一写了6个字，以后每天比前一天多写相同数量的字，到这个星期六，她共写了66个字。
问小玲每天比前一天多写几个毛笔字？【例5】小刚进行加法珠算练习，用1+2+3+4+…，当加到某个数时，和是2010。
在验算时发现重复加了一个数，这个数是。
【拓展】黑板上写有从1开始的一些连续奇数：1，3，5，7，9，…，擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是。
〖答案〗【例1】325 【拓展1】340 【拓展2】1815 【例2】285 【拓展】298 【例3】638 【拓展】75 【例4】90 【拓展】 2【例5】57 【拓展】17。
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位数、三位数．请你将其中的质数都 写出来． 【答案】 5 个：2，3，13，31，23 【分析】 （第二届华杯赛复赛第 2 题）一位数： 2，3；两位数：13、31、23，共 5 个．
37 38 39 40 41 42 聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌． 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 将质数对应的汉字依次写出就是：少 年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．
2．某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质 数，在 50 以内你能找出几个这样的质 数？把它们写出来． 【答案】 有六个这样的数，分别是 11，13，17，
（3）已知 A、B 都是质数，且 35A +12B = 130 ，求 A、B 各是多少． 【答案】 （1）2 和 89； （2）36 = 2 + 3 + 31 = 2 + 5 + 29 = 2 +11+ 23 = 2 +17 +17； （3）A=2，B=5
2. （1）已知两个质数和为 30，这两 个质数分别是多少？ （2）已知三个互不相同的质数和为 25，这三个质数的积可能是多少？
拓展 3 哥德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶 数都可以表示成两个质数之和”. 问：
168 是哪两个两位数的质数之和，并且 其中一个的个位数字是 1？ 【答案】 97 和 71 【分析】 两个数是两位数，最小数至少为 69， 比 69 大的个位为 1 的质数只有 71，此 时另外一个数为168 - 71 = 97所以这两 个数分别为 71、97．
9．24
318 是偶数，所以 3 个质数只能是“偶+ 奇+奇”，必有一个是22，另两个平方 数的和为 314，经尝试可知只能是 52 +172，所以a + b + c = 2 + 5 +17 = 24．
实战练习 10．23；181 （1）要求最大的质数尽可能小，那么 拆分的质数要尽量的平均． 200 ¸10 = 20，最大的数不小于 20，至 少应为 23．200 = 23´8 +11+ 5，满足题 意．
练一练 一个两位质数，个位与十位数字交换 后仍为质数，这样的质数有多少个？
请写出所有这样的质数． 【答案】 9 个，分别为 11，13，17，31，37， 71，73，79，97．
例3 在 51、101、103、105、107、109、1001 这七个数中，质数有多少个？ 【答案】 4 个质数：101，103，107，109 【分析】 利用常见数的整除特征可以迅速判断 大部分整数是不是质数．
【答案】 10；11.5 【分析】 分割方法不唯一：左图: 6+4=10；右图: 4.5+2+1+2+2=11.5.
作业 2 从 1 开始的连续自然数按如图所示的
规则排列，并用一个正方形框出九个 数，能否使这九个数的和等于 100？若 能办到，请写出正方形框内的最大数 和最小数；若不能办到，说明理由.
作业 3 计算： 72 ´74 ´78 ´716. 【答案】 72 ´7 4´78 ´716 = 72+4+8+16 = 730
四年级寒假提高班第 5 讲作业 因倍质合一 同步练习
1．5 个：2，3，13，31，23 （第二届华杯赛复赛第 2 题）一位数： 2，3；两位数：13、31、23，共 5 个．
【随堂练】 1．美少年华朋会友，幼长相亲同切
磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌． 请你将诗中 56 个字第 1 行左边第一字 起逐行逐字编为 1-56 号，再将号码中 的质数由小到大找出来，将它们对应 的字依次排成一行，组成一句话，请 写出这句话． 【答案】 少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中 山
四年级寒假提高班第 5 讲作业 因倍质合一
作业 1 自然数N 是一个两位数，它是一个质 数，而且N 的个位数字与十位数字都是 质数，这样的自然数有 几个？ 【答案】 有 4 个：23，37，53，73
作业 2 哥德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶 数都可以表示成两个质数之和”. 问： 52 是哪两个两位数的质数之和？
【答案】 52 = 11+ 41 = 23 + 29
作业 3 在 29、57、147、209、2015 中，质数 有多少个？ 【答案】 1 个：29 【分析】 57 是 3 的倍数，147 是 7 的倍数，209 是 11 的倍数， 2015 是 5 的倍数，只 有 29 是质数.
作业 4 a ，b ，c 均为质数，且 a + b = 33 ， b + c = 44 ， c + d = 66 ，那么 c´d =__________． 【答案】 689 【分析】 奇偶分析可知a = 2，则b = 31，c = 13， d = 53，c´d = 13´53 = 689．
2．质数：79，137，151；合数： 117，237，301，323 117、237 是 3 的倍数；301 是 7 的倍 数；323 = 17´19．
3．97 和 71 两个数是两位数，最小数至少为 69， 比 69 大的个位为 1 的质数只有 71，此 时另外一个数为168 - 71 = 97所以这两 个数分别为 71、97．
拓展 8 用 1-9 这 9 个数字组成若干质数，每个 数字恰好用一次，最多能组成多少个 质数？
【答案】 6 个：2，3，5，89，41，67 【分析】 4，6，8，9 都是合数，其中 4、6、8 不可能放在个位，而 9 可能在个位， 经尝试 89 恰好是一个质数；1 本身不 是质数，所以放在两位数的个位，可 以是 41；其他分别为 67，2，3，5．（不 唯一）
【答案】 23，107，共 2 个
练一练 在 111~121 这 11 个数中，质数有多少 个？ 【答案】 1 个：113 【分析】 只需考虑奇数即可，111 和 117 是 3 的 倍数，115 是 5 的倍数，119 是 7 的倍 数，121 是 11 的平方，只有 113 是质 数．
模块二 特殊质数 例4 （1） 如果两个质数相加等于 39，这 两个质数等于多少？ （2） 已知 P，Q 都是质数，并且 P´11- Q´93 = 2003，则 P ´ Q =__________． 【答案】 （1）2，37； （2）398
23，37，47． 例2 如图，三张卡片上各印有一个数字．从 这三张卡片中选取一张或多张（每张 最多选 1 次）拼成质数，一共可以拼 成多少个不同的质数？
【答案】 5 个：7，79，89，97，67
【分析】 一位质数：7； 两位质数：79、89、97、67； 三位质数：因为其数字和为 24 或 21， 必为 3 的倍数，故无质数． 所以一共可以组成 5 个质数．（注：卡 牌 9 可以当 6 用）
作业 5 如果a，b均为质数，且3a + 7b = 41， 则a + b =__________．
【答案】 7 【分析】 奇偶分析可知 a、b 中必有 2，若a = 2， 则b = 5，a + b = 7；若b = 2，则a = 9，9 不是质数．
复习巩固 作业 1 用割补法计算下列格点多边形的面积. （相邻两点间距离为 1）
深化练习 7．130
在 23 与 29 之间有 5 个数，这 5 个连 续的自然数之和为： 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 26´5 = 130．
8．6 个：2，3，5，89，41，67 4，6，8，9 都是合数，其中 4、6、8 不可能放在个位，而 9 可能在个位， 经尝试 89 恰好是一个质数；1 本身不 是质数，所以放在两位数的个位，可 以是 41；其他分别为 67，2，3， 5．（不唯一）
4．6 种 逐一试验，可知： 100 = 3 + 97 = 11+ 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41+ 59 = 47 + 53，共 6 种．
5．2，11，17
简单奇偶分析，容易知道 A，B，C 中
一定有一个数为 2，分析得出另外两 个数只能为 11，17．
6．5，7，11，13，17，19 由奇偶性可知 6 个数中不能有 2，剩下 还有 7 个质数，和为 75，是 3 的倍 数．6 个数的和也是 3 的倍数，所以只 能去掉 3，因此所选的 6 个数为：5， 7，11，13，17，19．
【分析】 （1）因为 39 是奇数，所以 a、b 中必 有一个是偶质数 2，另一个是 39 - 2 = 37； （2）由奇偶性可知 P、Q 中必有 2， 且只能Q为 2，P = 199，P´Q = 398．
【随堂练】 1. （1）已知两个质数和为 91，这两 个质数分别是多少？ （2）已知三个质数和为 36，这三个质 数分别是多少？
不能直接利用整除特征判断的只能试 除，试除时除到商小于除数为止．
【随堂练】 1. 在 59，77， 91， 111，313， 649，103，共 2 个
2. 在 23，57，81，107，215，819， 1007 这七个数中，质数有多少个？ 3.
（2）要求最大的质数尽可能的大，则 其他的质数要尽可能的小，假设均为 2，则最大的数为 182，不是质数， 182 -1 = 181，是质数，满足题意．
四年级寒假提高班第 5 讲作业 因倍质合一
模块一 质数合数的认识与判断 例1 （1） 若a ¸ b = c，其中b ¹ 0，且 a， b，c 均为整数，则 a 是 b 的倍数；b 是 a 的因数；那么，24 ¸ 3 = 8中， __________是__________的倍数； __________是__________的因数． （2） 一个数除了 1 和它本身，不再有 别的因数，这个数就叫做________．一 个数除了 1 和它本身，还有别的因数， 这个数就叫做__________．要特别记