六年级秋季提高班17次课 工程问题(分干合想)
【思维拓展】数学六年级思维拓展之工程问题(附答案)
六年级思维拓展之工程问题知识汇总1.一般工程问题都是，已知独做的工作时间（或合作的工作时间），求合作的时间（或独做的工作时间）。
2.从问题入手，确定是求谁来完成哪一部分工作量所需要的时间，就用要完成的那部分工作量除以谁的工作效率。
3.工程问题的基本数量关系式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间练习1.用计算机录入一份书稿，甲单独做10天可以完成，乙单独做15天可以完成。
现在由甲乙两人合作，由于乙中途生病休息了若干天，结果一共用了8天才完成任务，那么，乙中途休息了多少天？2.一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。
两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？3.打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。
如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。
甲、乙两合做需几天完成？4.我们规定两人轮流做一个工程是指，第一个人先做一个小时，第二个人再做一个小时，然后再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小时，如此反复，做完为止。
如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？5.抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的1。
如果3人合抄只需8天就完成了，那工作效率相当甲、乙每天工作效率和的5么乙一人单独抄需要多少天能完成？6.有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成。
现在有由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天。
那么丙休息了多少天？7.一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。
现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。
如果从开始就由丙队单独做，需要几天？8．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？9．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。
2023六年级秋季教材第三讲工程问题课件通用版
能力冲浪 6
1、甲、乙两个队伍完成一项修地铁的工程，甲队 150 天修完，乙队 180 天修完。在维修 的过程中，甲干 5 天休息 2 天，乙干 6 天休息 1 天。问甲、乙合作几天干完？
2、张飞、关羽、刘备三人栽树，已知张飞、关羽合栽 15 天栽完，关羽、刘备合栽 12 天 栽完，刘备、张飞合栽 8 天栽完。若按张飞、关羽、刘备的顺序各栽一天，栽完这批树苗 共需多少天？
能力冲浪 4
1、某水池有 A、B 两个水龙头，如果 A、B 同时打开需要 30 分钟可将水池注满。现在 A 和B 同时打开 10 分钟后，将 A 关闭，由 B 继续注水 80 分钟，也可将水池注满。那么单 独打开 B 龙头注水，需要多少分钟才可将水池注满？
2、一项工程，甲做63天后乙需接着做28天才可以全部完成；甲、乙一起做，需要48天全 部完成。如果由甲先做42天，还需乙接着做多少天才能完成全部工作？
2、某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合 作，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。甲队干了多少天？
例 2:一项工程，甲单独做需要 20 天完成，乙单独做需要 30 天完成。现在甲在中途请假
2天，乙也请假若干天，这项工程从开工到完成共用了 16 天。问乙请假多少天？
随堂练习
1、一项工程，如果甲、乙单独做分别需要 15 天和 20 天完成。现在甲、乙两人一起合作， 中途乙因事离开了几天，结果用了 12 天完成。问乙离开了几天？
2、一份书稿，甲打字员单独打需要 20 天完成，乙打字员单独打需要 30 天完成。如果甲 先打了若干天后乙接着打，共 25 天完成。那么甲、乙各打了多少天？
工程问题-北京版六年级数学上册教案
工程问题-北京版六年级数学上册教案一、教学目标1.能够理解并解决工程问题，如计算建筑物面积、容积等。
2.能够在实际生活中应用所学知识，掌握数学解决实际问题的方法。
二、教学重点1.工程问题的概念及解决方法；2.数学运算在工程问题中的应用。
三、教学难点1.工程问题的综合应用；2.学生如何将所学知识应用到实践中去。
四、教学内容及学法建议1. 教学内容(1) 工程问题的概念•工程问题的定义：指与建筑、工程、装修等相关的数学问题；•工程问题的分类：可分为求建筑物面积、体积等多种类型。
(2) 工程问题的解决方法•计算建筑物面积的方法：将建筑物分为多个图形分别计算，再将它们拼接起来得到整个建筑物的面积；•计算建筑物体积的方法：将建筑物分为多个立方体分别计算，再将它们加起来得到整个建筑物的体积。
2. 学法建议(1) 实物教学法在教学中，可引导学生实地观察建筑物，并让他们绘制这些建筑物的平面图，进一步加深对建筑物的面积和体积计算方法的理解。
(2) 问答交互式教学法在讲解完重要概念后，可询问学生相关问题，如建筑物面积的计算方法等，以检验学生的掌握程度，并指导他们进行思考和独立分析。
五、教学过程设计1. 教前准备•确定教学目标并分析学生的知识背景；•准备教学用具，如三角尺等；•准备实地考察建筑物；2. 教学步骤(1) 导入环节引导学生回忆已经学过的内容，并安排简单的热身练习，了解学生对面积、体积、角度等概念的掌握程度，让学生更好地投入到课程中。
(2) 讲解工程问题的概念及解决方法•讲解工程问题的定义及其分类；•讲解计算建筑物面积的方法；•讲解计算建筑物体积的方法。
(3) 学生练习将学生分为若干小组，发放相关练习题目，在团队中互相交流，解决问题。
(4) 学生答疑对学生在练习中出现的问题进行解答。
(5) 实地讲解带领学生到实地进行考察，并讲解相关建筑物的面积、体积的计算方法。
(6) 总结简要总结本节课学习的重点及难点，强调工程问题的应用及其在生活中的实际意义。
六年级数学工程问题(附例题答案)
六年级数学工程问题(附例题答案)一、知识要点在日常生活中；做某一件事；制造某种产品；完成某项任务；完成某项工程等等；都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量；它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中；探讨这三个数量之间关系的应用题；我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作；甲做10天可完成；乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体；因此可以把工作量算作1.所谓工作效率；就是单位时间内完成的工作量；我们用的时间单位是“天”；1天就是一个单位；因此甲的工作效率是101；乙的工作效率是151；我们想求两人合作所需时间；就要先求两人合作的工作效率151101+；再根据基本数量关系式；得到所需时间=工作量÷工作效率 =6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题；这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算）；可把工作量多设份额.如上题；10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份；乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天） 实际上我们把111()1015÷+这个算式；先用30乘了一下；都变成整数计算；就方便些. 10天与15天；体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015=.或者说“工作量固定；工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比；从比例角度考虑问题；也是非常实用的.根据3:2；两人合作时；甲应完成全部工作的33325=+；所需时间是31065⨯=（天）. 因此；在下面例题的讲述中；我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法；也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等；这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作；甲做9天可以完成；乙做6天可以完成.现在甲先做了3天；余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析： 甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2. 有一工程；甲队单独做24天完成；乙队单独做30天完成；甲、乙两队合做8天后；余下的由丙队做；又做了6天才完成.这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天例3. 某工程先由甲单独做63天；再由乙单独做28天即可完成；若由甲乙两人合作；需48天完成；现在甲先单独做42天；然后由乙来单独完成；那么还需要多少天？解析：某工程先由甲单独做63天；再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天；甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84；乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天；然后由乙接着做；还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法：令甲每天做工程的百分比为x；乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天；则完成工程的42/84；即1/2；剩下1/2由乙完成；需要1/2÷1/112=56天例4.一项工程；甲乙两人合作4天后；再由乙单独做5天完成；已知甲比乙每天多完成这项工程的130；甲乙单独做这项工程各需要多少天？甲单独做需X天；乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天；乙单独做需15天设甲单独做需X天；那么甲平均每天完成工程的1/X；因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一；就是说；乙平均每天完成1/X-1/30；按照已知条件；甲乙合作4天；4/X+4*(1/x-1/30)；随后；乙单独做了5天；5*(1/x-1/30)；加在一起；完成了这项工程；即；4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成1/10-1/30=1/15；即；乙单独做需15天例5. 一项工程；甲队单独做20天完成；乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做；其间甲队休息了3天；乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？16天中甲实际休息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20需要时间：7/20÷1/30=10.5天所以乙休息了16-10.5=5.5天例6. 有甲、乙两项工作；张单独完成甲工作要10天；单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天；单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作；那么这两项工作都完成最少需要多少天？解析1：先让张某单独完成乙；李某单独完成甲.乙还剩1-8/15=7/15两人合作时间为：7/15/（1/15+1/20)=4 所以至少要工作：8+4=12（天）解析2：小李做甲工效高小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙至少需要:(1-8/15)÷(1/15+1/20)+8=12天例7.甲、乙合做一件工作要15天才能完成；现在甲、乙合做10天后；再由乙独做6天；还剩下这件工作的1/10；甲单独完成这件工作要多少天？解析：甲乙合作10天；完成了：10×1/15＝2/3 乙独做6天完成了：1－2/3－1/10＝7/30 乙每天完成：7/30÷6＝7/180 甲独做需要：1÷（1/15－7/180）＝36（天）例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成；乙队独坐10天可以完成.现在开始两队合作；但中间乙队因另有任务调走；从开始到完成任务；甲队工作了9天；乙队比甲队少工作了多少天？解析：甲独做一天的工效为1/15；乙独做一天的工效为1/10.合做分想：这项工程甲做了9天；剩下的都是由乙队完成的.可以用工作总量减去甲队9天的工作量；求出乙队工作量；再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：（1－1/15×9）÷1/10＝4（天）.所以乙队比甲队少工作天数为：9－4＝5例9. 甲、乙合做一件工作；合作8天后；乙又独做5天；还剩下这件工作的1/6.已知乙单独完成这件工作要30天；那么甲单独完成这件工作要多少天？解析：1-1/30×（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/5÷8=1/20 所以需要20天例10. 甲、乙合做一件工作；每天能完成全部工作的1/12；甲单独做6天；乙又单独做10天后；还剩下全部工作的11/30没有完成；甲单独完成全部工作要多少天？解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20例11..一项工程；甲单独完成需12天；乙单独完成需9天.若甲先做若干天后乙接着做；共用10天完成；问甲做了几天？解析1：当做鸡兔同笼问题处理；如果10天都是乙做；能完成：1/9×10=10/9；超出了：10/9-1=1/9；每天；甲比乙少做：1/9-1/12=1/36；甲做了：1/9÷1/36=4天解析2：设甲做了X天X×1/12＋(10-X)×1/9＝1；得出X＝4甲做了4天例12. 一件工作；甲独做要12天；乙独做要18天；丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天；然后由乙接着做；乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做；丙做的天数是乙做的天数的2倍；终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解析：设甲做了x天；则乙做了3x天；丙做了6x天；所以x/12+3x/18+6x/24=1；x/2=1x=2；所以总共用了2+3*2+6*2=20天例13. 一份稿件；甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时；现在三人合打；但甲因中途另有任务提前撤出；结果用12小时完成；甲只打了多少小时？解析1：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30；打了12小时；则乙和丙分别打了全部稿件的12/24,12/30；12/24+12/30=9/10；则甲打了稿件的十分之一；(1/10)除以（1/20)=2甲打了2小时解析2：方程法：设甲打x小时.则：x/20+12*（1/24+1/30）=1；可解出X=2例14. 一项工程甲单独完成要30天；乙单独完成要45天；丙单独完成要90天.现在由甲、乙、丙合作完成此工程；在工作过程中甲休息了2天；乙休息了3天；丙没有休息；最后把工程完成了；问完成这项工程前后一共用了多少天？解析1：方程法设是第x天完成的；(x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1整理；得x=17解析2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)解释：假若甲、乙没休息；那么应该完成总工程的1+2/30 +3/45例15.一项工程；甲、乙两人合做4天后；再由甲单独做6天才完成全部任务.已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？解析1：思路同第四题；设乙每天完成的工作占整个工作的x；4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1x=1/16；x+1/80=3/40；所以甲40/3天完成；乙16天完成解析2：甲比乙多完成全部任务的：1/80*（4＋6）＝1/8（4＋6表示甲一共做了10天）1-1/8＝7/8（相当于两人均以乙的工效完成的工作量）4＋4＋6＝14（天）乙每天完成：7/8÷14＝1/16；甲每天完成：1/16＋1/80＝3/40；单独完成甲要：1÷3/40＝13又1/3（天）例16. 一件工作；甲、乙两人合作36天完成；乙、丙两人合作45天完成；甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解析：甲乙合作的效率=1÷36=1/36；乙丙合作的效率=1÷45=1/45；甲丙合作的效率=1÷60=1/60；甲乙丙三人合作的效率=(1/36+1/45+1/60)÷2=1/30甲工作的效率=1/30-1/45=1/90三、练习题1. 某工程甲单独干10天完成；乙单独干15天完成；他们合干多少天才可完成工程的一半？解：3)151101(21=+÷天 2. 某工程甲队单独做需48天；乙队单独做需36天.甲队先干了6天后转交给乙队干；后来甲队重新回来与乙队一起干了10天；将工程做完.求乙队在中间单独工作的天数.3. 一条水渠；甲、乙两队合挖需30天完工.现在合挖12天后；剩下的乙队单独又挖了24天挖完.这条水渠由甲队单独挖需多少天？4. 单独干某项工程；甲队需100天完成；乙队需150天完成.甲、乙两队合干50天后；剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1.甲队单独干需100天；甲的工作效5. 某项工程；甲单独做需36天完成；乙单独做需45天完成.如果开工时甲、乙两队合做；中途甲队退出转做新的工程；那么乙队又做了18天才完成任务.问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想；变为“乙队先干18天；后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来；问题就简单多了.答：甲队干了12天.6. 制作一批零件；甲车间要10天完成；如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做；需要8天才能完成.现在三个车间一起做；完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份；甲、乙一起每天完成5份；由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起；8天完成.乙完成8×2=16（份）；丙完成30-16=14（份）；就知乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.已知甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.综合一起；甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7.当三个车间一起做时；丙制作的零件个数是2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）.7. 搬运一个仓库的货物；甲需要10小时；乙需要12小时；丙需要15小时.有同样的仓库A 和B ；甲在A 仓库、乙在B 仓库同时开始搬运货物；丙开始帮助甲搬运；中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2；所需时间是答：丙帮助甲搬运3小时；帮助乙搬运5小时.解本题的关键；是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化；设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6；乙每小时搬运 5；丙每小时搬运4.三人共同搬完；需要60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮助搬运（60- 6×8）÷4= 3（小时）.乙需丙帮助搬运（60- 5×8）÷4= 5（小时）.8.一件工作；甲独做12天完成；乙独做18天完成；丙独做24天完成.这件工作先由甲做了若干天；然后乙接着做；乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做；丙做的天数是乙做的天数的2倍；终于做完了这件工作；求这件工作做完共用了多少天？【解析】：解法一：列方程解答.设甲先做了X天；则乙接着做了3 X天；丙做了（2×3）X天；由题意可得：X×1/12＋3X×1/18＋（2×3）X×1/24＝1解得：X＝2所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.解法二：把甲的工效（一天的工作量）、乙工效的3倍、丙工效的6倍合起来的工作量看作一份；总工作量里有这样的几份；甲就工作了几天；可以求出甲工作的天数为：1÷（1/12＋3×1/18＋2×3×1/24）＝2（天）所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.。
六年级数学工程问题(附例题答案)
第七讲工程问题之老阳三干创作一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，间=工作量÷工作效率=6（天）.两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展发生的.30÷（3+ 2）= 6（天）30乘了一下，都酿成整数计算，就方便些.10天与15或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3.因此，在下面例题的讲述中，我们可以采取“把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2.有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。
这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天例3.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？解析：某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天，然后由乙接着做，还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法：令甲每天做工程的百分比为x，乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天，则完成工程的42/84，即1/2，剩下1/2由乙完成，需要1/2÷1/112=56天例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比甲单独做需X天，乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天，乙单独做需15天设甲单独做需X天，那么甲平均每天完成工程的1/X；因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一，就是说，乙平均每天完成1/X-1/30；依照已知条件，甲乙合作4天，4/X+4*(1/x-1/30)，随后，乙单独做了5天，5*(1/x-1/30)，加在一起，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成 1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需15天例5. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？16天中甲实际休息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20需要时间：7/20÷例 6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解析1：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲。
六年级奥数.应用题.工程问题(ABC级). 学生版
一、 基本概念（1） 工作总量完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.（2） 工作时间（3） 工作效率单位时间内所完成的工作量二、 基本关系工作量 = 工作效率×工作时间【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.三、 常用工具和方法（1） 基本关系（2） 整体化归思想（3） 对比分析的方法（1） 重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题（2） 难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用重难点知识框架工程问题一、 根据基本关系解题【例 1】 一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【巩固】 一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【例 2】 一项工程，甲队单独完成需40天。
若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成. 如果乙队单独完成此工程，则需______天.【巩固】 一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？二、 运用整体化归思想解题【例 3】 有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。
甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。
开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。
则丙帮甲 小时，帮乙 小时。
例题精讲【巩固】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？【例4】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？【巩固】甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加14，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？【例5】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【巩固】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有16的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？三、运用对比分析方法解题【例6】一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？【巩固】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙单独做需要36天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？【例7】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【巩固】一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【例8】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天. 问这项工程由甲独做需要多少天？【巩固】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的15．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？【例9】放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【例10】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【例11】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【巩固】公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【例12】一项工程，甲、乙合作3125小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多13小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？【巩固】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用13天．已知甲单独完成这件工作需10.75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？四、综合运用多种思想解题【例13】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的23。
人教版小学六年级工程问题
工程问题工程问题属于分数应用题。
分数工程问题和整数工作问题基本一样，都是反映工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
在具体解工程问题时要注意如下几点。
1．工作总量通常以“l ”表示，而工作效率用工作总量的几分之几表示，但也有些问题中这个单位“1”是可以求出具体值来的。
2．两人合作的工程问题，一般都应设法确定各自的工作效率。
3．蓄水池中进水管、出水管问题是工程问题的一种特殊情况。
4．解答方法要根据题目具体特点，灵活选用。
例1 一段布，可做30。
件上衣，也可做48条裤子，如果先做20件上衣后，还可以做多少条裤子?[分析解答一] 把“一段布”看作“一项工程”，“做30件上衣”可理解成甲独做30天完成，“做48条裤子可理解成乙独做48天完成”，“先做上衣20件”可理解成甲先工作20天，这样此题就可变为一道基本工程问题。
11120163048⎛⎫-⨯÷= ⎪⎝⎭(条) 答：还可以做16条裤子。
[分析解答二] 同一段布，可做30件上衣，也可做48条裤子，则做一件上衣的布可换成做裤子48÷30=1．6(条)(即一件上衣的布是一条裤子用布的1．6倍)，那么做20件上衣的布可换成做裤子1．6 ×20=32(条)，还可以做裤子48—32=16(条) 48—48÷32×20=16(条)[分析解答三] 用比例方法解答。
解：设还可以做x条裤子，则：3030204816xx-==例2 一项工程，甲乙合做6小时可以完成，同时开工，中途甲停工了2．5小时，因此，经过7．5小时完工，如果这项工程由甲单独完成需要多少小时?[分析解答一] 甲停工2．5小时所做的工作量，甲乙两人合做7．5—6=1．5(小时)可以完成。
这项工程甲乙合做6小时完成，是两人合做1．5小时工作量的6÷1．5=4倍，也是甲2．5小时工作量的4倍，这项工程甲单独做要2．5×4=10(小时)才能完成。
小六数学第17讲：工程问题(学生版)
第十八讲工程问题工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。
例如，工程的一半表示成12，工程的三分之一表示成13。
工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。
工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。
在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。
解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。
在解题时，我们要弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。
由于工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者间关系的问题。
因此我们就要从题目中发掘出三者之中的两者，特别是找出工作效率，这往往是解题的关键，也是本讲的重点内容。
例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现领工资共180元，按工作量分配，甲、乙、丙应各领多少元？例2：一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。
现由甲、乙、丙三个合作完成此工程。
在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了。
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工程问题（分干合想）
月 日 姓名：
【知识要点】
工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 【典型例题】
例1. 师徒两人合作生产一批零件，8天可以完成任务，师傅先做
4天后，因事外出，由徒弟接着做10天，才完成任务。
如果每人单 独做这批零件，各需几天？
例2. 一项工程，甲、乙合做8天完成。
如果让甲先独做6天， 然后乙再独做8天，共完成工程的65
，如果这项工程由甲单独完成， 需要多少天？
例3. 师徒两人合作生产一批零件，6天可以完成任务。
师傅先做5
天后，因事外出，由徒弟接着做3天。
共完成任务的10
7。
如果每人单
独做这批零件各需几天？
例4.某项工程由甲单独做63天后，再由乙单独做28天即可完成。
如果由甲、乙合做48天就可以完成。
现在甲先单独做42天，然后 再由乙单独完成，那么还要多少天？
课堂小测
姓名： 成绩：
1.师徒两人合作生产一批零件，12天可以完成任务。
师傅先做4天 后，因事外出，由徒弟接着做14天完成任务。
如果每人单独做这
批零件各需几天？
2．一项工作甲、乙合做要12天完成，若甲先做3天后，再由乙
工作8天，共完成了这件工作的125。
如果这件工作由甲、乙
单独做，各需要多少天？
3.师徒两人合作生产一批零件，6天可以完成任务。
师傅先做3天 后，因事外出，由徒弟接着做6天。
共完成任务的3
2。
如果每人单 独做这批零件各需几天？
4．某工程先由甲单独做40天，再由乙做28天可以完成。
现在
甲、乙合做35天就完成了。
如果先由甲单独做30天，再由乙接着 做，乙还要工作多少天才能完成？
课后作业
姓 名 成 绩
1.一项工程，甲、乙合做8天完成。
如果让甲先独做6天， 然后乙再独做9天完成任务。
乙独做这项工程要多少天完成？
2．师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。
师傅先做了3天， 因事外出，由徒弟来接着做1天，共完成任务的20
3。
如果让师傅单 独做，多少天可以完成？
3.打印一份稿件，阿莲和蛛蛛合打需要6天可以完工。
阿莲先打
了5天，蛛蛛接着打了2天，一共完成了这份稿件的15
8
，求阿莲
和蛛蛛如果单独打各需要多少天？
4．某工程先由甲单独做45天，再由乙做20天可以完成。
现在甲乙 合做30天，就完成了。
如果先由乙单独做30天，再由甲接着做， 甲还要工作多少天才能完成？。