西华师大数信院数学与应用数学专业2008级《实变函数》期末试题B卷
西华师范大学数学分析(1)试题一
西华师范大学数学分析-1样题(一)一.(8分)用数列极限的N ε−定义证明1n =.二.(8分)设有复合函数[()]f g x ,满足:(1)lim ()x ag x b →=;(2)0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈(3)lim ()u bf u A→=用εδ−定义证明,lim [()]x af g x A →=.三.(10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+⋯收敛.四.(12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续.五.(12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界.六.(10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.七.(12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞−−=.八.(14分)求函数32()2912f x x x x =−+在15[,42−的最大值与最小值.九.(14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导,()()0f a f b ′′==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ′′≥−−.一.(10分)设数列{}n a 满足:1a =,1()n a n N +=∈,其中a 是一给定的正常数,证明{}n a 收敛,并求其极限.二.(10分)设0lim ()0x x f x b →=≠,用εδ−定义证明011lim()x x f x b→=.三.(10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>,证明lim 0n n a →∞=.四.(10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x −→存在有限.五.(12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六.(12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导.七.(12分)求函数()1f x x x ααα=−+−在的最大值,其中01α<<.八.(12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈,12x x <,都有12()()f x f x ′′≤.九.(12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩且(0)(0)0g g ′==,(0)3g ′′=,求(0)f ′.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.arctan x x dx∫ 2.xe dx−∫3.ln 0∫4.20sin 1cos x xdxxπ+∫二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数,()0baf x dx =∫.证明()0f x =([,])x a b ∈.三.(10分)证明20sin 0xdx xπ>∫.四.(15分)证明函数级数0(1)n n x x ∞=−∑在不一致收敛,在[0,]δ(其中)一致收敛.五.(10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨− <≤⎩展成傅立叶级数.六.(10分)设2222sin 0(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明:(1)(0,0)x f ′,(0,0)y f ′存在;(2)(,)x f x y ′,(,)y f x y ′在(0,0)不连续;(3)(,)f x y 在(0,0)可微.七.(10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八.(15分)设01σ<<,证明111(1)n n n σσ∞=<+∑.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dxx x++∫3.1arcsin x dx∫4.1000π∫二.(各5分,共10分)求下列数列与函数极限:1.221lim nn k nn k→∞=+∑ 2.20lim1xt xx xe dte →−∫三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x ,()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =∫.证明()0f x =([,])x a b ∈.四.(15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=− , <≤⎨⎪⎪0 , ≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.五.(10分)求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数.六.(10分)用εδ−定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七.(12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =−− ≠的极值.八.(13分)设正项级数1n n a ∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.一(10分)证明方程11(, )0F x zy y zx −−++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z zxy z xy x y∂∂+=−∂∂二(10分)设n 个正数12, , , n x x x ⋯之和是a，求函数u =的最大值.三(14分)设无穷积分() af x dx +∞∫收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明1()() ().f x o x x=→+∞四(10分)求函数1220() ln() F y x y dx =+∫的导数(0).y >五(14分)计算0sin sin (0, ).pxbx axI e dx p b a x+∞−−=>>∫六(10分)求半径为a 的球面的面积S .七(10分)求六个平面111111122222223333333 ,, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±⎧⎪++=±∆≠⎨⎪++=±⎩所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >=八(12分)求22Cxdy ydxx y−+∫�，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九(10分)求dS z∑∫∫，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.数学分析-3样题(二)一(10分)求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二(10分)求在两个曲面2221x xy y z −+−=与221x y +=交线上到原点最近的点.三(14分)设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞∫与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四(12分)证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a−−+∞−=<<∫五(12分)设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有01lim [()()] ()().xa h f t h f t dt f x f a h→+−=−∫六(10分)求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤−≠的面积A .七(10分)设222()() VF t f x y z dx dy dz =++∫∫∫，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八(10分)应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数.九(12分)计算 Sxyz dx dy ∫∫，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。
08数学分析4期末考试答案 (A卷)(1)
第1页（共6页）第2页（共6页）玉林师范学院课程期未考试参考答案及评分标准（2009——2010学年度第二学期）命题教师：龚国勇 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A ） 课程名称：数学分析4 考试专业：数应（本）科 年级： 2008班别： 学号： 姓名： 座位号：1、32223y x x y yx+-+； 2、8π； 3、3 ； 4、242222(,)(,)y y y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰； 5、22Rπ； 6、232Rπ； 7、24; 8、2H Rπ； 9、22()(,,)Vx y z dV yx ρ+⎰⎰⎰；10、0.二、计算题（1-4每小题7分，5-7每小题8分，共52分）1、应用斯托克斯公式计算()()()Lz y dx x z dy y x dz -+-+-⎰ ，其中L 为以(,0,0),(0,,0),(0,0,)A aB aC a 为顶点的三角形沿ABCA 的方向。
解：应用斯托克斯公式，有()()()Lz y d x x z d y y x d z -+-+-⎰=2Sdydz dzdx dxdy++⎰⎰ 3分=2（yzzxxydydz dzdx dxdyD D D ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰） 5分=2（222111222aaa++）=32a 7分2、应用格林公式计算(sin )(2cos )xxLy y dx y dyee -+-⎰，其中L 为直线,y x =1x =与x 轴所围成区域D 的边界线，依逆时针方向。
解：记P （x,y ）=(sin ),xy y e -Q(x,y)=(2cos ),xy e - 1分 易见，P 、Q 满足格林公式的条件，故有装订 线 装 订 线第3页（共6页）第4页（共6页）(sin )(2cos )xxLy y dx y dyee -+-⎰＝[(2cos )(1cos )]xxDy y d e σ---⎰⎰e =xDd e σ⎰⎰ 4分＝10xxdx dy e⎰⎰6分＝1 7分3、计算二重积分D⎰⎰，其中D 是圆周222xyx +=所围成的区域。
数学与应用专业几何基础期末试题07-08第一学期
数学与应⽤专业⼏何基础期末试题07-08第⼀学期试卷代号：1083
中央⼴播电视⼤学2007—2008学年度第⼀学期“开放本科”期末考试
数学专业⼏何基础试题
2008年1⽉
⼀、填空题(每⼩题4分，本题共2c分)
1．菱形在仿射变换下变成——·
2．射影对应把梯形变成⼀——·
3．两个点列间射影对应由——对应点唯——确定．
4．两个不共⼼的射影对应的线束，对应直线的交点个体是———
5．证明公理体系的和谐性常⽤——法．
⼆、选择题(每⼩题4分，本题共20分)
3．不重合的( )对对应元素确定唯⼀⼀个对合对应．
A．3 B．2
C. 4 D．1
4. 若点⼫在⼆次曲线⼚上，那么它的极线⼀定是T的( )．
A．切线B．直径
C．半径D．渐近线
5. 给定⽆三线共点的( )⾃线，可决定唯⼀⼀条⼆级曲线．
A．三Z条
B．四条
C. 五条
D．不⼀定
三、计算题(每⼩题lo分，共30分)
四、证明题(每⼩题10分，共30分)
1．试证明，以任意三⾓形的⼆条中线为边可做⼀个三⾓形．
试卷代号：1083
中央⼴播电视⼤学2007—2008学年度第⼀学期“开放本科”期末考试数学专业⼏何基础试题答案及评分标准(供参考)
2008年1⽉
⼀、填空题(每⼩题4分，本题共20分)
1．平⾏四边形
2．任意四边形
3．三对
4．⼀条⼆次曲线
5．模型
⼆、选择题(每⼩题4分，共题共20分)
1．B 2．A3．B 4．A 5. C 三、计算题(每⼩题10分，共30分)
因此
于是
即。
试卷点评：2008级《高等数学》(下册)试卷
《高等数学》
试卷点评
h
1
一、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 处可微分是它在该点偏导数 z 与 z 连续的
x y __________条件（填必要、充分或充要）, 又是它在该点有方向导数的 __________条件（填必要、充分或充要）.
h
9
四、（本题 7 分）求球面 x2 y2 z2 4含在圆柱面 x2 y2 2x 内部的那 部分面积.
h
10
五、（本题 7 分）计算三重积分 (x y z)2 dv , 其中 是由单位球面
x2 y2 z2 1围成的闭区域.
h
11
六、（本题 7 分）计算曲面积分 (z2 3x) dydz (x y) dzdx ( y z) dxdy ,
h
14
九、（本题 7 分）求满足下述方程的可导函数 y y(x)
x
y(x)cos x 20 y(t)sin t dt x 1.
h
15
十、（非化工类做）（本题 6 分）设 a 0且 a e , 试根据 a 的值判定级数
n1
nn a n n!
的敛散性.
h
16
十一、（非化工类做）（本题 6 分）设 f (x) 是周期为 2 的周期函数, 它在 [ , ) 上的表达式为 f (x) x , 试将 f (x) 展开成傅里叶级数.
h
4
4.
交换二次积分的积分次序
2
dy
2y
f (x, y) dx
____________________.
0
y2
h
5
5. 设曲面 为圆柱面 x2 y2 1介于平面 z 0 与 z 1部分的外侧, 则曲
福建师范大学2008年实变函数与泛函分析考博试题解答
d ( x, H (c)) ≥ f ( x) − c f f ( x) − f ( y )
推出
f
（5 分） ， （ b ） 对 ∀0 < ε < f ， 有
f ( x) − c iz ， 则 f ( z)
δy
2 y
δy
2 y
∈ δ BY (0,1) ，就有 x0 ∈ BX (0,1) ，使
2
= Tx0 ，于是对 x =
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 y
δ
x0 ，满足 Tx = y ，且 x ≤
δ
y ，
取 c = 即可.（10 分）.
δ
证法二 （a）用开映射定理得 R(T ) = Y （5 分） ； （b）由 T 连续，知 N (T ) 闭，于是 X N (T ) 是 Banach 空间，且依商范 数定义，对每个 [ x] ，可取 x0 ∈ [ x], x0 ≤ 2 [ x] （5 分） ； （c）定义 T : X N (T ) → Y ,[ x] → Tx ，说明 T 是有界双射（5 分） ； （d）对 T 用逆算子定理得：
应用共鸣定理，存在 c > 0 ，使 sup Tn ≤ c （5 分） ； （c）故
n
∞ n =1
对 ∀f ∈ X * ， . 5 分） . lim ∑ f ( xn ) = lim TN f ≤ c f （ ∑ f ( xn ) = N →∞ N →∞
n =1
N
证法二（a）用所与条件直接定义
T : X * → l1 : f → ( f ( xn ))∞ ， （b）证 n =1 ∈ l1 ，说明 T 线性（5 分）
08级高等数学1试题及答案
华东交通大学2008—2009学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：试卷编号： （A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》 课程 (工科本科08级) 课程类别：必 闭卷（√） 考试时间：2009.1.10题号 一 二三四 五 总分12 3 4 5 6 7 1 2 分值 10 15 7 7777779 98阅卷人(全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题2分，共10分)_____ 00 0 2)( 1==⎩⎨⎧≥+<+=a x x x a x e x f x 则处连续，在，，设、_________)21()1( 3)1( 2lim=--='→xx f f f x 则，设、________]3 0[29)( 33=+-=ξ上满足罗尔定理的，在函数、x x x f ______)]([ ]1 1[)( 411 =+-⎰-dx x f x x x f 则上为偶函数，，在设、 ___________________cos 5的通解为微分方程、x y =''二、选择题(每题 3分，共15分)1D. 2 C. 3 B. 4 A.) C ()2sin 2sin(1lim=+∞→xxx x x 、)A (4 sin 1cos cos 22=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x 得分 评阅人得分 评阅人3633221cos C x C x y ++-=Cx C x C x C x dx x x +-++-+=⎰22222cos 21D. cos 21 C. cos B. cos A.)D (sin 3不定积分、 32D. 31 C. 2 B. 5 A.)B (1 4ππ积为轴旋转一周所得立体体轴围成图形绕及直线、由曲线、y y y y x ==2 D. 1 C. 0 B. 1 A.)C ( 502lim--=⎰-→xdtext x 极限、三、解答题(每题 7分，共49分). 6)12( 12limb a b ax x xx x 、求，设、=---+∞→解)12(2limb ax x x x x ---+∞→1)1()2(2lim-+-++-=∞→x bx b a x a x6=⎩⎨⎧=-+=-61 02b a a3 2-==b a ，].)1ln(11[2lim+-→x x x 求极限、解)1ln()1ln(lim+-+=→x x x x x 原式1)1ln(111lim+++-+=→x xx x x22)1(111)1(1lim++++-=→x x x x1得分 评阅人得分评阅人. )(cos 3sin dy x y x求，设、= 解 两边取对数得x x y cos ln sin ln =x xxx x y ycos sin sin cos ln cos 1-+=' )tan sin cos ln (cos )(cos sin x x x x x y x -=' dx y dy '=dx x x x x x x)tan sin cos ln (cos )(cos sin -=.442dx x x ⎰-求不定积分、解 tdt t dx t x tan sec 2 sec 2==则，令tdt t t ttan sec 2sec 2tan 2⎰=原式dtt ⎰=2tan 2dtt )1(sec 22-=⎰C t t +-=)(tan 2Cx x +--=2arccos 242得分 评阅人得分 评阅人.ln 5 12dx x x e⎰求定积分、 解31 ln 31dx x e ⎰=原式⎰-=e e xd x x x 1 313ln 31)ln (31dxx e e ⎰-= 1 233131e x e 1339131-=9123+=e.]2 1[ln 214 62上的长度，在区间求曲线、x x y -= 解x x y 212-='dxy s ⎰'+=2121dx x x )1(2121+=⎰212)ln 21(21x x +=2ln 2143+= 得分 评阅人得分 评阅人.ln 721的特解满足求微分方程、e y xyx y y x =='=解x yu =令dxx du u u 1)1(ln 1 =-则 dxx du u u ⎰⎰=-1)1(ln 1 C x u ln ln )1ln(ln +=-1+=Cx xe y 通解121===C e yx 得由1 +=x xe y 特解四、综合题(每题 9分，共18分).)( 12拐点的极值及该函数图形的求函数、xxe x f -= 解 xxxeex f 222)(---='210)(=='x x f 得令0)( 21 0)( 21<'>>'<x f x x f x 时，当，时，当121)21( )(21-==e f x f x 极小值为取极小值，时当x x xe e x f 2244)(--+-='' 1 0)(==''x x f 得令 0)( 1 0)( 1>''><''<x f x x f x 时，当，时，当) 1(2-e ，拐点为得分 评阅人得分 评阅人.)1(86 24的通解求微分方程、x e x y y y -=+'-''解 086 2=+-r r 特征方程为4 2 21==⇒r r ，x x e C e C Y y y y 4221086+==+'-''的通解的单根为08642=+-=r r λ x e b ax x y 4)(*+=可设1224 *-=++x b a ax y 代入原方程得把 ⎩⎨⎧-=+=122 14b a a43 41-==b a ， xex x y 4)4341(*-=xx x eC e C e x x y 42214)4341(++-=通解五、证明题(8分)dxx f dx x f x f ⎰⎰=22)(cos )(sin ]1 0[)( 1ππ证明：上连续，，在设、证dtdx t x -=-=则，令 2π证211limx x x -+→))((cos )(sin 0 22dt t f dx x f ⎰⎰--=ππ112lim++=→x xdxx f ⎰=20 )(cos π1= 得分 评阅人得分 评阅人.211 0 2等价与时，证明当、xx x -+→等价与故211 xx -+。
(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论：。
第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案
武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。
7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。
三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。
五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。
福建师范大学2008年实变函数与泛函分析考博试题
2008年《实变函数与泛函分析》考博题本试卷共五大题，每题20分，要求在指定答卷纸中答题.一、设0f ≠是Banach 空间X 上的一个连续线性泛函，对给定的一个数c ，相应定义了一个超平面():{:()}H c x X f x c =∈=.（1） 证明空间任一点x X ∈到()H c 的距离()(,())f x cd x H x f −=.（2） 就三维欧氏空间3X R =的情况，说明上述结论的几何意义.二、（1）叙述赋范线性空间X 上的线性泛函保范延拓的Hahn Banach −定理.（2）写出你所熟悉的上述Hahn Banach −定理的两个推论.（3）Hahn Banach −定理有这样一个几何形式的表现：设M 是X 的一个线性子空间，0x X ∈，0:g x M =+=0{:}x x x M +∈是X 中的一个线性族，如果g 与单位开球:{:1}B x X x =∈<不相交，则有超平面H 包含g 而且与B 不相交.请证明之.三、设X 和Y 是Banach 空间，:T X Y →是有界线性算子，且T 的值域()R T 是Y 中的第二类型（也称第二纲）集.证明存在一个正数0c >，使对每个y Y ∈，有x X ∈，使 ,Tx y x c y =≤.四、1{}n n x ∞=是Banach 空间X 中的点列，如果对任何连续线性泛函*f X ∈，都有1()n n f x ∞=<∞∑，证明存在0c >，使对每个*f X ∈都成立1()n n f x c f ∞=≤∑. 五、给定一个有界数列1{}n n A a ∞==，对每一复数列12{}n n x x l ∞==∈，按1{}n n n Tx a x ∞==定义了一个2l 到自身的线性映射.（1）证明T 是有界线性算子，并求出T ；（2）求出T 的谱()T σ（要求尽可能地细分出()T σ的成份）；（3）说明T 是否可能为紧算子；（4）如果X 是一个有Schauder 基1{}n n e ∞=的复Banach 空间，对每个1n n n x x e ∞==∑，仍然按1n n n n Tx a x e ∞==∑定义算子:T X X →，情况又如何？讨论之.。
B12008专升本数学与应用数学《专业综合》试卷
(A)(-1,1) (B)(-1,1] (C)[-1,1] (D)[-1,1) 6、下列命题正确的是( )(A)重极限存在,则累次极限也存在并相等(B)累次极限存在,则重极限也存在但不一定相等 (C)重极限不存在,则累次极限也不存在 (D)重极限存在,则累次极限也可能不存在 7、下列说法正确的是( ) (A)∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散,则∑∞=1n nn ba 发散(B)∑∞=1n na和∑∞=1n nb发散,则∑∞=+1)(n n nb a发散(C)∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散,则∑∞=+1)(n n nb a发散(D)∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛,则∑∞=1n nn ba 也收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为( ) (A)xe (B)x sin (C))1ln(x + (D)x cos 9、函数)ln(y x z +=的定义域是( )(A){}0,0|),(>>y x y x (B){}x y y x ->|),( (C){}0|),(>+y x y x (D){}0|),(≠+y x y x10、设函数⎰+-=xdt t t x f 02)34()(在R 上的极小值是( )(A)0 (B)34- (C)43 (D)43-二、计算题(每小题8分,共5×8分=40分)11、求不定积分⎰+22)1(x dx.12、)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 13、计算由曲线2x y =和2y x =围成的面积. 14、求极限)1sin 11(lim 2222)0,0(),(x y y x y x y x +-+++→15、dx x x x ⎰-++11211cos sin三、证明题(每小题10分,共3×10分=30分)16、试用N -ε定义证明23123lim22=-+∞→n n n n . 17、设)(x f 在[,]a b 上连续,证明(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,并求2s i n 1c o s x xdx xπ+⎰. 18、设ab >0,证明)()1(b a e be ae a b --=-ξξ,其中ξ在a 与b 之间.第二部分:《高等代数》部分(100分)四、判断题(每题2分,共20分)1．若)('x f 没有重因式，则)(x f 也没有重因式．2．n 级矩阵A 的秩为n, 则A 可逆．3．向量组αααm 21,, 线性无关，则它的任一个部分组也线性无关．4．如果向量321,,ααα是齐次线性方程AX=0的基础解系，则133221,,αααααα+++也是AX=0的基础解系．5．A,B 为n 阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+．6．设()r L V ααα...,21=,则dimV=r ．7．n 阶矩阵A 可对角化(相似与一个对角阵)的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．8．如果)(x f 在有理数域Q 上无根，那么)(x f 在Q 上不可约． 9．若实对称矩阵A 的所有主子式皆大于或等于零，则A 是正定的． 10．线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组．五、填空题(每题3分，共30分)1．2是8122116)(2345+--+-=x x x x x x g 的______重根． 2．3级行列式中含因子a 23且带正号的项是____．3． 4 , A A *=则=_____．(A 为n 级方阵)：4．设A 为线性空间V 的线性变换，V ∈∀α，且A αα3=，则A =α2___．5．设A 为34⨯矩阵，且秩(A)＝2，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301020201B ，则秩(AB)＝____．6．实二次型),,,,(54321x x x x x f 的秩r ＝4，正惯性指数p ＝3，则负惯性指数q ＝_____,符号差s ＝______，其规范型为_______．7．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111a b b 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400010000，则a ＝______，b ＝______．8．如果21,V V 是n 维线性空间V 的两个子空间，且维(1V )＝1n ，维(2V )＝2n ，维(21V V ⋂)＝r ．则维(21V V +)＝___________．9．设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211121112，向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121β是1-A 的一个特征向量，则β对应的特征值为____．10．在线性空间nP中，21,V V 为V 的两个子空间，其中{}P x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0),,,(21211{}P x x x x x x x V i n n ∈====,),,,(21212则维)(1V ＝___________, 则维)(2V ＝__________．六、计算题(共30分)1．(10分)计算n 级行列式n D =xa a ax a a a x ．2．(10分)求t 使向量组123(6,1,7) (,2,2) (,1,0)t t t ααα=+==线性相关． 3．(10分)设A 是3P 的一个线性变换，已知 A (1,0,0)=(5,6,-3) A (0,1,0)=(-1,0,1) A (0,0,1)=(1,2,1)．求A 的全部特征值和全部特征向量．七、证明题(共20分)1．(8分) A 、B 为n 阶方阵，如果AB=0，那么秩(A)+秩(B)≤n :2．(6分) 设},),,{(R b a b a b a a W ∈-+=．证明：W 是3R 的子空间：3．(6分)设V 是复数域上的n 维线性空间，A ，B 是V 的线性变换，且AB ＝BA ． 证明：B 的值域B (V)与核1(0)B - 都是A 的不变子空间．。
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4.
姓名 学号 学院 级 专业 班 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·订· · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·装· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·答· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·题· · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
A
i
ciຫໍສະໝຸດ . . . 条件2. 证明康托集 P 的外测度为零.
5. E R n ，写出 E 为可测集的一个充要条件为 6. 设 {S i } (i=1,2,…)为一列递增的可测集合，则 lim mS n
n
7. f ( x ) 是 E 上的可测函数是 f ( x), f ( x) 均为 E 上可测函数的 （充分、必要、充要）. 8. f ( x ) 是 E 上的可测函数是 G( f , E ) , G( f , E ) 均为可测集的 必要、充要）.
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姓名 学号 学院 级 专业 班 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·订· · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·装· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·答· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·题· · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
3. （叶果洛夫定理的逆定理）E 为可测集，若对 0, 都存在集合 F E , 条件 （充分、 使得函数列 { f n ( x)} 在 F 上一致收敛于 f ( x ) ， 且 m( E F ) ， 则 { f n ( x)} a.e 收敛 f ( x ) 于 E.
得分
得分
阅卷人
a.e 4. 若 f n f 于 E，则 f n f 于 E.
n
一、叙述概念或定理（每小题 5 分，共 20 分）
1. 集合 E 为闭集：
得分
阅卷人
2. 集合 E 的 L 测度的定义：
三、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1. 代数数全体是一个 3. 鲁津定理： 集.
注意事项：1. 满分：100 分。保持卷面整洁，否则扣卷面 2 分。 2. 交卷时请将试题卷与答题卷一起交，否则扣分。 3. 学生必须将姓名、 班级、 学号完整填写在规定的密封栏目内， 否则视为废卷。 4. 学生必须签到，否则出现遗漏由学生本人负责。
2. E 为开集 E 0 E .
3. 设 A,B 为 R n 中的可测集且 A B ，若 m( B A) 0 ,则 mB mA .
2. A 为平面上一切以有理点为圆心，正有理数为半径的圆的集合，则
A
. ， E . ，
4. Lebesgue 控制收敛定理：
3、 E {( x, y ) | x 2 y 2 1} ，则 E 0
E
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四、计算题（每小题 10 分，共 10 分）
1 1. 设 An [0,1 ] (n 1,2,...) ，求 lim An 与 limAn . n n n
得分
阅卷人
五、证明题（每小题 10 分，共 30 分）
1. 设 f(x)是 R 上的实值连续函数，对任意 a R ，证明：E= {x R | f ( x) a} 是开集.
西华师范大学学生试卷
2011 年 月 日 题号 一 得分 2011-2012 学年第 二 三 四 学期 五 考室 总分 阅卷教师
二、判断下列命题是否正确，并说明理由（每小题 5 分，共 20 分）
1. 开区间（0，1）与全体实数集 R 对等.
数学与信息学院 2008 级数学与应用数学专业 1-6 班《实变函数》试题 B 卷 闭卷考试 时间 120 分钟
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