高考数学函数与导数试题汇编

高考数学函数与导数试题汇编

已知函数x

x f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=

?N M （ ）

A.{}

1>x x

B.{}1

C.{}

11<<-x x

D.φ

C.

客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）

A. B. C. D.

B.

设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1

2

，则a =（ ） A 2 B ．2 C ．22 D ．4

A

（07全国Ⅰ）

设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）

A ．充要条件

B ．充分而不必要的条件

C ．必要而不充分的条件

D ．既不充分也不必要的条件

B

（07江西）

设函数f(x)是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝5处的切线的斜率为 A ．－

51 B ．0 C ．5

1

D ．5 B.

(07浙江)

设()??

?<≥=1

,

1,

2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值

域是（ ）

A.(][)+∞-∞-,11,Y

B.(][)+∞-∞-,01,Y

C.[)+∞,0

D. [)+∞,1

C.

（07天津）

在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ ）

A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数

B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数

C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数

D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数

B.

设c b a ,,均为正数，且a a

2

1log 2=，b b 21log 21=??? ??，c c

2log 21=??? ??.则（ ）

A.c b a <<

B. a b c <<

C. b a c <<

D. c a b <<

A.

(07湖南) 函数()??

?>+-≤-=1

,341

,442

x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1

设集合{

}6,5,4,3,2,1=M ，k S S S ,,,21Λ都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的

{}

i i i b a S ,=、

{}

j j j b a S ,=（

{}

k j i j i ,,3,2,1,,Λ∈≠）都有

??

?

???????≠??????j j j j i i i i a b b a a b b a ,min ,min ， （{}y x ,m in 表示两个数y x ,中的较小者）

，则k 的最大值是（ ）

A.10

B.11

C.12

D.13

B.

(07福建)

已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11

f x f

?

??的实数x 的取值范围是（ ） A.()1,1- B.()1,0 C.()()1,00,1Y - D.()()+∞-∞-,11,Y

C.

(07重庆)

已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）

A.()()76f f >

B. ()()96f f >

C. ()()97f f >

D. ()()107f f >

D

（07山东）

已知集合{}1,1-=M ，?

?????<<∈=+4221

1x Z

x N ，则=N M I （ ） A.{}1,1- B. {}1- C. {}0 D.{}0,1-

B.

(07山东) 设?

??

???

-∈3,21,

1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3

（07江西）

四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是（）

A ．h 2＞h 1＞h 4

B ．h 1＞h 2＞h 3

C ．h 3＞h 2＞h 4

D ．h 2＞h 4＞h 1

A.

（07安徽）

若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是

A. a ＜-1

B. a ≤1

C.a ＜1

D.a ≥1

B.

（07安徽）

定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程

0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为

A.0

B.1

C.3

D.5

D.

（07安徽）

图中的图象所表示的函数的解析式为

(A)|1|2

3

-=

x y (0≤x ≤2) (B) |1|23

23--=x y (0≤x ≤2)

(C) |1|2

3

--=x y (0≤x ≤2)

(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)

B.

设a ＞1,且)2(log ),1(log )1(log 2

a p a n a m a a a =-=+=,则p n m ,,的大小关系为

(A) n ＞m ＞p (B) m ＞p ＞n (C) m ＞n ＞p (D) p ＞m ＞n

B.

（07北京）

对于函数①()()

12lg +-=x x f ，②()()2

2-=x x f ，③()()2cos +=x x f .判断如下三个

命题的真假：命题甲：()2+x f 是偶函数；命题乙：()()2,∞-在区间x f 上是减函数，在区间()+∞,2上是增函数；命题丙：()()x f x f -+2在()+∞∞-,上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）

A.①③

B.①②

C. ③

D. ②

D

（07湖北）

为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知

药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小

时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为a

t y -?

?

?

??=161（a

为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .

（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.

??

???>??

?

??≤≤=-1.0,1611.00101

.0t t t y t ，

6.0 (07山东)

函数())1,0(13log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则

n

m 2

1+的最小值为 . 8

(07重庆)

若函数()12

22-=

--a

ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 。 []0,1-（07宁夏）设函数()()()x

a x x x f ++=

1为奇函数，则实数=a 。

－1

（07全国Ⅰ）

函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则

()f x =__________。

)(3R x x ∈

（07北京）

已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：

则()[]1g f 的值 ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值 .

1，2

已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222

，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，

求a 的取值范围.

解：若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()2

48382440a a a a ?=++=++=, 解得

32

a -±=

①当

32

a -=

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在

[]1,1-上也恰有一个零点.

③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则

x

1

2 3 f(x) 1 3

1

x

1

2 3 g(x) 3

2

1

()()208244011121010a a a a f f >???=++>??-<-

21010a a a a f f

??=++>??-<-

?

-≤?

解得5a ≥

或a <

综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或

32

a -≤

.

（07北京）

已知集合{})2(,,,,321≥=k a a a a A k Λ其中),,2,1(k i Z a i Λ=∈，由A 中的元素构成两个相应的集合(){}A b a A b A a b a S ∈+∈∈=,,,，(){}

A b a A b A a b a T ∈-∈∈=,,,，其中

()b a ,是有序实数对，集合T S 和的元素个数分别为n m ,.

若对于任意的A a A a ?-∈，总有，则称集合A 具有性质P .

（Ⅰ）检验集合{}3,2,1,0与{}3,2,1-是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合写出相应的集合T S 和；

（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：()2

1-≤

k k n ； （Ⅲ）判断n m 和的大小关系，并证明你的结论.

（Ⅰ）解：集合{}3,2,1,0不具有性质P ，{}3,2,1-具有性质P ，其相应的集合T S 和是

()(){}()(){}3,2,1,2,1.3,3,1-=--=T S ；

（Ⅱ）证明：首先由A 中的元素构成的有序实数对共有2

k 个，因为

()T a a A i i ∈∈,,0),,2,1(k i Λ=,

又因为当A a A a ?-∈时，

， 所以当()()

T a a T a a i j j i ?∈,,时，

),,2,1(k i Λ=，于是集合T 中的元素的个数最多为

()

()121212-=-=

k k k k n ，即()21-≤k k n . （Ⅲ）解：n m =，证明如下： ①对于()S b a ∈,，根据定义()T b b a A b a A b A a ∈+∈+∈∈,,，从而，则 如果()()d c b a ,,与是S 中的不同元素，那么d b c a ==与中至少有一个不成立，于是

d c b a +=+与d b =中至少有一个不成立，故()b b a ,+与()d d c ,+也是T 中的不同元素.

可见

S 中的元素个数不多于T 中的元素个数，即n m ≤；

②对于()T b a ∈,，根据定义()S b b a A b a A b A a ∈-∈-∈∈,,，从而，则 如果()()d c b a ,,与是T 中的不同元素，那么d b c a ==与中至少有一个不成立，于是

d c b a -=-与d b =中至少有一个不成立，故()b b a ,-与()d d c ,-也是S 中的不同元素.

可见

T 中的元素个数不多于S 中的元素个数，即m n ≤.

由①②可知n m =.

(07上海)

已知函数()),0(2

R a x x

a

x x f ∈≠+

= （1）判断函数()x f 的奇偶性；

（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

解：（1）当0=a 时，()2

x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数.

（2）设212≥>x x ，()()2

2

212

121x a x x a x x f x f --+

=- ()[]a x x x x x x x x -+-=

21212

12

1， 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ，

即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a 。 另解（导数法）：()22'x

a

x x f -

=，要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立，即022

≥-

x

a x ，则[)+∞∈≤,1623

x a 恒成立， 故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数。

（重庆理）

已知函数c bx x ax x f -+=4

4

ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中a,b,c 为常数。 （1）试确定a,b 的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式2

2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 解：（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得()343

41

ln 4'bx x

ax x ax x f +?

+=3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．

（II ）由（I ）知3

()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．

因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞

． （III ）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使

2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥．

即2

230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥， 解得3

2

c ≥

或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2

??-∞-+∞????

U ，

，．

设3()3x f x =，对任意实数t ，记2

32

()3

t g x t x t =-．

（I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间；

（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．

本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．

（I ）解：316

433

x y x =-+．由240y x '=-=，得2x =±． 因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0，当(22)x ∈-，时，0y '<，当(2)x ∈+∞，时，0y '>， 故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，；单调递减区间是(22)-，．

（II ）证明：（i ）方法一：令2332

()()()(0)33

t x h x f x g x t x t x =-=-+>， 则22

3()h x x t '=-，当0t >时，由()0h x '=，得13x t =，当13

()x x ∈+∞，

时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13

()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：

对任意固定的0x >，令2

32()()(0)3t h t g x t x t t ==->，则1

1

332()()3

h t t x t -'=-，

由()0h t '=，得3t x =．当30t x <<时，()0h t '>．当3

t x >时，()0h t '<， 所以当3

t x =时，()h t 取得最大值3

3

1()3

h x x =

． 因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立． （ii ）方法一：8

(2)(2)3

t f g =

=．由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立． 即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立．

下面证明0x 的唯一性：当02x ≠，00x >，8t =时，

300()3x f x =，0016

()43x g x x =-，由（i ）得，

30016433x x >-， 再取3

0t x =，得30300()3x x g x =，所以30

3

000016()4()33

x x x g x x g x =-

<=， 即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立．

故有且仅有一个正实数02x =，使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．

方法二：对任意00x >，0016()43x g x x =-

，因为0()t g x 关于t 的最大值是3

013

x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是：3

00161433

x x -≥，

即2

00(2)(4)0x x -+≤， ①又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =，

所以有且仅有一个正实数02x =，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．

（天津理）

已知函数2221

()()1

ax a f x x x -+=

∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．

本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =

+，4

(2)5

f =， 又222222

2(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6

(2)25

f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46

(2)525

y x -=--， 即62320x y +-=．

（Ⅱ）解：222222

2(1)2(21)2()(1)()(1)(1)

a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．

由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11

x a

=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：

所以()f x 在区间1a ?

?-- ??

?，

∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ??

- ???

，内为增函数．

函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ??- ???

，且21f a a ??

-=- ???

， 函数()f x 在21

x a

=

处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121

x a x a

==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化

情况如下表：

所以()f x 在区间()a -，∞，1

a ??- ???，+∞内为增函数，在区间1a a ??

- ???

，

内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21

x a

=-处取得极小值1f a ??- ???，且21f a a ??

-=- ???

． （四川理）

设函数1()1(,1,)n

f x n N n x N n ??

=+∈>∈ ???

且.

(Ⅰ)当x =6时,求n

n ??

?

??+11的展开式中二项式系数最大的项;

(Ⅱ)对任意的实数x ,证明

2

)

2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''

(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜

∑-???

?

?+n

k k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.

本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是3

35

6

3120

1C n n ??= ???

（Ⅱ）证法一：因()()22

112211n f x f n n ????

+=+++ ? ?????

≥11211n

n n ??

??=+?+ ?

???

??121n

n ??

>+ ???

1121ln 12n

n ????>++ ? ?????()'1121ln 12n

f x n n ????

≥++= ? ?????

证法二：

因()()22112211n f x f n n ????+=+++ ? ????

?≥11211n

n n ????

=+?+ ?

???

??

而()'11221ln 1n

f x n n ????

=++ ? ?????

故只需对11n ??+

???和1ln 1n ??

+ ???

进行比较。 令()()ln 1g x x x x =-≥，有()'

11

1x g x x x

-=-= 由

1

0x x

-=，得1x = 因为当01x <<时，()'

0g x <，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()'

0g x >，()g x 单调递增，所以在1x =处()g x 有极小值1 故当1x >时，()()11g x g >=，

从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+> 故有111ln 1n n ????+

>+ ? ?????

恒成立。 所以()()()'222f x f f x +≥，原不等式成立。 （Ⅲ）对m N ∈，且1m >

有2012111111m k m

k m m m m m m C C C C C m m m m m ??????????+=+++++++ ? ? ? ? ???????????

L L ()()()()2

111121111112!!!k

m

m m m m m k m m m k m m m ---+-???????=+++++++ ? ? ?

??????

L L L L

11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --????????

????

=+

-++---++-- ? ??? ? ? ????????????

?L L L L

1111

22!3!!!

k m <+

+++++

L L ()()

1111

2213211k k m m <+

+++++??--L L 11111112122311k k m m ????????=+-+-++-++- ? ? ? ?--????????

L L

1

33m

=-

< 又因()102,3,4,,k

k m C k m m ??>= ???L ，故1213m

m ??<+< ???

∵1213m

m ??<+< ???，从而有11213k

n k n n k =??

<+< ??

?∑成立，

即存在2a =，使得11213k

n

k n n k =??

<+< ???∑恒成立。

（陕西理）

设函数f (x )=,2

2

a

ax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.

解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，20x ax a ∴++≠恒成立，2

40a a ∴?=-<，

04a ∴<<，即当04a <<时()f x 的定义域为R ．

（Ⅱ）22

(2)e ()()x x x a f x x ax a +-'=++，令()0f x '≤，得(2)0x x a +-≤．

由()0f x '=，得0x =或2x a =-，又04a <

02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；

当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<， 即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，； 当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，．

（山东理）

设函数2

()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当1

2

b >

时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111

ln 1n n n

??+>-

???都成立． 解(I) 函数2

()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.

222'()211

b x x b

f x x x x ++=+=++，

令2

()22g x x x b =++，则()g x 在1,2??-

+∞ ???上递增，在11,2?

?-- ??

?上递减，

min 11()()22g x g b =-=-+.当12b >时，min 1

()02

g x b =-+>，

2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立.'()0,f x ∴>

即当1

2

b >

时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。 （II ）分以下几种情形讨论：（1）由（I ）知当1

2

b >时函数()f x 无极值点.

（2）当12b =时，2

12()2'()1x f x x +=+，11,2x ??∴∈-- ?

?

?时，'()0,f x > 1,2x ??

∈-+∞ ???

时，'()0,f x >12b ∴=时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。

（3）当12

b <

时，解'

()0f x =

得两个不同解1x =

2x =.

当0b <

时，1112x -=

<-

，2112

x -+=>-，

()()121,,1,,x x ∴?-+∞∈-+∞

此时()f x 在()1,-+∞

上有唯一的极小值点212

x -+=.

当1

02

b <<

时，()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0 ，'()f x 在12(,)x x 上小于0 ，

此时()f x

有一个极大值点1x =

2x =.

综上可知，0b <时，()f x 在()1,-+∞

上有唯一的极小值点212

x -+=

；

1

02

b <<

时，()f x

有一个极大值点112x -=

和一个极小值点212x -+=；

1

2

b ≥

时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 （III ） 当1b =-时，2

()ln(1).f x x x =-+

令3

3

2

()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则32

'

3(1)()1

x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，

()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.

即当()0,x ∈+∞时，有3

2

ln(1)0,x x x -++>2

3

ln(1)x x x +>-，

对任意正整数n ，取1x n =

得23111ln(1)n n n

+>-

【试题分析】函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来

确定函数的单调性是'

()0f x >是1

2b >

和定义域()1,-+∞共同作用的结果；（II ）需要分类讨论，由（I ）可知分类的标准为11

,0,0.22

b b b ≥<<<（III ）构造新函数为证明不等式“服

务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据()f x 导函数的特点迅速判断

'()0f x >或'()0f x <。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直

观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由'

()0f x =求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为 “极值点”. （全国卷二理）

已知函数3

()f x x x =-．

（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；

（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<< 解：（1）()f x 的导数2

()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：

()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．

（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使2

3

(31)2b t a t =--．

若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32

230t at a b -++=有三个相异的实数根．记3

2

()23g t t at a b =-++，则2

()66g t t at '=-6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：

由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；

当0a b +=时，解方程()0g t =得302a

t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2

a

t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实

数根．

综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，

则0()0.a b b f a +>??

-

，

即

()a b f a -<<．

（全国卷一理） 设函数()e e x

x

f x -=-．

（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；

（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．

解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x

x

f x -'=+

．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）．

（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x

x

g x f x a a -''=-=+-，

（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x

x

g x a a -'=+->-≥，

故()g x 在(0)+，∞上为增函数，

所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．

（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=

的正根为1ln x =，

此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．

所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． 设函数2

()ln()f x x a x =++

（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e

ln 2

． （江西理）

如图，函数π2cos()(0)2

y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y

轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；

（2）已知点π

02

A ?? ???

，，点P 是该函数图象上一点，点00()

Q x y ，是PA

的中点，当02y =

，0ππ2x ??

∈????，时，求0x 的值． 解：（1）将0x =

，y =2cos()y x ωθ=+

得cos θ=

，因为02

θπ

≤≤，所以6

θπ

=

． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，0

2x y ='=-，

6θπ=，所以2ω=，因此2cos 26y x π?

?=+ ??

?．

（2）因为点02A π?? ???

，

，00()Q x y ，是PA

的中点，02y =，点P

的坐标为022x π?- ?． 又因为点P 在2cos 26y x π?

?=+ ??

?

的图象上，所以05cos 462x π??-= ???

． 因为

02x ππ≤≤，所以075194666

x πππ

-≤≤

， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=

．即023x π=或034

x π

=． （湖南理）

如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<

o

），且2

sin 5

θ=

，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为

2

a

万元/km ．当山坡上公路长度为l km

（12l ≤≤）时，其造价为2

(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，

3(km)OA =．

（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；

（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．

（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．

解：（I ）如图，PH α⊥，HB α?，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是 山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，

1sin PH PB θ

==．设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．

则222

1PD x PB x =

+=+[12]∈，

． 记总造价为1()f x 万元， 据题设有2

211111

()(1)(3)224

f x PD AD AO a x x a =++

+=-++ 2

1433416x a a ????

=-++ ? ?????

当14x =

，即1

(km)4

BD =时，总造价1()f x 最小． （II ）设(km)AE y =，5

04

y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有

222131()13224f y PD y y a ??

??=++++-- ??????

?2433216y y a a ??=+-+ ???．

Ｏ

A

E

D

B

H

P

α

A

O E D

B

H

P