Gram方阵的探讨

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gram matrices的计算过程

gram matrices的计算过程Gram matrices是一种用于计算特征之间相似性的数学工具。

在机器学习和计算机视觉领域，Gram matrices常常被用于衡量特征之间的相关性，进而用于特征选择、图像风格转换等任务。

本文将介绍Gram matrices的计算过程，并说明其在机器学习中的应用。

一、什么是Gram matrices？Gram matrices，又称为格拉姆矩阵，是一种对特征之间的相互关系进行度量的矩阵。

在机器学习中，特征可以是任何能够描述数据的属性，比如图像中的像素值、文本中的词语等。

Gram matrices通过计算特征之间的内积来衡量它们之间的相关性，可用于判断特征是否具有相似的模式或风格。

二、Gram matrices的计算过程Gram matrices的计算过程相对简单，主要分为以下几个步骤：1. 收集数据：首先，我们需要收集相应的数据，这些数据可以是图像、文本或其他形式的特征描述。

2. 特征提取：接下来，我们需要从收集到的数据中提取出有意义的特征。

对于图像数据，可以使用卷积神经网络等方法进行特征提取；对于文本数据，可以使用词袋模型或词嵌入等方法进行特征提取。

3. 特征向量化：将提取到的特征转化为向量形式，以便进行计算。

对于图像数据，可以将每个像素的数值作为一个特征，并将其组合成一个向量；对于文本数据，可以使用词向量将每个词语表示为一个向量。

4. 计算Gram matrices：将特征向量进行内积运算，得到特征之间的相似性度量。

具体地，对于给定的特征向量集合X，Gram matrices G 的计算公式如下：G = X^T * X其中，X^T表示X的转置，*表示矩阵乘法运算。

5. 应用Gram matrices：根据计算得到的Gram matrices，可以进行特征选择、图像风格转换等任务。

例如，在图像风格转换中，可以通过计算两幅图像的Gram matrices的差异来衡量它们之间的风格差异，并将这种差异应用到目标图像上，从而实现风格的转换。

关于Gramer矩阵的性质及其应用

以上的定理 3 说明了这样一个事实: n 维欧氏 M > 0, 反之设 M ≠ 0, 则 Α1, Α2…, Αm 线性无空间V 的一切基的 G ram er 矩阵恰好是 n 阶正定矩关。
阵所组成的合同类, 而这个合同等价类中含有单位
推论 6: 向量 Α1, Α2…, Αm 线性无关的充要条件
矩阵 I , 从而以单位矩阵为 G ram er 矩阵的基一定是它的 G ram er 矩阵的行列式为零。
…, Αn} 的G ram er 矩阵, 则M - 1,M 3 也是正定矩阵。基{Α1, Α2, …, Αn} 到基{Β1, Β2, …, Βn} 的过渡矩阵为
证明: 由定理 1 知M 是正定矩阵且与 I n 合同, C , 则 X = CX 1, Y = C Y 1 又
故存在可逆矩阵 C ,
∵ < Α, Α> = X ′M X = (CX 1) ′M ,
本文在文 (1) 的基础上证明了 G ram er 矩阵的一些性质, 并说明了 G ram er 矩阵在欧氏空间的应用。
定理 1: n 维欧氏空间 V 关于基{Α1, Α2, …, Αn}
∵M 是正定矩阵
的 G ram er 矩阵M (Α1, Α2, …, Αn) 是正定的。
∴M > 0
证明: 对任意 Α∈ V , 则
下的 G ram er 矩阵M 都与 I n 合同 ( I n 表示 n 阶单位在基{Β1, Β2, …, Βn} 下的 G ram er 矩阵为M 2, 对任
矩阵)。
意 Α, Β∈V , Α, Β关于基{Α1, Α2, …, Αn} 的坐标为 X ,
定理 2: 设M 是 n 维欧氏空间V 关于基{Α1, Α2, Y。Α, Β关于基{Β1, Β2, …, Βn} 的坐标为 X 1, Y 1。设由

gram–schmidt方法

gram–schmidt方法《搞懂 Gram-Schmidt 方法，就这么简单！》嘿，朋友！今天我要给你唠唠 Gram-Schmidt 方法，这玩意儿听起来好像很高级很复杂，但别怕，跟着我，保证让你轻松拿下！咱们先来搞清楚 Gram-Schmidt 方法是干啥的。

你就把它想象成一个整理房间的高手，能把一堆乱七八糟的向量给收拾得整整齐齐，让它们相互独立，而且还都有自己合适的长度。

下面咱就开始一步步来操作这个神奇的方法。

第一步，选一个向量开始。

比如说，咱们有一堆向量 v1, v2, v3 啥的，就先挑出 v1 。

这就好像你在一堆杂物里先拿起了一个最显眼的东西。

第二步，把这个选出来的向量 v1 归一化。

啥叫归一化？简单说就是把它的长度变成 1 。

这就好比你有一根长长的棍子，你要把它变成标准长度 1 的尺子。

那咋归一化呢？就是用 v1 除以它自己的长度，得到的新向量咱叫 u1 。

第三步，该处理第二个向量 v2 啦。

先把 v2 朝着 u1 垂直的方向投影，这一步有点抽象哈，你就想象 v2 是个调皮的孩子，总想往 u1 那个方向跑，咱们得把它往垂直的方向拽回来。

投影完得到的向量记为p2 ，然后用 v2 减去这个 p2 ，得到的新向量叫 w2 。

第四步，再把w2 归一化，就跟第二步一样，除以w2 自己的长度，得到的新向量叫 u2 。

第五步，轮到第三个向量 v3 啦。

还是先往已经有的 u1 和 u2 垂直的方向投影，得到投影向量，再用 v3 减去这些投影向量，得到新的向量，然后归一化得到 u3 。

就这么一直重复下去，直到把所有的向量都处理完。

我跟你说，我自己刚开始学的时候，也是晕头转向的。

有一次，我做着做着题，居然把向量当成面条给搅和在一起了，那叫一个乱啊！不过后来我多练了几次，慢慢就找到感觉了。

你在做的时候，一定要细心，别像我似的犯迷糊。

每一步都要想清楚，千万别着急。

还有啊，多做几道练习题，熟练了之后，你会发现Gram-Schmidt 方法其实就像你熟悉的游戏一样，有规律可循。

gram矩阵伯努利矩阵压缩感知

gram矩阵伯努利矩阵压缩感知下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。

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【数学与应用数学专业】【毕业论文文献综述开题报告】方阵高次幂的计算方法 (2)

方阵高次幂的计算方法引言方阵高次幂的计算方法是数学与应用数学专业中一个重要的研究方向。

在许多领域中，如图像处理、机器学习和密码学等，需要对方阵进行高次幂的计算。

本文将对方阵高次幂的计算方法进行文献综述和开题报告。

文献综述直接幂乘法直接幂乘法是最简单直观的方阵高次幂计算方法。

假设我们要计算方阵A的n次幂，其中A是一个n×n的方阵。

直接幂乘法的思想是将A连乘n次，即A^n =A × A × A × … × A。

该方法的时间复杂度是O(n^3)。

但是，当n较大时，直接幂乘法的计算效率较低。

因此，研究者提出了其他更高效的方阵高次幂计算方法。

分治法分治法是一种将问题分解成更小规模子问题求解的方法。

对于方阵高次幂计算，分治法的基本思想是将A的n次幂拆分成A的两个n/2次幂的乘积，即A^n =(A^(n/2)) × (A^(n/2))。

通过递归地应用以上公式，可以将方阵高次幂的计算复杂度降低到O(n^log₂⁡2) = O(n^log₂⁡n)。

分治法在实际应用中表现出了较好的效果，被广泛应用于方阵高次幂的计算。

矩阵快速幂算法矩阵快速幂算法是一种基于二进制思想的高效方阵高次幂计算方法。

该方法的关键思想是，将幂指数n的二进制展开，然后通过不断平方和相乘的方式计算方阵的高次幂。

具体步骤如下：1. 将幂指数n用二进制表示。

2. 将方阵A初始化为单位矩阵，记为E。

3. 从幂指数n的二进制表示中读取下一位。

4. 如果该位是0，则将方阵A平方，即A = A × A。

5. 如果该位是1，则将方阵A平方后乘以原方阵A，即A = A × A × A。

6. 重复步骤3-5，直到读取完幂指数n的所有位。

7. 最终，方阵A即为所求方阵的高次幂。

矩阵快速幂算法的时间复杂度为O(log₂⁡n)，效率较高。

开题报告研究目的本研究旨在研究方阵高次幂的计算方法，重点关注矩阵快速幂算法在实际应用中的效果。

Gram-Schmidt正交化方法

Gram-Schmidt 正交化方法正射影设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令;11αβ= 111122,,ββββααβ-=; (1)222231111333,,,,ββββαββββααβ--=;……111122221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ .则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1i ii ββγ= s i ,.2,1 =则},,,{21s γγγ 为规范正交组.将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中kk k i ik t βββα,,=,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k{},,,2,1,s j i ∈∀有∑∑-=-=++=1111,,j k jk jk i k i k ikji t tββββαα()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---101001011,2,2,11,1,121s s s s s s t t t t t t T则TTssssssssssssss⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----ββββββββαααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,,112211/21121112221212111上式左端的实方阵是sααα,,,21的格兰母矩阵，记为：()sGααα,,,21，上式右端中间的对角阵是sβββ,,,21的Gram矩阵.即有:()()TGTGssβββααα,,,,,,21/21=因此()()ssssGGβββββββββααα,,,,,,det,,,det22112121==注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram矩阵（或者事先给出定义）.例1 设sααα,,,21欧式空间V中向量，则（1）()⇔≠0,,,det21sGαααsααα,,,21线性无关;（2）()⇔=0,,,det21sGαααsααα,,,21线性相关.证明:只证（2）)⇐设sααα,,,21线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性表示:sskkααα++=221给s阶的行列式()sGααα,,,det21的第i行乘数()i k-加到第1行，si,,3,2=得()ssssssisiissiiisiiiskkkGααααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det2122212212221211121∑∑∑===---==)⇒法一：由上页证明推理过程立即得证。

Gram矩阵在不等式中的应用

Gram矩阵在不等式中的应用张宾【摘要】using the positive semi-definite of the Gram matrix t;（x1 ,x2… ,xn） , tins paper first studied the applicationof the matrix G（x1 ,x2… ,xn） on the absolute value of the maximum inner product spaces and integral average inner product space, and then studied the Gram determinant inequalities between F（x1 ,x2… ,xn.） and F（xi）. Finally ,through changing the conditions of Ostrowski inequality ,the author obtained some inequalities of two vectors in the inner product space.%利用了Gram矩阵G（x1，x2，…，xn）的半正定性，首先研究了Gram 矩阵在绝对值最大值内积空间和积分平均内积空间中的应用，然后研究了Gram 行列式r（x1，x2，…xn）与r（xi）的不等式关系．最后通过改变Ostrowski不等式的条件，得到了空间中两个向量的内积所满足的不等式．【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(000)002【总页数】5页(P191-195)【关键词】Gram矩阵;半正定性;内积空间;Ostrowski不等式【作者】张宾【作者单位】湖北民族学院预科教育学院,湖北恩施445000【正文语种】中文【中图分类】O151定义1[1] 设x1,x2,…,xn是内积空间中的n个向量，矩阵:称为由x1,x2,…,xn生成的Gram矩阵.通常用G(x1,x2,…,xn)来记上述Gram矩阵.其行列式称为Gram行列式，通常用Γ(x1,x2,…,xn)表示.引理1[5] 设x1,x2,…,xn是内积空间中的n个向量，则G(x1,x2,…,xn)为半正定矩阵，当且仅当x1,x2,…,xn线性无关时G(x1,x2,…,xn)为正定的.引理2 设x,y,z是实内积空间中的三个非零向量，则:注：由引理1和引理2可得式(1)当且仅当x1,x2,…,xn线性相关时等号成立.引理3[6] 设f是区间[0,1]上的正实值函数，f是严格对数凸函数且在区间(0,1)上严格单调递减，x,y,z,ω∈[0,1],ω≤xyz,则有:其中引理4(Ostrowski不等式)[2] 设a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn)是两个线性无关的n维向量，若x=(x1,x2,…,xn)满足(x,a)=0,(x,b)=1,则有等号成立当且仅当定理1 设x,y是实内积空间中的向量，若x=(ξ1,ξ2,…,ξn),y=(η1,η2,…,ηn),则有:其中1≤i≤n.证明定义实内积空间的内积为设zi=(0,…,0,1,0,…,0),其中第i个分量为1，其余分量为0，则在此内积空间中(x,zi)=|ξi|,(y,zi)=|ηi|,‖zi‖=1,由式(1)：(1)代入可得：其中1≤i≤n.注：类似的可进一步得到在无穷维实内积空间中:其中i≥1.定理2 设f,g是区间(a,b)上的Lebesgue可积函数，满足:m≤f(x)≤M,n≤g(x)≤N,∀x∈(a,b),其中m+M≠0,n+N≠0,则有:证明在L2(a,b)上定义内积由此内积定义可得:由式(1)得:整理得：|‖g‖2(f,1)-(f,g)(g,1)|≤‖f‖dist(g,Span{f})dist(g,Span{1})≤‖g‖dist(f,Span{g})dist(g,Span{1}).代入得：‖f‖dist(g,Span{f})dist(g,Span{1})≤(b-a)2‖g‖dist(f,Span{g})dist(g,Span{1})由题设m≤f(x)≤M,n≤g(x)≤N,∀x∈(a,b)得：因此进而可得:‖f-sg‖≤‖‖‖‖‖‖≤dist(f,Span{g})=‖g-sf‖≤‖g-‖+‖-sf‖≤+‖f-‖≤+.记由内积定义可得: ‖f‖‖g‖由引理2可知‖f‖dist(g,Span{f})=‖g‖dist(f,Span{g}).从而有:≜综上可得结论：定理3 设x1,x2,…,xn为内积空间中的向量，‖xi‖≤1,则有:其中证明因为Γ(x1,x2,…,xn)≤Γ(x1)Γ(x2)…Γ(xn).由Gram矩阵的性质知，这些行列式都非负且小于等于1，所以:Γα(x1,x2,…,xn)≤Γα(x1)Γα(x2)…Γα(xn),其中α≥0,结合引理3得：其中注：同理可得下面结论.定理4 设x1,x2,…,xn为内积空间中的向量，‖xi‖≤1,1≤k≤n,则有:其中根据引理4(Ostrowski不等式)[2]和引理2可得以下结论：定理5 设a,b,x是实内积空间的三个非零向量，满足(a,x)=0,‖x‖=1，则有:当且仅当时等号成立.证明在式(1)中用a,b,x代替式(1)中的x,y,z得:因为(a,x)=0,‖x‖=1,故(a,b)2≤‖a‖2[‖b‖2-(b,x)2]，从而有等号成立当且仅当a,b,x线性相关.设x=λa+μb，由假设条件(a,x)=0,‖x‖=1可得:‖a‖2λ+(a,b)μ=0,‖a‖2λ2+2(a,b)λμ+‖b‖2μ2=1，解得λ=∓故当且仅当时等号成立.定理6 设设a,b,x是实内积空间的三个非零向量，满足(a,x)=0,‖x‖=1,p≥2,则有:当且仅当时等号成立.证明由G(a,b,x)得半正定性得Γ(a,b,x)≥0,即:展开得：‖a‖2‖b‖2‖x‖2-‖a‖2(b,x)2-‖b‖2(a,x)2-‖x‖2(a,b)2+2(a,b)(a,x)(b,x)≥0.代入题设条件(a,x)=0,‖x‖=1得:‖a‖2‖b‖2≥‖a‖2(b,x)2+(a,b)2,由函数性质可得：‖a‖p‖b‖p≥‖a‖p(b,x)p+(a,b)p,p≥2,将上式整理得：等号成立当且仅当定理7 设x,a,b,c是实内积空间中的向量，满足(x,a)=0,(x,b)=1,(x,c)=0，则有:其中ε=2‖a‖‖b‖|(b,c)||(a,c)|-2(a,b)(b,c)(a,c)>0证明将Γ(x,a,b,c)展开整理后可得[4]:‖c‖2Γ(x,a,b)+Q(x,a,b,c)≥ [‖x‖‖a‖|(b,c)|-‖x‖‖b‖|(a,c)|]2+[‖x‖‖a‖|(〗b,c)|-‖a‖‖b‖|(x,c)|]2+[‖x‖‖b‖|(a,c)|-‖a‖‖b‖|(x,c)|]2.其中:Q(x,a,b,c)= ‖x‖2‖y‖2|(z,ω)|2+‖x‖2‖z‖2|(y,ω)|2+‖y‖2‖z‖2|(x,ω)|2-2(x,ω)(x,y)(z,ω)(y,z)-2(z,ω)(x,z)(x,y)(y,ω)-2(y,ω)(x,z)x(z,ω)(y,z)+(z,ω)2(x,y)2+(y,ω)2(x,z)2+(x,ω)2(y,z)2代入题设条件(x,a)=0,(x,b)=1,(x,c)=0得:‖x‖2[‖a‖2‖b‖2‖c‖2-‖a‖2(b,c)2-‖b‖2(a,c)2-‖c‖2(a,b)2+2‖a‖‖b‖(b,c)(a,c)]≥Γ(a,c)所以可得结论其中:ε=2‖a‖‖b‖|(b,c)||(a,c)|-2(a,b)(b,c)(a,c)>0.定理8 设设x,a,b,c是实内积空间中的向量，满足‖x‖=1,(x,a)=0,(x,b)=0，则有:证明将Γ(x,a,b,c)展开整理后可得:‖x‖2Γ(a,b,c)+Q(x,a,b,c)≥[‖a‖‖b‖|(c,x)|-‖a‖‖c‖|(b,x)|]2+[‖a‖‖b‖|(c,x)|-‖b‖‖c‖|(a,x)|]2+[‖a‖‖c‖|(b,x)|-‖b‖‖c‖|(a,x)|]2.代入题设条件‖x‖=1,(x,a)=0,(x,b)=0可得:Γ(a,b,c)+[‖a‖2‖b‖2+(a,b)2](c,x)2≥2‖a‖2‖b‖2(c,x)2,上式整理即可得到定理9 设x1,x2,…,xn,y是实内积空间中的向量，满足x1,x2,…,xn线性无关，且(x1,y)=1,(xi,y)=0,i=2,3,…,n，则有证明将Γ(y,x1,x2,…,xn)展开得[3]:‖y‖2[‖x1‖2-btG-1(x2,…,xn)b]Γ(x2,…,xn)-Γ(x2,…,xn)=‖y‖2Γ(x1,x2,…,xn)-Γ(x2,…,xn).由Γ(y,x1,x2,…,xn)≥0可得：‖y‖2Γ(x1,x2,…,xn)-Γ(x2,…,xn)≥0,故定理10 设设x1,x2,…,xn,y是实内积空间中的向量，满足x1,x2,…,xn线性无关，且‖y‖=1,(xi,y)=0,i=1,2,…,n-1，则有证明将Γ(y,x1,x2,…,xn)展开得:Γ(y,x1,x2,…,xn)= Γ(x1,x2,…,xn-1)[‖xn‖2-(xn,y)2-btG-1(x1,x2,…,xn-1)b]= Γ(x1,x2,…,xn-1)[‖xn‖2-btG-1(x1,x2,…,xn-1)b]-Γ(x1,x2,…,xn-1)(xn,y)2=Γ(x1,x2,…,xn)-Γ(x1,x2,…,xn-1)(xn,y)2[8].这里b=((x1,xn),(x2,xn),…(xn-1,xn))t.由Γ(y,x1,x2,…,xn)≥0可得：Γ(x1,x2,…,xn)-Γ(x1,x2,…,xn-1)(xn,y)2≥0，从而可得结论由Gram矩阵的性质可知当且仅当x1,x2,…,xn,y线性相关时等号成立.参考文献:[1] MA J G.An Identity in real Inner ProductSpaces[M].Zhizhou:JIPAM,China,2007.[2] DRAGOMIR S S . A Ge nerralization of Gr¨uss’inequality in inner Product Spaces and Application[J].J Math Anal Appl,1999,237:74-82. [3] ALI′C M, J. PEˇCARI′C. On some inequalities of ˇZ. Madevski and A. M. Ostrowski [J].RadHAZU,Matematiˇcke znanosti,1997,472:77-82.[4] BEESACK P R.On Bessel’s inequality and Ostrowski’s [J].Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak,Ser Mat Fiz,1975,498/541:69-71.[5] CHO Y J, MATI′C M, PEˇCARI′C J. On Gram’s determinant in 2-inner product spaces[J].J Korean Math Soc,2001,38(6):1125-1156.[6] Vlad Ciobotariu-Boer.An Intergral Inequality for 3-convexFunction[M].Cluj-Napoca Romania,2000.[7] Ostrowski A Vorlesungen.Über Differential andIntegralrechnung[J].Basel,1951,2:289-294.。

Gram矩阵及行列式在体积计算中的应用

指数生成函数及其若干应用摘要：指数生成函数在组合数学中有着重要的应用，本文给出了指数生成函数的概念，以及它们的若干性质，给出了在解决多重集的排列问题、组合恒等式的证明方面的具体应用，并着重阐述了其在允许重复排列问题上的具体运用。

关键词：指数生成函数多重集排列组合恒等式The application of Gram matrix and its determinant oncomputation of volumeStudent name: Ding Qiusheng Class: 040721 Supervisor: Yu DeshengAbstract : Gram determinant is an important determinant and it has thus of wideuse ．This article presents the definition of Gram matrix and Gram determinant.and some properties of them. As the application of Gram determinant, we descripts a volume formula of n-dimensional parallelepipeds in Euclidean Space using Gram matrix and Gram determinant, especially the volume formula of solid parallelepipeds and tetrahedrons. Keywords : Gram matrix Gram determinant Euclidean Space parallelepiped volume1、引言指数生成函数作为生成函数的一种，有着其自身的性质和应用，较有代表性的是利用指数生成函数解决多重集的排列问题。

gram-schmidt范数

文章主题：深入理解Gram-Schmidt正交化及其在范数中的应用1. 引言Gram-Schmidt正交化是线性代数中常见的概念，它帮助我们将线性空间中的任意一组基向量转化为正交基向量。

而Gram-Schmidt范数则是利用Gram-Schmidt正交化得到的正交基向量来定义的一种范数，它在数学和工程领域有着广泛的应用。

2. Gram-Schmidt正交化的概念在介绍Gram-Schmidt范数之前，先来深入了解一下Gram-Schmidt 正交化的概念。

假设我们有一组线性空间中的基向量{v1, v2, ..., vn}，我们希望将这组基向量转化为一组正交基向量{u1, u2, ..., un}。

Gram-Schmidt正交化的基本思想是逐步地构造出一组与原始基向量正交的新基向量，这一过程可以用数学公式来表示。

通过对这一过程的深入分析和推演，我们可以更加清晰地理解Gram-Schmidt正交化的原理和意义。

3. Gram-Schmidt范数的定义在进行Gram-Schmidt正交化之后，我们得到了一组正交基向量{u1,u2, ..., un}。

Gram-Schmidt范数即是利用这组正交基向量定义的一种范数，通常表示为||x||G，其中x是一个向量，G代表Gram-Schmidt 范数。

Gram-Schmidt范数与欧几里德范数有着明显的区别，它更加注重向量的正交性，对于某些具有特定结构的向量集合，Gram-Schmidt范数在描述向量之间的距离和夹角方面具有独特的优势。

4. Gram-Schmidt范数的应用Gram-Schmidt范数广泛应用于数学和工程领域。

在数值计算中，Gram-Schmidt范数可以用来评估向量的正交性以及向量集合的线性无关性；在信号处理和模式识别中，Gram-Schmidt范数也可以用来度量特征向量的相似性和差异性。

在实际工程问题中，Gram-Schmidt范数的应用也是多种多样的，它可以帮助我们更好地理解和处理实际问题中的向量分布和相关性。

P1101单词方阵【洛谷】

P1101单词⽅阵【洛⾕】//题⽬-----------------------------------------------------------------------------------------传送门:P1101 单词⽅阵题⽬描述给⼀nXn的字母⽅阵，内可能蕴含多个“yizhong”单词。

单词在⽅阵中是沿着同⼀⽅向连续摆放的。

摆放可沿着8个⽅向的任⼀⽅向，同⼀单词摆放时不再改变⽅向，单词与单词之间[color=red]可以[/color]交叉,因此有可能共⽤字母。

输出时，将不是单词的字母⽤“*”代替，以突出显⽰单词。

例如：输⼊：8 输出：qyizhong *yizhonggydthkjy gy******nwidghji n*i*****orbzsfgz o**z****hhgrhwth h***h***zzzzzozo z****o**iwdfrgng i*****n*yyyygggg y******g输⼊输出格式输⼊格式：第⼀⾏输⼊⼀个数n。

(7<=n<=100)。

第⼆⾏开始输⼊nXn的字母矩阵。

输出格式：突出显⽰单词的nXn矩阵。

输⼊输出样例输⼊样例#1：7aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa输出样例#1：*************************************************//解题--------------------------------------------------------------------------------【题解区似乎没⼈⽤这⽅法，虽然不是最优。

不过憋了⼀个多⼩时没看题解，苦苦debug后终于AC的这感觉。

⾸先在看到这东西时，根本不觉得是DFS【QAQ】，后来想尽⽅法把它和DFS扯上关系，终于得出了⼀个奇葩的⽅法：. 因为yizhong⾥每个字母都是独⼀⽆⼆的，所以. 可以将他们与1，2，3，4，5，6，7⼀⼀对应，. 即： 1---y, 2---i, 3---z, 4---h, 5---o, 6---n, 7---g//注：以下说到的层，是指搜索树的每⼀层【就是DFS⾥⾯的深度】1. 以每⾏⼀个string的形式读⼊数据并转存该⽅阵到⼆维布尔数组，. 将每⼀个在‘yizhong’⾥⾯的字母的坐标分别存在rx和ry，count[i]为该字母的个数；2. ⼀层层try，找每⼀层即找‘yizhong’⾥的每⼀个字母（第⼀层找y,第⼆层找i,第三层找z……）. 怎么找呢？这时就要⽤的rx和ry啦如果对应的坐标能够通过检查，就找下⼀层（当深度⼩于7时）. 关于这⾥的检查：⽤到⼀个过程checkfirst和⼀个函数check，. 因为如果找到yi，那么就⼤致确定了这个yizhong的⽅向，checkfirst就是这个功能⽽且顺带判断可不可⽤. check呢，就是判断这个字母是不是在和前⾯的在同⼀直线，且相邻. 这样找的话，. 如果能找到第七层（yizhong长7）就说明找到了⼀个‘yizhong’，. 此时就调⽤chuli过程进⾏处理(即把ju数组⾥⾯的相应位置标记⽤于输出时判断)3. 输出时，如果ju数组中的元素为false【说明是yizhong的⼀部分】就输出它本⾝，否则输出*//代码---------------------------------------------------------------------------------program dancifangzhen;//-----------------------------------------------------------------const// 1---y, 2---i, 3---z, 4---h, 5---o, 6---n, 7---gbian:array['g'..'z'] of integer=(7,4,2,0,0,0,0,6,5,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,3);//-----------------------------------------------------------------varn,i,j,lx,ly,pull:longint;t:char;count:array[1..7] of integer;rx,ry:array[1..7,1..10000] of integer;ju:array[1..100,1..100] of boolean;ans:array[1..7,1..2] of integer;inin:set of char;inp:array[1..100,1..100] of char;st:string;//-----------------------------------------------------------------procedure chuli;varz:longint;beginfor z:=1to7doju[ans[z,1],ans[z,2]]:=false; //对应的标记为falseend;//-----------------------------------------------------------------procedure checkfirst(a,b:longint);beginpull:=0;if (a-lx<-1) or (a-lx>1) then exit; //不在其上⼀⾏，下⼀⾏或同⼀⾏if (b-ly<-1) or (b-ly>1) then exit; //不在其左⼀列，有⼀列或同⼀列if (lx=a) then pull:=1;//1表⽰在同⼀⾏if (ly=b) then pull:=2;//2表⽰在同⼀列if (lx+ly=a+b) then pull:=3;//3表⽰在同⼀ ‘/’ 斜线if (ly-lx=b-a) then pull:=4;//4表⽰在同⼀ ‘\ ’斜线end;//-----------------------------------------------------------------function check(a,b:longint):boolean;beginif (a-lx<-1) or (a-lx>1) then exit(false); //不在其上⼀⾏，下⼀⾏或同⼀⾏if (b-ly<-1) or (b-ly>1) then exit(false); //不在其左⼀列，有⼀列或同⼀列if pull=1then if a<>lx then exit(false);//1----⾏if pull=2then if b<>ly then exit(false);//2----列if pull=3then if lx+ly<>a+b then exit(false);//3---- ‘/’ 斜线if pull=4then if ly-lx<>b-a then exit(false);//4---- ‘\’ 斜线exit(true);end;//-----------------------------------------------------------------procedure try(d:longint);vari,x,y:longint;beginfor i:= 1to count[d] dobeginx:=rx[d,i];y:=ry[d,i];if d<>1then begin //第⼀个没有前⼀个字母lx:=ans[d-1,1];ly:=ans[d-1,2]; //记录前⼀个字母end;if d=2then begincheckfirst(x,y);//第⼆次才开始要判断if pull=0then continue;//pull等于0时表⽰它不在上⼀个的任意⼀条对⾓线或横纵线上end;if (d>2) and (check(x,y)=false) then continue; //没通过检查ans[d,1]:=x; ans[d,2]:=y; //记录if d<7then try(d+1) //还没找完⼀个继续tryelse chuli; //找完⼀个就处理end;end;//-----------------------------------------------------------------begininin:=['y','i','z','h','o','n','g']; //‘yizhong’集合fillchar(ju,sizeof(ju),true);readln(n);for i:= 1to n dobeginreadln(st); //字符串读⼊⽐较好，字符很容易出错for j:= 1to length(st) dobegininp[i,j]:=st[j];t:=st[j];if t in inin then begininc(count[bian[t]]);rx[bian[t],count[bian[t]]]:=i;ry[bian[t],count[bian[t]]]:=j;end;end;end;try(1);for i:= 1to n dobeginfor j:= 1to n do //输出过程if ju[i,j] then write('*')else write(inp[i,j]);writeln;end;end.//99⾏代码满满的是泪。

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目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)K e y w o rd s (1)引言 (1)1欧几里得空间 (1)1.1欧几里得空间 (1)1.2标准正交基 (2)1.2.1 标准正交基的定义 (2)1.2.2 Gram-Schmidt正交化 (3)2 Gram方阵 (4)2.1 Gram方阵的定义 (4)2.2 Gram方阵的性质 (5)3G ra m方阵的几何意义 (9)3.1平行六面体 (9)3.1.1平行六面体的定义 (9)3.1.2平行六面体的体积 (10)3.2 Gr am方阵的几何意义 (11)3.2.1超平行六面体 (11)3.2.2 G r am方阵的几何意义 (11)4结论 (13)致谢 (13)参考文献 (13)附录A (14)Gram 方阵的探讨信息与计算科学王作宾指导老师叶传秀摘要：欧几里得空间是极其重要的向量空间,而Gram 方阵又是欧几里得空间中的一个特殊的度量矩阵,它具有一些重要的特征.这里将对Gram 方阵的定义、行列式、性质及其几何意义等做进一步探讨.首先介绍内积、欧几里得空间、标准正交基和施密特正交化等概念.然后给出在欧几里得空间中一组向量下的Gram 方阵的定义及其一些重要性质,如Gram 方阵的正定性、合同性等.最后探讨一下Gram 方阵的几何意义,即在欧几里得空间中,Gram 行列式等于超平行六面体体积的平方. 关键词: 内积 Gram 方阵标准正交基施密特正交化合同超平行六面体Discussion on Gram MatrixInformation and Computing Science Wang ZuobinTutor Y e ChuanxiuAbstract: Euclidean space is the extremely important vector space. However, Gram matrix in Euclidean space is a special measure matrix, which has some important features. Here there will be to do a further study on the definition, determinant, properties and geometry interpretation of Gram matrix. Firstly, it introduces the concepts of inner product, Euclidean space, the standard orthogonal basis and the Schmidt orthogonalization. Secondly, it presents the definition of the Gram matrix and some of its important properties under a group of vector in the Euclidean space, such as the positive definiteness and the contract of Gram matrix. Finally, it will discuss the geometry interpretation of Gram matrix, that is to say , the Gram determinant is equal to the square of the hyper-parallelepiped volume in the Euclidean space.Key words: inner product ；Gram matrix; standard orthogonal basis; Schmidt orthogonalization; contract;hyper-parallelepiped引言欧几里得空间是极其重要的向量空间,而Gram 方阵又是欧几里得空间中的一个特殊的度量矩阵,它具有一些重要的特征.许多专家学者对Gram 方阵的定义、性质及其应用做过一些探讨,本文主要是在前人的一些工作成果的基础上对Gram 方阵做进一步的研究,包括Gram 方阵的定义、行列式、性质以及其几何意义和它们之间的关系.1 欧几里得空间1.1 欧几里得空间定义1.1 设V 是实数域R 上一线性空间,在V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记作(),它具有以下性质：1）(),αβ=(),βα； 2）(),k αβ=k (),αβ；3）(),αβγ+=(),αβ+(),αγ；4）)(,0αα≥,当且仅当α=0时)(,0αα=.这里的α,,βγ是V 中的任意向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间,简称为欧氏空间.例：任意一个n 维的欧几里得空间V 都等距同构于()()n n E R =,这里的列向量空间()n R的内积为()1122,T n n x y x y x y x y x y ==+++(对于()()11(,,),(,,).T T n n n n x x x y y y R E ==∈ 称为n 维经典欧几里得空间) 1.2 标准正交基1.2.1 标准正交基的定义定义1 如果向量的内积为零,即(,)0αβ= 那么称它们正交或相互垂直,记为αβ⊥显然,这里的正交定义与解析几何中对于正交的说法是一致的.由定义立即看出,只有零向量才与自己正交.定义2 欧氏空间V 中一组非零向量,如果它们两两正交,就称为一正交向量组. 应该指出,按定义,由单个非零向量所组成的向量组也是正交向量组.不难证明,正交向量组是线性无关的.事实上,设正交向量组12,,,n ααα 有一线性关系1122n n k k k ααα+++ 0= 用i α与等式两边作内积,即得(,)0i i i k αα=由0i α≠,有(,)0i i αα>,从而i k 0= (1,2,,)i n = .这就证明了12,,,n ααα 是线性无关的.定义3 在n 维欧氏空间中,由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积简单的表示出来,即1122(,)(,)(,)n n αεαεεαεεαε=+++ 事实上,设1122n n x x x αεεε=+++用i ε与等式两边作内积,即得(,),(1,2,,)i i x i n εα==在标准正交基下,内积有特别简单的表达式,设 1122n n x x x αεεε=+++ , 1122n n y y y βεεε=+++ . 那么1122(,)n n x y x y x y αβ=+++ T X Y =.这个表达式正是几何向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 1.2.2 Gram-Schmidt 正交化定理1 （基扩充定理）n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证明：设12,,,m ααα 是一正交向量组,我们对n m -作数学归纳法. 当n m -0=时, 12,,,m ααα 就是一组正交基了.假设n m -=k 时定理成立,也就是说,可以找到向量12,,,k βββ ,使得 12,,,m ααα ,12,,,k βββ 成为一组正交基.现在来看n m -=k +1的情形.因为m n <,所以一定有向量β不能被12,,,m ααα 线性表出,作向量11122m m m k k k αβααα+=----这里的12,,,m k k k 时待定系数.用i α与1m α+作内积,得 1(,)(,)(,)i m i i i i k ααβααα+=- (1,2,,)i m = . 取(,)(,)i i i k βααα= (1,2,,).i m =有1(,)i m αα+=0 (1,2,,)i m = .由β的选择可知,10m α+≠.因此121,,,,m m αααα+ 是一正交向量组,根据归纳法假定,121,,,,m m αααα+ 可扩充成一正交基.定理的证明实际上给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果我们从任一非零向量出发,按证明中的步骤逐个地扩充,最后就得到一组正交基.再单位化,就得到一组标准正交基.在求欧氏空间的正交基时,常常是已经有了空间的一组基.对于这种情形,有下面的结果：定理2 （Gram-Schmidt 正交化）对于n 维欧氏空间中的任意一组基12,,,n εεε ,都可以找到一组标准正交基12,,,n ηηη ,使1212(,,,)(,,,)i i L L εεεηηη= (1,2,,)i n = 证明：设12,,,n εεε 是一组基,我们来逐个地求出12,,,n ηηη . 首先,可取111εηε=，一般地,假定已求出12,,,m ηηη ,它们是单位正交的,具有性质1212(,,,)(,,,)i i L L εεεηηη= (1,2,,)i m = 下一步求1m η+.因为1212(,,,)(,,,)i i L L εεεηηη= ,所以1m ε+不能被12,,,m ηηη 线性表出.按上述定理的证明方法,作向量1111(,)mm m m i i i ξεεηη+++==-∑显然10m ξ+≠,且1(,)0m i ξη+= (1,2,,)i m = . 令111m m m ξηξ+++=.121,,,,m m ηηηη+ 就是一组正交向量组.同时121121(,,,)(,,,)m m L L εεεηηη++= .由归纳法原理定理可得证.（还有一种求标准正交基的方法,在后面的Gram 方阵性质里面将会提到）2 Gram 方阵2.1 Gram 方阵的定义在实数域上的欧氏空间中,我们总可以定义向量的内积.设12,,,n ααα 为n 维欧氏空间V 中的任意一组向量,用这组向量的一切可能的内积作成一个方阵,即111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n αααααααααααααααααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭这样的方阵定义为向量组12,,,n ααα 的Gram 方阵,记为12(,,,)n G ααα 简记为G .并称12(,,,)n G ααα 为12,,,n ααα 的Gram 行列式.2.2 Gram 方阵的性质定理3 Gram 方阵是对称阵.（由内积的对称性易知）特别的当这组向量12,,,n ααα 为实数域上的n 维欧氏空间V 的基时,此时称G 为此基的Gram 方阵,仍记为G ,并且有下面的事实成立.定理4 欧氏空间V 中的不同基的Gram 方阵是合同的正定方阵.证明：设12,,,n ααα 为n 维欧氏空间V 的一组基,V α∀∈ 则1122n n x x x αααα=+++11221122(,)(,)n n n n x x x x x x αααααααα=++++++1112112122221212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,,,)(,)(,)(,)n n n n n n n nx x x x x x αααααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭TZ GZ =其中:12nx x Z x ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ((,))i j n n G αα⨯=(,)0TZ G Z αα=≥当0,0Z α≠≠(,)0TZ G Z αα∴=>T Z GZ ∴是正定二次型 G ∴是正定方阵设{}12,,,n ααα ,{}12,,,n βββ 是n 维欧氏空间V 的两组基.同一内积在基{}12,,,n ααα 下的Gram 方阵为A 在基{}12,,,n βββ 下的Gram 方阵为B,Vαβ∀∈,αβ关于基{}12,,,n ααα 的坐标为,Z Y ,αβ关于基{}12,,,n βββ 的坐标为11,Z Y设由基{}12,,,n ααα 到基{}12,,,n βββ 的过渡矩阵为C ,则 11,Z C Z Y C Y == 又11(,)()()T T Z AY C Z A C Y αβ== 1111T T Z C A C Y Z B Y == T B C AC ∴= ∴B 与A 合同. 定理得证.推论1 若G 为对角矩阵,则基{}12,,,n ααα 为n 维欧氏空间V 的一组正交基. 推论2 若G 为单位矩阵,则基{}12,,,n ααα 为n 维欧氏空间V 的一组标准正交基. 上述定理说明了这样一个事实,n 维欧氏空间V 的一切基的Gram 方阵恰好是n 阶正定矩阵所组成的合同类.而这个合同等价类中含有单位矩阵I ,从而以单位矩阵为Gram 方阵的基一定存在,它就是V 的一组标准正交基.由此提供了一个求标准正交基的方法.例：在欧氏空间3R 中,内积按通常的定义,由基(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)求3R 中的标准正交基.解：易求得基123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)ααα===的Gram 方阵为111122123G ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因G 的各阶顺序主子式大于0,从而G 为正定阵,于是存在可逆阵110011001P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭使得T P GP I = 有123123(,,)(,,)P εεεααα=从而得11(1,0,0)εα== 221(0,1,0)εαα=-= 332(0,0,1)εαα=-=故123,,εεε为一标准正交基.推论3 n 维欧氏空间V 的两个内积在同一基下的Gram 方阵是合同的. 由合同的传递性,我们可得推论4 n 维欧氏空间V 的任一内积在任一基下的Gram 方阵是合同的.例：在欧氏空间3R 中,已知123(1,1,1),(0,1,2),(2,0,3)ααα===是3R 的一个基,一内积关于{}123,,ααα的Gram方阵为3353565613A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求这一内积在基123(2,0,1),(0,1,2),(1,1,1)βββ==-=-下的Gram 方阵.解：设由基{}123,,ααα到基{}123,,βββ的过度矩阵为C则 C 1102201110011123121-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭4/58/53/54/53/52/53/54/54/5-⎛⎫⎪=--⎪ ⎪-⎝⎭∴在基{}123,,βββ下的Gram 方阵BT B C AC =52/532/559/539/53⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 定理 5 设1,,m αα 是n 维欧氏空间V 中的一组向量,它的格莱姆方阵为G ,则1,,m αα 线性无关的充要条件是0G ≠.证明：设1,,m αα 线性无关,则总可以将其扩充为V 的一组基11,,,,,m m n αααα+ 由于此基的格莱姆方阵是正定的,从而其m 阶顺序主子式G >反之,设0G ≠则1,,m αα 必线性无关.推论3 向量组1,,m αα 线性相关的充要条件是它的格莱姆方阵的行列式为零. 定理6 设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换,在基12,,,n ααα 下的矩阵为A ,则σ是对称变换的充要条件是T A G GA =,其中G 为基的格莱姆方阵.证明：设1122n n x x x αααα=+++ ,1122n n y y y βεεε=+++ 为V 中的任意两个向量,则(,)T X G Y αβ=.1(,,)n X x x = 1(,,)n Y y y = ((,))i j G αα=为基12,,,nααα 的格莱姆方阵,由于σ在基12,,,n ααα 上的矩阵为A ,因此关于基的坐标分别是A X 与A Y .故((),)()T T T AX G Y X A G Y σαβ== (,())()T T X G AY X G AY ασβ==因为,X Y 是任意的,从而σ是对称变换的充要条件是T A G GA =.定理7 设1,,m αα ,1,,m ββ 为欧氏空间V 的两组向量,如果它们的格莱姆方阵相等,则子空间11(,,)m V L αα= 与21(,,)m V L ββ= 同构.证明：11(,,)(,,)m m G G ααββ= ∴11(,,)(,,)m m G G ααββ= .设1,,m αα 的一个极大线性无关组为1,,r αα ()r m ≤∴1(,,)0r G αα≠又 1(,,,)0r j G ααα= (1,,)j r m =+∴1(,,)0r G ββ≠ 且1(,,,)0r j G βββ= ,(1,,)j r m =+由此知1,,r ββ 线性无关,而1,,,r j βββ 线性相关(1,,)j r m =+ 即1,,r ββ 是1,,m ββ 的一个极大线性无关组因此11(,,)m V L αα= ,21(,,)m V L ββ=由于12dim dim V V =，故11(,,)m V L αα= 与21(,,)m V L ββ= 同构.定理8 令{}12,,,n ααα 是欧氏空间V 中的一组线性无关的向量,{}12,,,n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组,证明：这两个向量组的格莱姆行列式相等,即1212(,,,)(,,,)n n G G αααβββ= 1122(,)(,)(,)n n ββββββ=证明： 12,,,n βββ 是由12,,,n ααα 通过正交化方法而得的∴可设：112121211221,1nn n n n n nt t t t βαβααβαααα--=⎛=+ =++++⎝ 即11n n M βαβα⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭其中1212100101nnt M t t ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且1M = 于是1212(,,,)(,,,)T n n M βββααα= 且1M =.()()1111Tn n nnM Mβαββααβα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即111211112121222212221212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n Tn n n n n n n n M M ββββββααααααββββββααααααββββββαααααα⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭两边取行列式得：1212(,,,)(,,,)n n G G βββααα= （注意到1T M M ==）又12,,,n βββ 是正交组(,),()(,)0,()i j i j i j i j ββββ=⎧∴=⎨≠⎩121122(,,,)(,)(,)(,)n n n G βββββββββ∴=故1212(,,,)(,,,)n n G G αααβββ= 1122(,)(,)(,)n n ββββββ= .3 Gram 方阵的几何意义我们先讨论三维几何中的平行六面体的体积,然后推广到n 维欧几里得几何中的超平行六面体.3.1 平行六面体3.1.1 平行六面体的定义在几何学中,平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体.它与平行四边形的关系,正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许,但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体.平行六面体的三个等价的定义为：∙ 六个面都是平行四边形的多面体； ∙ 有三对对面平行的六面体；∙底面为平行四边形的棱柱平行六面体可由正方体经线性变换而成. 3.1.2 平行六面体的体积平行六面体平行六面体的体积是底面A 与高h 的乘积.这里的高是底面与对面的垂直距离. 另外一个方法是用向量123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,以及123(,,)c c c c =来表示相交于一点的三条棱.于是,平行六面体的体积就等于三重积()a b c ⋅⨯： ()()()V a b c b c a c a b =⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯这是因为,如果我们选择b 和c 来表示底面的边,则根据向量积的定义,底面的面积为：sin A b c θ= b c =⨯ 其中θ是b 与c 之间的角,而高为：cos h a α=其中α是a 与h 之间的角.从图中我们可以看到, α的大小限定为090α≤< °.而向量b c ⨯与a 之间的角β则有可能大于90(0180)β≤≤ .也就是说,由于b c ⨯与h 平行, β的值要么等于βα=,要么等于180βα=- .因此：cos α = cos β± = cos β且h= | a |cos β.我们得出结论：V= A h = | a | | b × c | cos β,于是,根据数量积的定义,它等于()a b c ⋅⨯的绝对值. 最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值123123123det a a a V bb bc c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3.2 Gram 方阵的几何意义3.2.1 超平行六面体定义3.2.1 设向量12,,,n ααα 是n 维欧氏空间V 的一组基,则由向量12,,,nααα 所决定的超平行六面体是指{}121122(,,,)|01,1n n n i D D t t t t i n αααααα==+++≤≤≤≤例如,n =2时,D 为平行四边形；n =3时,D 为平行六面体.对于平行六面体的情况在3.1中已经有所介绍.3.2.2 Gram 方阵的几何意义定理9（Gram 方阵的几何意义）设12,,,n ααα 是n 维欧氏空间的一组基,则向量组12,,,n ααα 下的Gram 方阵的行列式等于由该组基所决定的超平行六面体体积的平方,即212(,,,)n G D ααα= 其中((,))i j G αα=为12,,,n ααα 的Gram 方阵.证明：由Gram-Schmidt 正交化过程容易得出超平行六面体的体积12(,,,)n D ααα .设1212(,,,)(,,,)n n P αααεεε= ,其中12(,,,)n εεε 是12,,,n ααα 正交化得到的标准正交基,P 1()ij p T -==（这里的T 如附录A ）,也就是说1122j j j jj j p p p αεεε=+++ .注意n ε正交于1121(,,,)n n V L ααα--= ,而n α在n ε的投影为(,)n n nn p αε=,故按体积定义有12121(,,,)(,,,)n n nn D D p αααααα-= .递归之得12,,,n ααα 决定的超平行六面体体积为过渡方阵的行列式： 1211(,,,)n nn D p p P ααα==现设12,,,n e e e 为V 的任意的标准正交基, 1212(,,,)(,,,)n n e e e Q ααα= ,则有1212(,,,)(,,,)n n P e e e Qεεε= ,故1PQ -为正交方阵,故11PQ -=±,即12(,,,)n D P Q ααα==±这也就是说,超平行六面体12(,,,)n D ααα 的体积由12,,,n ααα 在任意的标准正交基下的坐标行构成的行列式的值给出.这一结果在n 等于3的情况下是熟知的,在上面的讨论中也有所表现.现在注意12,,,n ααα 的Gram 方阵为((,))((,))T T i j i j G P P P P ααεε=== （Gram 方阵的合同性）则两边取行列式得2212(,,,)n G P D ααα== . 即Gram 行列式等于超平行六面体体积的平方.例：已知3W R =是3维标准的欧式空间.(1) 设V 是由W 中的向量,,αβγ所张成的平行六面体的体积.证明V =(,)(,)(,)(,,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)G αααβαγαβγβαβββγγαγβγγ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）设ABCD 是一个对棱长度均相同的四面体，假设该四面体三对对棱的长度分别是4，5，6.试求该四面体的体积.证明（1）由定理9可得.（2）设,,αβγ为该四面体的同一节点出发的三条棱对应的三个向量，且4,5,6αβγ===.则由,,αβγ可在3W R =的欧氏空间中确定一平行六面体，并且设其体积为V ，则四面体的体积1V 为该平行六面体体积的四分之一，即114V V=.由（1）可知V =G 同（1））,由余弦公式可得：222cos(,)2αβγαβαβ+-==1/8，222cos(,)2αγβαγαγ+-=9/16=，222cos(,)47/602βγαβγβγ+-==.故由(,)cos(,)αβαβαβ=得：165/227/2(,,)5/22547/227/247/236G αβγ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故11 1.784V V ===.4结论通过上面的探讨,我们对Gram 方阵的定义、性质及其几何意义都有了进一步的认识.最后探讨的Gram 方阵的几何意义，即在n 维欧氏空间中,在基12,,,n ααα 下的Gram 方阵的行列式等于由这组基向量所决定的超平行六面体体积的平方，在维欧氏空间n=3时有较好的应用，即求平行六面体的体积.主要思路是，只要知道该平行六面体的由一顶点出发的三个边所对应的向量组在直角坐标系下的坐标,然后利用在3R 中所定义的内积求出该向量组下的Gram 方阵的行列式,则该平行六面体的体积就很容易的求出了. 致谢本论文选题及写作都是在叶传秀老师的亲切关怀和细心指导下完成的.他的严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我,使我不仅接受了全新的思想观念,树立了宏伟的学术目标,领会了基本的思考方式,掌握了通用的研究方法,而且还明白了许多为人处事的道理,在此,我对叶老师表示深深的感谢.与此同时,我还要感谢教过我的所有的老师,没有他们谆谆的教导就不会有我今天论文的完成,谢谢了老师,您们辛苦了. 参考文献：[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社,2003：359-370.[2]魏献祝.高等代数[M].上海：华东师大出版社,1997：295-296.[3]王正文.高等代数分析与研究[M].济南:山东大学出版社,1997：251-253. [4]张贤科,许甫华.高等代数学[M].北京：清华大学出版社,2004：281-283. [5]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社,2007:325-330附录A设12,,,n ααα 是欧几里得空间V 的基,则存在标准正交基12,,,n εεε 和实的上三角方阵T （而且T 的对角线元素均为整数）使得 1212(,,,)(,,,)n n T εεεααα=证明把12,,,n ααα 进行Schmidt 正交化可得一组标准正交基12,,,n εεε .则由正交化过程可知有112122111121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n n n n n n βααεβαβεεαβαβαββαβββββββββ--------=⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪⎪=----⎪⎩令111222n n nβεββεββεβ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩可得1212(,,,)(,,,)n n T εεεααα=其中111212220000n n nn t t tt t T t ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭,其中10iit β=>.定理得证.。