三角形知识点整理三角形的基础知识点
全等三角形知识点整理
全等三角形知识点整理
哎呀，同学们，今天咱们来好好整理一下全等三角形这个让人又爱又恨的知识点！
你们说，全等三角形像不像一对双胞胎呀？明明长得一模一样，可有时候就是让人傻傻分不清。
先来说说啥是全等三角形吧。
两个三角形，如果它们的形状和大小完全相同，那它们就是全等三角形啦！这就好比两个一模一样的苹果，从外表到内在，没有一丁点儿差别。
那怎么判断两个三角形全等呢？有好多方法呢！比如说“边边边”（SSS），就是三条边都对应相等，那这两个三角形就全等啦。
这就好像搭积木，三块积木长度都一样，搭出来的形状能不一样吗？
还有“边角边”（SAS），两边及其夹角对应相等。
这就好比开门，门的长度和开门的角度都一样，那门开的大小能不一样吗？
“角边角”（ASA）也不能忘，两角及其夹边对应相等。
这就像做蛋糕，蛋糕的形状和放进去的材料比例都一样，做出来的蛋糕能不一样吗？
“角角边”（AAS）也得记住哦，两角和其中一角的对边对应相等。
这就好像画画，画的角度和其中一条边的长度都一样，画出来能不一样吗？
那全等三角形有啥用呢？用处可大啦！比如可以用来证明线段相等或者角相等。
老师在课堂上讲的时候，我就在想，这全等三角形不就像是一把神奇的钥匙，能打开好多难题的锁嘛！
有时候做练习题，我绞尽脑汁也找不对对应的边和角，心里那个着急呀，就像热锅上的蚂蚁！可一旦找对了，那种豁然开朗的感觉，简直太棒啦，就像在黑暗中突然看到了亮光！
同学们，你们在学习全等三角形的时候，是不是也有和我一样的感受呀？
总之，全等三角形虽然有点难，但只要咱们认真学，多练习，就一定能把它拿下！让我们一起加油，可别被它给难住啦！。
1北师大版七年级下册数学[.全等三角形的概念和性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE ，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB 的对应边为DE ，∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.。
北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。
初中数学直角三角形的知识点
初中数学直角三角形的知识点一、知识概述《直角三角形》①基本定义：有一个角是直角（90°）的三角形就叫做直角三角形。
这个直角就像是三角形里的特殊标志，一眼就能认出来。
②重要程度：在初中数学里，直角三角形超级重要的。
很多几何问题都和它有关，像是勾股定理、三角函数之类的都是基于直角三角形发展出来的学问。
③前置知识：得先知道三角形的基本定义，像三角形是由三条线段首尾相连围成的图形。
还有角的基本概念，比如直角是90度这个概念得清楚。
④应用价值：在建筑时，如果要确保一个墙角是垂直的，就可以用直角三角形的知识来测量。
还有在测量山的高度时，如果知道测量点到山底的距离和在这个点观测山顶的仰角（能构成直角三角形的情况），就能算出山高。
二、知识体系①知识图谱：直角三角形是三角形大家族里比较特殊的一类，就像是三角形群体里的VIP。
和等腰三角形等其他特殊三角形共同丰富了三角形的知识体系。
②关联知识：和勾股定理紧紧相连，这定理可是专为直角三角形定制的。
还有三角函数也是在直角三角形的基础上定义的角的关系。
和三角形内角和定理也有关系，因为直角三角形里除了直角剩下的两个锐角相加是90度。
③重难点分析：难点在于对一些性质和定理的灵活运用。
比如说勾股定理在复杂图形里的应用有时候就不容易想得到。
重点就是掌握直角三角形特有的那些性质，像直角对应的斜边最长等。
④考点分析：在考试里那可太常见了。
选择题可能会简单地考直角三角形的性质判断，填空题可能会出勾股定理的简单计算，大题里可能让综合运用直角三角形和其他知识点解题。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：直角三角形就是必须有一个角为90度的三角形，这个90度的角不能多也不能少，多了或者少了就是其他三角形了。
②特征分析：它有一个很明显的直角，斜边是直角所对的边，斜边比任意一个直角边都长。
两个锐角之和是90度，就像两个小跟班凑一块正好90度。
③分类说明：没按特殊的方式分类的普通直角三角形，还有特殊的等腰直角三角形，这种三角形不光有一个直角，它的两条直角边还相等，就像双胞胎一样。
人教版五年级下册数学知识点归纳三角形的特性与分类
人教版五年级下册数学知识点归纳三角形的特性与分类人教版五年级下册数学知识点归纳三角形的特性与分类在数学学习中，三角形是一个重要的基础概念。
在五年级下册人教版数学课程中，我们学习了关于三角形的特性与分类。
本文将对这一知识点进行归纳总结。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的一种图形，其中的线段称为三角形的边，而它们所对的角则称为三角形的内角。
三角形的边有可能相等，角也有可能相等。
二、三角形的特性1. 三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。
换句话说，三角形的三个内角的度数之和永远等于180度。
2. 三角形的外角和定理三角形的外角和等于360度。
换句话说，三角形的三个外角的度数之和永远等于360度。
3. 三角形的边的特性三角形的任意两边之和大于第三边。
换句话说，如果三条线段无法满足这个条件，它们就无法组成三角形。
4. 三角形的边长与角度的关系由三个角决定的三角形，它们的边长是互相关联的。
例如，如果三个角的度数都相等，那么三角形的三边也会相等。
三、三角形的分类基于边长和角度的特性，我们可以将三角形分为不同的类型。
1. 根据边长的分类- 等边三角形：三条边都相等的三角形。
- 等腰三角形：两条边相等的三角形。
- 普通三角形：没有边相等的三角形。
2. 根据角度的分类- 直角三角形：其中一个内角为90度的三角形。
- 钝角三角形：其中一个内角大于90度的三角形。
- 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。
3. 根据边长与角度的分类- 等腰直角三角形：既有两条边相等又有一个90度角的三角形。
- 等腰钝角三角形：既有两条边相等又有一个大于90度的角的三角形。
- 等腰锐角三角形：既有两条边相等又有三个内角都小于90度的三角形。
四、实例分析举例说明以上所学的知识，我们可以观察以下三角形：- 边长相等的三角形：等边三角形- 两条边相等的三角形：等腰三角形- 有一个90度角的三角形：直角三角形- 有一个钝角的三角形：钝角三角形- 有一个大于90度的角的三角形：钝角三角形通过实例分析，我们可以更好地理解和应用三角形的特性与分类。
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理一、定义
相似三角形是指两个三角形之间的几何关系，它们的边都是可以比拟的，只不过比例不同，这个比例就是相似比例。
二、定理
1、相似三角形定理：同一个平面中的两个三角形如果它们的两个角的对应边比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
2、两相似三角形的比例定理：同一个平面上的两个相似三角形，只要知道它们两个角的对应边比例，那么它们其他的边的比例也可以由此求出。
三、性质
1、锐角相似三角形的性质：两个锐角相似的三角形，它们的锐角相同，其余两个角也相同。
2、直角相似三角形的性质：两个直角相似的三角形，它们的直角相同，其余两个角也相同。
3、相似三角形中边及面积之间的关系：两个三角形相似，那么它们的三个边比例也一定是相等的，两个三角形的面积之比等于它们两个侧面的比例之平方。
四、进一步推广
1、直线及平面之间的相似：两条线段之间也有相似性，即它们的比例也可以求出，同样的，两个平面也有相似性，它们的比例也可以求出。
2、圆锥及圆柱之间的相似：圆锥和圆柱是两种各有特点的几何体，它们之间当然也有相似性，它们的比例也可以求出。
3、圆面积的相似：圆的面积之比可以求出。
全等三角形的讲义整理讲义
全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。
）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。
【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边；(2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD=90°。
三角形的周长与面积计算知识点总结
三角形的周长与面积计算知识点总结三角形是几何学中最基本的图形之一，它的周长和面积计算是我们学习数学的基础内容。
掌握三角形周长和面积的计算方法对于解决实际问题和深入理解几何学原理都有重要意义。
在本文中，我们将总结三角形的周长和面积计算的知识点。
一、三角形的周长计算三角形的周长是指三边的长度之和。
根据三角形的边长可以分为以下几种情况：1. 等边三角形：三边长度相等的三角形。
它的周长等于三边长度之和的三倍。
例如，如果一个等边三角形的边长为5cm，则它的周长为15cm。
2. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
它的周长等于两边长度与底边长度之和。
例如，如果一个等腰三角形的两腰边长都为4cm，底边长为6cm，则它的周长为4cm + 4cm + 6cm = 14cm。
3. 一般三角形：三边长度各不相等的三角形。
它的周长等于三边长度之和。
例如，如果一个一般三角形的三边分别为3cm、4cm和5cm，则它的周长为3cm + 4cm + 5cm = 12cm。
二、三角形的面积计算三角形的面积是指三角形所围成的平面区域的大小。
根据三角形的不同特征，有以下几种计算方法：1. 一般三角形的面积计算：设三角形的底边长为a，高为h，则它的面积等于底边长与高的乘积的一半。
即面积S = 1/2 * a * h。
例如，如果一个三角形的底边长为6cm，高为4cm，则它的面积为1/2 * 6cm* 4cm = 12cm²。
2. 直角三角形的面积计算：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，则它的面积等于两条直角边长度的乘积的一半。
即面积S = 1/2 * a * b。
例如，如果一个直角三角形的直角边分别为3cm和4cm，则它的面积为1/2 * 3cm * 4cm = 6cm²。
3. 已知三边长度的三角形的面积计算：设三角形的三边长度分别为a、b和c，则它的面积可以通过海伦公式计算。
海伦公式为S = √[p * (p-a) * (p-b) * (p-c)]，其中p为半周长，即p = (a + b + c) / 2。
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三角形知识点整理三角形的基础知识点三角形是几何学的基本图形之一，它由三条线段组成，称为三角形的
三边。
下面将从三角形的定义、分类、性质和相关定理等方面进行详细的
整理说明。
一、三角形的定义和分类：
1.定义：三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每个线段连接着
另外两个线段的一个端点。
2.根据三边的长度分类：
-等边三角形：三条边的长度相等。
-等腰三角形：两条边长度相等，第三条边较短。
-不等边三角形：三条边的长度都不相等。
3.根据角度的大小分类：
-钝角三角形：三个内角中，最大的一个角大于90度。
-直角三角形：其中一个角为90度。
-锐角三角形：三个内角都小于90度。
二、三角形的性质：
1.内角和定理：三角形的三个内角的和是180度。
证明：假设三角形的三个内角为A、B、C，则根据平行线与交线的性质，可以得出如下结论：
角A与角C共享边AC，所以角A与角C之和等于角BDA，即A+C=BDA；
同理，角B与角C之和等于BDC，即B+C=BDC；
角A与角B之和等于CDA，即A+B=CDA。
将上述等式相加得：(A+B)+(B+C)+(A+C)=(CDA+BDC+BDA)
即2(A+B+C)=180度，所以A+B+C=180度。
2.外角和定理：三角形的一个内角和与其对应的外角和为180度。
证明：设三角形的一个内角为A，则它对应的外角为BAC；
根据同位角的性质，可得出以下等式：BAC+ABC=180度；
将ABC换成A得：BAC+A=180度，即A+BAC=180度。
3.三角形的外接圆：如果三角形的三个顶点在一个圆上，那么该圆就是该三角形的外接圆。
4.三角形的内切圆：如果三角形的三条边都切一圆，那么该圆就是该三角形的内切圆。
5.三角形的重心：三角形的三条中线的交点称为重心，它将三角形分成六个全等的三角形。
三、相关定理：
1.勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
可以表示为a²+b²=c²，其中a和b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
2.正弦定理：在任意三角形中，三条边的长度和角度之间存在一个关系。
可以表示为 a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a, b, c分别为三角形三边的长度，A, B, C分别为对应的角度。
3.余弦定理：在任意三角形中，三条边的长度和角度之间存在一个关系。
可以表示为c² = a² + b² - 2abcosC，其中a, b, c分别为三角形三边的长度，C为对应的角度。
4.角平分线定理：三角形内部的一个角的角平分线把该三角形分成两个面积相等的小三角形。
5.海伦公式：计算任意三角形的面积。
可以表示为S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中a,b,c为三角形三边的长度，s为半周长(s=(a+b+c)/2)。