高中数学新北师大版精品教案《辅助角公式专题》

第三章 三角恒等变形 第2节 两角和与差的三角函数之
辅助角（又称合一）公式sin cos sin()a b A θθθϕ+=+【】
专题教学设计 梧州高级中学数学组 周勇
辅助角公式是三角变换中最重要的公式，在解决三角函数问题过程中具有广泛地应用，由于公式的推导理解和灵活运用有一定的难度，所以需要进行专题的讲解。

根据内容特点，我做出如下的教学设计。

一、学习目标
1、知识与技能
1掌握辅助角公式的推导过程，认识辅助角公式的作用和意义。

2利用辅助角公式进行简单的三角函数变形和求值，能解决某些简单的三角函数问题。

2、过程与方法
以问题链为导学方式来帮助学生完成本节内容的学习，着重抓住学生的思维发展过程，先引导学生复习两角和差的正余弦公式并通过具体实例训练逆向使用，从中启发学生认真观察、类比、思考，深入挖掘得出辅助角公式并进行理论推导和证明，体会公式的作用和意义，并学会模仿使用公式和灵活运用。

3、情感目标与价值观
通过让学生历练数学问题解决的思维发展过程，让学生体会辅助角公式的产生是自然的，方法是多样的，结果是简洁的，感受到思维的快乐和数学的美感。

【学习重点】辅助角公式的推导。

【学习难点】辅助角公式的应用。

【学法指导】通过个人自主探究和小组互相讨论，激发学生学习兴趣。

二、学习内容与过程：
情景设置：（一）复习引入，公式巩固
sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-
cos()αβ+=cos cos sin sin αβαβ- cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+
请分析上述公式形式特点，得出其记忆口诀（左复右单，正同名异，余异名同）。

设计意图：通过复习回顾公式，一方面归纳出公式形式上的特点来巩固和帮助学生记忆公式，另一方面为后续逆向使用公式提供必要铺垫。

情景设置：（二）问题探究，观察思考
1.请利用正余弦和差公式进行展开：sin()6π
θ+=1cos 22
θθ+
2请将下面式子化为只含正弦名称的三角函数形式：
1sin 2θθ+=sin()3πθ+ 设计意图：通过以上两个具体实例帮助学生从正向和逆向使用公式，增强思维的互逆性，另外特别训练学生的观察能力。

情景设置：（三）变式训练，提炼技巧
3请继续将下面式子化为只含正弦名称的三角函数形式：
θθ=sin 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭ cos θθ+=2sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
1sin()cos 62
πθθθ+=+(2)提示： 设计意图：继续通过两个具体变式实例，训练和提高学生逆向使用公式的能力，以及思维的变通能力。

训练过程注意启发引导，所选实例要具有难度上的梯度变化。

情景设置：（四）思考归纳，总结规律
探究：一般地，形如sin cos a b θθ+的式子如何化简为sin()A θϕ+？
问题1：能否直接令cos ,sin a b ϕϕ==，则sin cos sin cos cos sin sin()a b θθθϕθϕθϕ+=+=+？ 问题2：上述直接换元做法为何不行？原因何在？
问题3：如何保证化简顺利进行，即找到满足限制条件的辅助角呢？
1cos (sin cos )22
2θθθθ+=+ 设计意图：以问题链的形式，引导学生思维指向并抓住问题症结，讲解过程注意要有启发性，紧紧结合公式形式的特点来引导学生进行思考。

情景设置：（五）公式推导，原理解惑
代数推导：由以上具体实例以及提示，我们知道主要是确定出提取的数r 和辅助角ϕ，可采用反推法：即先设定
提取的数r 和辅助角ϕ，后根据其满足的条件求解其值的方式进行处理，请自己先行尝试。

讲解：令sin cos (sin cos )a b a b r r r θθθθ+=+，则22221a b r a b r r ⎛⎫⎛⎫+=⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
显然[]2222211,1a a a a b r r r ⎛⎫≤+=⇒≤⇒∈- ⎪⎝⎭，同理[]1,1b r ∈-且同时满足221a b r r ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因此若令cos ,sin a b r r
ϕϕ==，则符合限制条件； 2222222222sin cos (sin cos )(cos sin sin cos )sin()
a
b a b a b a b a b a b a b θθθθϕθϕθθϕ+=++++=++=++
其中2222sin ,cos b
a a
b a b ϕϕ==++
几何说明：三角函数具有明显的几何背景，请思考如何使用几何图形辅助解释说明本辅助角公式？
讲解：如图所示设为角终边上一点，则由三角函数定义知22OP r a b ==+，
2222sin ,cos b
a a
b a b ϕϕ==++，则22cos a a b ϕ=+，22sin b a b ϕ=+
2222sin cos =cos sin sin cos a b a b a b θθϕθϕθ∴++++
22(cos sin sin cos )a b ϕθϕθ=++
22sin()a b θϕ=++
变式换形:上述辅助角公式的推演过程使用到了两角和与差的正弦公式，请思考能使用余弦公式吗？ 讲解：222222sin cos (
sin cos )a b a b a b a b a b θθθθ+=++++ 因此若令2222sin ,cos a b
a b a b
ϕϕ==++，则有 2222222222sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )cos()
a
b a b a b a b a b a b a b θθθθϕθϕθθϕ+=++++=++=+-
其中2222sin ,cos a
b a b a b ϕϕ==++
设计意图：先进行对正弦公式的代数推导，在其过程中注意对思维方法（反推法）的讲解，然后再进行结合几何图形进行解释说明，最后变式讲解余弦公式的使用，方便学生全面理解掌握公式。

情景设置：（六）辨析总结,范围步骤
(1)使用范围：三个特点（略，详见课件） 2使用步骤：（略，详见课件）
设计意图：帮助学生分析公式特点，得出其使用范围，另根据推导过程总结使用步骤方便学生使用掌握。

情景设置：（七）常见公式归纳总结（敬请熟记）
sin cos θθ±=)4πθ±cos θθ±=2sin 6πθ⎛⎫± ⎪⎝⎭，sin θθ=2sin 3πθ⎛⎫± ⎪⎝
⎭ 设计意图：帮助学生归纳常见特殊角的公式使用，强化对公式的认识，包括其形式特点和使用步骤。

情景设置：（八）课堂演练：请把下列各式化简成为()sin A θϕ+的形式
(1)sin15cos15︒+︒=
(2)4sin 3cos θθ+=()5sin 37θ+︒
(3)cos())63ππθθ++-=2sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ 设计意图：帮助学生强化使用公式的能力，解法上可进行一题多解，强调关键在于认真观察分析思考，公式做到灵活运用，以及对不是特殊角时的辅助角公式的处理技巧指导。

情景设置：（九）公式使用，注意事项：由上一些例子，我们可以归纳出公式使用时应该注意哪些事项？ 讲解：（略，详见课件）
设计意图：提醒学生使用公式的注意事项，加强公式的使用指导，强化学生掌握公式的自信心。

情景设置：（十）深化认识，明确作用
典例：已知函数3sin(2))1y x x =++
1求此函数的周期； 2求此函数图象的对称轴与对称中心；3求此函数的单调递增区间和值域； 启示：由以上例子，我们明白辅助角公式有什么作用？
讲解：（略，详见课件）
设计意图：帮助学生理解认识公式的强大作用，树立掌握公式的必要决心。

情景设置：（十一）本节小结：1知识内容；2思想方法技巧；3功能作用
讲解：（略，详见课件）
设计意图：帮助学生归纳总结本节所学内容。

情景设置：（十二）课后作业：
1、函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+
⎪⎝⎭的值域为 ．
2、已知函数sin ,.22
x x y x R =∈ 1求y 取最大值时相应的x 取值集合；
2该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到sin ()y x x R =∈的图象。

3、教材137页 复习题三 B 组 12题 1-2小题
设计意图：帮助学生强化训练使用公式的能力。