立体几何近12年全国真题(及答案文科)

又 为相交直线，所以 平面 ，由 平面 ，得 ．
综上所述，总有 ．
15.【解析】（Ⅰ）如图：
…………… 3分
（Ⅱ）所求多面体体积
．
（Ⅲ）证明：在长方体 中，
连结 ，则 ．
因为 分别为 ， 中点，所以 ，
从而 ．又 平面 ，所以 面 ．
16.【解析】（Ⅰ）因为 是等边三角形， ，
所以 ，
可得 ．
如图，取 中点 ，连结 ， ，
37.（2018年全国Ⅰ卷第18题）如图，在平行四边形 中， ， ，以 为折痕将△ 折起，使点 到达点 的位置，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体积．
38.（2018年全国Ⅱ卷第19题）如图，在三棱锥 中， ，
， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
26.（2017年全国Ⅰ卷第16题）已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 的体积为9，则球O的表面积为________.
27.（2015年全国Ⅰ卷第18题）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点， .
（ ）证明：平面 平面 ；
9.（2013年全国Ⅱ卷第16题）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周
都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者
的高与体积较大者的高的比值为______________．
10.（2017年全国Ⅰ卷第6题）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是
（ ）若 ，
三棱锥 的体积为 ，
求该三棱锥的侧面积.
28.（2016年全国Ⅰ卷第18题）如图，在已知正三棱锥 的侧面是直角三角形，
，顶点 在平面 内的正投影为点 ， 在平面 内的正投影为 ，连接 并延长交 于点 .
（ ）证明 是 的中点；
（ ）在答题卡第（18）题图中作出点 在
平面 内的正投影 （说明作法及理由），
17.（2010年全国卷第18题）如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形， ∥ , ,垂足为 ， 是四棱锥的高.
（Ⅰ）证明：平面 平面；
（Ⅱ）若 , ,求四棱锥 的体积.
18.（2011年全国卷第18题）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，
， ， 底面 ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设 ，求棱锥 的高．
19.（2014年全国Ⅱ卷第18题）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 是 的中点.
35.（2017年全国Ⅱ卷第18题）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， .
（Ⅰ）证明：直线 平面 ;
（Ⅱ）若 面积为 ，求四棱锥 的体积.
36.（2017年全国Ⅲ卷第19题）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（Ⅰ）证明：AC⊥BD；
（Ⅱ）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）设 ，三棱锥 的体积 ，求 到平面 的距离.
20.(2013年全国Ⅱ卷第18题)如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点．
(Ⅰ)证明： 平面 ；
(Ⅱ)设 ，
求三棱锥 的体积.
21.（2015年全国Ⅱ卷第19题）如图，长方体 中， ，点 分别在 、 上， ．过 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
又 平面 ， 平面 .
所以 平面 .
（Ⅱ）
由 ，可得 .作 交 于 .
由题设知 ，所以 .
故 ，又 ，所以 到平面 的距离为 .
20.【解析】(Ⅰ)连结 交 于点 ，
则 为 中点．又 是 中点，连结 ，则 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
(Ⅱ)因为 是直三棱柱，所以 .
由已知 ， 为 的中点，所以 .
又 , 平面 , 平面 ,且 .
所以 平面 ，而 平面 ，故平面 平面 .
(Ⅱ)因为四边形 为等腰梯形，
所以 , , ， .
因为 ，所以 , .可得 .
所以等腰梯形 的面积为 .
所以四棱锥的体积为 .
18.【解析】（Ⅰ）因为 ， ，
由余弦定理得 ，从而 ，故 .
又 平面 ， 平面 ，故 .
由 可得 平面 .
而 平面 ，故 .
（Ⅱ）如图，作 ，垂足为 .
已知 平面 ， 平面 ，故 .
由（Ⅰ）知 ，又 ，所以 .
由 可得 平面 .
而 平面 ，故 .
另由 ，得 平面 .
由题设知， ，则 ，
根据 ，得 ，
即棱锥 的高为
19.【解析】（Ⅰ）设 交 于点 ，连结 .
因为 为矩形，所以 为 的中点.
又 为 的中点，所以 .
26.
27.【解析】（Ⅰ） 四边形 为菱形， ，
而 平面 ,
平面 , ,
而 ， 平面 ， 平面 .
又 平面 , 平面 平面 .
（II）设 ，在菱形 中，又 ，
可得 ， .
, 在 中，可得 .
平面 , 平面 , ， ，
三棱锥 的体积 = ，解得 =2，
从而可得 .
所以 的面积为 ， 的面积与 的面积均为 ，
空间点、线、面的位置关系(文科)
考纲要求
常考知识点
能力要求
命题规律
理解点、直线、平面之间的位
置关系；
证明平行或垂直；
求锥体或柱体的高或体积.
考查考生空间想象能力，运算求解能力与
推理论证能力.
通常都会有一道选填题与一道解答题，选填题难度中等，而解答题则位于第18题与第19题之间。
【十年真题】
（A）组
1.（2016年全国Ⅱ卷第4题）边长为 的正方体顶点都有同一球面上，则该球的表面积为
（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离．
39.（2018年全国Ⅱ卷第19题） 如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
空间点、线、面的位置关系（文科）
（A）组
1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.D 7. 8. 9. 10.A
（A） 斛（B） 斛
（C） 斛（D） 斛
3.（2010年全国卷第7题）设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（A） （B） （C） （D）
4.（2012年全国卷第8题）平面 截球 的球面所得圆的半径为 ，球心 到平面 的距离为 ，则此球的体积为
（A） （B） （C） （D）
（A） （B） （C） （D）
14.（2007年海南宁厦卷第18题）如图， 为空间四点．在 中， ．等边三角形 以 为轴运动．
（Ⅰ）当平面 平面 时，求 ；
（Ⅱ）当 转动时，是否总有 ？证明你的结论．
15.（2008年海南宁厦卷第18题）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图
所以 ，选D.
23.【解析】由题意得 ， ，所以 正确，当 时， 不垂直于 .
24.【解析】如图在正方体的前面补一个相同的正方体，由题意得 ， ，由正方体的性质易知 与 所成的角为 ，所以 与 所成的角为 .正弦值为 .
25.【解析】在三边长为6,8,10的直角三角形中，
它的内切圆的半径 ，
因为 ，所以当 时球的体积最大， .
（A） （B） （C） （D）
2.（2015年全国Ⅰ卷第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
31.（2014年全国Ⅰ卷第19题）如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面 .
(Ⅰ)证明：
（Ⅱ）若 , ， ，
求三棱柱 的高.
32.（2016年全国Ⅱ卷第19题）如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 、 分别在 ， 上， ， 交 于点 ，将 沿 折到 的位置.
（I）证明： ；
(II)若 ,求五棱锥 体积.
11.（2017年全国Ⅱ卷第15题）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.
12.（2017年全国Ⅲ卷第9题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
（A） （B） （C） （D）
13.（2017年全国Ⅲ卷第10题）在正方体 中，E为棱CD的中点，则
（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（II）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值．
（B）组
22.（2007年海南宁厦卷第11题）已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面
上，球心 在 上， 底面 ， ，则球的体积与三棱锥体积之比是
（A） （B） （C） （D）
23.（2008年海南宁厦卷第11题）已知平面 平面 ， ，点 ， ，直线 ，直线 ，直线 ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是
33.（2016年全国Ⅲ卷第19题）如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点.
（I）证明： 平面 ;
（II）求四面体 的体积.
34.（2017年全国Ⅰ卷第18题）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且
（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PAD；