浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题
浅析带电粒子在匀强磁场中的运动问题
浅析带电粒子在匀强磁场中的运动问题带电粒子在匀强磁场中运动受洛伦兹力做匀速圆周运动，老师在课堂上分析很多，也做过很多这方面习题，但高考常常考，我们还是还很难下笔。
带电粒子受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据这一特点该问题的解决方法一般为：一定圆心，二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间。
其中圆心的确定最为关键，一般方法为：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心。
②已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1.圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2.半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3.粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4.带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
高中物理基础知识及例题(学案) 带电粒子在重力场与电场中的运动
带电粒子在重力场与电场中的运动[学习目标] 1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在复合场中的直线运动问题.2.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在复合场中的类平抛运动问题和圆周运动问题．一、带电粒子在复合场中的直线运动讨论带电粒子在复合场中做直线运动(加速或减速)的方法(1)动力学方法——牛顿运动定律、运动学公式．当带电粒子所受合力为恒力，且与速度方向共线时，粒子做匀变速直线运动，若题目涉及运动时间，优先考虑牛顿运动定律、运动学公式．在重力场和电场叠加场中的匀变速直线运动，亦可以分解为重力方向上、静电力方向上的直线运动来处理．(2)功、能量方法——动能定理、能量守恒定律．若题中已知量和所求量涉及功和能量，那么应优先考虑动能定理、能量守恒定律．例1如图所示，水平放置的平行板电容器的两极板M、N接直流电源，两极板间的距离为L＝15 cm.上极板M的中央有一小孔A，在A的正上方h处的B点有一小油滴自由落下．已知带正电小油滴的电荷量q＝3.5×10－14C、质量m＝3.0×10－9kg.当小油滴即将落到下极板时速度恰好为零．两极板间的电势差U＝6×105 V．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)(1)两极板间的电场强度E的大小为多少？(2)设平行板电容器的电容C＝4.0×10－12 F，则该电容器所带电荷量Q是多少？(3)B点在A点正上方的高度h是多少？针对训练1(多选)如图所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一恒压直流电源相连．若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子()A．所受重力与静电力平衡B．电势能逐渐增加C．动能逐渐增加D．做匀变速直线运动二、带电粒子的类平抛运动带电粒子在电场中的类平抛运动的处理方法：1．运动分解的方法：将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的匀加速直线运动，在这两个方向上分别列运动学方程或牛顿第二定律．2．利用功能关系和动能定理分析：(1)功能关系：静电力做功等于电势能的减少量，W电＝E p1－E p2.(2)动能定理：合力做功等于动能的变化，W＝E k2－E k1.例2如图所示，空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点．从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B.A不带电，B的电荷量为q(q＞0)，A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t，B从O点到达P点所用时间为t2.重力加速度为g，求：(1)电场强度E的大小；(2)B运动到P点时的动能；(3)OP间的电势差U OP的大小．针对训练2(多选)如图所示，有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的小球，从平行金属板左侧中点以相同的初速度v0垂直于电场方向进入板间匀强电场，最后落在A、B、C 三点，可以判断()A．落到A点的小球带正电，落到B点的小球不带电，落到C点的小球带负电B．三个小球在电场中运动的时间相等C．三个小球到达极板时的动能关系为E k C＞E k B＞E k AD．三个小球在电场中运动时的加速度关系为a A＜a B＜a C三、带电粒子在电场(复合场)中的圆周运动解决电场(复合场)中的圆周运动问题，关键是分析向心力的来源，向心力的来源有可能是重力和静电力的合力，也有可能是单独的静电力．例3(多选)(2022·广州市高二期末)如图所示，在竖直放置的半径为R的光滑半圆弧绝缘细管的圆心O处固定一点电荷，将质量为m，带电荷量为＋q的小球从圆弧管的水平直径端点A由静止释放，小球沿细管滑到最低点B时，对管壁恰好无压力．已知重力加速度为g，下列说法正确的是()A．O处固定的点电荷带负电B．小球滑到最低点B时的速率为2gRC．B点处的电场强度大小为2mg qD．小球不能到达光滑半圆弧绝缘细管水平直径的另一端点C例4(2021·六安市高二期中)如图所示，一个竖直放置的半径为R的光滑绝缘环，置于水平方向的匀强电场中，电场强度为E，有一质量为m、电荷量为q的带正电荷的空心小球套在环上，并且Eq＝mg.(1)当小球由静止开始从环的顶端A 下滑14圆弧长到位置B 时，小球的速度为多少？环对小球的压力为多大？(2)小球从环的顶端A 滑至底端C 的过程中，小球在何处速度最大？最大速度为多少？专题强化5 带电粒子在重力场与电场中的运动探究重点 提升素养例1 (1)4×106 V/m (2)2.4×10－6 C (3)0.55 m解析 (1)由匀强电场的场强与电势差的关系式可得两极板间的电场强度大小为E ＝UL ＝4×106 V/m.(2)该电容器所带电荷量为Q ＝CU ＝2.4×10－6 C. (3)小油滴自由落下，即将落到下极板时，速度恰好为零 由动能定理可得：mg (h ＋L )－qU ＝0 则B 点在A 点正上方的高度是h ＝qU mg －L ＝3.5×10－14×6×1053.0×10－9×10m －15×10－2 m ＝0.55 m. 针对训练1 BD [对带电粒子受力分析如图所示，F 合≠0，A 错误．由图可知静电力与重力的合力方向与v 0方向相反，F 合对粒子做负功，其中重力mg 不做功，静电力Eq 做负功，故粒子动能减少，电势能增加，B 正确，C 错误．F 合恒定且F 合与v 0方向相反，粒子做匀减速直线运动，D 正确．] 例2 (1)3mg q (2)2m (v 02＋g 2t 2) (3)3mg 2t 22q解析 (1)设电场强度的大小为E ，小球B 运动的加速度为a ，OP 的竖直高度为h ， 根据牛顿第二定律：mg ＋qE ＝ma 由运动学公式和题给条件有：h ＝12gt 2＝12a (t 2)2 联立解得：E ＝3mg q(2)设小球B 从O 点发射时的速度为v 1，到达P 点时的动能为E k ，根据动能定理有： mgh ＋qEh ＝E k －12m v 12h ＝12gt 2 且小球B 水平方向位移：x ＝v 1t2＝v 0t联立得：E k ＝2m (v 02＋g 2t 2) (3)OP 间电势差为U OP ＝Eh 由(1)知E ＝3mgq联立解得：U OP ＝3mg 2t 22q.针对训练2 ACD [不带电小球、带正电小球和带负电小球在平行金属板间的受力如图所示：由此可知不带电小球做平抛运动，a 1＝Gm ，带正电小球做类平抛运动a 2＝G －F m ，带负电小球做类平抛运动，a 3＝G ＋F ′m.根据题意，三小球在竖直方向都做初速度为0的匀加速直线运动，到达下极板时，竖直方向的位移h 相等， 根据t ＝2ha得，带正电小球运动时间最长，不带电小球次之，带负电小球运动时间最短． 三小球在水平方向都不受力，做匀速直线运动，则落在板上时水平方向的距离与下落时间成正比，故水平位移最大的A 是带正电的小球，B 是不带电的小球，C 是带负电的小球，故A 正确，B 错误；根据动能定理，三小球到达下板时的动能等于这一过程中合外力对小球做的功．由受力图可知，带负电小球所受合力最大，为G ＋F ′，做功最多，动能最大，带正电小球所受合力最小，为G －F ，做功最少，动能最小，则小球到达极板时的动能关系为E k C ＞E k B ＞E k A ，故C 正确．因为落在A 点的小球带正电，落在B 点的小球不带电，落在C 点的小球带负电，所以a A ＝a 2，a B ＝a 1，a C ＝a 3，所以a A ＜a B ＜a C ，故D 正确．]例3 AB [小球从A 点由静止释放，运动到B 点的过程中，电场力不做功，则由机械能守恒定律可得mgR ＝12m v 2，即到达B 点的速度为v ＝2gR ，故B 正确；由题意可知，小球沿细管滑到最低点B 时，对管壁恰好无压力，则在B 点小球受重力和电场力，小球带正电受向上的电场力，则O 处固定的点电荷带负电，故A 正确；在B 点由牛顿第二定律k QqR 2－mg ＝m v 2R ，E ＝k Q R 2＝3mgq ，故C 错误；根据点电荷的电场分布特点，可知电场线沿着半圆轨道的半径方向，所以小球从A 点运动到C 点的过程中，电场力不做功，即小球从A 点运动到C 点的过程中，机械能守恒，即小球可以到达光滑半圆弧绝缘细管水平直径的另一端点C ，故D 错误．] 例4 (1)4gR 5mg (2)BC 弧的中点2(2＋1)gR解析 (1)从A 到B 根据动能定理得：mgR ＋qER ＝12m v B 2－0，解得：v B ＝4gR .根据牛顿第二定律得：F N －qE ＝m v B 2R ，解得：F N ＝5mg .根据牛顿第三定律得，环对小球的压力为5mg .(2)由于小球所受的静电力与重力都是恒力，它们的合力也是恒力，小球从A 处下滑时，静电力与重力的合力先与速度成锐角，做正功，动能增大，速度增大，后与速度成钝角，做负功，动能减小，速度减小，所以当合力与速度垂直时速度最大，由于qE ＝mg ，所以速度最大的位置位于BC 圆弧的中点，设为D 点． 则从A 到D 过程，根据动能定理得： mg (R ＋22R )＋qE ·22R ＝12m v m 2 解得：v m ＝2(2＋1)gR .。
浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题
解析 ： （ １ ） 小滑 块 刚 能通 过 轨 道 最高 点 的条 件 是
２ ｕ ｍｇ— ｍ － 百
，
中学 生效理化． 富二 高三 使用
动， 受重力、 静 电力 、 支 持 力 作
用， 然后在 圆弧轨 道上运 动， 受 重力、 静 电力 、 轨 道 作 用 力作 用 ，
解 得 一 、 ／ ／ Ｒｇ一 ２ ｍ／ ｓ 。小 滑 块 由释 放
滑 轨道 ＡＢ部分 为倾 角 ０ —３ Ｏ 。 的
斜面 ， ＡＣ部 分 为 竖 直 平 面 内半 径 为 Ｒ 的 圆弧轨 道 ， 斜 面 与 圆弧 图２
轨 道相 切 ， 整 个 装 置 处 于 场 强 为 Ｅ、 方 向 水 平 向 右 的
直 平 面与 电场 线平 行 ， 其 半径 Ｒ一４ ０ ｃ ｍ， 一 带 正 电荷
变， 粒 子将 做 非匀 速 圆周 运 动 ， 此 时 粒 子 的 向心 力 将
由这 些力 在 圆周 半 径 方 向 上 的 合 力 提 供 ， 通 常 利 用 牛顿 第二 定律 和 功能关 系解 决 相关 问题 。
一
圆周运 动 的等效 处 理
（ 一） 带 电粒 子 在 竖 直 面 内的 圆 周 运 动
点 到最 高 点 的 过程 中 ， 由动 能 定 理 得 ｑ ｓ Ｅ一， ｕ ｍｇ ｓ 一
１
２ ｍ ｇＲ ＝ ｉ
。
，
＿ 去 ＿ ｍｙ ＋２ ｍｇ Ｒ 解得 一 二 一２ ０ ｍ。
如 图 ３所 示 ， 类 比重 力 场 ， 将 静
图３
电力 与重 力 的 合 力 视 为 等 效 重 力 ｍｇ ， 其 大 小 为
Ｎ一 １ ．５ Ｎ 。
即ａ 一３ Ｏ 。 ， 等效 重力 的方 向与 斜 面 垂 直 指 向右 下 方 ，
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中的运动一、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动1．洛伦兹力的作用效果洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向，不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对带电粒子做功，不改变粒子的能量。
2．带电粒子的运动规律沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
洛伦兹力总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。
公式：q v B ＝m v 2rr ＝m vqBT ＝2πm qB3．圆心、半径、运动时间的分析思路(1)圆心的确定：带电粒子垂直进入磁场后，一定做圆周运动，其速度方向一定沿圆周的切线方向，因此圆心的位置必是两速度方向垂线的交点，如图(a)所示，或某一速度方向的垂线与圆周上两点连线中垂线的交点，如图(b)所示．(2)运动半径大小的确定：一般先作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，然后利用三角函数求解出半径的大小．(3)运动时间的确定：首先利用周期公式T ＝2πm qB ，求出运动周期T ，然后求出粒子运动的圆弧所对应的圆心角α，其运动时间t ＝α2πT .(4)圆心角的确定：①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向间的夹角φ叫偏向角．偏向角等于圆心角即φ＝α，如图所示．②某段圆弧所对应的圆心角是这段圆弧弦切角的二倍，即α＝2θ.[特别提醒]带电粒子(不计重力)以一定的速度v 进入磁感应强度为B 的匀强磁场时的运动轨迹：(1)当v ∥B 时，带电粒子将做匀速直线运动．(2)当v ⊥B 时，带电粒子将做匀速圆周运动．(3)当带电粒子斜射入磁场时，带电粒子将沿螺旋线运动．4、带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点(1)直线边界：进出磁场具有对称性。
(2)平行边界：存在临界条件。
(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。
【例题1】如图所示，一束电荷量为e 的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为B )并垂直于磁场边界的速度v 射入宽度为d 的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°.求电子的质量和穿越磁场的时间．答案：23dBe 3v 23πd 9v解析：过M 、N 作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O 点，O 点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，过N 作OM 的垂线，垂足为P ，如图所示．由直角三角形OPN 知，电子的轨迹半径r ＝d sin 60°＝233d ①由圆周运动知e v B ＝m v 2r②解①②得m ＝23dBe 3v.电子在无界磁场中运动周期为T ＝2πeB ·23dBe 3v ＝43πd 3v.电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，故电子在磁场中的运动时间为t ＝16T ＝16×43πd 3v ＝23πd 9v.带电粒子在磁场中的圆周运动问题处理方法(1)定圆心：圆心一定在与速度方向垂直的直线上，也在弦的中垂线上，也是圆的两个半径的交点．(2)求半径的两种方法：一是利用几何关系求半径，二是利用r ＝m v Bq 求半径．(3)求时间：可以利用T ＝2πr v 和t ＝Δl v 求时间，也可以利用t ＝θ2πT 求时间．【例题2】如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过t 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1 2 eU mv 2
v evB m R
2
r tan 2 R
q
1 B r
2mU q tg e 2
【习题】如图所示，一个质量为m、电量为q的正离 子，从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘 圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感 应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多 次后仍从A点射出，问发生碰撞的最少次数? 并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t ? 设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒 子的重力。
磁场专题复习
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的 分析方法：
求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周 运动时，根据题意对带电粒子进行受力分析 和运动分析，画出粒子运动的轨迹，确定出 圆心，从而求出半径或圆心角，然后利用牛 二定律圆周运动公式进行解答。其中求出半 径或圆心角，往往是解题关键。解题的一般 步骤为：看求解，明对象；查电性，析受力； 画轨迹，定圆心；找关系，求半径；套公式， 做解答。{也可逆向分析}
带电粒子在半无界磁场中的运动
例题（2001年全国卷）如图所示，在y<0的区域内存 在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外， 磁感强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入 磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。 若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的 电量和质量之比。
（2005年广东卷）如图12所示，在一个圆形区域内，两 个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界 的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60º 。一质量为 m、带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成 30º 角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心 O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁 场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子 重力）。
5.18带电粒子在匀强电场中的圆周运动
第一章 带电粒子在复合场中的圆周运动【教学目标】1．圆周运动受力分析，向心力的提供 2、复合场中用动能定理应用（电场水平、竖直）3.等效最低点的寻找，等效重力G ’ ，等效加速度g ’（重点、难点）一、【基础感知】知识点一：重力场中，和斜面上的的圆周运动1、标出小球静止位置 标出小球静止时位置2、运动时， 力在做功 运动时， 力在做功3、标出v 最大和v 最小点位置标出v 最大和v 最小点位置4、用动能定理表达速度 用动能定理表达速度关系 关系5、速度最大位置特点向心力 ，拉力 ，图2等效重力加速度 g ’=知识点二：复合场中带电体的（竖直）圆周运动复合场=重力场+电场=恒力，为等效重力在等效重力作用下，垂直于绳给带正电小球一个初速度v ，1、当mg=Eq 做 运动2、当mg>Eq 做 运动 F 合= g ’= 等效最低点在3、当mg<Eq 做 运动 F 合= g ’= 等效最低点在4、要做完整的圆周运动看圆周的最小速度v=5、特点：合方向上位移最大，动能变化最大即找到等效最低点，和等效最高点。
运动关于等效最低点对称（月）例1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l 的轻、软绝 缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA 方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C 点，由静止将小球释放．若重力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是（ ）A ．小球所受电场力的大小为mg tan θB ．小球到B 点的速度最大C ．小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零D ．小球运动到A 点时所受绳的拉力最大(晶）例2、如图所示，在竖直平面内有一质量m 电荷量q 的带正电的小球，用一根长L 且不可伸长的绝缘轻细线系在一方向水平向右、分布的区域足够大的匀强电场中的O 点．已知A 、O 、C 三点等高，若将带电小球从A 点无初速度释放，场强为E ，电场力等于重力。
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题(1)等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。
常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等。
带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。
对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。
若采用“等效法”求解，则过程比较简捷。
(2)解题思路：①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”。
②将a ＝F 合m视为“等效重力加速度”。
③将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。
[典例] 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B 点的初速度多大？对应练习：1．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。
现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？2．(2012·合肥质检)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。
该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g。
(1)求小球所受到的电场力的大小；(2)求小球在A点速度v0多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小？3.如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动。
高中物理：带电粒子在电场中的圆周运动
带电粒子在电场中的运动轨迹为一段圆弧（或在电场中作圆周运动），处理此类问题时，常利用牛顿第二定律和圆周运动规律结合去求解；如果题目还涉及物体由圆上一点运动到另一点，还需借助能量观点（例动能定理）补充方程联立求解。
等效类比法是物理学中的常用方法。
用等效类比的方法，可将复杂的物理情景转化为简单、熟悉的情景，如果你掌握了等效类比的方法，就能大大提高处理复杂问题的能力。
当然电场和重力合成为等效重力场是有条件的，即重力和电场力都必须是恒力。
例、质量为m、带电荷量为+q的小滑块，在竖直放置的光滑绝缘圆形轨道内侧运动，轨道半径为r。
现在该区域加一竖直向下的匀强电场，场强为E，为使滑块在运动中不离开圆形轨道，则滑块在轨道最低点的速度应满足什么条件？解析：滑块在圆形轨道内侧运动时，它受到的重力G与电场力F均是恒力，这样可将它们的合力当作一个等效的重力，此重力大小为，方向仍竖直向下。
所以滑块在电场中的这种运动就与力学中滑块在竖直圆形轨道内侧运动的情形就完全相同了。
而滑块在运动中不离开圆形轨道有两种运动可能：（1）滑块能做完整的圆周运动。
如图所示，由力学中的模型可知，只要滑块能通过轨道的最高点B，就能做完整的圆周运动，而滑块刚好能通过B点时，轨道对滑块的弹力刚好为零，设此情形下滑块在轨道的最高点B与最低点A的速度大小分别为，则在B点，由牛顿第二定律有：滑块由A→B，由动能定理有：解得（2）滑块仅在A点两侧沿圆轨道往复运动，此时它在圆形轨道上运动的最高点为C（或D）点，且。
设此情形下，滑块在A的速度设为，滑块由A点运动到C点，由动能定理有：，解得由上面分析可知，为使滑块在运动中不离开圆形轨道，滑块在最低点的速度应满足的条件为：或。
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浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题
近些年来，随着物理研究的深入发展，物理学家们对于带电粒子在重力场和匀强电场中的圆周运动问题有了更加深入的研究。
本文将从电磁属性的角度，浅析带电粒子在重力场和匀强电场中的圆周运动问题。
首先，我们要谈带电粒子在重力场中的运动。
在重力场中，由于地心引力，一个带电粒子会受到重力场的影响而向心画圆。
根据力学原理，一个带电粒子受到地心引力的影响时，其圆周运动的速度会按其与圆心的远近而变化，由近及远经历的运动速度也会逐渐减小，直到近似于零时，当粒子到达最远点时会改变运动方向，从而形成一个定律性的圆周运动。
其次，我们要谈带电粒子在匀强电场中的运动。
由于强电场的影响，带电粒子会以恒定的速度直线运动。
但是，当电场强度够大时，带电粒子会发生弯折，并呈现出一定的圆周运动。
对于这种情况，物理学家通过对粒子改变电荷或量子状态的实验，表明当粒子弯折时，其末端的动能会转化为动能的比例，其中的因素也有可能被引力作用改变，从而产生一定的圆周运动。
最后，我们要谈带电粒子在重力场和匀强电场中的相互作用。
在重力场和匀强电场的相互作用中，由于强电场的存在，可以使带电粒子的行为受到重力场的影响，同时也受到匀强电场的影响，从而产生一定的圆柱运动。
这种圆柱运动会被引力约束，从而调整带电粒子的运动方向，并伴随一定的电磁力，从而形成一种圆周运动。
综上所述，带电粒子在重力场和匀强电场中的圆周运动由复杂的力学原理控制，它们会受到重力场和匀强电场的双重影响，从而发生圆周运动，从而产生出有趣的物理现象。
未来研究的重点也许会放在其可能的实验效应上，以构建出更加精确的数学模型，帮助我们更深入地理解带电粒子在重力场和匀强电场中的圆周运动问题。