关于高等数学在实际生活中的应用

高等数学知识在实际生活中的应用

一、数学建模的应用

数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。

（一）数学建模的一般方法和步骤

（1）了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行

全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。

（2）对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多，

不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果。

（3）建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。

（4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。

（5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。

归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：

问题-------- ►假设-------- > 建模--------- ►分析 -------- ►应用

检验、修改

图1

（二）数学建模的范例

例 教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？

这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角 越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越 小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢?

先建立一个非常简单的模型： 模型1：

先对问题进行如下假设：

1.假设这是一个普通的教室（不是阶梯 黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 处。

2.看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。

设学生D 距黑板x 米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为 由假设知：

所以，当且仅当x .ab 时，tan （）最大，从而视角 最大。从结果我们可以 看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太远或太近，都会影响我们 的视觉，这符合我们的实际情况。

下面我们在原有模型的基础上，将问题 些。

模型2：设教室是一间阶梯教室，如图 所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个 与水平面成角，以黑板所在直线为y 轴，

的方程（除原点）为:

若学生D 距黑板的水平距离为x ,则D 在坐标系中的坐标为（x,xtan ）,

线为x 轴，建立坐标系（见图2.3-2）。则直 线 OE

复杂一

2. 3-2 斜面， 以水平

x

了。对f(x)求导得:

当x ab 2时，f '(x ) 0，则f(x)随x 的增大而增大；当0 X 「―ab 2时，f '(x ) 0 , 屮 tan 2 ， ， \l tan 2 则f (x)随x 的增大而减小，由因为f(x)是连续的，所以当X ；—ab 2时，f(x)取最小 V tan 2 值，也就是x ab 2时，学生的视角最大。

\1 tan 2

通过这两个模型，我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排。模型1和 模型2所应用的基本知识都是相同的，只是因为假设的教室的环境不同，建立的模 型有些细微差别，所以结果不同，但这两个结果都是基本符合实际的。在解题过程 中，我们只考虑了一个因素，那就是视角，其实我们还可以考虑更多的因素，比如: 前面学生对后面学生的遮挡，学生看黑板的舒适度(视线与水平面成多少度角最舒 服)，等。我们考虑的因素越多，所的结果就会越合理。但有时如果考虑的因素过多、 过细的话，解题过程就会相当繁琐，有时甚至得不到结果。所以“简化假设”时就 需要我们冷静的分析，在众多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的选择。因此在建 立模型时既要符合实际，又要力求计算简便。 二、矩阵在实际生活中的应用 (一)有关矩阵的乘法 矩阵A= a b 与a = x 相乘

cd

y a b x

ax by

Aa

=

c d y cx dy

则:tan a xta n

,tan

b xta n

所以tan( tan tan 1 tan tan 设 f (x)

ab (a tan

btan )x tan 2 x 2 x

要使tan( )最大，只要f (x)最小就可以

A( a)

a b x a b x a x b y ax by =

=

=

= A a

c

d

y

c d

y

c x

d y

cx

dy

（二）

矩阵应用的范例—人口流动问题 例 假设某个中小城市及郊区乡镇共有 40 万人从事农、工、商工作，假定这个 总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：

（1）在这 40万就业人员中，目前约有 25万人从事农业，10万人从事工业，5 万人

经商；

（2） 在务农人员中，每年约有 10%改为务工，10%改为经商； （3） 在务工人员中，每年约有 10%改为务农，20%改为经商；

（4） 在经商人员中，每年约有 10%改为务农，20%改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总 数之发展趋势。

解：若用三维向量（X i ,y i ,zJ T 表示第i 年后从事这三种职业的人员总数，则已知 （x o ,y °,z o ）

T

=（25， 10，5）T 。而欲求（x i ,y i ,z i ）T ， （X 2,y 2,Z 2）T 并考察在 n ^x 时 （X n ,y n ,Z n ）T

的发展趋势。

依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为

X 1 0.8x 0 0.1y 0 0.1z 0 T Y 1 0T .1x 0 0.7 y 0 0.2z 0

以（"》25,吩5）0代入上式,即0得7Z 0

即一年业人员的人数分别为 21.5万10.5万、8万人。

即两年后从事各业人员的人数分别为019. 051万1 11. 1万、9 85万人。进而推得:

即n 年之后从事各业人员的人数0

完全 由9・85 决定。

X n x n 1 x 0

在这个问题的求解过胳中，我们应用至A 矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学 Y n

A y n 1 A y 0

化，进而解决了实际生活中的人n 口流动问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的 正确

应用，我们成功的将其解决

以及

X 2 x 1 x 0 19.05