静电场的高斯定理复习题

－ 选择题

1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：

()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷；

()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E

处处为零；

()C 如果高斯面上E

处处不为零，则高斯面内必有电荷；

()D 如果高斯面内有净电荷，

则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D

2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为

()A 0/q ε ； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕

答案：()D

3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ，

2φ，3φ，则

()A 1230E b c E b c φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==；

()C

123Eac Ebc φφφ=-=-=-；

()D

123Eac Ebc φφφ===。

〔 〕

答案：()B

4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和

i

q

=

∑

()A

()B

()C ()

D 〔 〕

答案：()C

5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积

1S 和2S ，

其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。 〔 〕

答案：()D

6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B

7.A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则

()A 通过S 面的电场强度通量为零，S 面上各点的场强为零； ()B 通过S 面的电场强度通量为0/q ε，S 面上场强的大小为2

0π4r

q E ε=

；

()C 通过S 面的电场强度通量为 0()/q ε- ，S 面上场强的大小为2

0π4r q E ε=

；

()D 通过S 面的电场强度通量为0/q ε，但S 面上各点的场强不能直接由高斯定理求出。

〔 〕 答案：()D

8.若穿过球形高斯面的电场强度通量为零，则 ()A 高斯面内一定无电荷； ()B 高斯面内无电荷或正负电荷的代数和为零； ()C 高斯面上场强一定处处为零； ()D 以上说法均不正确。 〔 〕 答案：()B

9.如果把一点电荷Q 放在某一立方体的一个顶点，则 ()A 穿过每一表面的电通量都等于

Q

6； ()B 穿过每一表面的电通量都等于Q 60ε

()C 穿过每一表面的电通量都等于Q 30ε；()D 穿过每一表面的电通量都等于0

24Q

ε

〔 〕

答案：()D

10.高斯定理

nt

i d ε∑?

=

?q

S E S

()A 适用于任何静电场。 ()B 只适用于真空中的静电场。

()C 只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场。

()D 只适用于虽然不具有()C 中所述的对称性，但可以找到合适的高斯面的静电场。 〔 〕 答案：()A

11.半径为R 的均匀带电球面，若其电荷面密度为σ，则在距离球面R 处的电场强度大小为： ()A

εσ

； ()B 02εσ； ()C 04εσ； ()D 08εσ。 〔 〕

答案：()C

12.同一束电场线穿过大小不等的两个平面,如图所示。则两个平面的E 通量和场强关系是:

()A 12ΦΦ> 21E E =； ()B 12ΦΦ< 21E E =；

()C 12ΦΦ= 21E E >； ()D 12ΦΦ= 21E E <。

〔 〕

答案：()D

13.在静电场中，一闭合曲面外的电荷的代数和为q ，则下列等式不成立的是：

()A

0d =??

S

S E

()B

0d =??

L

l E

()C 0

d εq S E S

=?? ()D

d εq l E L

=??

〔 〕 答案：()C

二 填空题

1.如图所示，在场强为E 的均匀电场中取一半球面，其半径为R

半球面的对称轴平行。则通过这个半球面的电通量为

。 答案：2

E R π

2.如图所示，在场强为E 的均匀电场中取一半球面，其半径为R ，电场强度的方向与半球面的对称轴垂直。则通过这个半球面的电通量为 。 答案：0

3.反映静电场性质的高斯定理表明静电场是___ ___场。 答案：有源场

4.如图所示, 真空中有两个点电荷, 带电量分别为Q 和Q -, 相距2R 。若以负电荷所在处O 点为中心, 以R 为半径作高斯球面S , 则通过该球面的电场强度通量e Φ= 。

答案：0/Q ε-

5.电荷1q 、2q 、3q 和4q 在真空中的分布如图所示, 其中2q 是半径为R 的均匀带电球体, S 为闭合曲面，则通过闭合曲面S 的电通量

=???

S

S E

d 。 答案：

120

()

q q ε+

6.一面积为S 的平面，放在场强为E 的均匀电场中，已知E

与平面法线的夹

角为)2

(π

θ<，则通过该平面的电场强度通量的数值e Φ=________________。

答案：||cos E S θ

7.有一个球形的橡皮膜气球，电荷q 均匀地分布在球面上，在此气球被吹大的过程中，被气球表面掠过的点(该点与球中心距离为r )，其电场强度的大小将由 变为0。 答案：

2

04q R

πε

8.把一个均匀带电量Q +的球形肥皂泡由半径1r 吹胀到2r ，则半径为R (12r R r <<）的高斯球面上任一点的场强大小E 由

2

04q R

πε变为______________。

答案：0

9.在匀强电场E 中，取一半径为R 的圆，圆面的法线 n 与E 成

060角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意

曲面S 的电通量=?=??S

e S E Φ

d 。

? q 1

? q 3 ? q 4

S q 2

答案：21

2

E R π-

10.均匀电场E 垂直于以R 为半径的的圆面，以该圆周为边线作两个曲面1S 和2S ，1S 和2S 构成闭合曲面，如图所示。则通过1S 、2S 的电通量1Φ和2Φ分别为 和 。

答案：22E R E R ππ-

11.一点电荷q 处在球形高斯面的中心，当将另一个点电荷置于高斯球

面外附近时，穿过此高斯面的E 通量是否会发生变化？ _________________。 答案：不变化

12.一点电荷q 处在球形高斯面的中心，当将另一个点电荷置于高斯球面外附近时，此高斯面上任意点的电场强度是否会发生变化？________________。 答案：变化

13.把一个均匀带有电荷Q +的球形肥皂泡由半径1r 吹胀到2r ，则半径为R (12r R r <<）的高斯球面上任一点的场强大小E 是否变化：________________。 答案：变化

14.一均匀带电球面，半径是R ，电荷面密度为σ。球面上面元d S 带有d S σ的电荷，该电荷在球心处产生的电场强度为____________。 答案：

2

0d 4S

R

σπε

三 计算题

1.一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的

常量。试求球体内外的场强分布及其方向。

答案：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为

2

3

d d 4d 4d q V Ar r r Ar r ρ==?π=π

在半径为r 的球面内包含的总电荷为

430

d 4d Ar r r A V q V

r

ππρ==?=???? ()r R ≤

以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/4εAr r E π=π? 得到

()0214/εAr E =， (r ≤R )

方向沿径向向外

在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有 0422/4εAR r E π=π? 得到 (

)2

04

24/r

AR E ε=， ()r R >

方向沿径向向外

E

2.如图所示，有一带电球壳，内、外半径分别为a 、b ，电荷体密度为r A =ρ，在球心处有一点电荷Q 。求：（1）在a r b ≤≤区域的电场强度；（2）当A 取何值

时，球壳区域内电场强度E

的大小与半径r 无关。 答案: 在a r b ≤≤区域，用高斯定理求球壳内场强：

?????

?+=?=?V

S

V Q r E S E )d (14d 0

2ρεπ 而

r r A r r r

A V r V r

a d 4d 4d 02?????

=?=?ππρ()

2

22a r A -π= 故： ()

222

020241

4a r A r

r Q E -π?π+π=εε 即： 2

02

020224r

Aa A r Q E εεε-+π= 要使E

的大小与r 无关，则应有 ：

0242

02

20=-πr Aa r Q εε

即2

2a Q

A π=

3.有两个同心的均匀带电球面，半径分别为1R 、2R )(21R R <，若大球面的面电荷密度为σ，且大球面外的电场强度为零，求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。 答案: （1）设小球面上的电荷密度为σ'，在大球面外作同心的球面为高斯面， 由高斯定理：

'

12

20int 4'4d επσπσεR R q S E S

?+?=

=???

∵大球面外0=E

∴ 2221440R R σπσπ'?+?=

解得： 2

21

()R R σσ'=-

（2） 大球面内各点的场强两个均匀带电球面场强的迭加:内部场强为零,外部相当点电荷 在1r R <区域： 00021=+=+=E E E

在12R r R <<区域： 2112204'04R E E E r πσπε=+=+=2

20??

?

??-r R εσ

4.如图所示，一个均匀分布带电球层，电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R ，外表面为2R ，求：电场分布。

答案: 本题的电荷分布具有球对称性，因而电场分布也具有对称性，作同心球面为高斯面，由高斯定理 0

int

d ε∑??

=

?q

S E S

由对称性可以得到

E r S E S

24d π=???

对于不同的高斯面，电荷是不同的，结果如下

0 q r R =<

334

() 23

q r R R r R πρ=-<<

3

28 23

q R r R πρ=

> 因而场强分布为

0 E r R =<

332

0() 23r R E R r R r ρε-=<< 32

07 23R E r R r ρε=>

5.均匀带电球壳内半径16cm R =，外半径210cm R =，电荷体密度为5-3210C m ρ-=??。求：距球心15cm r =、28cm r =、312cm r =各点的场强及方向（真空介电常数122-1-208.8510C N m ε-=?）。 答案: 由高斯定理：0

int

d ε∑??

=

?q

S E S

，得：int

20

4πq

E r ε=

∑

当5cm r =时，

int

0q

=∑

故： 0=E

8cm r =时， int q ∑4π3

ρ

=3

(r 31)R - ∴ ()3

31204π34πr R E r

ρ

ε-=

41048.3?≈1C N -?， 方向沿半径向外 12cm r =时,int 4π3

q ρ

=∑3

2(R -31R ）

∴ ()3

3214204π3 4.10104πR R E r

ρ

ε-=≈? 1C N -? 沿半径向外.

6.两个均匀带电的同心球面，半径分别为1R 和2R ，带电量分别为1q 和2q 。求（1）场强的分布；（2）当12q q q =-=时，场强的分布。

答案: （1）选择高斯面：选与带电球面同心的球面作为高斯面。 由高斯定理：

int

d ε∑??

=

?q

S E S

，得：int

20

4πq

E r ε=

∑

当2r R >时， int

12q

q q =+∑

解得 12

2

04q q E r πε+=

当12R r R <<时， i n t

1q

q =∑

解出 2

014r q E πε=

当1r R <时，

int

0q

=∑

解得 0E =

（2）当12q q q =-=时，由上面计算的结果，得场强的分布为

2122

010,,40,

r R q E R r R r r R πε?>??=<