高考数学复习平面向量易错题选及解析精选
高考数学复习平面向量易错题选及解析
一、选择题：
1．在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( )
A 20
B 20-
C 320
D 320-
错误分析:?
==60C ,从而出错.
答案: B
略解: 由题意可知
?
=120,
故?20
2185-=???
??-??=?.
2．关于非零向量a ρ和b ρ
，有下列四个命题：
（1）“b a b a ρρρρ+=+”的充要条件是“a ρ和b ρ
的方向相同”； （2）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ
的方向相反”； （3）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ
有相等的模”； （4）“
b
a b a ρρρρ-=-” 的充要条件是“a ρ和b ρ
的方向相同”；
其中真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 错误分析:对不等式b
a b a b a ρρρρρρ+≤±≤-的认识不清.
答案: B.
3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且 =t (0≤t ≤1)
则OA ·OP 的最大值为 （
）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA ·OP 即为最大.
4．若向量 =(cos α,sin α) ， =()ββsin ,cos ， 与不共线，则与一定满足（ ）
A ． a 与b 的夹角等于α-β
B ．a ∥b
C ．(+)⊥(-)
D ． ⊥
正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题.
5．已知向量 =(2cos ?，2sin ?)，?∈(π
π
,2
)， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )
A ．π32-?
B ．2π
+?
C ．?-2π
D ．?
正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，π].
6．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC -2OA )=0，则?ABC
是（ ）
A ．以A
B 为底边的等腰三角形 B ．以B
C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形
D ．以BC 为斜边的直角三角形
正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2OA 不能拆成(OA +OA ). 7．已知向量M={ | =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={|=(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ?N=（ ）
A ｛（1，2）｝
B {})2,2(),2,1(--
C {})2,2(--
D φ 正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误.
8．已知k Z ∈，(,1),(2,4)==u u u r u u u r AB k AC
，若AB ≤u u u u r
，则△ABC 是直角三角形的概率是（ C ）
A ．17
B ．27
C ．37
D ．4
7
分析：
由
AB ≤u u u u r
及k Z ∈知
{}
3,2,1,0,1,2,3k ∈---，若
(,1)(2,4)==u u u r u u u r
与AB k AC 垂直，则2302+=?=-k k ；若(2,3)=-=--u u u r u u u r u u u r BC AB AC k 与(,1)AB k =u u u r
垂直，则
2230--=k k 13?=-或k ，所以△ABC 是直角三角形的概率是3
7.
9．设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|·a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |·a 0；
（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0.上述命题中，假命题个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
正确答案：D.
错误原因：向量的概念较多，且容易混淆，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念. 10．已知|a |=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b = .
正确答案：.±15.
错误原因：容易忽视平行向量的概念.a 、b 的夹角为0°、180°. 11．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
)
,0[(
+∞∈+
+=λλ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 正确答案：B.
错误原因：对
)
,0[|
||
|(
+∞∈+
+=λλAC AB 理解不够.不清楚||AB
||AC +
与∠BAC 的角平分线有关.
12．如果,0a b a c a ?=?≠r r r r r r
且，那么 （ ）
A ．b c =r r
B ．b c λ=r r
C ． b c ⊥r r
D ．,b c r r 在a r
方向上的投影相等
正确答案：D.
错误原因：对向量数量积的性质理解不够.
13．向量→
AB ＝（3，4）按向量a =(1,2)平移后为 （ ） A 、（4，6） B 、（2，2） C 、（3，4） D 、（3，8） 正确答案： C 错因：向量平移不改变.
14．已知向量
(2,0),(2,2),)OB OC CA a a ===u u u r u u u r u u u r 则向量,OA OB u u u r u u u r
的夹角范围是（ ）
A 、[π/12，5π/12]
B 、[0，π/4]
C 、[π/4，5π/12]
D 、 [5π/12，π/2]
正确答案：A
错因：不注意数形结合在解题中的应用.
15．将函数y=2x 的图象按向量 →
a 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① →
a 的坐标可以是（-3，0） ②→
a 的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③→
a 的坐标可以是（0，6） ④→
a 的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 正确答案：D
错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质.
16．过△ABC 的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若,AB x AD = AC y AE =,(0≠xy ),则
y x 11+
的值为( )
A 4
B 3
C 2
D 1 正确答案：A
错因：不注意运用特殊情况快速得到答案.
17．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A 、),2()2,21
(+∞?- B 、),2(+∞ C 、),21(+∞- D 、
)
21
,(--∞ 答案：A
点评：易误选C ，错因：忽视与反向的情况.
18．设=(x 1，y 1)，=(x 2，y 2)，则下列与共线的充要条件的有（ ）
① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ② |·|=|| ||；
③
2
1
21y y x x =； ④ (a +b )//(a －b )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 答案：C
点评：①②④正确，易错选D.
19．以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使ο
90=∠A ，则AB 的坐标为（ ）.
A 、（2，-5）
B 、（-2，5）或（2，-5）
C 、（-2，5）
D 、（7，-3）或（3，7） 正解：B
设),(y x =，则由2
22225||||y x +=+?= ①
而又由⊥得025=+y x ② 由①②联立得5,25,2=-=-==y x y x 或.
），（－或52)5,2(-=∴
误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解.
20．设向量),(),,(2211y x y x ==，则212
1y y
x x =是b a //的（ ）条件.
A 、充要
B 、必要不充分
C 、充分不必要
D 、既不充分也不必要
正解：C
若212
1y y x x =则y x y x //,01221∴=-，若//，有可能2x 或2y 为0，故选C. 误解：//?01221=-y x y x ?212
1y y x x =，此式是否成立，未考虑，选A.
21．在?OAB 中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==，若5-=?OB OA =-5，则OAB S
?=（ ）
A 、3
B 、23
C 、35
D 、235
正解：D.
∵5-=?OB OA ∴5cos ||||-=??V OB OA （LV 为OA 与OB 的夹角）
()()5cos sin 5)cos 5()sin 2(cos 22
222-=?+?
+V ββαα
∴
21
cos =
V ∴
23sin =V ∴235sin ||||21=
??=?V OB OA S OAB 误解：C.将面积公式记错，误记为
V S OAB sin ||||??=?
22．在ABC ?中，a AB =，b BC =，有0
错因：忽视0
23．设平面向量)()1,()1,2(R ∈-=-=λλ，，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （A ）
A 、）
，（），（∞+?-2221 B 、（2，+）∞ C 、（—），∞+21 D 、（-），21
-∞ 错解：C
错因：忽视使用0
24．已知A （3，7），B （5，2），向量)21(，
a AB =→
→按平移后所得向量是 . A 、（2，-5）， B 、（3，-3）， C 、（1，-7） D 、以上都不是 答案：A 错解：B
错因：将向量平移当作点平移.
25．已知ABC BC AB ABC ?>??→
→
则中,0中， .
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定 答案：C 错解：A 或D
错因：对向量夹角定义理解不清
26．正三角形ABC 的边长为1，设,,b BC a AB ==c AC =，那么a c c b b a ?+?+?的值是
（ ） A 、
3
2 B 、
2
1
C 、23-
D 、21-
正确答案：(B)
错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清.
27．已知
≠-=?-?，且不垂直和b a ，则()
??-与
（ ）
A 、相等
B 、方向相同
C 、方向相反
D 、方向相同或相反 正确答案：(D)
错误原因：受已知条件的影响，不去认真思考b a ?可正可负，易选成B.
28．已知2
=+?+?x x 是关于x 的一元二次方程，其中,,是非零向量，且向量和不共线，则该方程 （ ）
A 、至少有一根
B 、至多有一根
C 、有两个不等的根
D 、有无数个互不相同的根 正确答案：(B)
错误原因：找不到解题思路.
29．设,,是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：
①()
)(=??-?? ++φ
③()()垂直不与??-?? ④若与则?⊥,不平行
其中正确命题的个数是
（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 正确答案：(B)
错误原因：本题所述问题不能全部搞清.
二填空题：
1．若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______________.
错误分析：只由b a ?ρ,的夹角为钝角得到,0
不是b a ρρ,夹角为钝角的充要条件,因为b a ?ρ,的夹角为ο180时也有,0
正确解法:Θ ，的夹角为钝角,
()?+-?=?∴x x x b a 23ρρ04322
<+-=x x 解得0 34 > x (1) 又由b a ρρ,共线且反向可得 31 - =x (2) 由(1),(2)得x 的范围是Y ? ????-∞-31,??? ??+∞??? ??-,340,31Y 答案: Y ? ????-∞-31,??? ??+∞??? ??-,340,31Y . 2．有两个向量1(1,0)e =u r ，2(0,1)e =u u r ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12e e +u r u u r 相同的方向作匀速直 线运动，速度为12||e e +u r u u r ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e +u r u u r 相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +u r u u r ．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥u u u r u u u u u r 时，t = 秒．正 确答案：2 1、设平面向量),1,(),1,2(-=-=→ → λb a 若→ →b a 与的夹角是钝角，则λ的范围是 . 答案：) ,2()2,21 (+∞?- 错解：) ,21 (+∞- 错因：“0 →b a 和的夹角为钝角”不是充要条件. 3．→ →b a ,是任意向量，给出：○1,→ → =b a ○2 → → =b a ，○3→→ b a 与方向相反，○4,00→→→→==b a 或○5→ →b a ,都是单 位向量，其中 是→ → b a 与共线的充分不必要条件. 答案：○1○3○4 错解：○1○3 错因：忽略→ 0方向的任意性，从而漏选. 4．若()()方向在则b c c a b a ,0,7,4,3,2=+-==上的投影为 . 正确答案：5 65- 错误原因：投影的概念不清楚. 5．已知o 为坐标原点，()(),5,5,1,1-=-= 集合 {} oq op or A ,,2|==A ∈,且 ()，则且0,≠∈=λλλR =? . 正确答案：46 错误原因：看不懂题意，未曾想到数形结合的思想. 三、解答题： 1．已知向量 ? ?? ??-=??? ??=2sin ,2cos ,23sin ,23cos x x b x x a ρρ,且,2,0??? ???∈πx 求 (1) b a ρρ?及b a ρρ+; (2)若 ()b a b a x f ρ ρρρ+-?=λ2的最小值是23 - ,求实数λ的值. 错误分析:(1)求出 b a ρρ+=x 2cos 22+后,而不知进一步化为x cos 2,人为增加难度; (2)化为关于x cos 的二次函数在[]1,0的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (1)易求x b a 2cos =?ρρ, b a ρρ+=x cos 2 ; (2) ()b a b a x f ρ ρρρ+-?=λ2=x x cos 222cos ?-λ=1cos 4cos 22 --x x λ = ()12cos 22 2 ---λλx ? ?????∈2,0πx Θ []1,0cos ∈∴x 从而:当0≤λ时,()1 min -=x f 与题意矛盾,0≤λ 不合题意; 当10<<λ时, ()21 ,23122min = ∴-=--=λλx f ; 当1≥λ时, (), 23 41min -=-=λx f 解得85=λ,不满足1≥λ; 综合可得: 实数λ的值为21 . 2．在ABC ?中,已知()()k AC AB ,1,3,2==,且ABC ?的一个内角为直角,求实数k 的值. 错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若,90?=∠BAC 即AC ⊥ 故0=?AC AB ,从而,032=+k 解得 32- =k ; (2)若,90?=∠BCA 即AC BC ⊥,也就是0=?AC BC ,而(),3,1--=-=k AB AC BC 故 ()031=-+-k k ,解得 213 3±= k ; (3)若,90?=∠ABC 即AB BC ⊥,也就是,0=?AB BC 而()3,1--=k BC ,故()0332=-+-k , 解得 .311= k 综合上面讨论可知, 32- =k 或2133±=k 或. 311=k 3．已知向量m=(1,1)，向量n → 与向量m → 夹角为π 43，且m →·n →=-1， (1)求向量n → ； (2)若向量n → 与向量q → =(1,0)的夹角为2π，向量p → =(cosA,2cos 2 2c )，其中A 、C 为?ABC 的内角，且A 、B 、 C 依次成等差数列，试求|n → +p → |的取值范围. 解：(1)设n → =(x,y) 则由 m → →→ →??=22222-=+?+y x y x ① 由m →·n → =-1得x+y=-1 ② 联立①②两式得?????-==1 0y x 或?????=-=01 y x ∴n → =(0,-1)或(-1,0) (2) ∵ ,q → >=2π 得n → ·q → =0 若n → =(1,0)则n → ·q → =-1≠0 故n → ≠(-1,0) ∴n → =(0,-1) ∵2B=A+C ，A+B+C=π ?B=3π ∴C=A -32π n → +p → =(cosA,2cos 21 2-c ) =(cosA,cosC) ∴|n → +p → |=C A 2 2cos cos +=22cos 122cos 1C A +++=1 22cos 2cos ++C A = 1 2 )234cos( 2cos +-+A A π = 122sin 23 22cos 2cos +-- A A A = 1 22sin 23 2cos 21+-A A =12)32cos(++π A ∵0 ∴0<2A<34π 353 23 ππ π < + ∴-1 ∴|n → +p → |∈(25, 22) 4．已知函数f(x)=m |x-1|(m ∈R 且m ≠0)设向量θ2cos ,1(=→ a )，)1,2(=→ b ，)1,sin 4(θ=→ c ，)1,sin 21(θ=→ d ，当 θ∈(0，4π)时，比较f(b a →→?)与f(d c → →?)的大小. 解：b a → →?=2+cos2θ，d c → →?=2sin 2 θ+1=2-cos2θ f(b a → →?)=m |1+cos2θ|=2mcos 2 θ f(d c → →?)=m |1-cos2θ|=2msin 2 θ 于是有f(b a →→?)-f(d c → →?)=2m(cos 2 θ-sin 2 θ)=2mcos2θ ∵θ∈(0,4π) ∴2θ∈(0, 2π ) ∴cos2θ>0 ∴当m>0时，2mcos2θ>0，即f(b a → →?)>f(d c → →?) 当m<0时，2mcos2θ<0，即f(b a → →?) →?) 5．已知∠A 、∠B 、∠C 为?ABC 的内角，且f(A 、B)=sin 22A+cos 2 2B-3sin2A-cos2B+2 (1)当f(A 、B)取最小值时，求∠C (2)当A+B=2π时，将函数f(A 、B)按向量p →平移后得到函数f(A)=2cos2A 求p → 解：(1) f(A 、B)=(sin 22A-3sin2A+43)+(cos 2 2B-cos2B+41 )+1 =(sin2A-23)2+(sin2B-21)2 +1 当sin2A=23,sin2B=21 时取得最小值， ∴A=30?或60?，2B=60?或120? C=180?-B-A=120?或90? (2) f(A 、B)=sin 2 2A+cos 2 2(A -2 π )- 2 )2 ( 2cos 2sin 3+--A A π = 22cos 2sin 32cos 2sin 22++-+A A A A =3 )332cos(23)32cos(2++=++A A π p → =) 3,23 ( ππ k + 6．已知向量 ) ,11 ( ),1,(2x mx mx -=-=（m 为常数），且a ,b 不共线，若向量a ,b 的夹角落 为锐角，求实数x 的取值范围. 解：要满足为锐角 只须 b a ?>0且 b a λ≠（R ∈λ） b a ?=x mx mx --12 = 122-+-mx x mx mx =01>-mx x 即 x (mx-1) >0 1°当 m > 0时 x<0 或 m x 1> 2°m<0时 x ( -mx+1) <0 01 >< x m x 或 3°m=0时 只要x<0 综上所述：x > 0时，),1 ( )0,(+∞-∞∈m x Y x = 0时，)0,(-∞∈x x < 0时， ),0()1 , (+∞-∞∈Y m x 7．已知a =（cos α，sin α）,b =（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |，其中k>0， （1）用k 表示a ·b ; （2）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的大小. 解 （1）要求用k 表示a ·b ,而已知|k a +b |=3|a －k b |，故采用两边平方，得 |k a +b |2=(3|a －k b |)2 k 2a 2+b 2+2k a ·b =3(a 2+k 2b 2－2k a ·b ) ∴8k ·a ·b =(3－k 2)a 2+(3k 2－1)b 2 a · b =k k k 8)13()3(2 222b a -+- ∵a =(cos α，sin α),b =(cos β,sin β)， ∴a 2=1, b 2=1, ∴a ·b =k k k 813322-+-=k k 412+ （2）∵k 2+1≥2k ，即k k 412+≥k k 42=21 ∴a ·b 的最小值为21 ， 又∵a ·b =| a |·|b |·cos γ，|a|=|b|=1 ∴21 =1×1×cos γ. ∴γ=60°,此时a 与b 的夹角为60°. 错误原因：向量运算不够熟练.实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平 方，且有|a +b |2=|(a +b )2|=a 2+b 2+2a ·b 或|a |2+|b |2+2a ·b. 8．（一中）已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ， a b -=r r ． （Ⅰ）求cos()αβ-的值； （Ⅱ）若 02π α<< ， 2 π β- <<，且 5 sin 13β=- ，求sin α的值． 解（Ⅰ） ()() cos sin cos sin a b ααββ==v v Q ，，，, () cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--v v ，. 5a b -=v v Q , 5= , 即 ()422cos 5αβ--= . ()3 cos 5αβ∴-=. （Ⅱ） 0,0,0. 2 2 π π αβαβπ<< - <<∴<- ()3cos 5αβ-= Q ，( )4 sin .5αβ∴-= 5sin 13β=- Q ，12cos .13β∴= ()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ ∴=-+???? =-+- 4123533 51351365??= ?+?-= ???. 1．在ABC ?中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2AP PM =u u u r u u u u r ,则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 A 、49- B 、43- C 、43 D 、49 2．已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ ） A 、77 (,)93 B 、77(,)39-- C 、77(,)39 D 、77(,)93 -- 3．已知||8AB =u u u u r ，||5AC =u u u r ，则||BC uuu r 的取值范围是（ ） A 、]8,3[ B 、（3，8） C 、]13,3[ D 、（3，13） 4．设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件。 A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 5．下列命题： ①4 2 2 ||)()(=? ②??=??)()( ③ |a ·b |=|a |·|b | ④若a ∥,∥,则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使λ= ⑥若 ?=?，且≠，则= ⑦设21,e e 是平面内两向量，则对于平面内任何 一向量，都存在唯一一组实数x 、y ，使21e y e x a +=成立。 ⑧若|+|=|－ |则·=0。 ⑨·=0，则=或= 真命题个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、3个以上 6．和a r = (3,－4)平行的单位向量是_________； 7．已知向量|||| a b p a b =+r r u r r r ，其中a r 、b r 均为非零向量，则||p u r 的取值范围是 . 8．若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______. 9．在四边形ABCD 中，AB u u u r =DC u u u r =（1，1）， BA BC BA BC BD +=u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r ，则四边形ABCD 反比例函数易错题 原题：如图，A ，B 两点在反比例函数y=x k 1的图象上，C 、D 两点在反比例函数y=x k 2的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC=2，BD=3，EF=3 10 ，则k 2-k 1= . 变式1： 如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直x 轴，顶点A 在函数y 1=x k 1（x ＞0）的图象上，顶点B 在函数y 2=x k 2（x ＞0）的图象上，∠ABO=30°，则 2 1 k k = . 变式2： 如图，A 、B 两点在反比例函数y = x k 1的图象上，C 、D 两点在反比例函数y =x k 2的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC =2，BD =1，EF =3，则k 1-k 2的值为 ． 原题：如图，点A ，B 在反比例函数y ＝ x 1（x ＞0）的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝x k （k ＞0）的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为 2 3 ，则k 的值为 ________. 变式1： 如图，点A ，B 在反比例函数y= x k （k ＞0）的图象上，AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足C ，D 分别在x 轴的正、负半轴上，CD=k ，已知AB=2AC ，E 是AB 的中点，且△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，则k 的值是________. 变式2： 点A （m ，6），B （n ，1）在反比例函数y=x k 的图象上，AD ⊥x 轴于点D ，BC ⊥x 轴于点C ，点E 在CD 上，CD=5，△ABE 的面积为10，则点E 的坐标是 ． 变式3： 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 在双曲线y= x k （k 是常数，且k≠0）上，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥y 轴于点C ，已知点A 的坐标为（4，2 3 ），四 边形ABCD 的面积为4，则点B 的坐标为 ． 新高考数学《不等式》练习题 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ） A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得 1 1322 a d a =--， 当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立； 当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】 本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范 围是（ ） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】 【分析】 分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】 平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推 出→ →=0b . （2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为 左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。 部编版小学三年级数学上册易错题 01填空题。 1、分针从数字1走到2，是（）分，走一圈是（）分。秒针从数字1走到2，是（）秒，走一圈是（）秒。 2、8:20小明正在看球赛，球赛已经开始了30分钟，球赛开始的时间是（）。 3、4000米-2000米=()千米 13千米-6千米=（）米 2吨+3000千克=（）吨 1千米+800米=（）米 10毫米+20厘米=（）厘米 1厘米-6毫米=()毫米 8000米-2千米=（）米 4、工程队挖一条水渠，第一周挖了753米，第二周挖的比第一周少25米，第二周挖了（）米，两周一共挖了（）米。 5、小熊猫体重125千克，小老虎体重比小熊猫重55千克，小老虎体重（）千克。 6、声音每秒在空气中行332米，炮弹每秒比声音快667米，炮弹每秒飞行（）米。 7、小敏身高110厘米，小红身高139厘米，小敏比小红矮（）厘米。 8、（）比603少289，870比582多（）。 9、超市早上8时开始营业，晚上9时停止营业。全天营业（）小时。 10、一个四位数减去1后得到一个三位数，这个四位数是（）。 02判断题。 1、小刚的体重是35吨。（） 2、0和任何数相乘、相加、相减都得0。（） 3、两个数相乘的积一定大于这两个数相加的和。（） 4、1200千克-200千克=1000。（） 5、钟面上时针走一大格是一小时，分针走一大格是一分钟，秒针走一大格是一秒钟。（） 6、求279比260多多少？列式计算是279+260。（） 7、两物体的长度可以用千克作单位。（） 8、最大的三位数加上最大的一位数等于最大的四位数。（） 9、一个数乘1一定比这个数乘0大。（） 10、比11千米少1米是10千米。（） 03选择题。 1、小红的身高15（）。 A、米 B、分米 C、厘米 2、10张纸厚约（） A、1毫米 B、1厘米 C、1分米 3、2米和80厘米加起来是（） A、100厘米 B、280厘米 C、208厘米 4、文具商店有各种笔1000盒，第一天卖了252盒，第二天比第一天多卖78盒，两天一共卖了（）盒。 A、330 B、582 C、418 5、小敏10:55分上第四节课，一节课要上40分钟，那么下课时间应该是（）。 A、11:30 B、11:45 C、11:35 ［易错题1］ 王叔叔家养了350只鸡，每个笼子里装30只，需要准备多少个这样的笼子？ 【错误解答】350÷30=11（个）……20（只） 答：需要准备11个这样的笼子。 【“病因”分析】这里出错的原因是把余下的20只鸡忽略了，余下的20只鸡需要再装一个笼子，这里应该准备12个笼子。 【正确解答】350÷30=11（个）……20（只） 11+1=12（个） 答：需要准备12个这样的笼子。 ［易错题2］ 小红、小林和小刚，一个星期一共练了630个大字，平均每人每天练多少个大字？ 【错误解答】630÷3=210（个） 答：平均每人每天练210个大字。 【“病因”分析】这里出错是把一个星期是7天这个隐含的条件忽略了。 【正确解答】630÷3÷7=210÷7=30（个） 答：平均每人每天练30个大字。 ［易错题3］ 计算（842＋421＋421）×25，下面最简便的方法是（）。 A.421×（4×25 ） B.842×（2×25 ） C.842×25＋421×25＋421×25 【错因分析】首先要明白（842＋421＋421）×25有多种简便计算方法，一个可以把421合并成842，另一个也可以把842拆分成421，而此题要求是最简便的方法，那么有的同学只想到简便没看清“最”简便就想当然选择B了。 【思路点睛】正确答案选择A，因为此题要求最简便。通过把842拆分成2个421，和题中已有的2个421合并成4个421，再根据乘法结合律把4和25先乘起来得100，这样就是最简便的方法了。B比起原题死算确实简便，但比起A来没有A更好算最简便。 ［易错题4］ 简便计算(100+2) ×45。 【错因分析】典型错误(100+2) ×45 =100×45+2 =4500+2 =4502 × 出现这种错误是由于学生对什么是乘法分配律本质内涵认识和理解不够。什么是乘法分配律？书上结论是这样陈述的：两个数的和与其中一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加。也就是说不能只乘其中一个加数。上述案例中就只乘其中100这个加数，而另一个加数2就漏乘45了，导致出错。 【思路点睛】我们依据乘法分配律，把100和2这两个加数分别与45相乘，最后再把两个乘得的数相加。正确过程如下： (100+2) ×45 =100×45+45×2 =4500+90 =4590 ［易错题5］ 简便计算68×99。 【错因分析】 68×99 =68×(100+1) =68×100+68 =6800+68 =6868 × 该同学看到99想到100，把99先看作最接近的100这很好，但是忽略了简便计算的前提是等量代换，一个量须用与它相等的量去代替，才可以依次继续递等下去。把99替换成（100+1）这本身就建立在不公平基础上，所以不能向下递等，结果也不对等。 【思路点睛】两个数相乘，如果有一个数接近整百数，可以先将这个数转化成整百数加或减一个数的形式，再应用乘法分配律进行计算。正确过程如下： 68×99 =68×(100-1) =68×100-68 =6800-68 =6732 高三数学模考易错题汇总 1、已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-< 史上最全的部编版小学五年级数学上册全册知识点易错题及答案 小数乘法 1、小数乘整数：意义——求几个相同加数的和的简便运算。 如：1.5×3表示1.5的3倍是多少或3个1.5是多少。 计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 2、小数乘小数：意义——就是求这个数的几分之几是多少。 如：1.5×0.8（整数部分是0）就是求1.5的十分之八是多少。 1.5×1.8（整数部分不是0）就是求1.5的1.8倍是多少。 计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。 3、规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 4、求近似数的方法一般有三种： ⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法 5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分。保留一位小数，表示计算到角。 6、小数四则运算顺序跟整数是一样的。 7、运算定律和性质： 加法：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法：乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)见2.5找4或0.4，见1.25找8或0.8 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c或a×c+b×c=(a+b)×c （b=1时，省略b） 变式： (a-b)×c=a×c-b×c或a×c-b×c=(a-b)×c 减法：减法性质：a-b-c=a-(b+c) 除法：除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c) 位置 8、确定物体的位置，要用到数对（先列：即竖，后行即横排）。用数对要能解决两个问题：一是给出一对数对，要能在坐标途中标出物体所在位置的点。二是给出坐标中的一个点，要能用数对表示。 小数除法 一、填空 1、连接梯形各边的中点围成新的图形是（） 2、一个三角形两条边是5厘米和三厘米，第三条边的长度可能是（） 3、电动伸缩门是利用平行四边形的（）性设计的。 4、等边三角形是特殊的（）。 5、44×25＝（11×4）×25=11×（4×25），这是根据（）。 6、1100÷125÷8＝11000÷（125×8）运用了（） 7、一个立体图形，从正面看是）个小正方体。 8、用一根铁丝围成一个边长18厘米的正方形，那么用这个铁丝围成一个正三角形，边长是（）厘米。 9、王大伯家的三角形菜地的两条边分别是5米和8米这个三角形菜地的第三条边可能是（）米 10、有三种长度的小棒（长度分别是3cm、5cm、8cm）若干根，可以摆成（）种不同的三角形 11、十分位上的“3”与十位上的“3”相差（） 12、在0.08、0.080、0.008这三个小数中，计数单位相同，但大小不相等的两个数是（）、（） 13、把6改成以百分之一为计数单位的数是（） 14、将一根15厘米的木棒截成三根整厘米的小棒来围成三角形，最长的一根小棒不能超过（） 厘米 15、5吨50千克=（）吨 1.2平方厘米=（）平方分米 4.1公顷=（）平方米 16、直角三角形的三条边分别是6厘米、8厘米、10厘米，这个直角三角形相互垂直的两条边分别是（）（） 17、观察1、2、3、6、12、23、44、X、164的规律，可知X= （） 18、如果12=1×1,22=2×2，32=3×3.....252=25×25，且12+22+....252=5525，那么32+62+...+752=9×5525= 19、近似数是1.0，这个两位小数最小是（），最大是（）。 20、甲、乙两数的和是264，把甲数的小数点向左移动一位，则两数相等。甲数（）乙数（）。 21、两个一样的三角形可以拼成（）。两个一样的直角三角形可以拼成（）（）（）。两个一样的等腰直角三角形可以拼成（）（）（）。 22、等腰三角形的底角是顶角的2倍，顶角是（）。 23、有3厘米、4厘米、5厘米、7厘米四根小棒，从中选3根搭成一个三角形，有（）种不同的选法。 24、在一条长90米的小路两旁种树，如果两端都种，每相邻两棵树之间的距离是10米，可以种（）棵。 25、要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆，最少需要（）盆。 新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】 由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A 分数四则混合运算单元测试 一、计算。 1、 直接写得数。 8×34 ＝ 6－114 ＝ 712 ×314 ＝ 7×97 ＝ 1513 ×0＝ 35 ×15＝ 42×114 ＝ 49 ×13 ＝ 3÷13 ＝ 15 ÷4＝ 4－14 ＝ 34 －12 ＝ 415 ＋1115 ＝ 59 ×35 ＝ 9÷0.6＝ 49 ×25 ＝ 2、 解下列方程。 (1)X －27 X ＝1516 (2)（2＋15 ）X ＝22 15 (3)9 X －5 X ＝38 (4)1－29 X ＝35 3、 计算，能简算的要简算。 (1)9×23 ＋6÷23 (2) 87×386 (3)59 ×47 ＋37 ÷95 (4)（49 ＋56 －1 3 ）×18 (5)36×34 －3÷14 (6)1912 ×314 －314 (7)（14 －18 ）×25 ＋35 (8) （52 －43 ）÷56 ＋103 (9)(1－23 ÷23 )×1514 (10) （54 －34 ×53 ）÷192 4、 列式计算。 （1）78 加上34 除16 的商，和是多少？ （2）78 加上34 的和除1 6 ，商是多少？ （3）3个14 的和减去6除32 的商， （4）34 与14 的差除35的2 7 ，商是多 差是多是多少？ 少？ 二、填空。 1、100个34 是（ ）； 3 5 的15倍是（ ）。 2、518 ×（ ）＝（ ）×34 ＝7 8 ÷（ ）。 3、正方形的边长是2 5 米，周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。 4、把8米长的绳子平均分成5段，每段是这根绳子的 （ ） （ ） ，每段绳子长（ ）米。 5、一批黄沙150吨，用去3 5 。这道题是把（ ）看作单位“1”，求用去多少 吨，就是求（ ）。 6、九月份比八月份节约用水1 7 ，把（ ）看作单位“1”，（ ）是 （ ）的1 7 。 7、每吨黄豆榨油13100 吨，25 39 吨黄豆可以榨油（ ）吨。 三、判断题。 1、3米的14 和1 4 米的3倍一样长。 （ ） 四年级下数学易错题整理（一） （加减法的意义和各部分间的关系；乘、除法的意义和各部分间的关系；加法 运算定律；乘法运算定律；简便计算） 一、填空。 1.___________________________的运算叫做加法。相加的两位数叫做_______，加 得的得数叫做________。 2.____________________________________________的运算叫做减法。 3._______+_______=和加数=_______-_______ 4.在减法中，已知的和叫做__________，_________是加法的逆运算。 5.减法各部分间的关系：被减数=_________+ __________，______=被减数-差，差 =________+________。 6.一箱可乐12瓶，军军买了4箱用了144元，每瓶可乐_________元。 7.李奶奶家养了96只白兔，养灰兔的只数是白兔的一半，李奶奶家一共养了______ 只白兔和灰兔。 8.甲数比乙数多15，乙数比丙数多12，甲数比丙数多______。 9.由2、3、6组成的最大三位数加上最小的三位数减去60的差，结果为_____。 10.求几个_____________________的和的简便运算叫做乘法。 11.相乘的两个数叫做_________，乘得的数叫做________。 12.在除法中，已知的积叫做__________，除法是___________的逆运算。 13.乘除法之间的关系：因数×因数=_______，因数=_________÷另一个因数，被除 数÷_______=商，除数=________÷_______，被除数=________×_______。 14.我们学过的加、减、乘、除四种预算统称_____________。 15.一个数加上0等于___________，一个数和0相乘仍得_______，0除以一个 _____________，还得0。 16.123-[(18+36)÷9]计算时，先算_____法，再算______法，最后算_______法。 17.减法是_______的逆运算，除法是________的逆运算。 18.把850÷5=170,170×10=1700,3580-1700=1880，列成综合算式是 _______________________。 19.一种羽毛球拍48元，比一副乒乓球拍贵28元，如果各买一副，一共需要_______ 元。 20.把65-62=3,15×3=45,112+45=157列成一道综合算式是 __________________________。 21.两个数_________，交换_______的位置，_______不变，这叫做加法的交换律。 可以表示为_______+________=________+_________。 咼考数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ?忽视等价性变形，导致错误。 x>0 y>0x + y>0 xy>0 ， 但 x>1 y>2 与 x + y>3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。 3 a b0① 错误解法由条件得b 32a 26② ②X 2 —① 6 a15③ ①X 2—②得8 b2④ 3 33 ③+④得10 3a b43 J 即 10 —f(3) 43 33333 错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时 b 受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。 f⑴ a b 正确解法由题意有 b 、解得： f(2)2a - 2 1 a §[2f(2)f (1)],b j[2f(1) f(2)], f (3) 3a b 16 f(2) 5 -f (1). 16 37 把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3) 3 99 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ?忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 2 2 2 ⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是 49 十亠亠 (A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在 4 历年高考数学复习易错题选 平面向量 一、选择题： 1．在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( ) A 20 B 20- C 320 D 320- 错误分析: 错误认为?==60C ,从而出错. 答案: B 略解: 由题意可知?=120, 故CA BC ? =202185cos -=?? ? ? ?-??=. 2．关于非零向量a 和b ，有下列四个命题： （1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b 的方向相同”； （2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”； 其中真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 错误分析:对不等式b a b a b a +≤±≤-的认识不清. 答案: B. 3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA 2OP 的最大值为 （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA 2OP 即为最大。 4．若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足 （ ） A ． a 与b 的夹角等于α-β B ．a ∥b C ．(a +b )⊥(a -b ) D ． a ⊥b 正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 5．已知向量 a =(2cos ?，2sin ?)，?∈(π π ,2 )， b =（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( ) A ．π32 -? B ． 2 π +? C ．?-2 π D ．? 正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0，π]。 6．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )2(OB +OC -2OA )=0， 则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形 B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2OA 不能拆成(OA +OA )。 7．已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ?N= （ ） A ｛（1，2）｝ B {})2,2(),2,1(-- C {})2,2(-- D φ 正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。 8．已知k Z ∈，(,1),(2,4)== AB k AC ，若AB ≤ ，则△ABC 是直角三角形的概率是（ C ） A ． 17 B ．27 C ． 37 D ． 47 分析： 由AB ≤ k Z ∈知{}3,2,1,0,1,2,3k ∈---，若 (,1)(2,4)== 与AB k AC 垂直，则2302+=?=-k k ；若(2,3) =-= -- B C A B A C k 与 (,1)AB k = 垂直，则2 230--=k k 13?=-或k ，所以△ABC 是直角三角形的概率是37 . 9．设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|2a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |2a 0；（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0。上述命题中，假命题个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 正确答案：D 。 高三物理学史 一、力学： 1．1638年，意大利物理学家伽利略在《两种新科学的对话》中用科学推理论证重物体不会比轻物体下落得快；他研究自由落体运动程序如下： 提出假说：自由落体运动是一种对时间均匀变化的最简单的变速运动； 数学推理：由初速度为零、末速度为v 的匀变速运动平均速度312222123s s s t t t ===和12 v v =得出12s vt =；再应用v a t =从上式中消去v ，导出212 s at =即2s t ∝。 实验验证：由于自由落体下落的时间太短，直接验证有困难，伽利略用铜球在阻力很小的斜面上滚下，上百次实验表明：312222123s s s t t t ===；换用不同质量的小球沿同一斜面运动，位移与时间平方的比值 不变，说明不同质量的小球沿同一斜面做匀变速直线运动的情况相同；不断增大斜面倾角，重复上述实验，得出该比值随斜面倾角的增大而增大，说明小球做匀变速运动的加速度随斜面倾角的增大而变大。 合理外推：把结论外推到斜面倾角为90°的情况，小球的运动成为自由落体，伽利略认为这时小球仍保持匀变速运动的性质。（用外推法得出的结论不一定都正确，还需经过实验验证） 注：伽利略对自由落体的研究，开创了研究自然规律的一种科学方法。（回忆理想斜面实验） 2．1683年，英国科学家牛顿在《自然哲学的数学原理》著作中提出了三条运动定律。 3．17世纪，伽利略通过理想实验法指出：在水平面上运动的物体若没有摩擦，将保持这个速度一直运动下去；同时代的法国物理学家笛卡儿进一步指出：如果没有其它原因，运动物体将继续以同速度沿着一条直线运动，既不会停下来，也不会偏离原来的方向。 4．20世纪初建立的量子力学和爱因斯坦提出的狭义相对论表明经典力学不适用于微观粒子和高速运动物体。 5．17世纪，德国天文学家开普勒提出开普勒三定律；牛顿于1687年正式发表万有引力定律；1798年英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置比较准确地测出了引力常量（体现放大和转换的思想）；1846年，科学家应用万有引力定律，计算并观测到海王星。 6．我国宋朝发明的火箭与现代火箭原理相同，但现代火箭结构复杂，其所能达到的最大速度主要取决于喷气速度和质量比（火箭开始飞行的质量与燃料燃尽时的质量比）；多级火箭一般都是三级火箭，我国已成为掌握载人航天技术的第三个国家。 7．17世纪荷兰物理学家惠更斯确定了单摆的周期公式。周期是2s 的单摆叫秒摆。 8．奥地利物理学家多普勒（1803-1853）首先发现由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感到频率发生变化的现象——多普勒效应。（相互接近，f 增大；相互远离，f 减少） 小学四年级下册数学易错题 一、填空题 1、用6、 2、7三个数字组成小数部分是两位的小数，其中组成的最小的小数和最大的小数相差（7.62－2.67= 4.95 ） 2、一个等腰三角形的两条边分别是8厘米和4厘米，第三条边是（8厘米）。 3、0.07的计数单位是（0.01 ），再加上（93 ）个这样的计数单位是1。 4、20个一、30个千分之一组成的数是（20.03 ）。 5、用2、3、4和小数点，可以组成（12 ）个不同的小数，其中最大与最小的相差（43.2－2.34=40.86 ）。【包括一位小数和两位小数】 6、在小数3.43中，小数点左边的“3”是右边的“3”的（100 ）倍。 7、用0、1、2和小数点组成的两位小数有（6 ）个，其中最大的与最小的数相差（2.10－0.12=1.98 ）。 8、近似数是1.0，这个两位小数最小是（0.95 ），最大是（1.04 ）。 9、41.5添两个0，大小不变是（41.50 0 ），添一个0，大小变化是（401.5 ）（410.5 ）（41.05 ）。550添两个0，大小不变是（550.00 ），添两个0扩大到它的100倍（55000 ），添两个0扩大到它的10倍（5500.0 ）。 10、由3个十和50个百分之一组成的数是（30.5 ）。 11、一个数，十分位上的数字是4，是百分位上数字的4倍，又是个位上数字的一半，这个数（8.41 ），改成大小相等的三位小数（8.410 ）。 12、把一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位得8.12，这个小数原来是（81.2 ）。【逆向思考：8.12×1000÷100】 13、甲、乙两数的和是264，把甲数的小数点向左移动一位，则两数相等。甲数（240 ）乙数（24 ）。【把甲数的小数点向左移动一位，则两数相等。即，甲是乙的10倍。264÷（10＋1）=24】 14、拼成一个等腰梯形至少要（3）个等边三角形，拼成一个平形四边形至少要（2 ）个等边三角形，拼成一个大等边三角形至少要（4 ）个小等边三角形。【自己画一画】 15、两个一样的三角形可以拼成（平行四边形）。两个一样的直角三角形可以拼成（三角形）（平行四边形）（长方形）。两个一样的等腰直角三角形可以拼成（大的等腰直角三角形）（正方形）（平行四边形）。 16、用4个同样大小的等边三角形能拼成（平行四边形）（大的等边三角形） 17、等腰三角形的底角是顶角的2倍，顶角是（36度）。【180÷（2＋2＋10）=36】 18、一个等腰三角形的其中一条边长5厘米，另一条边4厘米，围成这个等腰三角形至少要（4×2＋5=13厘米）长绳子。 28、长8米的长方形花圃，如果长减少3米，这样花圃的面积就减少了15平方米，现在这个花圃的面积是（40 ）平方米。【宽不变。宽：15÷3=5米；8×5=40平方米】 34、一根铁丝刚好可以围成长5厘米、宽4厘米的长方形，如果把这根铁丝围成一个等边三角形，每条边的长度是（6厘米）【长方形的周长=等边三角形周长】 35、要拼成一个梯形，至少要（3 ）个完全一样的三角形。 39、一个三角形的其中两条边都是3厘米，有个角是40度，那么另外两个角分别是（40度）和（100度）或（70度）和（70度）。 40、有3厘米、4厘米、5厘米、7厘米四根小棒，从中选3根搭成一个三角形，有（3 ）种不同的选法。【分别是：①3厘米、4厘米、5厘米；②4厘米、5厘米、7厘米；③3厘米、 线性规划 简单线性规划是教材中的新增内容，纵观近几年的高考试题，线性规划的试题多以选择题、填空题出现，但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势。简单线性规划正在成为一个高考热点。认真分析研究近年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以下四个类型。一.求目标函数的最值问题 例1.在约束条件???? ???≤+≤+≥≥4 x 2y s y x 0y 0x 下，当5s 3≤≤时，目标函数y 2x 3z +=的最大值 的变化范围是（ ） A.[6，15] B.[7，15] C.[6，8] D.[7，8] 解：由? ??-=-=??? ?=+=+4s 2y s 4x 42x y s y x 则由题意知A（0，2），B（s 4-，4-s 2），C（0， s），D（0，4）。 （1）当4s 3≤≤时可行域是四边形OABC，此时，8z 7≤≤；（2）当5s 4≤≤时可行域是OAD ?，此时，8z max =。 由以上可知，正确答案为D。 点评：本题主要考查线性规划的基础知识，借助图形解题。 例2.已知平面区域D 由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和外界组成。若在区域D 内有无穷多个点（x，y）可使目标函数my x z +=取得最小值，则m=（） A.2 - B.1 - C.1 D.4 解：由A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）的坐标位置知，ABC ?所在的区域在第一象限，故0y ,0x >>。当0m =时，z=x，只有一个点为最小值，不合题意。当0m ≠时，由z=x+my 得m z x m 1y +- =，它表示的直线的斜率为m 1 -。 （1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使 m z 最小，此时需1 33 1k m 1AC --= =- ，即m=1；（2）若m<0，则要使my x z +=取得最小值，必须使 m z 最大，此时需,2m ,5 321k m 1BC =--==- 即与m<0矛盾。综上可知，m=1。 点评：本题主要考查同学们运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想向量易错题带规范标准答案
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