最新山西省中考数学试题含答案解析

2016年山西省中考数学试卷12一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项3 中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 41．（2016·山西）61-的相反数是（ ）5A ．61B ．-6C ．6D ．61-62．（2016·山西）不等式组⎩⎨⎧<>+6205x x 的解集是（ ）7A ．x >5B ．x <3C ．-5<x <3D ．x <5 83．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ ）9A ．调查某班学生每周课前预习的时间B ．调查某中学在职教师的身体健康状况 10C ．调查全国中小学生课外阅读情况D ．调查某篮球队员的身高114．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正12 方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）131415 5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距16 离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ ）17A ．6105.5⨯B ．7105.5⨯C ．61055⨯D ．81055.0⨯ 186．（2016·山西）下列运算正确的是 （ ）19A ．49232-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ．63293a a =）（ C ．251555-3-=÷ D ．23-50-8= 207．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，21 甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别22 搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ ）23A ．x x 80006005000=-B ．60080005000+=x x 24C ．x x 80006005000=+ D ．60080005000-=x x 258．（2016·山西）将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，26 得到抛物线的表达式为（ ）27A ．13)1(2-+=x yB ．3)5(2--=x y 28C ．13)5(2--=x yD ．()312-+=x y299．（2016·山西）如图，在ABCD 中，AB 为O 的直径，30 O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，31 ︒=∠60C ，则FE 的长为（ ）32A ．3π B ．2πC ．πD ．π2 3310．（2016·山西）宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金34 矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出35 黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以36FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下37 列矩形是黄金矩形的是（ ）38A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH39 40 41 42 43 44 45 4647 二、填空题（本大题共5个48 小题，每小题3分，共15分）4911．（2016·山西）如图是利用网格画出的太50 原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建51 立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐52 标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，53 0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 ．5455 12．（2016·山西）已知点（m -1，1y ），（m -3，2y ）是反比例函数)0(<=m xmy 图56 象上的两点，则1y 2y （填“>”或“=”或“<”）5713．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，58 其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形59 （用含有n 的代数式表示）．6061 14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边62 形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，63 且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让64 转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为 6515．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥66 AB 且CD =AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是DAB ∠的平分线，与DC 67 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为6869 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算70 步骤）7116．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分）72（1）计算：()01222851)3(-+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛---73（2）先化简，在求值：112222+---x xx x x ，其中x =-2． 747576 17．（2016·山西）（本题7分）解方程：93222-=-x x ）（7778 798018．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业81 教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”82 为主题的系列活动，活动83期间某职业中学组织84全校师生并邀请学生85家长和社区居民参加86“职教体验观摩”活87动，相关职业技术人员88 进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部89 分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．90（1）补全条形统计图和91扇形统计图；92（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?93（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维94修”最95感兴趣的学生的概率是9697989919．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：100阿基米德折弦定理101阿基米德（Archimedes，公元前287~公元102212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王103子．104阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏105联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿106基米德的折弦定理．107阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条108折弦），BC>AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中109点，即CD=AB+BD．110下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．111证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．112∵M是ABC的中点，113∴MA=MC114．．．115116任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；117（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于O，AB=2，118D为O119上一点, ︒120=ABD，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是．∠4512112212312420．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货125且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种126销售方案（客户只能选择其中一种方案）：127方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．128方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．129（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）130之间的函数表达式；131（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；132（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这133种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．13413513613721．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清138洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和139重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面140图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢141AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为︒14230，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分143别为D，F，CD垂直于地面，AB144FE⊥于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为14530cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和146EF的长度各是多少cm（结果保留根号）147148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158159 22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践 160问题情境161在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图162 1，将一张菱形纸片ABCD （︒>∠90BAD ）沿对角线AC 剪开，得到ABC ∆和ACD ∆． 163操作发现164（1）将图1中的ACD ∆以A 为旋转中心， 165逆时针方向旋转角α，使166 BAC ∠=α，167得到如图2所示的D C A '∆，分别延长168 BC169和C D '交于点E ，则四边形C ACE '的 170状是 ；……………（2分） 171（2）创新小组将图1中的ACD ∆以A 为172旋转中心，按逆时针方向旋转角173α，使BAC ∠=2α，得到如图3所174示的D C A '∆，连接DB ，C C '，得到四边形D C BC '，发现它是矩形．请你证明这个论；175176 实践探究177（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中178 BC =13cm ，AC =10cm ，然后提出一个问题：将D C A '∆沿着射线DB 179 方向平移acm ，得到D C A ''''∆，连接D B '，C C ''，使四边形D C BC '''180 恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题；181（4）请你参照以上操作，将图1中的ACD ∆在同一平面内进行一次平移，得到182 D C A '''∆，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，183 说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 18423.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 185 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标186 原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于187 点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，188 －8）．189（1） 求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的190 坐标；191（2） 试探究抛物线上是否存在点F ，使FOE ∆≌FCE ∆，若存在，请直接写出192 点F 的坐标；若不存在，请说明理由；193（3） 若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与194 直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，OPQ ∆是等腰三角形．195196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 2102112016年山西省中考数学试卷（解析版）212213一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项214 中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 2151．（2016·山西）61 的相反数是（ A ）216A ．61B ．-6C ．6D ．61-217 考点：相反数218 解析：利用相反数和为0计算219 解答：因为a +（-a ）=0220 ∴61-的相反数是61221222 2．（2016·山西）不等式组⎩⎨⎧<>+6205x x 的解集是（ C ） 223 A ．x >5 B ．x <3 C ．-5<x <3 D ．x <5224 考点： 解一元一次不等式组225 分析： 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解226 集即可．227 解答： 解⎩⎨⎧<>+②①6205x x228 由①得x >-5229 由②得x <3230 所以不等式组的解集是-5<x <3231232 2333．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ C ）234A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况235C．调查全国中小学生课外阅读情况D．调查某篮球队员的身高236考点：全面调查与抽样调查．237分析：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，238应选239择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．240解答：A．调查某班学生每周课前预习的时间，班级容量小，且要求精准度高，用全241面调查242B．调查某中学在职教师的身体健康状况，人数不多，容易调查，适合普查；243C．调查全国中小学生课外阅读情况，中学生的人数比较多，适合采取抽样调244查；245D．调查某篮球队员的身高，此种情况数量不是很大，故必须普查；2462472482492504．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正251方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（A）252253254255考点：三视图256 分析：根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定． 257 解答：从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形258 故选A ．259 2605．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距261离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ B ） 262 A ．6105.5⨯ B ．7105.5⨯ C ．61055⨯ D ．81055.0⨯263 考点：科学记数法—表示较大的数．264 分析：科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 265 的值时，266 要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数267 相同．当268 原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．269 解答：将55 000 000用科学记数法表示为：7105.5⨯．270 2716．（2016·山西）下列运算正确的是 （ D ）272 A ．49232-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- B ．63293a a =）（ C ．251555-3-=÷ D ．23-50-8= 273考点：实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法，274 分析：根据实数的运算可判断A ．275 根据幂的乘方可判断B ．276 根据同底数幂的除法可判断C ．277 根据实数的运算可判断D278解答：A ．49232=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，故A 错误 279 B ．632273a a =）（，故B 错误 280 C ．255551515155253535-3-==⨯=÷=÷，故C 错误． 281 D ．23252250-8-=-=，故选D ．282 7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，283 甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别284 搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ B ） 285A ．x x 80006005000=- B ．60080005000+=x x 286 C ．x x 80006005000=+ D ．60080005000-=x x 287考点：分式方程的应用288 分析：设甲每小时搬运xkg 货物，则甲搬运5000kg 所用的时间是：x5000， 289 根据题意乙每小时搬运的货物为x +600，乙搬运8000kg 所用的时间为6008000+x 290再根据甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等列方程291 解答：甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，所以60080005000+=x x 292 故选B ．293 2948．（2016·山西）将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，295得到抛物线的表达式为（ D ）296 A ．13)1(2-+=x y B ．3)5(2--=x y C ．13)5(2--=x y D ．()312-+=x y297 考点：抛物线的平移298 分析：先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移299 解答：将抛物线化为顶点式为：8)2(2--=x y ，左平移3个单位，再向上平移5个单300 位301 得到抛物线的表达式为()312-+=x y302 故选D ．303 3049．（2016·山西）如图，在ABCD 中，AB 为O 的直径，305O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，306︒=∠60C ，则FE 的长为（ C ）307 A ．3π B ．2π C ．π D ．π2 308 考点：切线的性质，求弧长309分析：如图连接OF ，OE310 由切线可知︒=∠904，故由平行可知︒=∠903311 由OF =OA ，且︒=∠60C ，所以︒=∠=∠601C 所以△OFA 为等312 边三角形∴︒=∠602，313 从而可以得出FE 所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出314 解答：︒=︒︒︒=∠∠︒=∠3090-60-1803-2-180EOF315 r =12÷2=6316 ∴FE =πππ=⋅⋅=180630180r n 317 故选C318 31910．（2016·山西）宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金320矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出321黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以322FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下323列矩形是黄金矩形的是（ D ）324 A ．矩形ABFE B ．矩形EFCD C ．矩形EFGH D ．矩形DCGH325326327328329330331332333考点：黄金分割的识别334 分析：由作图方法可知DF =5CF ，所以CG =CF )15(-，且GH =CD =2CF335 从而得出黄金矩形336 解答：CG =CF )15(-，GH =2CF337 ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG 338 ∴矩形DCGH 是黄金矩形339 选D ．340 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，341 共15分）342 11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太343 原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建344 立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐345 标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，346 0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）347 的坐标是 （3，0） ．348 349考点：坐标的确定350 分析：根据双塔西街点的坐标为（0，-1），可知大南351 门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正352 好在网格点上）的坐标 353解答：太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标354 （3，0）355 12．（2016·山西）已知点（m -1，1y ），（m -3，2y ）是反比例函数)0(<=m x m y 图356 象上的两点，则1y > 2y （填“>”或“=”或“<”）357 考点：反比函数的增减性358 分析：由反比函数m <0，则图象在第二四象限分别都是y 随着x 的增大而增大 359 ∵m <0，∴m -1<0，m -3<0，且m -1>m -3，从而比较y 的大小360 解答：在反比函数x m y =中，m <0，m -1<0，m -3<0，在第四象限y 随着x 的增大而增大 361且m -1>m -3，所以1y > 2y 36236313．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，364其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有（4n +1）个涂有阴影的小正方365形（用含有n 的代数式表示）．366 367考点：找规律368 分析：由图可知，涂有阴影的正方形有5+4（n -1）=4n +1个369 解答：（4n +1） 37014．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线371分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位372 置固定不动．让转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为 94373 考点：树状图或列表求概率374 分析：列表如图：375376377378379 380解答：381由表可知指针指向的数都是奇率为 94数的概382 383384 15．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB =4，385连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是DAB ∠的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，386交AD 于点H ，则HG 的长为 ）（或152525-3+-387 考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线； 分析：由勾股388定理求出DA ，389 由平行得出21∠=∠，由角平分得出32∠=∠390 从而得出31∠=∠，所以HE =HA ．391 再利用△DGH ∽△DCA 即可求出HE ， 3921 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2（2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3）从而求出HG393 解答：如图（1）由勾股定理可得394 DA =52422222=+=+CD AC395 由 AE 是DAB ∠的平分线可知21∠=∠396 由CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，EH ⊥DC 可知四边形GEBC 为397 矩398 形，∴HE ∥AB ，∴32∠=∠399 ∴31∠=∠400 故EH =HA401 设EH =HA =x402 则GH =x -2，DH =x -52403 ∵HE ∥AC ∴△DGH ∽△DCA 404∴AC HG DA DH =即2252-52-=x x 405 解得x =5-5 故HG =EH -EG =5-5-2=53- 406407408409410三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算411步骤）41216．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分）413 （1）计算：()01222851)3(-+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛--- 414 考点：实数的运算，负指数幂，零次幂415 分析：根据实数的运算，负指数幂，零次幂三个考点．针对每个考点分别进行计算，416 然后根417 据实数的运算法则求得计算结果．418 解答：原=9-5-4+1 ……………………………（4分）419 =1． ……………………………（5分）420 （2）先化简，在求值：112222+---x x x x x ，其中x =-2． 421考点：分式的化简求值422 分析：先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算423 解答：原式=1)1)(1()1(2+-+--x x x x x x ……………………………（2分） 424 =112+-+x x x x ……………………………（3分） 425 =1+x x ……………………………（4分） 426 当x =-2时，原式=21221=+--=+x x ……………………（5分） 427428 42917．（2016·山西）（本题7分）解方程：93222-=-x x ）（430考点：解一元二次方程431 分析：方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取x -3，利用公式法求解432 方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解433 解答：解法一：434 原方程可化为)3)(3(322-+=-x x x ）（ ……………………………（1分） 4350)3)(3()3(22=-+--x x x ． ……………………………（2分）436 0)]3()3(2)[3(=+---x x x ． ……………………………（3分） 4370)9-)(3(=-x x ． ……………………………（4分）438 ∴ x -3=0或x -9=0． ……………………………（5分） 439 ∴ 31=x ，92=x ． ……………………………（7分）440 解法二：441 原方程可化为442 027122=+-x x ……………………………（3分）443 444这里a =1，b =-12，c =27． ∵0362714)12(422>=⨯⨯--=-ac b445 ∴2612123612±=⨯±=x ． ……………………………（5分） 446 因此原方程的根为 31=x ，92=x ． ……………………………（7分）44744844945045145245345445545645718．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职458 业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”459 为主题的系列活动，活动460期间某职业中学组461织全校师生并邀请462学生家长和社区居463民参加“职教体验观464摩”活动，相关职业465技术人员进行了现466场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什467么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．468（1）补全条形统计图和469扇形统计图；470（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人? 471（3）要从这些被调查的472学生中随机抽取一人进473行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是474考点：条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，简单概率475 分析：（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可476 （2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有30%，再用整体1800477 乘以478 30%479 （3）由扇形统计图可知480 解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所481示 482483484485486487488489490 491492493（2）1800×30%=540（人）494 ∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人495 （3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电496 维修”497 498最感兴趣的学生的概率是 0.13（或13%或10013） 49950050150219．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：503阿基米德折弦定理504阿基米德（Archimedes，公元前287~公元505212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之506一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．507阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏508联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿509基米德的折弦定理．510阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条511折弦），BC>AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中512点，即CD=AB+BD．513下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．514证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．515∵M是ABC的中点，516∴MA=MC517．．．518519任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；520（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于O，AB=2，D为O上一521点，522 ︒=∠45ABD ，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC 的长是 222+ ．523 考点：圆的证明524 分析：（1）已截取CG =AB ∴只需证明BD =DG525 且MD ⊥BC ，所以需证明MB =MG526 故证明△MBA ≌△MGC 即可527 （2）AB =2，利用三角函数可得BE =2528 由阿基米德折弦定理可得BE =DE +DC529 则△BDC 周长=BC +CD +BD =BC +DC +DE +BE530 =BC +（DC +DE ）+BE531 =BC +BE +BE532 =BC +2BE533 然后代入计算可得答案534 解答：（1）证明：又∵C A ∠=∠， …………………535 （1分）536 ∴ △MBA ≌△MGC ． …………………（2分）537 ∴MB =MG ． …………………（3分）538 又∵MD ⊥BC ，∵BD =GD ． …………………（4分） 539∴CD=CG+GD=AB+BD．…………………（5分）540（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于O，AB=2，541D为O上一点，︒542ABD，AE⊥BD与点E，则△BDC=∠45的长是25432+．220．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货544且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种545销售方案（客户只能选择其中一种方案）：546方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．547方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．548（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）549之间的函数表达式；550（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；551（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这552种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．553考点：一次函数的应用554分析：（1）根据数量关系列出函数表达式即可555（2）先求出方案A应付款y与购买量x的函数关系为x556y8.5=方案B应付款y与购买量x的函数关系为20005575+y=x然后分段求出哪种方案付款少即可558（3）令y=20000，分别代入A方案和B方案的函数关系式中，求出x，比大小．559解答：（1）方案A：函数表达式为x560=．………………………（1y8.5分）561方案B：函数表达式为2000562=x5+y………………………（2分）（2）由题意，得2000563<xx．………………………（3分）8.5+5解不等式，得x<2500 ………………………（4 564分）565∴当购买量x的取值范围为2500566≤x时，选用方案A2000<比方案B付款少．………………………（5分）567（3）他应选择方案B．………………………（7 568分）56921．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、570安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展571的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线572表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为573300cm，AB的倾斜角为︒57430，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，AB575FE⊥于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF 576的长度各是多少cm（结果保留根号）577578考点：三角函数的应用579 分析：过点A 作CD AG ⊥，垂足为G ，利用三角函数求出CG ，从580 而求出GD ，继而求出CD ．581 连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，利用三角函数求出582 CH ，由图得出EH ，再利用三角函数值求出EF583 解答：过点A 作CD AG ⊥，垂足为G ．…………（1分）584 则︒=∠30CAG ，在Rt ACG ∆中， 585 25215030sin =⨯=︒⋅=AC CG ．…………（2分） 586由题意，得203050=-=GD ．…………（3分）587 452025=+=+=∴GD CG CD （cm ）．…（4分） 588连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ．…（5分）589 由题意，得︒=∠30H ．在Rt CDH ∆中，590 90230sin ==︒=CD CD CH ．……………………（6分） 591290905050300=+--=+--=+=∴CH AC BE AB CH EC EH ．………（7分）592 在Rt EFH ∆中，332903329030tan =⨯=︒⋅=EH EF （cm ）．……………（9分） 593 答：支撑角钢CD 的长为45cm ，EF 的长为33290cm ．……………………（10分）594 22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践595 问题情境596 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图597 1，将一张菱形纸片ABCD （︒>∠90BAD ）沿对角线AC 剪开，得到ABC ∆和ACD ∆． 598 操作发现599 （1）将图1中的ACD ∆以A 为旋转中600 心，601 逆时针方向旋转角α，使602 BAC ∠=α， 603得到如图2所示的D C A '∆，分别延长BC604 和C D '交于点E ，则四边形C ACE '的605 状是 菱形 ；……………（2分）606 （2）创新小组将图1中的ACD ∆以A 为607 旋转中心，按逆时针方向旋转角608 α，使BAC ∠=2α，得到如图3所 609示的D C A '∆，连接DB ，C C '，得到四边形D C BC '，发现它是矩形．请你证明这个论；610（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC =13cm ，AC =10cm ，611然后提出一个问题：将D C A '∆沿着射线DB 方向平移acm ，得到D C A ''''∆，连接D B '，612C C ''，使四边形D C BC '''恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题；613 （4）请你参照以上操作，将图1中的ACD ∆在同一平面内进行一次平移，得到614D C A '''∆，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，615写出你发现的结论，不必证明．616 考点：几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形617 的判定，618 矩形的判定正方形的判定619 分析：（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明620 （2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明621 （3）利用平移行性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分622 两种情623 况当点C ''在边C C '上和点C ''在边C C '的延长线上时．624 （4）开放型题目，答对即可625 解答：（1）菱形626 （2）证明：作C C AE '⊥于点E ．…………………………………………（3分）627 由旋转得AC C A ='，BAC AE C CAE ∠=='∠=∠∴α21． 628四边形ABCD 是菱形，BC BA =∴，BAC BCA ∠=∠∴，BCA CAE ∠=∠∴，629BC AE //∴，同理C D AE '//，C D BC '∴//，又C D BC '= ，∴ 四边形D C BC '是630平行四边形，…………………（4分）631又BC AE // ，︒=∠90CEA ，︒=∠-='∠∴90180CEA C BC ，632 ∴四边形D C BC '是矩形…………………………………………（5分）633 （3）过点B 作AC BF ⊥，垂足为F ，BC BA = ，634 5102121=⨯===∴AC AF CF ． 635 在Rt BCF ∆ 中，125132222=-=-=CF BC BF ，636 在ACE ∆和CBF ∆中，BCF CAE ∠=∠ ， ︒=∠=∠90BFC CEA ．637 ACE ∆∴∽CBF ∆，BC AC BF CB =∴，即131012=CE ，解得13120=CE ， 638C A AC '= ，C C AE '⊥，132401312022=⨯=='∴CE C C ．…………………（7分） 639 当四边形D C BC '''恰好为正方形时，分两种情况：640 ①点C ''在边C C '上．1371131324013a =-=-'=C C ．…………………（8分） 641 ②点C ''在边C C '的延长线上，13409131324013a =+=+'=C C ．……………（9分） 642 综上所述，a 的值为1371或13409． 643 （4）：答案不唯一． 644例：画出正确图形． (645)（10分）646 平移及构图方法：将ACD ∆沿着射线CA 方向平移，平移距离为AC 21的长度，得到647 D C A ''∆， 648连接DC B A ,'．………………………（11分）649结论：四边形是平行四边形……（12分）650 23．（2016·山西）（本题14分）综合与探究651 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与652x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原653点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点654E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，655－8）．656 （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的657 坐标；658 （2）试探究抛物线上是否存在点F ，使FOE ∆≌FCE ∆，若存在，请直接写出点F 的659 坐标；若不存在，请说明理由；660 （3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交661 于点Q ．试探究：当m 为何值时，OPQ ∆是等腰三角形．662 考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构663 成664 分析：（1）将A ，D 的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式665 点B 坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A 点坐标即可求出B 点坐666 标667 点E 坐标：E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，利用D 点坐标求出l 表达668 式，令669 其横坐标为3=x ，即可求出点E 的坐标 670（2）利用全等对应边相等，可知FO =FC ，所以点F 肯定在OC 的垂直平分线上，671所672 以点F 的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标673 （3）根据点P 在y 轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解674 675解答：（1） 抛物线8y 2-+=bx ax 经过点A （－2，0），D （6，－8），676 ⎩⎨⎧-=-+=--∴88636082a 4b a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==321b a …………………………………（1分） 677∴抛物线的函数表达式为83212--=x x y ……………………………（2分） 678 ()225321832122--=--=x x x y ，∴抛物线的对称轴为直线3=x ．又 抛物线与x 轴交679于A ，B 两点，点A 的坐标为（－2，0）．∴点B 的坐标为（8，0）…………………（4680分）681 设直线l 的函数表达式为kx y =． 点D （6，－8）在直线l 上，∴6k =－8，解得34-=k ． 682 ∴直线l 的函数表达式为x y 34-=………………………………………………………（5683分）684 点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点．∴点E 的横坐标为3，纵坐标为4334-=⨯-，685即点E 的坐标为（3，－4） (686)（6分）687 （2）抛物线上存在点F ，使FOE ∆≌FCE ∆． 688。