【成才之路】2016年春高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题同步练习 新人教B版必修5
高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 正、余弦定理在实际应用中的应用高效测评 新人
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余弦定理在实际应用中的应用高效测评新人教A版必修5一、选择题(每小题5分,共20分）1．如图，为了测量A，B两点间的距离,在地面上选择适当的点C,测得AC＝100 m,BC＝120 m，∠ACB＝60°，那么A，B的距离为( )A．20错误! m B．20错误! mC．500 m D．6066 m解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 60°＝1002＋1202－2×100×120×错误!＝12 400，∴AB＝2031(m)，故选B。
答案: B2．在一座20 m高的观测台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°,塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )A．20错误!m B．20(1＋错误!）mC．10(6＋错误!)m D．20(错误!＋错误!）m解析：如图，CD＝20，∠ACB＝60°，∠BCE＝45°，则DE＝BC＝20 m。
∴AB＝BC·tan 60°＝20 3 m。
∴AE＝AB＋BE＝20错误!＋20＝20(错误!＋1)m。
人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 1.2 应用举例》_30
第一课时 1.2 应用举例（一）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝＋1)，c ＝，则∠A 为 .2.在△ABC 中，sin A ＝sin sin cos cos B C B C++，判断三角形的形状. 解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1. 教学距离测量问题：① 出示例1：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ).分析：实际问题中已知的边与角？ 选用什么定理比较合适？→ 师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？ ③ 出示例2：如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD =a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA =α，∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→ 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC =sin()sin[180()]a γδβγδ+︒-++ =sin()sin()a γδβγδ+++， BC =sin sin[180()]a γαβγ︒-++=sin sin()a γαβγ++. 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =④ 练习：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60︒，∠ACD =30︒，∠CDB =45︒，∠BDA =60︒. （答案：AB .2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1. 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°. A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离. ()2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B在观察站C 南偏东60︒，则A 、B a km ）3. 作业：教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例（二）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m )③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C, BC =sin sin AB A C =5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？ 答案：(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？ 如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1. 教学角度的测量问题：① 出示例1：甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时10(3＋1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.分析：根据题意，如何画图？ →解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→ 学生讲述解答过程 （答案：630） → 小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？② 练习：已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°，甲船自A 以50海里／小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的 →解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？ ③ 出示例2：某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？ → 寻找三角形中的已知条件和问题？ →如何解三角形.→ 师生共同解答. （答案：北偏东8331'︒方向；1.4小时）④ 练习：某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2. 小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1. 我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2. 某时刻A 点西400千米的B 处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？3. 作业：教材P22 习题1.2 A 组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明. 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1. 教学面积公式：①讨论：∆ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha 、hb、h c，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=12absin C，S=1bcsin A,S=12acsinB③练习：已知在∆ABC中，∠B=30︒,b=6,c求a及∆ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答. →小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2. 教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a = b cos C + c cos B；b = a cos C + c cos A；c = a cos B + b cos A.分析：如何证明第一个式子？证一：右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二：右边= 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2：在∆ABC中，求证：（1）222222sin sin;sina b A Bc C++=（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1. 在△ABC中，若22tantanA aB b=，判断△ABC的形状. （两种方法）2. 某人在M汽车站的北偏西20︒的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40︒. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3. 作业：教材P24 14、15题.。
2016年春高中数学 第1章 解三角形 综合素质检测 新人教B版必修5
【成才之路】2016年春高中数学 第1章 解三角形 综合素质检测 新人教B 版必修5(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A ． 6B ．2C ． 3D ． 2[答案] D[解析] 在△ABC 中，由正弦定理，得sin C ＝c sin Bb＝2×326＝12， 又∵B ＝120°，∴C 为锐角，∴C ＝30°，∴A ＝30°，∴a ＝c ＝ 2.2．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°[答案] C[解析] cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°.3．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A ．31010B ．－31010C ．55D ．－55[答案] D[解析] BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC ＝10，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－55.4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，c cos A ＝b ，则△ABC ( )A ． 一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是斜三角形D ．一定是直角三角形[答案] D[解析] 解法一：∵c cos A ＝b ， ∴sin C cos A ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴sin A cos C ＝0，∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，又0<c <π， ∴C ＝π2，故选D ．解法二：由余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 是直角三角形．5．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180°[答案] B[解析] 仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β.6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425 [答案] A [解析] 由bsin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5c sin2B ＝8c sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.7．△ABC 的三边分别为2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则最大内角度数为( ) A ．150° B ．120° C ．90° D ．135°[答案] B[解析] 解法一：∵m >0，∴m 2＋3m ＋3>2m ＋3，m 2＋3m ＋3>m 2＋2m .故边m 2＋3m ＋3对的角为最大角，由余弦定理， cos θ＝2m ＋32＋m 2＋2m 2－m 2＋3m ＋3222m ＋3m 2＋2m＝－12，∴θ＝120°.解法二：特值法．取m ＝1，则三边长为5,3,7 ∴cos θ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴θ＝120°.8．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实数根，则A 为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在[答案] A[解析] 把已知方程整理得(sin A －sin C )x 2＋2sin B ·x ＋(sin A ＋sin C )＝0，Δ＝4sin 2B －4(sin A －sin C )(sin A ＋sin C )＞0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＞0.∴b 2＋c 2－a 2＞0，∴cos A ＞0，可知A 为锐角．9．若△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且∠C ＝60°，则ab 的值为( )A ．43 B ．8－4 3 C ．1 D ．23[答案] A[解析] 由(a ＋b )2－c 2＝4得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∴方程①化为2ab (1＋cos C )＝4， ∴ab ＝21＋cos C.又∵∠C ＝60°，∴ab ＝43.10．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] 由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ， ∴23×12ab ·sin60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0， 即a ＝2b 或b ＝2a .当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2； 当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2. 故△ABC 为直角三角形．11．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC ＝( ) A ．532B ． 3C ．52D ．5[答案] A[解析] AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝10cos A ＝－5， ∴cos A ＝－12，∴sin A ＝32，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝532.12．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 [答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sinπ2－A 1sin B 2＝cos B 1＝sin π2－B 1sin C 2＝cos C 1＝sinπ2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B1C 2＝π2－C1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立，即△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8∶5，则此三角形面积为________．[答案] 40 3[解析] 设另两边长为8x 和5x ，则cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2得x ＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为S ＝12×16×10·sin60°＝40 3.14．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.[答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.15.如图，已知梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，则梯形的高为__________．[答案]33[解析] 解法一：∵∠BAD ＝60°， ∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°. ∵CD ＝2，AC ＝19， ∴19sin120°＝2sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝5719.∴sin ∠ACD ＝sin(60°－∠CAD )＝35738.∴AD ＝AC ·sin∠ACDsin D ＝19×35738sin120°＝3.∴h ＝AD ·sin60°＝332.解法二：在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos120°，∴AD 2＋2AD －15＝0. ∴AD ＝3 (AD ＝－5舍去)． ∴h ＝AD sin60°＝332.16．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．[答案]2[解析] 如图，作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23， ∴E 为BC 的中点，且EC ＝ 3. 在Rt △AEC 中，AE ＝1，∠ADE ＝45°， 在Rt △ADE 中，AD sin ∠AED ＝AEsin45°，∴AD ＝ 2.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos A ＝1010，cos C ＝55. (1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积．[解析] (1)∵cos A ＝1010，cos C ＝55， ∴sin A ＝31010，sin C ＝255，∴cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝1010×55－31010×255＝－22， ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝22.又∵0<B <π， ∴B ＝π4.(2)由正弦定理，得a sin A ＝csin C ，∴a ＝c sin Asin C ＝4×31010255＝3 2.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×32×4×sin π4＝12×32×4×22＝6.18．(本题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝6，A ＝60°，b －c ＝3－1，求b 、c 和B 、C ．[解析] 由余弦定理，得6＝b 2＋c 2－2bc cos60°， ∴b 2＋c 2－bc ＝6① 由b －c ＝3－1平方得：b 2＋c 2－2bc ＝4－2 3 ②①、②两式相减得bc ＝2＋2 3.由⎩⎨⎧b －c ＝3－1bc ＝2＋23，解得⎩⎨⎧b ＝3＋1c ＝2， 由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa＝3＋1sin60°6＝6＋24. ∵6<3＋1，∴B ＝75°或105°. ∵a 2＋c 2>b 2，∴B 为锐角， ∴B ＝75°，从而可知C ＝45°. [点评] 求角B 时，若先求得sin C ＝c sin A a ＝22，∵a >c ，∴C ＝45°，从而得B ＝75°.若用余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝6－24，∴B ＝75°. 19．(本题满分12分)如图，某海轮以30 n mile/h 的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达点B ，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再航行80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．[解析] AB ＝30×4060＝20，BC ＝30×8060＝40.在△ABP 中，∠BAP ＝120°，∠ABP ＝30°，∠APB ＝30°， ∴BP ＝ABsin ∠APB·sin∠BAP ＝20sin30°sin120°＝20 3.在Rt △BCP 中，PC ＝BC 2＋BP 2＝402＋2032＝207.∴P 、C 间的距离为207 n mile.20．(本题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． [解析] (1)由已知，根据正弦定理，得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由a 2＝b 2＋c 2＋bc ，得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ． ∴34＝1－sin B sin C ，∴sin B sin C ＝14. 又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C ． 所以△ABC 是等腰的钝角三角形． 另解：∵A ＝120°且sin B ＋sin C ＝1∴sin B ＋sin(60°－B )＝12sin B ＝32cos B ＝sin(B ＋60°)＝1又60°<B ＋60°<120°∴B ＋60°＝90°，∴B ＝30°从而C ＝30° ∴△ABC 为等腰的钝角三角形．21．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C ，求b 及c 的长． [解析] (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26， ∴⎩⎨⎧b ＝6c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26c ＝4.22．(本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ．(1)求cos A 的值；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为2，求b 、c . [解析] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，∴cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)∵0<A <π，cos A ＝13，∴sin A ＝223.由S △ABC ＝22，得12bc sin A ＝22，∴bc ＝6.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴9＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝(b ＋c )2－16， ∴b ＋c ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝5bc ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2.。
2016_2017学年高中数学第1章解三角形1.3.1距离问题课件苏教版必修5
2
3sin75° sin60°
=
6+ 2 (km). 2
-2 3 ×
6+ 2 cos 2
75°=5.
∴AB= 5(km). ∴两目标 A,B 之间的距离为 5 km.
一
二
三
迁移与应用 1.某炮兵阵地位于 A 点,两观察所分别位于 C、D 两点,已知 △ACD 为正三角形,且 DC= 3 km,当目标出现在 B 时,测得∠ CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离是 km.
������������· sin75° BD= =2(k应用问题的一般步骤 (1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关 名词和术语; (2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用 正弦定理和余弦定理正确求解,并作答.
一
二
三
迁移与应用 1.某人向正东方向走了 x km 后向右转了 150°,然后沿新方向 走了 3 km,结果离出发点恰好为 3 km,那么 x 的值为 .
答案: 2 3或 3
解析: 如图,若设出发点为 A,则有 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos 30°,解得:x=2 3或 3.
一
2 2 ������������sin∠������������������ sin∠������������������
= 2(km).
一
二
三
2.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A到C的距离为2 km,B船在灯 塔C北偏西40°处,A,B两船的距离为3 km,则B到C的距离为 km.
答案: 6-1
一
二
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2同步练习第1章1.2第1课时
第一章 1.2 第1课时一、选择题1．下列结论不正确的是A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1 答案] B解析] 本题主要考查几个常用函数的导数，解决此题的关键是熟练掌握几个常用函数的导数，A 正确；对于B ，y ′＝(1x )′＝(x －12 )′＝－12x －32 ＝－12x 3，不正确．对于C ，y ′＝(x )′＝12x －12 ＝12x，正确．对于D ，正确．2．y ＝13x 2的导数为A.23x －13 B ．x 23C ．x－23D ．－23x －53答案] D 解析] y ′＝(x －23 )′＝－23·x －53 .∴选D.3．y ＝2x 在点A (1,2)处的切线方程为A ．2x ＋y －4＝0B ．2x －y ＋2＝0C ．2x ＋y ＋4＝0D ．2x －y －2＝0答案] A解析] ∵f ′(x )＝－2x 2，f ′(1)＝－2，∴由点斜式直线方程得y －2＝－2(x －1)， 即2x ＋y －4＝0.4．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为A ．1B ．－π4C.π4 D ．5π4答案] C解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.5．(2015·青岛市胶州市高二期中)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为A ．9x －y －16＝0B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0D ．6x ＋y －12＝0答案] A解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， ∵f ′(x )是偶函数，∴3(－x )2＋2a (－x )＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， 解得a ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，则f (2)＝2，k ＝f ′(2)＝9， 即切点为(2,2)，切线的斜率为9，∴切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0. 故选A.6．直线y ＝x 5的斜率等于5的切线的方程为 A ．5x －y ＋4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －y ＋4＝0或x －y －4＝0D ．5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0 答案] D解析] ∵y ′|x ＝x 0＝5x 40＝5，∴x 0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0.故选D. 7．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为 A.12523B ．110523C.25523 D ．110523答案] B解析] ∵s ′|t ＝4＝15t －45 |t ＝4＝110523.故选B.8．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为 A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2答案] A解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.二、填空题9．曲线y ＝1x 上一点P 处的切线的斜率为－4，则P 的坐标为________．答案] (12，2)或(－12，－2)解析] 设P (x 0，y 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝－1x 20＝－4，∴x 20＝14，∴x 0＝12或－12，当x 0＝12时，y 0＝2，当x 0＝－12时，y 0＝－2，∴P 点坐标为(12，2)或(－12，－2)．10．y ＝13x的导数为________．答案] －13－4311．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．答案] (2,1)解析] ∵y ＝4x －2，∴y ′＝－8x －3，∴－8x －3＝－1，∴x 3＝8， ∴x ＝2，∴P 点坐标为(2,1)． 三、解答题12．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程． 解析] (1)设y ＝f (x )＝13x 3＋43，则y ′＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴所求切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设切点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． 又切线过点P (2,4)， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 0＝－1或x 0＝2，∴切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3的切线斜率等于1，则切线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案] B解析] 设切点为(x 0，x 30)，∵f ′(x )＝3x 2， ∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1，∴x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线，故选B. 2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0答案] B解析] 本题考查函数知识、求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2，要善于观察，故选B.3．若对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为 A ．f (x )＝x 4 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4－1答案] B解析] 由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入四个选项中验证，B 正确，故选B.4．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为A.33 B ．333 C. 3 D ．393 答案] D解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 二、填空题5．函数y ＝x 2过点(2,1)的切线方程为________．答案] (4＋23)x －y －7－43＝0或(4－23)x －y －7＋43＝0解析] y ′＝2x ，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20. 切线斜率为2x 0＝x 20－1x 0－2，∴x 20－4x 0＋1＝0，∴x 0＝2±3，∴斜率k ＝2x 0＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)．6．已P (－1,1)，Q (2,4)是曲线f (x )＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案] 4x －4y －1＝0解析] y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设切点M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0.∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1.∴x 0＝12.∴切点M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.7．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．答案] 4解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0得，y ＝a2， 令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.三、解答题8．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．解析] ∵过抛物线上一点的切线且与直线x －y －2＝0平行的直线与x －y －2＝0的距离最短．y ′＝2x ，令2x ＝1 ∴x ＝12代入y ＝x 2得y ＝14，∴切点为⎝⎛⎭⎫12，14，则切线方程为y －14＝x －12， 即x －y －14＝0.∴x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为|2－14|12＋(－1)2＝728，∴728即为所求的最短距离． 简解：d ＝|x －x 2－2|2＝|(x －12)2＋74|2≥728.当且仅当x ＝12时取等号，∴所求最短距离为728.9．求曲线y ＝x 3过点Q (1，12)的切线方程．解析] ∵点(1，12)不在曲线y ＝x 3上，∴设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30， k PQ ＝y 0－12x 0－1＝x 30－12x 0－1.又y ′＝3x 2，则k PQ ＝f ′(x 0)＝3x 20， 则有3x 20＝x 30－12x 0－1，化简得2x 30－3x 2＋12＝0， 解得x 0＝12或x 0＝1＋32或x 0＝1－32.①x 0＝12时，k PQ ＝34，切线为y －12＝34(x －1)，即3x －4y －1＝0.②x 0＝1＋32时，k PQ ＝6＋332，切线为y －12＝6＋332(x －1)，即(6＋33)x －2y －5－33＝0. ③x 0＝1－32时，k PQ ＝6－332，切线为y －12＝6－332(x －1)，即(6－33)x －2y －5＋33＝0. 综上，所求切线的方程为3x －4y －1＝0或(6＋33)x －2y －5－33＝0或(6－33)x －2y －5＋33＝0.。
《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第一章三角函数1.2.2
第一章 1.2.2基础巩固一、选择题1．已知cos α＝23，则sin 2α等于( )A.59 B ．±59C.53D ．±53[答案] A[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝59.2．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A.13 B ．53 C.73D ．55[答案] B[解析] cos α＝sin αtan α＝23×525＝53.3．(2013·全国大纲文)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213B ．－513C.513 D ．1213[答案] A[解析] 本题考查了三角函数定义，同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1. ∵α是第二象限角，∴cos α<0，又∵sin α＝513，∴cos α＝－1－(513)2＝－1213.4．(2015·山东济南一中期中)若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( )A.2tan α B ．－2tan αC.2sin α D ．－2sin α[答案] D[解析] 原式＝(1－cos α)21－cos 2α＋(1＋cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α.5．(2015·琼海高一检测)若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( )A ．－417B ．45C ．±417D ．417[答案] B[解析] 由sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝417. 6．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A.15 B ．－15C.513 D ．－513[答案] D[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝512，构造直角三角形如图，则|sin α|＝sin α′＝513， ∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－513.二、填空题7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝________. [答案] 60°[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝12，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°.8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝________. [答案]－1＋52[解析] 由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1±52.又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α＝－1＋52.三、解答题9．已知tan α＝7，求下列各式的值． (1)sin α＋cos α2sin α－cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α.[解析] (1)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1＝7＋12×7－1＝813.(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1＝49＋7＋349＋1＝5950. 10．化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2(0<α<π2)．[解析] 原式＝(cos α2－sin α2)2＋(cos α2＋sin α2)2＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2. ∵α∈(0，π2)，∴α2∈(0，π4)．∴cos α2－sin α2>0，sin α2＋cos α2>0，∴上式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2.能力提升一、选择题1．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( )A.74B ．－916C ．－932D ．932[答案] C[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝2516，故sin αcos α＝－932.2．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则lgsin A 的值为( )A ．m ＋1nB ．m －n C.12(m ＋1n ) D ．12(m －n )[答案] D[解析] ∵m －n ＝lg(1＋cos A )＋lg(1－cos A ) ＝lg(1－cos 2A )＝lgsin 2A ＝2 lgsin A ， ∴lgsin A ＝12(m －n )．3．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( )A ．－43B ．－43或－34C ．－34D ．43或－34[答案] A[解析] 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－1225，∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43.4．若sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．0 [答案] B[解析] ∵sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，∴sin 2θ＋4＝2cos θ＋2. ∴sin 2θ－2cos θ＋2＝0. ∴－cos 2θ－2cos θ＋3＝0. ∴cos 2θ＋2cos θ－3＝0. ∴cos θ＝1或cos θ＝－3(舍)． 由cos θ＝1，得sin θ＝0. ∴(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4.二、填空题5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则tan θ＝________.[答案] －34或－512[解析] 由sin 2θ＋cos 2θ＝1得，m ＝0或8. m ＝0时，sin θ＝－35，cos θ＝45，tan θ＝－34；m ＝8时，sin θ＝513，cos ＝－1213，tan θ＝－512.6．(2011·上海春季高考)在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________. [答案]2211[解析] 因为tan A ＝23>0，则∠A 是锐角，则sin A >0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23， 得sin A ＝2211. 三、解答题7．已知cos α＝－35，且tan α>0，求tan αcos 3α1－sin α的值．[解析] ∵cos α＝－35，且tan α>0，∴α是第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan αcos 3α1－sin α＝sin αcos αcos 3α1－sin α＝sin α(1－sin 2α)1－sin α＝sin α(1＋sin α)＝－45×(1－45)＝－425.8．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1， 求(1)tan α； (2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. [解析] (1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α，则2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α＝1，即4tan 2α－3tan α－1＝0. 解得tan α＝－14或tan α＝1.(2)原式＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9，当tan α＝－14时，原式＝720；当tan α＝1时，原式＝15.。
春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题课时作业新人教A版必修5
2017春高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题课时作业 新人教A 版必修5基 础 巩 固一、选择题1．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为导学号 54742113( D )A ．a kmB ．2a kmC ．2a kmD ．3a km[解析] 由图可知∠ACB ＝120°，则AB 2＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a 2，∴AB ＝3a km.故选D ．2．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为导学号 54742114( D )A ．10kmB ．3kmC ．105kmD ．107km[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107km.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时导学号 54742115( C )A ．5n mlieB ．53n mlieC ．10n mlieD ．103n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300m 和500m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为导学号 54742116( C )A ．500mB ．600mC ．700mD ．800m[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120m 由此可得河宽为(精确到1m)导学号 54742117( C )A ．170mB ．98mC ．95mD ．86m[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝40 6.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)6．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3km ，甲船以8km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min 时，两船的距离是导学号 54742118( B )A ．7kmB ．13kmC ．19kmD ．10－33km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km.二、填空题7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30n mile 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为导学号 54742119[解析] 如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置，则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°，∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中，DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin60°＝153n mile ，AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos60°＝15 n mile ，则在Rt △ADB 中，DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan30°＝53n mile ，则BC ＝DC －DB ＝153－53＝103n mile.8．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是5.2 km.(精确到0.1 km)导学号 54742120[解析] 作出示意图如图．由题意知，则AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°，由正弦定理6sin35°＝BSsin30°，可得BS ≈5.2(km)．三、解答题9.如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)导学号 54742121[分析] 由于∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∴∠ADB 为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD 为Rt △作为突破口可简化计算．[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ， ∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？导学号 54742122[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(nmile)．∵h >6.5n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行．能 力 提 升一、选择题11．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为3km ，则A 、B 两船的距离为导学号 54742123( D )A ．23kmB ．32kmC ．15kmD ．13km[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13.12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为导学号 54742124( A )A ．1762n mile/hB ．346n mile/hC ．1722n mile/hD ．342n mile/h[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM s in45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．13．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是导学号 54742125( B )A ．10kmB ．102kmC ．15kmD ．152km[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102(km)．二、填空题14．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90n mile.此时海盗船距观测站107n mile,20min 后测得海盗船距观测站20n mlie ，再过403min ，海盗船到达商船.导学号 54742126[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．15.如图，一艘船上午8︰00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8︰30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile ，则此船的航行速度是16 n mile/h.导学号54742127[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°， ∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB， ∴AB ＝BS ·sin∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午8︰00在A 地，8︰30在B 地， ∴航行0.5小时的路程为8n mile ， ∴此船的航速为16n mile/h. 三、解答题16．海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为126n mile ；在A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ；货轮向正北由A 处航行到D 处时看灯塔B 的方位角为120°.求：导学号 54742128(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处之间的距离．[解析] 由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°. 由正弦定理，得AD ＝AB sin45°sin60°＝24(n mile)(2)在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2， ∴CD ＝83(n mile)答：A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile. 17．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50m ，BC ＝120m ，于A 处测得水深AD ＝80m ，于B 处测得水深BE ＝200m ，于C 处测得水深CF ＝110m ，求∠DEF 的余弦值.导学号 54742129[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302，DF 2＝1702＋302＝29800， EF 2＝1202＋902＝1502，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665.。
2016年秋高中数学人教A版必修五课件：第一章 解三角形1.1.2
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《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.2.2第1课时
第一章 1.2 1.2.2 第1课时一、选择题1．(2014～2015·潍坊市五县期中)若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( )A ．sin αB ．cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α[答案] A[分析] 利用三角函数的导数公式，将导函数中的x 用α代替，求出导函数值． [解析] ∵f (x )＝sin π3－cos x ，∴f ′(x )＝sin x ， ∴f ′(α)＝sin α，故选A.2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B ．163C ．103D ．133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.3．(2014～2015·山师大附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0 D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A.1n B ．1n ＋1C.n n ＋1 D ．1[答案] B[解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝n n ＋1.则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．(2014～2015·合肥一六八中学高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.6．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( ) A.π22 B ．π2 C ．2π2 D ．12(2＋π)2[答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A (π，0)，C (π，－π)，∴三角形面积为π22.二、填空题7．(2015·陕西理，15)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________________．[答案] (1,1)[解析] 设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)．故本题正确答案为(1,1)．8．(2014～2015·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为____________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)． 9．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3， ∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12， ∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x2 ＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.一、选择题11．(2014～2015·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．－e B ．e C ．－1eD ．1e[答案] D[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.12．(2014～2015·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.13．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2016(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x [答案] A[解析] f 0(x )＝sin x ，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，∴4为最小正周期，∴f2016(x)＝f0(x)＝sin x.故选A.二、填空题15．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________________.[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)...(0－a8)]′.0＝a1a2 (8)因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.16．(2014～2015·宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程是________________．[答案]4x－y－7＝0或y＝1[解析]设切点为(x0，x30－2x20＋1)，由k＝f′(x0)＝3x20－4x0，可得切线方程为y－(x30－2x20＋1)＝(3x20－4x0)(x－x0)，代入点P(2,1)解得：x0＝0或x0＝2.当x0＝0时切线方程为y＝1；当x0＝2时切线方程为4x－y－7＝0.综上得直线l的方程是：4x－y－7＝0或y＝1.三、解答题17．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．18．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．[分析] f (x )在点M 处切线方程为x ＋2y ＋5＝0有两层含义，(一)是点M 在f (x )的图象上，且在直线x ＋2y ＋5＝0上，(二)是f ′(－1)＝－12.[解析] 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， ∴－a －61＋b＝－2，(1) 又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，∴f ′(－1)＝－12，∵f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，(2) 由(1)(2)解得，a ＝2，b ＝3.(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)． ∴所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。
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- 1 - 【成才之路】2016年春高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题同步练习 新人教B版必修5
一、选择题 1．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( ) A．103 n mile B．106 n mile C．52 n mile D．56 n mile [答案] D [解析] 如图，由正弦定理，得 BCsin60°＝10sin45°，
∴BC＝56. 2．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好3 km，那么x的值为( ) A．3 B．23 C．23或3 D．3 [答案] C [解析] 由题意画出三角形如图．则∠ABC＝30°，
由余弦定理，得cos30°＝x2＋9－36x，∴x＝23或3. 3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( ) A．a km B．3a km C．2a km D．2a km [答案] B [解析] ∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝3a(km)． 4．(2016·三亚高二检测)有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( ) - 2 -
A．5 m B．10 m C．102 m D．103 m [答案] C [解析] 如图，在△ABC中，由正弦定理，得
xsin45°＝10sin30°，∴x＝102 m.
5．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( ) A．103 m B．1003 m C．203 m D．30 m [答案] D [解析] 设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB、Rt△ADC中，求得BD＝30，DC＝303.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.
6．(2016·南昌模拟)当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为( )
A．217 B．22
C．32 D．5714 [答案] A [解析] 连接BC．在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，∴BC＝107，
再由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ABsinθ，∴sinθ＝217. 二、填空题 7．两船同时从A港出发，甲船以每小时20 n mile的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12 n mile的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________ n mile. [答案] 28 - 3 -
[解析] 如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12， ∠CAB＝40°＋80°＝120°， 由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784， ∴BC＝28(n mile)． 8．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.(精确到0.1 km) [答案] 5.2 [解析] 作出示意图如图．由题意知，
则AB＝24×1560＝6， ∠ASB＝35°，由正弦定理，得6sin35°＝BSsin30°， 可得BS≈5.2(km)． 三、解答题 9.如图，甲船以每小时302 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102 n mile，问乙船每小时航行多少n mile?
[解析] 解法一：如图，连接A1B2，由已知， - 4 -
A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，
∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝102. 由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105°－60°＝45°， 由△A1B2B1中，由余弦定理，得 B1B22＝A1B22＋A1B21－2A1B1·A1B2·cos45°
＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. ∴B1B2＝102. 因此乙船的速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)． 答：乙船每小时航行302 n mile. 解法二：如图，连结A2B1.
由已知，A1B1＝20， A1A2＝302×2060＝102，∠B1A1A2＝105°，
cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝21－34. sin105°＝sin(45°＋60°) ＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝21＋34. 在△A2A1B1中，由余弦定理，得 - 5 -
A2B21＝A1B21＋A1A22－2A1B1·A1A2·cos105°
＝(102)2＋202－2×102×20×21－34 ＝100(4＋23)． ∴A2B1＝10(1＋3)．
由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝A1B1A2B1·sin∠B1A1A2
＝20101＋3×21＋34＝22， ∴∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2B2＝60°－45°＝15°， cos15°＝sin105°＝21＋34. 在△B1A2B2中，由已知，A2B2＝102， 由余弦定理，得B1B22＝A2B21＋A2B22－2A2B1·A2B2·cos15°
＝102(1＋3)2＋(102)2－2×10(1＋3)×102×21＋34＝200. ∴B1B2＝102， 乙船速度的大小为10220×60＝302 n mile/h， 答：乙船每小时航行302 n mile.
一、选择题 1．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(2＋6) n mile/h B．20(6－2) n mile/h C．20(6＋3) n mile/h D．20(6－3) n mile/h [答案] B [解析] 由题意可知∠NMS＝45°，∠MNS＝105°， - 6 -
则∠MSN＝180°－105°－45°＝30°.而MS＝20， 在△MNS中，由正弦定理，得MNsin30°＝MSsin105°，
∴MN＝20sin30°sin105°＝10sin60°＋45° ＝10sin60°cos30°＋cos60°sin30° ＝106＋24＝10(6－2)．
∴货轮的速度为10(6－2)÷12 ＝20(6－2)(n mile/h)． 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( ) A．5 n mile B．53 n mile C．10 n mile D．103 n mile [答案] C [解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是50.5＝10(n mile/h)． 二、填空题 3．甲船在岛A的正南B处，以4 km/h的速度向正北航行，AB＝10 km，同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为________．
[答案] 1507 min [解析] 如图，当两船航行t h时，甲船到D处，乙船到C处，则AD＝10－4t，AC＝6t，∠CAD＝120°，若AD′＝4t－10，AC＝6t，∠CAD′＝- 7 -
60°， 所以CD2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)×(－12)＝28t2－20t＋100，
∴当t＝514h时，CD2最小，即两船最近，t＝514h＝1507 min. 4．已知船在A处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C，船以每小时30 n mile的速度向东南方向航行半小时后到达B点，于B处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________ n mile.
[答案] 563－12 [解析] 如图，∠CAB＝45°－30°＝15°，
∠ACB＝180°－60°＝120°，AB＝30×12＝15， ∴BC＝AB×sin∠CABsin∠ACB＝15×sin15°sin120°. ∵sin15°＝sin(45°－30°) ＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24，
∴BC＝562(3－1)(n mile)． 三、解答题 5．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)
[解析] 由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD为直角三角形作为突破口可简化计算．