高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
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新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
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高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
高中数学第四章 圆与方程 412 圆的一般方程课件 新人教A版必修2
大家好
1
第四章 圆与方程
4．1.2 圆的一般方程
第四章 圆与方程
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆 心和半径． 2.会在不同条件下求圆的一般式方程．
1．方程
当 D2＋E2－4F>0 时，方程__x_2_＋__y_2_＋__D__x_＋__E_y__＋__F_＝__0_叫做圆的
一般方程，其中圆心为__－__D2_，__－__E2__，半径为__12__D__2＋__E__2－__4_F__．
形． 3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择_标__准__方__程__或_一__般__方__程__； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程．
探究点一 圆的一般方程的概念 判断方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 能否表示圆， 若能表示圆，求出圆心和半径． [解] 法一：由方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知， D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以 D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2， 所以当 m＝2 时，它表示一个点； 当 m≠2 时，它表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为 r＝ 5|m－2|.
2．说明 (1)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆，当且仅当
__D__2_＋__E_2_－__4_F_>__0__时表示圆．
(2)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_＝__0_____时，方程表示一个点－D2 ，－E2.
(3)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_<__0_____时，方程无实数解，不表示任何图
1
第四章 圆与方程
4．1.2 圆的一般方程
第四章 圆与方程
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆 心和半径． 2.会在不同条件下求圆的一般式方程．
1．方程
当 D2＋E2－4F>0 时，方程__x_2_＋__y_2_＋__D__x_＋__E_y__＋__F_＝__0_叫做圆的
一般方程，其中圆心为__－__D2_，__－__E2__，半径为__12__D__2＋__E__2－__4_F__．
形． 3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择_标__准__方__程__或_一__般__方__程__； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程．
探究点一 圆的一般方程的概念 判断方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 能否表示圆， 若能表示圆，求出圆心和半径． [解] 法一：由方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知， D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以 D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2， 所以当 m＝2 时，它表示一个点； 当 m≠2 时，它表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为 r＝ 5|m－2|.
2．说明 (1)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆，当且仅当
__D__2_＋__E_2_－__4_F_>__0__时表示圆．
(2)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_＝__0_____时，方程表示一个点－D2 ，－E2.
(3)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_<__0_____时，方程无实数解，不表示任何图
高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
4.1.2 圆的一般方程
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一 般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.
通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想 方法的养成,帮助直观想象,数学运算、数学抽象等 核心素养的达成.
D 8,
解得
E
2,
……………………………………………10
分
F 12.
所以△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.………12 分
法二 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,…………2 分
(2 a)2 (2 b)2 r2,
由题意得
(5
a)2
(3
b)2
r2,
解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程
的形式(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E2 4F 后,D2+E2-4F 是否大于 0,若大于 0 则表示
2
2
4
圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x- 1 )2+y2=0,表示一个点,坐标为( 1 ,0).
(4)由于 D2+E2-4F=1+4-4=1>0,所以该二元二次方程表示的是圆.
又 x2+y2+x+2y+1=(x+ 1 )2+(y+1)2= 1 ,所以它表示以(- 1 ,-1)为圆心,以 1 为半径的圆.
2
4
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一 般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.
通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想 方法的养成,帮助直观想象,数学运算、数学抽象等 核心素养的达成.
D 8,
解得
E
2,
……………………………………………10
分
F 12.
所以△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.………12 分
法二 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,…………2 分
(2 a)2 (2 b)2 r2,
由题意得
(5
a)2
(3
b)2
r2,
解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程
的形式(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E2 4F 后,D2+E2-4F 是否大于 0,若大于 0 则表示
2
2
4
圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x- 1 )2+y2=0,表示一个点,坐标为( 1 ,0).
(4)由于 D2+E2-4F=1+4-4=1>0,所以该二元二次方程表示的是圆.
又 x2+y2+x+2y+1=(x+ 1 )2+(y+1)2= 1 ,所以它表示以(- 1 ,-1)为圆心,以 1 为半径的圆.
2
4
新人教A版必修2高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程
圆的一般方程，其圆心为－D2 ，－E2，半径为
D2＋E2－4F
2
.
(2)当_D__2_＋__E_2－__4_F__＝__0__时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表
示点－D2 ，－E2. (3)当__D__2＋__E__2－__4_F__<_0___时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
不表示任何图形．
8
应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心 的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待 定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆 的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
2．若不同四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)在同一 圆上，则实数a的值为________．
【答案】7
【解析】设经过 A，B，C 三点的圆的方程为 x2＋y2＋Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0(D2 ＋ E2 － 4F ＞ 0) ， 由 题 意 可 得
5－2＋152D－＋DF＋＝F0＝，0， －32＋32－3D＋3E＋F＝0.
D＝－4， 解得E＝－235，
F＝－5.
∴A，B，C
三点确定的圆的方程为 x2＋y2－4x－235y－5＝0.∵D(a,3)也在此 圆上，∴a2＋9－4a－25－5＝0，∴a＝7 或 a＝－3(舍去)．
圆的一般方程的求法
【例 2】 已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0 上且圆心在第二象限，半径为 2，求圆的一般方程．
【解题探究】圆的一般方程中含有待定系数D，E，F，求 圆的一般方程即求这些待定系数的值．
【解析】圆心C－D2 ，－E2， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－D2 －E2－1＝0，即D＋E＝－2. ① 又r＝ D2＋2E2－12＝ 2，所以D2＋E2＝20. ② 由①②可得DE＝＝－2，4 或ED＝＝2－. 4， 又圆心在第二象限，所以－D2 <0，即D>0.所以ED＝＝－2，4. 所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
4.1.2圆的一般方程课件人教新课标
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
4.圆 x2 y2 8x10y F 0 与x轴相切,则这个圆截y
轴所得的弦长是（ A ） A.6 B.5 C.4 D.3
5.点A（3，5）是圆 x2 y2 4x8y80 0 的一条弦
的中点,则这条弦所在的直线方程是
结论：任何一个圆方程可以写成下面情势：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
思考
方程 x2 y2 2x 4y1 0 表示什么图形？
对方程 x2 y2 2x 4y1 0 配方，可得
(x 1)2 (y 2)2 4, 此方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆.
方程 x2 y2 2x4y 6 0 表示什么图形？
(1)圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方
展开
标准方程(圆心,半径)
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径 用配方法求解
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程情势:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆 的标准方程较简单。
4.1.准方程: (x a)2 (y b)2 r2 特征： 直接看出圆心A(a,b)与半径r。
y
O A(a,b) x r M
练练手
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(1,2), 2
(x+2)2+(y-2)2=5
(-2,2), 5
半径为4，则D= 4，E=
-6，F= -3
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
4.圆 x2 y2 8x10y F 0 与x轴相切,则这个圆截y
轴所得的弦长是（ A ） A.6 B.5 C.4 D.3
5.点A（3，5）是圆 x2 y2 4x8y80 0 的一条弦
的中点,则这条弦所在的直线方程是
结论：任何一个圆方程可以写成下面情势：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
思考
方程 x2 y2 2x 4y1 0 表示什么图形？
对方程 x2 y2 2x 4y1 0 配方，可得
(x 1)2 (y 2)2 4, 此方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆.
方程 x2 y2 2x4y 6 0 表示什么图形？
(1)圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方
展开
标准方程(圆心,半径)
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径 用配方法求解
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程情势:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆 的标准方程较简单。
4.1.准方程: (x a)2 (y b)2 r2 特征： 直接看出圆心A(a,b)与半径r。
y
O A(a,b) x r M
练练手
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(1,2), 2
(x+2)2+(y-2)2=5
(-2,2), 5
半径为4，则D= 4，E=
-6，F= -3
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目 导引
第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
人教版高中数学必修2第四章《4.1圆的方程：4.1.2 圆的一般方程》教学PPT
例1:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的方程,并求出这
个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 y2 Dx Ey F 0
因为O, M1, M2 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即
F 0
D
E
F
2
0
4D 2E F 20 0
1) x2 y2 2x 4 y 1 0 D 2, E 4, F 1 D2 E2 4F 16
圆心: (1, 2) 2) x2 y2 6x 0
半径: r 2
D 6, E F 0 D2 E2 4F 36
圆心: (3,0)
分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同 一方程
求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.
作业: 1.(作业本)课本P124 A组 1、(2)(4) B组 第2题或第3题 2. 完成《课时作业》&《反馈卡》
D 8
E
6
F 0
待定系数法
所以,圆的方程为: x2 y2 8x 6 y 0
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程; 若已知圆经过两点或, E, F的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
轨迹方程求法
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 ( x 1)2 y2 4
上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程
以（1，-2）为圆心，以
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
2019_2020学年高中数学第4章圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤： ①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 2 ． 二 元 二 次 方 程 Ax2 ＋ Bxy ＋ Cy2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表 示 圆 的 条 件 是 ： __A_＝__C_≠__0_，__B_＝__0_，__D_2_＋__E_2_－__4_A_F_>__0_____________. 3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是： P在圆内⇔___x_＋__y_＋__D_x_0_＋__E_y_0＋__F__<_0______， P在圆上⇔__x_＋__y_＋__D_x_0_＋__E_y_0＋__F__＝__0_______， P在圆外⇔__x_＋__y_＋__D_x_0_＋__E_y_0_＋__F_>_0______.
A．(－∞，2]
B．(－∞，2)
C．－∞，12
D．－∞，12
[解析] 由二元二次方程表示圆的条件，知(－1)2＋12－4a＞0，解得 a＜12.
4．求经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方
程．
[解析] 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心，则a的值为( B )
A．－1
B．1
C．3
D．－3
[解析] 将圆的一般方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心为(－
1,2)．
∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
3．(2018·浙江省金华四校联考)若方程 x2＋y2－x＋y＋a＝0 表示一个圆，则实
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
思考问题:当D=0，E=0或F=0时，圆 别(fēnbié)有什么特点？
x2 y2 Dx Ey 的F位置0分
y
y
y
C
C
C
O
O
x
x
O
x
D=0
E=0
F=0
第十页，共22页。
练习: 判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0
，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
回顾 (h方u法ígù一)：： 待定系数法
A(5,1)
O
设圆方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2.
x
方法二：几何法
D
B(7,-3)
由两条弦的中垂线的交点得到圆心， 由圆心到圆上一点得到半径
C(2,-8)
第十二页，共22页。
方法三：待定系数法
y
M(x,y)
OC
x
第五页，共22页。
圆的一般方程
1.圆的标准方程 ( x a )2 ( y b)2 r 2
展开(zhǎxn 2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
kāi)得
x2 y2 Dx Ey F 0
任何(rènhé)一个圆的方程都是二元二次方程
结论：任何一个圆方程可以写成下面(xiàmian)形式
：
x2 y2 Dx Ey F 0
第六页，共22页。
2.是不是任何一个形如 x2 y2 Dx Ey F 0
方程表示的曲线是圆呢？
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方(pèi( x 1)2 ( y 2)2 4 以fān（g)1得，-2）为圆心(yuánxīn)，以2为半径的圆
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所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三 线段 AB 中垂线的方程为 2x＋y＋4＝0.它与直 线 x－2y－3＝0 的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离 得 r2＝10，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(2)法一 设圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(*)
D＝2， 所以E＝4， F＝－5.
所以圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
（2－a）2＋（－3－b）2＝r2， a＝－1，
（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，⇒b＝－2，
a－2b－3＝0，
r2＝10.
类型 2 求圆的方程 [典例 2] (1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)， 若圆心在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程； (2)求过点 A(－1，0)，B(3，0)和 C(0，1)的圆的方程． 解：(1)法一 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则
4＋（－3）2＋2D＋（－3）E＋F＝0， （－2）2＋（－5）2＋（－2）D＋（－5）E＋F＝0， －D2 －2·－E2－3＝0.
把 A、B、C 三点坐标代入方程(*)得
1－D＋F＝0， D＝－2，
9＋3D＋F＝0，所以E＝2，
1＋E＋F＝0， F＝－3.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋2y－3＝0.
法二 线段 AB 的中垂线方程为 x＝1，线段 AC 的中
垂线方程为 x＋y＝0，
x＝1，
解析：由－D2＝2，－E2＝－4，12 D2＋E2－4F＝4， 解得 F＝4.
答案：4
5．若方程 x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 表示圆，则实数 k 的取值范围是________．
解析：由 D2＋E2－4F＝(－4)2＋22－4×5k＝20－
20k>0 得 k<1.
答案：k<1
类型 1 圆的一般方程的概念(自主研析)
1．圆的一般方程的概念 当 D2＋E2－4F>0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0 叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－ 4F>0)表示的圆的圆心为_－__D_2_，__－__E2___，半径长为 __12__D_2_＋__E_2_－__4_F__．
第.2 圆的一般方程
[学习目标] 1.了解二元二次方程、圆的标准方程与 圆的一般方程之间的关系(重点)． 2.理解圆的一般方程 及其特点，会用待定系数法求圆的方程，并能把圆的一般 方程转化为标准方程(重点、难点)． 3.掌握二元二次方 程表示圆的条件，并会应用坐标法求动点的轨迹(方程)(难 点、易错点)．
(1)求实数 m 的取值范围； (2)求圆心坐标和半径． 解：(1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
即 4m2＋4－4m2－20m>0，解得 m<15， 故 m 的取值范围为－∞，15. (2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
[典例 1] 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出 圆心和半径．
(1)x2＋2y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋3x＋5y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)－2x2－2y2＋10y＝0.
解：(1)由于 x2，y2 的系数不相等，故不表示圆． (2)由于该方程中含有 xy 这样的二次项，故不表示圆． (3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 可化为(x－1)2＋(y－ 2)2＝－5，显然不表示圆． (4)方程－2x2－2y2＋10y＝0 可化为 x2＋y－522＝245， 所以其可以表示以0，52为圆心，以52为半径的圆．
解析：(1)圆的一般方程与标准方程可以互化，故(1) 正确．
(2)二元二次方程表示圆的方程需满足 D2＋E2－4F>0 故(2)不正确．
(3)由圆的方程的一般式定义知(3)正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
2．圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0 的圆心和半径分别为 ()
A．(4，－6)，r＝16 B．(2，－3)，r＝4 C．(－2，3)，r＝4 D．(2，－3)，r＝16 解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)，半 径 r＝12 42＋（－6）2＋12＝4.
温馨提示 如果 x2，y2 的系数相等，且是不为 1 的非 零常数，只需在方程的两边同除以这个数，系数就可变为 1.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( ) (2)二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 一定是某个 圆的方程．( ) (3) 方 程 x2 ＋ y2 － 2x ＋ Ey ＋ 1 ＝ 0 表 示 圆 ， 则 E≠0.( )
答案：C
3．方程 x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0 表示圆，则实数
a 的取值范围是( )
A．a≤1
B．a<1
C．a>0
D．0<a<1
解析：由 D2＋E2－4F>0，得(2a)2＋(－2)2－4(a2＋
a)>0，即 4－4a>0，解得 a<1，故选 B.
答案：B
4．若方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示以(2，－4) 为圆心，4 为半径的圆，则 F＝________．
归纳升华 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的两种判断方法 1．配方法．对形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元 二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否 表示圆． 2．运用圆的一般方程的判断方法求解．即通过判断 D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
[变式训练] 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆．