新课标人教A版高中数学(必修1)单元测试-第一章
人教a版必修1《第1章+集合与函数》2014年单元测试卷(潍坊一中)(1)
人教A版必修1《第1章集合与函数》2014年单元测试卷（潍坊一中）（1）人教A版必修1《第1章集合与函数》2014年单元测试卷一.选择题：22．（3分）（2010•沅江市模拟）已知全集U=R，A={x||x﹣a|＜2}，B={x||x﹣1|≥3}，且A∩B=∅，则a的取值范围是226．（3分）集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，则（）2210．（3分）（2010•宜春模拟）设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P※Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P※Q二．填空题：11．（3分）已知M={}，N={x|，则M∩N=_________．12．（3分）非空集合p满足下列两个条件：（1）p⊊{1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈p，则6﹣a∈p，则集合p个数是_________．13．（3分）设A={1，2}，B={x|x⊆A}若用列举法表示，则集合B是_________．14．（3分）含有三个实数的集合可表示为，则a2007+b2008=_________．三．解答题：15．设A={x|x2+px+q=0}≠∅，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=∅，A∩N=A，求p、q的值．16．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N．17．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m的取值范围．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，且A∪B=R，A∩B={x|3＜x≤4}，求a、b的值．人教A版必修1《第1章集合与函数》2014年单元测试卷参考答案与试题解析一.选择题：22．（3分）（2010•沅江市模拟）已知全集U=R，A={x||x﹣a|＜2}，B={x||x﹣1|≥3}，且A∩B=∅，则a的取值范围是，确定∴22）））≥﹣，）≥，}=[，6．（3分）集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，则（）解：∵∈∉+，解可得答案．，22a=，时，，，﹣}M={，}10．（3分）（2010•宜春模拟）设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P※Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P※Q，二．填空题：11．（3分）已知M={}，N={x|，则M∩N=∅．，得M={N={x|12．（3分）非空集合p满足下列两个条件：（1）p⊊{1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈p，则6﹣a∈p，则集合p个数是6．13．（3分）设A={1，2}，B={x|x⊆A}若用列举法表示，则集合B是{∅，{1}，{2}，{1，2}}．14．（3分）含有三个实数的集合可表示为，则a2007+b2008=﹣1．三．解答题：15．设A={x|x2+px+q=0}≠∅，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=∅，A∩N=A，求p、q的值．∴，或，或16．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N．17．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m的取值范围．，时，18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，且A∪B=R，A∩B={x|3＜x≤4}，求a、b的值．参与本试卷答题和审题的老师有：张玲；733744；ywg2058；sllwyn；翔宇老师；lgh；danbo7801；lincy；sdwdlcy；sxs123；lily2011；gongjy；刘长柏；wdnah；zlzhan；涨停（排名不分先后）菁优网2014年11月5日©2010-2014 菁优网。
高一上学期数学单元测试(1)人教版
高中学生学科素质训练系列试题高一上学期数学单元测试（1）[原人教版] 第一册 第1章注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的某某、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．下列命题说法正确的是 （ ）A ．方程x 2+2x +1=0的根形成集合{－1，－1}B ．{x ∈R |x 2+2=0}={R ∈x |⎩⎨⎧<+>+03012x x ｝C ．集合{1，3，5}与集合{3，5，1}是不同的集合D ．集合M ={(x ,y )|x +y =5,xy =6}表示的集合是{2，3}2．以下四个关系：∅∈{0},0∈∅,{∅}⊆{0},∅{0},其中正确的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知全集U ={a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h },A ={c ,d ,e },B ={a ,c ,f },那么集合{b ,g ,h }等于A ．A ∪BB ．A ∩BC ．(UA )∪(UB ) D ．(UA )∩(UB )4．下列语句不是命题的有 （ ）①x 2－3=0 ②与一条直线相交的两直线平行吗？ ③3+1=5 ④5x －3＞6． A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④5．下列命题为简单命题的是 （ ） A ．5和10是20的约数B ．正方形的对角线垂直平分C ．6是无理数D ．方程x 2+x +2=0没有实数根6．若A 、B 是两个集合，则下列命题中真命题是（ ）A ．如果A ⊆B ，那么A ∩B =A B ．如果A ∩B =B ，那么A ⊆BC ．如果A ⊆B ，那么A ∪B =AD ．如果A ∪B =B ，那么B ⊆A7．设U 为全集，P 、Q 为非空集合，且P Q U ,下面结论中不正确的是 （ ）A ．（UP ）∪Q =U B ．（UP ）∩Q =∅C ．P ∪Q =QD ．P ∩（UQ ）=∅8．不等式组⎩⎨⎧>+>0342a x x 的解集是{x |x ＞2}，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．a ≤－6B ．a ≥－6C ．a ≤6D ．a ≥6 9．若|x +a |≤b 的解集为{x |－1≤x ≤5},那么a 、b 的值分别为 （ ） A ．2，－3 B ．－2，3 C ．3，2 D ．－3，210．一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是 （ ）A ．ab ＞0B ．ab ＜0C ．bc ＞0D ．ac ＜0 11．在如图的电路图中，“开关A 的闭合”是“灯泡B 亮”的________条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要12．设集合M ={x |x ＞2},P ={x |x ＜}3,那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
(易错题)高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．“21x >”是“2x >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）A ．原命题与逆命题均为真命题B ．原命题真，逆命题假C ．原命题假，逆命题真D ．原命题与逆命题均为真命题 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20210S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤-或1a ≥B ．21a -≤≤C ．21a -<<D ．2a <-或1a >6．已知集合{}1A x x =>-，{}2B x x =<，则A B =（ ）A ．()1,-+∞B ．(),2-∞C ．1,2D ．R7．已知a ∈R ，则“2a ≤”是“方程2210ax x ++=至少有一个负根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,29．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)10．设a 、b 是实数，则“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．设,a b 是向量，“a a b =+”是“0b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知a ，b R ∈，“1a b +<”是“11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真：②在ABC 中，“60B ∠=︒”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件； ③1{2x y >>是3{2x y xy +>>的充要条件；④“22am bm <”是“a b <”的充分必要条件； 以上说法中，判断错误的有_______________.14．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 15．已知命题:44,:(2)(3)0p x a q x x -<-<-->，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围________.16．已知集合{}12A x x =-<<，{}1,0,1,2B =-，则AB =__________．17．若命题：“2000,10x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围是__________．18．已知集合{}1A x x =>，{}22B x x x =<，则A B =__________．19．己知全集U =R ，集合，，则___________20．函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是 ．三、解答题21．已知命题:p x R ∀∈，()()221140a x a x -+-+>，:q x R ∃∈，()22110x a x -++<（1）若“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件，求实数t 的取值范围； （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a .22．已知集合{|22}A x a x a =-+，2{|540}B x x x =-+ （1）当3a =时，求A B ，()R A B ⋃；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围．23．已知集合2102x a A xx a ⎧⎫--⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，集合{}|32B x x =-<． （Ⅰ）当2a =时，求AB ；（Ⅱ）设p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 24．已知m R ∈，命题:p 对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-成立；命题:q 存在[]–1,1x ∈，使得m x ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围；25．已知命题:p 实数t 满足22540t at a -+<，:q 实数t 满足曲线22126x y tt+=--为双曲线.（1）若1a =，且p ⌝为假，求实数t 的取值范围；（2）若0a >，且q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.26．已知全集U =R ，集合{}{}2|2150,|51A x x x B x x =-++≤=-<，求A B ,()U A B ⋂.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】设{}21A x x =>，{}2B x x =>，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性. 【详解】设{}{211A x x x x =>=>或}1x <-，设{}2B x x =>，可得B A ，所以“21x >”是“2x >”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.2．A解析：A 【详解】因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或， 因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A. 3．B解析：B 【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真. 【详解】原命题的逆否命题为：若,a b 中没有一个大于等于1，则2a b +<，等价于“若1,1a b <<，则2a b +<”，显然这个命题是对的，所以原命题正确； 原命题的逆命题为：“若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”，取5,5a b ==-则,a b 中至少有一个不小于1，但0a b +=，所以原命题的逆命题不正确. 【点睛】至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.4．C解析：C 【分析】结合等比数列的前n 项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以2021111n q S a q -=⋅-，由于101nq q ->-，所以 2021111001nq S a a q-=⋅>⇔>-，所以“10a >”是“20210S >”的充要条件. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.5．B解析：B 【解析】{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或 ，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩，选A. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.6．C解析：C 【分析】由集合的交集运算即可得出结果. 【详解】{|12}=(1,2)=-<<-A B x x故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了计算能力，属于一般题目.7．B解析：B 【分析】分类讨论a 的正负，利用两根与系数的关系、判别式，进而求解判断即可. 【详解】（1）当0a =时，方程变为210x +=，有一负根12x =-，满足题意；（2）当0a <时，440∆=->a ，方程的两根满足1210x x a=<，此时有且仅有一个负根，满足题意；（3）当0a >时，由方程的根与系数关系可得2010aa⎧-<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，∴方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件440a ∆=-≥，01a ∴<≤.综上可得，1a ≤.因此，“2a ≤”是“方程2210ax x ++=至少有一个负根”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查二次方程根的分布问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8．A解析：A 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．9．C解析：C【分析】求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由112x ≥-，即302x x -≤-，解得23x <≤， 由||2x a -<得22a x a -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]1,4， 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.10．A解析：A 【分析】由2b aa b +≥可推导出0ab >，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由2b a a b +≥可得()22222022a b b a a b ab a b ab ab-+-+-==≥，()20a b -≥，则0ab >，则“0a >，0b >”⇒“0ab >”，但“0ab >”⇒“0a >，0b >”. 所以，“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于中等题.11．B解析：B 【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案. 【详解】 当12a b =-时，1122a b b b b a +=-+==，推不出0b =当0b =时，0b =，则0a b a a +=+= 即“a a b =+”是“0b =”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.12．C解析：C 【分析】由绝对值不等式的基本性质，集合充分必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，a ，b R ∈，1a b +<，可得1a b a b +≤+<且1a b a b -≤+<，所以充分性是成立的；反之11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩，可得1111a b a b -<+<⎧⎨-<-<⎩，即1a b +<，所以必要性是成立的，综上可得：a ，b R ∈，1a b +<是11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩成立的充要条件．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的基本性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，其中解答中熟练应用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．二、填空题13．③④【解析】对于①一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题则若其逆命题为真其否命题也一定为真①正确；对于②若则有则三个角成等差数列反之若三个角成等差数列有又由则故在中是三个角成等差数列的充要条件②正确解析：③④ 【解析】对于①，一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；对于②，若60B ∠=，则120A C ∠+∠=，有2A C B ∠+∠=∠，则,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列，反之若,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列， 有2A C B ∠+∠=∠，又由3=180A B C B ∠+∠+∠=∠，则60B ∠=，故在ABC ∆中，“60B ∠=”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③， 当19,22x y ==，则满足32x y xy +>⎧⎨>⎩，而不满足12x y >⎧⎨>⎩，则12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的不必要条件，③错误；对于④，若a b <，当0m =时，有22am bm =，则“22am bm <”是“a b <”的不必要条件，④错误，故答案为③④.14．【分析】对分类讨论计算可得【详解】解：因为命题使得不等式是真命题当时恒成立满足条件；当时则解得综上可得即故答案为：【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围属于中档题 解析：[]0,4【分析】对m 分类讨论，计算可得. 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题 当0m =时，10≥恒成立，满足条件；当0m ≠时，则2040m m m >⎧⎨-≤⎩解得04m <≤综上可得04m ≤≤即[]0,4m ∈ 故答案为：[]0,4 【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，属于中档题.15．【分析】是的充分不必要条件可转化为是的充分不必要条件再化简两命题对应的取值范围进一步判断即可【详解】是的充分不必要条件是的充分不必要条件命题中：命题中：由是的充分不必要条件可知应满足解得故答案为：【 解析：[1,6]-【分析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件可转化为q 是p 的充分不必要条件，再化简两命题对应x 的取值范围，进一步判断即可 【详解】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”⇔q 是p 的充分不必要条件，命题p 中：44a x a -<<+，命题q 中：23x <<，由q 是p 的充分不必要条件可知，应满足4243a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得[1,6]a ∈- 故答案为：[1,6]- 【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数范围，属于中档题16．【解析】分析：利用交集的运算直接求解即可详解：由题所以即答案为点睛：本题考查交集的运算属基础题 解析：{}0,1【解析】分析：利用交集的运算直接求解即可详解：由题{}12A x x =-<<，{}1,0,1,2B =-，所以{}0,1A B ⋂=. 即答案为{}0,1点睛：本题考查交集的运算，属基础题.17．【解析】由题意得 解析：[]4,0-【解析】由题意得2004040a a a a a <⎧=∴-≤≤⎨∆=+≤⎩或 18．【解析】由得：则故答案为 解析：()1,2【解析】由{}22B x x x =<得：{}02B x x =<<，则()1,2A B ⋂=，故答案为()1,2.19．【解析】试题分析：本题首先求出集合AB 再求它们的运算这两个集合都是不等式的解集故解得因此考点：集合的运算 解析：【解析】试题分析：本题首先求出集合A ，B ，再求它们的运算，这两个集合都是不等式的解集，故解得{|31}A x x x =-或，{|02}B x x =<≤，因此()(0,1]UA B ⋂=.考点：集合的运算.20．1＜＜4【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立即当时恒成立即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为要使得需要满足化简求解得1＜＜4考点：必要条件充分条件与充要条件的判断解析：1＜a ＜4 【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立，即当时，恒成立，即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为，要使得，需要满足，化简求解得1＜a ＜4．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．三、解答题21．（1）1,15⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；(2) 3171,,12152⎛⎫⎡⎫--⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【分析】（1）当命题,p q 为真时，求得a 的取值范围，“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件即[][)1723,21,1,15t t ⎛⎫---⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，计算求解即可； （2）p q ∧为假，p q ∨为真，即即,p q 一真一假,分情况讨论即可得出结果.【详解】（1）命题p 为真时，1a =或()()2221014140a a a ⎧->⎪⎨∆=--⨯-⨯<⎪⎩，解得：1a =或1a >或1715a <-，综上：p 为真，a 的取值范围为[)17,1,15⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；命题q 为真时，()2=2140a ∆+->，解得a 的取值范围为31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 若“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件，则[][)1723,21,1,15t t ⎛⎫---⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭， ①2321t t -->-时，15t <-，符合题意. ②2321172115t t t --≤-⎧⎪⎨-<-⎪⎩时，即15115t t ⎧≥-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，11515t -≤<-. ③2321231t t t --≤-⎧⎨--≥⎩时，151t t ⎧≥-⎪⎨⎪<-⎩，无解.综上：t 的取值范围为：1,15⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，即,p q 一真一假： ①p 真q 假：171153122a a a ⎧<-≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩或，即317215a -<<-②p 假q 真：171153122a a a ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或，即112a ≤<.综上：实数a 的取值范围：3171,,12152⎛⎫⎡⎫--⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭. 【点睛】 方法点睛：根据命题的真假求參数的取值范围的方法（1）求出当命题,p q 为真命题时所含參数的取值范围；（2）判断命题,p q 的真假性；（3）根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解參数的取值范围. 22．（1）{|11A B x x =-或45}x ；(){}|15R AB x x =-；（2） (,1)-∞. 【分析】（1）3a =时求出集合A ，B ，再根据集合的运算性质计算A B 和()R A B ⋃； （2）根据AB =∅，讨论A =∅和A ≠∅时a 的取值范围，从而得出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）当3a =时，{|22}{|15}A x a x a x x =-+=-， 2{|540}{|1B x x x x x =-+=或4}x ，{|11A B x x =-或45}x ；又{|14}R B x x =<<，(){}|15R A B x x =-；（2）A B =∅，当22a a ->+，即0a <时，A =∅，满足题意；当0a 时，应满足2124a a ->⎧⎨+<⎩，此时得01a <； 综上，实数a 的取值范围是(,1)-∞．【点睛】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题． 23．（Ⅰ）{|45}A B x x ⋂=<<；（Ⅱ）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（Ⅰ）当2a =时，求出集合A ，集合B ，由此能求出A B ． （Ⅱ）设:p x A ∈，:q x B ∈，p 是q 的充分条件，从而A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）当2a =时，集合215|0{|0}{|45}24x a x A x x x x x a x ⎧⎫---=<=<=<<⎨⎬--⎩⎭， 集合{||3|2}{|15}B x x x x =-<=<<．{|45}A B x x ∴=<<．（Ⅱ）设:p x A ∈，:q x B ∈，p 是q 的充分条件，A B ∴⊆，当221a a <+时，1a ≠，集合221|0{|21}2x a A x x a x a x a ⎧⎫--=<=<<+⎨⎬-⎩⎭， 集合{||3|2}{|15}B x x x x =-<=<<．∴22115a a ⎧⎨+⎩，且1a ≠，解得122a ．且1a ≠， 当1a =时，A =∅，成立． 综上，实数a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查交集、实数的取值范围的求法，考查充分条件、交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．24．（1）[]1,2（2）(,1)(1,2]-∞ 【分析】（1）对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m --恒成立，2(22)3min x m m --．利用函数的单调性与不等式的解法即可得出．（2）存在[]–1,1x ∈，使得m x 成立，可得1m ，命题q 为真时，1m ．由p 且q 为假，p 或q 为真，p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，再分别求出参数的取值范围最后取并集即可．【详解】解（1）∵对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，∴2min (22)3x m m -=-．即23m 2m -≤-．解得12m ≤≤．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）存在[1,1]x ∈-，使得m x ≤成立，∴1m ，命题q 为真时，1m ．∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩解得12m <≤; 当p 假q 真时，121m m m ⎧⎨≤⎩或，即1m <． 综上所述，m 的取值范围为(,1)(1,2]-∞． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（1）()1,4；（2）322a ≤≤ . 【分析】（1）可知p 为真，解出不等式即可；（2）由题可知命题p 等价于{}|4A t a t a =<<，命题q 等价于{}|26B t t =<<，由q 是p 的充分不必要条件可得集合B 是集合A 的真子集，由此列出不等式即可求解.【详解】解：（1）p ⌝为假，∴p 为真， 21,540a t t =∴-+<， 解得()1,4t ∈；（2）:p 由22540t at a -+<得()(4)0t a t a --<:q 由实数t 满足曲线22126x y t t+=--为双曲线.得(2)(6)0t t --<解之26t << 由0a >且()(4)0t a t a --<得，4a t a <<设{}|4A t a t a =<<，{}|26B t t =<<，因为q 是p 的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集，故有0246a a a >⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，得322a ≤≤. 【点睛】本题考查利用集合的关系判断命题的充分不必要条件，其中涉及一元二次不等式和对双曲线方程的理解，属于基础题.26．{|3A B x x ⋃=≤-或}4x >，(){}|45U A B x x ⋂=<<【分析】可以求出集合,A B ，然后进行交集、并集和补集的运算即可.【详解】22150x x -++≤，即()()2215530x x x x --=-+≥，解得3x ≤-或5x ≥. 所以{|3A x x =≤-或}5x ≥，{}|35U A x x =-<<.5115146x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以{}|46B x x =<<.所以{|3A B x x ⋃=≤-或}4x >，(){}|45U A B x x ⋂=<<. 【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，属于中档题.。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
高一数学人教A版必修1单元测评四：第一章集合与函数概念含答案试卷分析详解
第一单元 集合与函数概念A 卷本试卷满分：100分；考试时间：90分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.下列元素与集合的关系式中正确的是（ ）A ．π∈QB ．2∈{x ∈R |x ≥3）C ．（1，1）∈⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==2,|),(x y x y y x D ．1+2∉{a +b 2|a ,b ∈N *）2.集合{x ∈R |x 2-x =0）的子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3.设U ={x |x 是小于10的质数），A ={3，5，7），则A =（ ） A ．{2}B ．{1，2}C ．{1}D ．∅4.实数方程0|2|1=-+-y x 的解集是（ ）A ．{1，2}B ．{（x ，y ）|x =1或y =2}C ．{（1，2）}D ．{{z ，y ）}x ≥1，y ∈R ）5.已知集合{x ∈R |ax -1=0}{1，3}，则实数a 的取值是（ ）A ．{1，31} B ．{0，1，31} C ．{1，3}D ．{1，3，0}6.已知集合A ={x ∈R |x =2k -1,k ∈Z }，集合B ={x |x =3n +1，n ∈Z }，则A ∩B 是（ ）A ．{x |x =6k +1，k ∈Z }B ．{x |x =4k +1，k ∈Z }C ．{x |x =4k +1，k ∈Z }D ．{x |x =4k ±1，k ∈Z }7.某班有50人参加选修教材模块I 、∈考试，模块I 、∈及格的人数分别是40人和31人，I 、∈两项都不及格的有4人，两项考试都及格的人数为（ ）A ．35B ．25C ．28D ．158.已知全集U =R ，集合A ={x |x <-2或x >1}，集合B ={x |-1≤x <0），则集合（B ）∈A 等于（ ）A ．{x |x <-2或x >1}B ．{x |x <-2或x ≥1}C ．{x |x <-1或x >1}D ．{x |x <-1或x ≥0}9.已知集合A {0，1，2，3}，且A 中含有元素2，则这样的集合A 共有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个10.设集合A ={y |y =2+x +1}，集合B ={x |x ≤1}，则A ∩ B =（ ）A ．{1}B ．∅C ．{x |-2≤x ≤1}D ．不能确定答案：1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D 9．C 10．A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）11.设全集U ={x |x 是三角形}，集合A ={x |x 是锐角三角形}，则集合A __________.答案：{x |x 是直角三角形或钝角三角形}12.已知集合M ={x |-2<x <2），集合N ={x |x =2n +1，n ∈Z }，那么集合M ∩N __________. 答案：{-1，1}13.集合P ={1，3，5，…，2n -1，…|n ∈N *}，若a ∈P ，b ∈P ，则a ⊕b ∈P ，则运算符号⊕是__________ （指加减乘除四则运算）．答案：乘号14.已知全集U =A ∈B ={x ∈N |0≤x ≤10}，A ∩（B ）={1，3，7，5}，则集合B =__________. 答案：{0，2，4，6，8，9，10}三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）15.设全集U ={（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R ），集合A ={（x ，y ）|x -y =0}，集合B ⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=-54,12|),(y x y x y x ．化简集合B ，并求出集合A 与集合B 的关系．答案：B ={(1，1)}A16.已知集合A ={x |3≤x <7}，B ={x |x -6|<4}．（1）完成下列表格： （A ∈ B ） （A ∩ B ） （A ） ∩（B ） A ∈（B ）（2）在上表中有某两个结果是相同的，在其他情况下这两个结果也恒等吗?答案：（1）∈B =（x +2<x <10），∈A ∈B ：{x |2<x <10}，∈（A ∈B ）={x |x ≤2或x ≥10}；∈A ∩B ={x |3≤x <7}，∈（A ∩B ）={x |x <3或x ≥7）；∈B ={x |x ≤2或x ≥10}，∈A ∈（B ）={x |x ≤2或3≤x <7或x ≥10}；（A ）∩（B ）={x |x ≤2或x ≥10）（2）（A ∈B ）=（A ）∩（B ），在任何条件下都相等17.设集合A ＝{k |x =2k ,k ∈Z ，100<x <999}，集合B ={k |x =3k ，k ∈Z ，100<x <999}，集合C ={k |x =6k ，k ∈Z ，100<x <999}．若集合M 的元素个数记为card （M ），试求：card （A ）、card （B ）、card（C ）及card （A ∈B ）的值．答案：card （A ）=449，card （B ）=299，card （C ）=card （A ∩B ）=150，card （A ∈B ）=59818.（1）用列举法表示下列给定的集合：①大于1且小于6的整数；②B ={x ∈Z |-π<2x -1≤3}．（2）用适当的方法表示下列集合并化简：①二元二次方程组⎩⎨⎧=-=2,x y x y 的解集；②一元一次不等式组⎩⎨⎧<≤<<-173,3x x π的整数解．答案：（1）①{2，3，4，5}；②{-1，0，1，2}（2）①{（0，0），（-1，1）}；②{3}19.设S 为满足下列两个条件的元素构成的集合：①1∉S ；②若a ∈S ，则a -11∈S ．试解答： （1）若a ∈S ，则1-a1∈S ； （2）若2∈S ，则在S 中必含有其他两个元素，并求出这两个元素；（3）集合S 能否成为单元集（只含有一个元素）?答案：（1）∈a ∈S ,∈a -11∈S ,∈S aS a a S a ∈-⇒∈--⇒∈--1111111 （2）∈2∈S ，∈S ∈-=-1211，∈1-21=21∈S ，即这两个元素为－1和21 （3）不能为单元集．假设S 为单元集，则a =a -11⇒a 2–a +1=0，这个方程没有实数解。
福建省厦门华兴实验学校高中数学第一章集合练习题无答案新人教A版必修1
福建省厦门华兴实验学校高中数学《第一章 集合》练习题（无答案）新课标人教A 版必修1一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CB CB ．()()A B A CC ．()()A B B CD ．()A B C4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个二、填空题1．用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） 2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C AB =，则C 的非空子集的个数为 。
3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则 A B =_____________．4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 。
2021年人教A版(2019)选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元测试卷高中数学答案加解析
2021年人教A 版（2019）选择性必修第一册数学第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（1）一、选择题1. 已知向量a →=(1,−2,2)，b →=(1,1,6)，则|a →−b →|=( ) A.25 B.17 C.√17 D.52. 已知向量a →=(λ, 6, 2)，b →=(−1, 3, 1)，满足a → // b →，则实数λ的值是( ) A.2 B.6 C.−2 D.−63. 在空间直角坐标系O −xyz 中，点A (−1,0,3)关于坐标原点的对称点为B ，则|AB|=( ) A.2 B.√10 C.2√10 D.104. 如图所示，在空间四边形OABC 中， OA →=a →，OB →=b →，OC →=C →，点N 在AB 上，且AN →=2NB →，M 为OC 中点，则MN →=( )A.12a →−23b →−12c →B.−23a →+12b →+12c →C.13a →+12b →−12c →D.13a →+23b →−12c →5. 设P (1,−2,5)是空间直角坐标系中的一点，则点P 关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为( ) A.(1,2,−5) B.(−1,−2,5) C.(−1,−2,−5) D.(1,−2,−5)6. 已知平面α内有一点A (2,−1,2)，平面α 的一个法向量为n →=(12,16,13)，则下列四个点中在平面α内的是( ) A.P 1(1,−1,1) B.P 2(1,3,32)C.P 3(1,−3,32)D.P 4(−1,3,−32)7. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 在AC 上，且AM =12MC ，N 在A 1D 上，且A 1N =2ND ，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则MN →=( )A.−13a →+13b →+13c →B.a →+13b →−13c →C.13a →−13b →−23c →D.−13a →+b →+13c →8. 空间直角坐标系中A(1, 2, 3)，B(−1, 0, 5)，C(3, 0, 4)，D(4, 1, 3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定9. 已知A (0,0,2)，B (1,0,2)，C (0,2,0)，则点A 到直线BC 的距离为（ ） A.2√23B.1C.√2D.2√210. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段B 1C 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )A.[√63，1] B.[√23，1] C.[√23，2√23] D.[√63，2√23]11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=AD，点E是PC 的中点，则PD与BE所成角的余弦值是()A.√33B.√36C.√63D.√6612. 如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90∘，D是A1B1的中点，F是棱BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为( )A.√510B.√1010C.12D.√105二、填空题13. 已知直线l的一个法向量是n→=(√3,−1)，则l的倾斜角的大小是________．14. 已知平面α的法向量为(2, −4, −2)，平面β的法向量为(k, 2, 1)，若α // β，则实数k的值为________.15. 给出下列命题：①直线l 的方向向量为a →=(1, −1, 2)，直线m 的方向向量b →=(2, 1, −12)，则l 与m 垂直； ②直线l 的方向向量a →=(0, 1, −1)，平面α的法向量n →=(1, −1, −1)，则l ⊥α； ③平面α，β的法向量分别为n 1→=(0, 1, 3)，n 2→=(1, 0, 2)，则α // β；④平面α经过三点A(1, 0, −1)，B(0, 1, 0)，C(−1, 2, 0)，向量n →=(1, u, t)是平面α的法向量，则u +t =1．其中真命题的是________.（把你认为正确命题的序号都填上）16. 如图所示的一块长方体木料中，已知AB =BC =2，AA 1=1，设F 为线段AD 上一点，则该长方体中经过点A 1，F ，C 的截面面积的最小值为________．三、解答题17. 已知向量b →=(−2,1,1)，点A(−3,−1,4)，B(−2,−2,2)，点E 在直线AB 上，使得OE →⊥b →，则点E 的坐标为多少.18. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为2，E 为正方体的棱AA 1的中点，F 为棱AB 上的一点，若∠C 1EF =90∘，则点F 的坐标是多少.19.如图，正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AD =1，D 1D =λ(λ>0)，若棱C 1C 上存在唯一的一点P 满足A 1P ⊥PB ，求实数λ的值．20.在如图所示的几何体中，△FCB是等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，AB，平面FCB⊥平面ABCD.CB=CD=12(1)求证：AC⊥平面FCB；(2)求二面角F−BD−C的余弦值.21. 在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD // BC，∠BAD=90∘，AB=√3，BC=1，AD=AA1=3．(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．22. 如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为AD的中点，O为BE中点.将△ABE沿BE折起到A′BE，使得平面A′BE⊥平面BCDE（如图2）.(1)求证：A′O⊥CD；(2)求直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值；(3)在线段A′C上是否存在点P，使得OP//平面A′DE？若存在，求出A′P的值；若不存在，A′C请说明理由.参考答案与试题解析2021年人教A 版（2019）选择性必修第一册数学第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（1）一、选择题 1.【答案】 D【考点】空间向量运算的坐标表示 向量的模向量的减法及其几何意义 【解析】先求出a →−b →=(0,−3,−4)，再利用模长公式求解即可. 【解答】解：∵ a →=(1,−2,2)，b →=(1,1,6)， ∴ a →−b →=(0,−3,−4)，∴ |a →−b →|=√02+(−3)2+(−4)2=5. 故选D . 2.【答案】 C【考点】共线向量与共面向量 【解析】利用向量平行的性质直接求解． 【解答】解：∵ 向量a →=(λ, 6, 2)，b →=(−1, 3, 1)，满足a → // b →， ∴ λ−1=63=21，解得λ=−2， ∴ 实数λ的值是−2. 故选C . 3.【答案】 C【考点】空间中的点的坐标 空间两点间的距离公式求出B 点的坐标，再根据空间中两点间的距离公式即可得解. 【解答】解：设B (a,b,c )， 由中点坐标公式可得：a−12=0，b+02=0，c+32=0，解得a =1，b =0，c =−3， 所以B (1,0,−3)，所以点|AB |=√(−1−1)2+(0−0)2+(3+3)2=2√10. 故选C ． 4. 【答案】 D【考点】空间向量的加减法 【解析】利用向量的加法，MN →=MO →+OB →+BN →，利用中点公式代入． 【解答】解：MN → =MO → +OB → +BN →，MO → =−12OC →，BN → = 13BA → = 13(OA → −OB →)， 所以MN →=−12OC → + 23OB → + 13OA →=−12c →+23b →+13a →. 故选D . 5. 【答案】 B【考点】空间直角坐标系 【解析】根据空间点的对称性分别进行判断即可． 【解答】解：因为点P(a, b, c)与点P ′关于坐标平面yOz 对称，则y ，z 不变，x 相反， 所以对称点P ′(−a, b, c)，所以P (1,−2,5)关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为(−1,−2,5). 故选B . 6.【答案】 B【考点】 平面的法向量向量的减法及其几何意义若点P 在平面α内，则P 2A →⋅n →=0，经过验证即可判断出结论． 【解答】解：由题意得P 1A →=(1,0,1)，P 1A →⋅n →=56≠0，排除选项A ． 同理，可排除选项C ，D ． 因为P 2A →=(1,−4,12)，所以P 2A →⋅n →=0． 故选B ． 7.【答案】 A【考点】空间向量的基本定理及其意义 向量的加法及其几何意义 【解析】充分利用向量加法、减法的平行四边形、三角形法则以及数乘运算，将MN →表示出来，易知MN →=MA →+AA 1→+A 1N →，然后将三个向量分别用基底表示出来代入即可． 【解答】解：因为M 在AC 上，且AM =12MC ，N 在A 1D 上，且A 1N =2ND ， 所以AM →=13AC →，A 1N →=23A 1D →． 又由已知平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1， 且AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →得： AC →=a →+b →，A 1D →=b →−c →，所以MN →=MA →+AN →=−AM →+AA 1→+A 1N →=−13(a →+b →)+c →+23(b →−c →)． 化简得MN →=−13a →+13b →+13c →．故选A ． 8. 【答案】 A【考点】共线向量与共面向量 【解析】由已知得AB →=(−2, −2, 2)，CD →=(1, 1, −1)，AB →=−2CD →，从而得到直线AB 与CD 平行． 【解答】解：在空间直角坐标系中，A(1, 2, 3)，B(−1, 0, 5)，C(3, 0, 4)，D(4, 1, 3)， ∴ AB →=(−2, −2, 2)，CD →=(1, 1, −1)， ∴ AB →=−2CD →， ∴ 直线AB 与CD 平行． 故选A ． 9. 【答案】 A【考点】空间向量的夹角与距离求解公式 【解析】求出|AB →|=(1,0,0)， |BC →|=(−1,2,−2)，根据空间向量的夹角与距离公式即可求解点A 到直线BC 的距离. 【解答】解：∵ A (0,0,2) ，B (1,0,2) ，C (0,2,0), ∴ AB →=(1,0,0)， BC →=(−1,2,−2)， ∴ 点A 到直线BC 的距离为： d =|AB →|√1−(cos <AB →，BC →>)2 =|AB →|√1−(AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|)2=1×√1−(−11×3)2=2√23. 故选A . 10.【答案】 C【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sin α的取值范围． 【解答】解：设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(2, 0, 2)，B(2, 2, 0)，D(0, 0, 0)，O(1, 1, 0)，P(a, 2, 2)，0≤a ≤2，DA 1→=(2, 0, 2)，DB →=(2, 2, 0)，OP →=(a −1, 1, 2)，设平面A 1BD 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅BD →=2x +2y =0，n →⋅DA 1→=2x +2z =0，取x =1，得n →=(1, −1, −1)，∴ sin α=|cos <OP →,n →>|=|OP →⋅n →|OP →|⋅|n →|| =√(a−1)2+5⋅√3=√33⋅√(a−1)2+5， ∵ 0≤a ≤2，∴ a =2时，sin α取最小值 (sin α)min =√33√(2−1)2+5=√23， a =0时，sin α取最大值 (sin α)max =√33×√(0−1)2+5=2√23． ∴ sin α的取值范围是[√23,2√23]． 故选C ．11. 【答案】D【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】解：建立空间直角坐标系如图所示，设PD =CD =AD =2，则E(0, 1, 1)，B(2, 2, 0)，P(0, 0, 2)，D(0, 0, 0)，∴ PD →=(0, 0, −2)，BE →=(−2, −1, 1)，设PD 与BE 的夹角为θ，则cos θ=|PD →⋅BE →||PD →|⋅|BE →| =22√6 =√66. 故选D .12.【答案】C【考点】点、线、面间的距离计算向量语言表述线面的垂直、平行关系【解析】以C 1为原点，C 1A 1为x 轴，C 1B 1为y 轴，C 1C 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1F 的长．【解答】解：以C 1为原点，C 1A 1为x 轴，C 1B 1为y 轴，C 1C 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意A 1(1, 0, 0)，B 1(0, 1, 0)，D(12,12, 0)，C 1(0, 0, 0)，A(1, 0, 2)，设F(0, 1, t)，0≤t ≤2，C 1D →=(12,12, 0)，AB 1→=(−1, 1, −2)，C 1F →=(0, 1, t)，因为AB 1⊥平面C 1DF ，{AB 1→⋅C 1D →=0，AB 1→⋅C 1F →=0，所以1−2t =0，解得t =12，所以B 1F →=(0,0,12)，所以线段B 1F 的长为12．故选C .二、填空题13.【答案】π3【考点】直线的方向向量直线的倾斜角【解析】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0, π)．设直线的方向向量为u →=(x, y)，则u →∗n →=0，可得tan θ=y x ．【解答】解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0, π)．设直线的方向向量为u →=(x, y)，则u →⋅n →=√3x −y =0，∴ tan θ=y x =√3， 解得θ=π3．故答案为：π3.14.【答案】−1【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】设平面α的法向量为a →，平面β的法向量为b →．由于α // β，可得a → // b →，因此∃实数λ使得a →=λb →．再利用向量共线定理的坐标运算即可得出．【解答】解：∵ 平面α的法向量为(2, −4, −2)，平面β的法向量为(k, 2, 1)，且α // β， ∴ a → // b →，∴ 存在实数λ使得a →=λb →．∴ {2=kλ，−4=2λ，−2=λ，解得k =−1．故答案为：−1.15.【答案】①④【考点】平面的法向量共线向量与共面向量数量积判断两个平面向量的垂直关系用向量证明平行【解析】①根据直线l 、m 的方向向量a →与b →垂直，得出l ⊥m ；②根据直线l 的方向向量a →与平面α的法向量n →垂直，不能判断l ⊥α；③根据平面α、β的法向量n 1→与n 2→不共线，不能得出α // β；④求出向量AB →与BC →的坐标表示，再利用平面α的法向量n →，列出方程组求出u +t 的值．【解答】解：①，∵ a →=(1, −1, 2)，b →=(2, 1, −12)，∴ a →⋅b →=1×2−1×1+2×(−12)=0，∴ a →⊥b →，∴ 直线l 与m 垂直，故①正确；②，a →=(0, 1, −1)，平面法向量为n →=(1, −1, −1)，∴ a →⋅n →=0×1+1×(−1)+(−1)×(−1)=0，∴ a →⊥n →，∴ l // α或l ⊂α，故②错误；③，∵ n 1→=(0, 1, 3)，n 2→=(1, 0, 2)，∴ n 1→与n 2→不共线，∴ α // β不成立，故③错误；④，∵ 点A(1, 0, −1)，B(0, 1, 0)，C(−1, 2, 0)，∴ AB →=(−1, 1, 1)，BC →=(−1, 1, 0)，向量n →=(1, u, t)是平面α的法向量，∴ {n →⋅AB →=0,n →⋅BC →=0,即{−1+u +t =0,−1+u =0,∴ u +t =1，故④正确．综上，以上真命题的序号是①④.故答案为：①④.16.【答案】6√55【考点】空间向量的数乘运算空间直角坐标系棱柱的结构特征【解析】根据题意，建立建立空间直角坐标系O −xyz ，用坐标表示向量， 通过向量计算截面面积，求出截面面积的最小值．【解答】解：如图所示，以DA 为x 轴，AB 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，设截面与交B 1C 1点K ，F(−2λ, 0, 0)，则FC →=(−2+2λ, 2, 0)，FA 1→=(2λ, 0, 1)；∴ S =|FC →|⋅|FA 1→|sin θ，S 2=|FC →|2⋅|FA 1→|2−(FC →⋅FA 1→)2=[(−2+2λ)2+4](4λ2+1)−[(−2+2λ)⋅2λ]2=20λ2−8λ+8=20(λ−15)2+365， 当λ=15时，S 2取最小值365，∴ S 的最小值为6√55． 故答案为：6√55． 三、解答题17.【答案】解：AB →=OB →−OA →=(1,−1,−2)，∵ 点E 在直线AB 上，∴ OE →=OA →+λAB →=(−3,−1,4)+λ(1,−1,−2)=(−3+λ,−1−λ,4−2λ)， ∴ OE →⋅b →=−2(−3+λ)+(−1−λ)+(4−2λ)=0,解得λ=95,∴ OE →=(−65,−145,25)， ∴ E 点坐标为(−65,−145,25). 【考点】空间向量运算的坐标表示共线向量与共面向量【解析】此题暂无解析【解答】解：AB →=OB →−OA →=(1,−1,−2)，∵ 点E 在直线AB 上，∴ OE →=OA →+λAB →=(−3,−1,4)+λ(1,−1,−2)=(−3+λ,−1−λ,4−2λ)， ∴ OE →⋅b →=−2(−3+λ)+(−1−λ)+(4−2λ)=0,解得λ=95,∴ OE →=(−65,−145,25)， ∴ E 点坐标为(−65,−145,25).18.【答案】解：由正方体的性质可得E(2,0,1)，C 1(0,2,2)，设F(2,y,0)，则EC 1→=(−2,2,1)，EF →=(0,y,−1)．因为∠C 1EF =90∘，所以EC 1→⋅EF →=2y −1=0，解得y =12， 则点F 的坐标为(2,12,0)． 【考点】空间向量的数量积运算空间中的点的坐标【解析】此题暂无解析【解答】解：由正方体的性质可得E(2,0,1)，C 1(0,2,2)，设F(2,y,0)，则EC 1→=(−2,2,1)，EF →=(0,y,−1)．因为∠C 1EF =90∘，所以EC 1→⋅EF →=2y −1=0，解得y =12， 则点F 的坐标为(2,12,0)．19.【答案】解：如图，以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，A 1(1, 0, λ)，设P(0, 1, x)，其中x ∈[0, λ]，因为A 1P ⊥PB ，所以A 1P →⋅BP →=0，即(−1, 1, x −λ)⋅(−1, 0, x)=0，化简得x 2−λx +1=0，x ∈[0, λ]，由点P(0, 1, x)的唯一性知方程x 2−λx +1=0只有唯一解，所以，判别式Δ=λ2−4=0，且λ>0，解得λ=2．【考点】空间向量的数量积运算【解析】以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出实数λ的值．【解答】解：如图，以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，A 1(1, 0, λ)，设P(0, 1, x)，其中x ∈[0, λ]，因为A 1P ⊥PB ，所以A 1P →⋅BP →=0，即(−1, 1, x −λ)⋅(−1, 0, x)=0，化简得x 2−λx +1=0，x ∈[0, λ]，由点P(0, 1, x)的唯一性知方程x 2−λx +1=0只有唯一解，所以，判别式Δ=λ2−4=0，且λ>0，解得λ=2．20.【答案】证明：(1)在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ,设BC 长为1， 则AB =2,BE =12,CE =√32,AC =√3，可得BC 2+AC 2=AB 2，即∠ACB =90∘，所以AC ⊥BC .因为面FCB 与面ABCD 交线为BC ，又AC ⊂面ABCD ,所以AC ⊥面FCB .（2）解：过点C 作CM ⊥平面BCD ，以点C 为原点，CA,CB,CM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0),B(0,1,0),D (√32,−12,0),F (0,12,√32)， 所以BD →=(√32,−32,0),BF→=(0,−12,√32)， 设平面BDF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅BD →=0m →⋅BF →=0即{√32x −32y =0−12y +√32z =0，取z =1，则y =√3,x =3，得m →=(3,√3,1)，取平面BCD 的法向量为n →=(0,0,1) ，所以cos <m →,n →>=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=1√9+3+1=√1313由图形知该二面角的平面角为锐角，所以二面角F −BD −C 的余弦值为√1313.【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ,设BC 长为1， 则AB =2,BE =12,CE =√32,AC =√3，可得BC 2+AC 2=AB 2，即∠ACB =90∘，所以AC ⊥BC .因为面FCB 与面ABCD 交线为BC ，又AC ⊂面ABCD ,所以AC ⊥面FCB .（2）解：过点C 作CM ⊥平面BCD ，以点C 为原点，CA,CB,CM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0),B(0,1,0),D (√32,−12,0),F (0,12,√32)， 所以BD →=(√32,−32,0),BF→=(0,−12,√32)， 设平面BDF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅BD →=0m →⋅BF →=0即{√32x −32y =0−12y +√32z =0，取z =1，则y =√3,x =3，得m →=(3,√3,1)，取平面BCD 的法向量为n →=(0,0,1) ，所以cos <m →,n →>=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=1√9+3+1=√1313由图形知该二面角的平面角为锐角，所以二面角F −BD −C 的余弦值为√1313. 21.【答案】(1)证明：以AB →，AD →，AA 1→方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，C(√3,1,0)，B 1(√3,0,3),D(0,3,0)，C 1(√3,1,3)，D 1(0,3,3)，∴ AC →=(√3,1,0)，B 1D →=(−√3,3,−3)，∴ AC →⋅B 1D →=0，∴ AC ⊥B 1D .(2)解：设平面ACD 1的一个法向量为m →=(x,y,z)，AC →=(√3,1,0)，AD 1→=(0,3,3)，则{√3x +y =03y +3z =0， ∴ m →=(1,−√3,√3)设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，∵ B 1C 1→=(0,1,0)，∴ sin θ=|B 1C 1→⋅m →||B 1C 1→||m →|=√217， ∴ 直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217. 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角向量语言表述线线的垂直、平行关系两条直线垂直的判定【解析】(Ⅰ)以AB →,AD →,AA 1→方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标；通过计算AC →⋅B 1D →=0，证明AC ⊥B 1D ．(Ⅱ)求出平面ACD 1的法向量，设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，求出B 1C 1→=(0,1,0)，利用向量的数量积求解直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．【解答】(1)证明：以AB →，AD →，AA 1→方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，C(√3,1,0)，B 1(√3,0,3),D(0,3,0)，C 1(√3,1,3)，D 1(0,3,3)，∴ AC →=(√3,1,0)，B 1D →=(−√3,3,−3)，∴ AC →⋅B 1D →=0，∴ AC ⊥B 1D .(2)解：设平面ACD 1的一个法向量为m →=(x,y,z)，AC →=(√3,1,0)，AD 1→=(0,3,3)，则{√3x +y =03y +3z =0， ∴ m →=(1,−√3,√3)设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，∵ B 1C 1→=(0,1,0)，∴ sin θ=|B 1C 1→⋅m →||B 1C 1→||m →|=√217， ∴ 直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217. 22.【答案】(1)证明：由已知AB =AE =2，因为O 为BE 中点，所以A ′O ⊥BE .因为平面A ′BE ⊥平面BCDE ，且平面A ′BE ∩平面BCDE =BE ，A ′O ⊂平面A ′BE ，所以A ′O ⊥平面BCDE .又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A ′O ⊥CD .(2)解：设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点，由已知易得OF ⊥OG .由(1)可知，A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′O ⊥OF ，A ′O ⊥OG .以O 为原点，OF ，OG ，OA ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图）.因为A ′B =2，BC =4， 所以A ′(0,0,√2)，B(1,−1,0)，C(1,3,0)，D(−1,3,0)，E(−1,1,0). 设平面A ′DE 的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，因为A ′D→=(−1,3,−√2)，DE →=(0,−2,0), 所以{m →⋅A ′D →=0，m →⋅DE →=0，即{−x 1+3y 1−√2z 1=0，−2y 1=0， 取z 1=−1，得m =(√2,0,−1)，而A ′C →=(1,3,−√2)，所以直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正弦值sin θ=|2√22√3⋅√3|=√23. (3)解：在线段A ′C 上存在点P ，使得OP//平面A ′DE .设P (x 0,y 0,z 0)，且A ′PA ′C =λ(0≤λ≤1)，则A ′P →=λA ′C →，λ∈[0,1].因为A ′(0,0,√2)，C(1,3,0)，所以(x 0,y 0,z 0−√2)=(λ,3λ,−√2λ)，所以x 0=λ，y 0=3λ，z 0=√2−√2λ，所以P(λ,3λ,√2−√2λ)，OP →=(λ,3λ,√2−√2λ)，若OP//平面A ′DE ，则OP →⊥m →，即OP →⋅m →=0.由(2)可知，平面A ′DE 的一个法向量m →=(√2,0,−1)，即√2λ−√2+√2λ=0，解得λ=12∈[0,1]，所以当A ′P A ′C =12时，OP//平面A ′DE .【考点】用空间向量求直线与平面的夹角用向量证明平行直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由已知AB =AE =2，因为O 为BE 中点，所以A ′O ⊥BE .因为平面A ′BE ⊥平面BCDE ，且平面A ′BE ∩平面BCDE =BE ，A ′O ⊂平面A ′BE ，所以A ′O ⊥平面BCDE .又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A ′O ⊥CD .(2)解：设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点，由已知易得OF ⊥OG .由(1)可知，A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′O ⊥OF ，A ′O ⊥OG .以O 为原点，OF ，OG ，OA ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图）.因为A ′B =2，BC =4， 所以A ′(0,0,√2)，B(1,−1,0)，C(1,3,0)，D(−1,3,0)，E(−1,1,0).设平面A ′DE 的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，因为A ′D →=(−1,3,−√2)，DE →=(0,−2,0),所以{m →⋅A ′D →=0，m →⋅DE →=0，即{−x 1+3y 1−√2z 1=0，−2y 1=0， 取z 1=−1，得m =(√2,0,−1)，而A ′C →=(1,3,−√2)，所以直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正弦值sin θ=|2√22√3⋅√3|=√23.(3)解：在线段A ′C 上存在点P ，使得OP//平面A ′DE . 设P (x 0,y 0,z 0)，且A ′P A ′C =λ(0≤λ≤1)， 则A ′P →=λA ′C →，λ∈[0,1].因为A ′(0,0,√2)，C(1,3,0)，所以(x 0,y 0,z 0−√2)=(λ,3λ,−√2λ)，所以x 0=λ，y 0=3λ，z 0=√2−√2λ， 所以P(λ,3λ,√2−√2λ)，OP →=(λ,3λ,√2−√2λ)， 若OP//平面A ′DE ，则OP →⊥m →，即OP →⋅m →=0.由(2)可知，平面A ′DE 的一个法向量m →=(√2,0,−1)， 即√2λ−√2+√2λ=0，解得λ=12∈[0,1]， 所以当A ′P A ′C =12时，OP//平面A ′DE .。
高中数学 1.2.1函数的概念同步测试 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
第一章1.21.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2xC ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 [答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考某某卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x[答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·某某高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值X 围是________．[答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a ⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的X 围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的X 围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．。
2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语单元测试卷一课一练含解析第一册
新20版练B1数学人教A版第一章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1。
集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是(）。
A.{0,1，2，3，4} B。
{1，2，3,4｝C。
｛0，1,2，3,4,5} D。
｛1,2,3，4,5}答案:A解析:小于5的自然数有0,1，2，3,4。
2。
若集合M={x|-2≤x〈2｝,N={0,1,2}，则M∩N=()。
A。
{0｝ B.{1｝C.{0,1，2｝D。
{0，1}答案：D解析：∵M={x｜—2≤x〈2｝，N=｛0，1,2},∴M∩N=｛0,1}，故选D。
3。
集合｛2a，a2—a}中a的取值范围是（)。
A.｛a∈R|a≠0或a≠3} B。
{a∈R|a≠0}C。
{a∈R｜a≠0且a≠3} D.｛a∈R｜a≠3}答案：C解析：根据元素的互异性知a2-a≠2a，解得a≠0且a≠3。
4。
如图1—4，已知全集U=R，集合A=｛x∈N|x〈6｝,B=｛x∈R|x〉3｝，图中阴影部分所表示的集合为（)。
图1-4A。
{0，1，2,3} B。
{0，1,2｝C。
{4,5} D.{3,4，5｝答案：A解析：由题图可知阴影部分所表示的集合为A∩（∁U B)=｛0，1,2，3}。
5。
(2018·湖南衡阳八中高三月考）设集合A={0，1,2，3｝,B=｛x|—x ∈A,1—x∉A}，则集合B中元素的个数为()。
A.1 B。
2 C.3 D.4答案：A解析：若x∈B,则—x∈A,故x只可能是0,—1，—2,-3。
当0∈B 时,1—0=1∈A;当-1∈B时，1—（-1)=2∈A;当-2∈B时，1—（-2）=3∈A；当-3∈B时,1—（—3）=4∉A,所以B=｛-3｝。
故集合B中元素的个数为1,选A.6.(全国Ⅰ高考）已知集合A=｛x|x=3n+2，n∈N｝,B={6,8，10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为(）。
新版高中数学第一册第一章单元测试卷---集合与常用逻辑用语(含答案)
新版高中数学第一册第一章单元测试卷--集合与常用逻辑用语一．选择题（共9小题）1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，2}2．集合P＝{﹣1，0，1}，Q＝{y|y＝cos x，x∈R}，则P∩Q＝（）A．P B．Q C．{﹣1，1}D．[0，1]3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤24．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是（）A．1B．3C．4D．85．设全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，则∁R（A∪B）等于（）A．{x|0≤0＜1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤﹣1}D．{x|x＞﹣1}6．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．7．已知P＝{|＝（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q＝{|＝（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝（）A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}8．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A ∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n9．定义A⊗B＝{z|z＝xy+，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A．3B．9C．18D．27二．填空题（共5小题）10．若集合A＝{x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有个元素．11．设集合A＝{5，log2（a+3）}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝．12．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝．13．设全集I＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{2，|a+1|}，∁I A＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是．14．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝．三．解答题（共6小题）15．一个无重复数字的五位数，如果满足万位和百位上的数字都比千位上的数字小，百位和个位上的数字都比十位上的数字小，则这个五位数称为“倒W型数”，问：一共有多少个倒W 型数？16．已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）＝﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）＝x2﹣4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y＝f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．17．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁U B）＝{1，3，5，7}，求集合B．18．已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，分别求适合下列条件的a的值．（1）9∈（A∩B）；（2）{9}＝A∩B．19．对于集合M、N，定义M⊖N＝{x|x∈M且x∉N}，M⨁N＝（M⊖N）∪（N⊖M），设A＝{y|4y+9≥0}，B＝{y|y＝﹣x+1，x＞1}，求A⨁B．20．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a＝3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，2}【解答】解：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N＝{0，2}，故选：D．2．集合P＝{﹣1，0，1}，Q＝{y|y＝cos x，x∈R}，则P∩Q＝（）A．P B．Q C．{﹣1，1}D．[0，1]【解答】解：∵Q＝{y|y＝cos x，x∈R}，∴Q＝{y|﹣1≤y≤1}，又∵P＝{﹣1，0，1}，∴P∩Q＝{﹣1，0，1}．故选：A．3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤2【解答】解：根据题意，A⊆B，而A＝{x|1≤x≤2}，在数轴上表示可得，必有a≤1，故选：B．4．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是（）A．1B．3C．4D．8【解答】解：A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A＝{1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22＝4个．故选：C．5．设全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，则∁R（A∪B）等于（）A．{x|0≤0＜1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤﹣1}D．{x|x＞﹣1}【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣1}，∴∁R（A∪B）＝{x|x≤﹣1}，故选：C．6．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【解答】解：．由N＝{x|x2+x＝0}，得N＝{﹣1，0}．∵M＝{﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选：B．7．已知P＝{|＝（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q＝{|＝（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝（）A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}【解答】解：由已知可求得P＝{（1，m）}，Q＝{（1﹣n，1+n）}，再由交集的含义，有⇒，所以选A．8．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n【解答】解法一：∵（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m﹣n个元素．解法二：∵（∁U A）∪（∁U B）＝∁U（A∩B）有n个元素，又∵全集U＝A∪B中有m个元素，由card（A）+card（∁U A）＝card（U）得，card（A∩B）+card（∁U（A∩B））＝card（U）得，card（A∩B）＝m﹣n，故选：D．9．定义A⊗B＝{z|z＝xy+，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}．则集合（A⊗B）⊗C 的所有元素之和为（）A．3B．9C．18D．27【解答】解：由题意可求（A⊗B）中所含的元素有0，4，5，则（A⊗B）⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．故选：C．二．填空题（共5小题）10．若集合A＝{x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有6个元素．【解答】解：由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A＝（﹣1，6），因此A∩Z＝{0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．故答案是611．设集合A＝{5，log2（a+3）}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝{1，2，5}．【解答】解：∵A∩B＝{2}，∴log2（a+3）＝2．∴a＝1．∴b＝2．∴A＝{5，2}，B＝{1，2}．∴A∪B＝{1，2，5}，故答案为{1，2，5}．12．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝{﹣1，1}．【解答】解：根据题意，A＝{x|y＝，x∈Z}，∴有1﹣x2≥0，且x∈Z，解得x＝﹣1，0或﹣1，故A＝{﹣1，0，1}，由B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，解得y＝﹣3，﹣1，1故B＝{﹣3，﹣1，1}，于是A∩B＝{﹣1，1}．故答案为{﹣1，1}13．设全集I＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{2，|a+1|}，∁I A＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是∅、{1}、{2}、{1，2}．【解答】解：∵A∪（∁I A）＝I，∴{2，3，a2+2a﹣3}＝{2，5，|a+1|}，∴|a+1|＝3，且a2+2a﹣3＝5，解得a＝﹣4或a＝2．∴M＝{log22，log2|﹣4|}＝{1，2}．故答案为：∅、{1}、{2}、{1，2}14．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝0或．【解答】解：由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性，所以有或，解得或，故a＝0或．答案：0或三．解答题（共6小题）15．一个无重复数字的五位数，如果满足万位和百位上的数字都比千位上的数字小，百位和个位上的数字都比十位上的数字小，则这个五位数称为“倒W型数”，问：一共有多少个倒W型数？【解答】解：若5个数字不含0，则共有种不同选择，不妨假设组成5位数的数字为1，2，3，4，5，①若千位为3，百、万位排1，2，则十位为5，则有2个；②若千位为4，百、万位排3，2 或3，1或1，2，则十位即为1，2，3，则有2+2+2＝6个；③若千位为5，百、万位不排4，3，排2，4，则十位排3，有1个；百、万位排4，1，则十位排3，有1个；百、万位排3，2，或3，1或1，2，则十位排4，则有2+2+2＝6个；“倒W型数”有：2+6+1+1+6＝16个．故不含0的“倒W型数”有：16×＝2016个，若5个数字含0，则共有种不同选择，不妨假设组成5位数的数字为0，2，3，4，5，①若千位为3，百、万位排0，2，则十位为5，则有1个；②若千位为4，百、万位排3，2 或0，3或0，2，则十位即为0，2，3，则有2+1+1＝4个；③若千位为5，百、万位不排4，3，排2，4，则十位排3，有1个；百、万位排4，0，则十位排3，有1个；百、万位排3，2，或0，3或0，2，则十位排4，则有2+1+1＝4个；“倒W型数”有：2+4+1+1+4＝12个．故不含0的“倒W型数”有：12×＝1512个，综上共有2016+1512＝3528个倒W型数16．已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）＝﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）＝x2﹣4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y＝f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣x2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，整理得：（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1，∵x≥3，∴a＜＝＝x﹣1﹣，令x﹣1＝t，则t∈[2，+∞），g（t）＝t﹣在[2，+∞）上单调递增，∴g（t）min＝g（2）＝1，∴a＜1．（2）∵x∈[0，1）时，f（x）＝2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m•2x﹣1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝…＝m n f（x﹣n）＝m n•2x﹣n，即x∈[n，n+1）时，f（x）＝m n•2x﹣n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m＞0且m n•2n﹣n≥m n﹣1•2n﹣（n﹣1），即m≥2．（3）问题（Ⅰ）∵当x∈[0，4]时，y∈[﹣4，0]，且有f（x+4）＝mf（x），∴当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，f（x）＝mf（x﹣4）＝…＝m n f（x﹣4n）＝m n[（x﹣4n）2﹣4（x﹣4n）]，当0＜m≤1时，f（x）∈[﹣4，0]；当﹣1＜m＜0时，f（x）∈[﹣4，﹣4m]；当m＝﹣1时，f（x）∈[﹣4，4]；当m＞1时，f（x）∈（﹣∞，0]；当m＜﹣1时，f（x）∈（﹣∞，+∞）；综上可知：﹣1≤m＜0或0＜m≤1．问题（Ⅱ）：由已知，有f（x+T）＝Tf（x）对一切实数x恒成立，即cos k（x+T）＝T cos kx对一切实数恒成立，当k＝0时，T＝1；当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是cos kx∈[﹣1，1]，又∵cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，故要使cos k（x+T）＝T cos kx恒成立，只有T＝±1，当T＝1时，cos（kx+k）＝cos kx得到k＝2nπ，n∈Z且n≠0；当T＝﹣1时，cos（kx﹣k）＝﹣cos kx得到﹣k＝2nπ+π，即k＝（2n+1）π，n∈Z；综上可知：当T＝1时，k＝2nπ，n∈Z；当T＝﹣1时，k＝（2n+1）π，n∈Z．17．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁U B）＝{1，3，5，7}，求集合B．【解答】解：U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，{1，3，5，7}⊆A，而B中不包含{1，3，5，7}，用Venn图表示如图∴B＝{0，2，4，6，8，9，10}．18．已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，分别求适合下列条件的a的值．（1）9∈（A∩B）；（2）{9}＝A∩B．【解答】解：（1）∵9∈（A∩B），∴9∈B且9∈A，∴2a﹣1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3．检验知：a＝5或a＝﹣3．（2）∵{9}＝A∩B，∴9∈（A∩B），∴a＝5或a＝﹣3．当a＝5时，A＝{﹣4，9，25}，B＝{0，﹣4，9}，此时A∩B＝{﹣4，9}与A∩B＝{9}矛盾，所以a＝﹣3．19．对于集合M、N，定义M⊖N＝{x|x∈M且x∉N}，M⨁N＝（M⊖N）∪（N⊖M），设A＝{y|4y+9≥0}，B＝{y|y＝﹣x+1，x＞1}，求A⨁B．【解答】解：由4y+9≥0，得y≥﹣，∴A＝{y|y≥﹣}．∵y＝﹣x+1，且x＞1，∴y＜0，∴B＝{y|y＜0}，∴A⊖B＝{y|y≥0}，B⊖A＝{y|y＜﹣}，∴A⨁B＝（A⊖B）∪（B⊖A）＝{y|y＜﹣或y≥0}．20．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a＝3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【解答】解：（I）由，得P＝{x|﹣1＜x＜3}．（II）Q＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．由a＞0，得P＝{x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．第1页（共1页）。
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新课标高一（上）数学章节素质测试题——第1章 集合与函数概念 （训练时间120分钟，满分150分） 姓名__________评价__________ 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确） 1.（07宁夏）设集合|1|22AxxBxx，，则AB（ ） Ａ．|2xx Ｂ．1xx| Ｃ．|21xx Ｄ．|12xx 2.（10辽宁）已知A、B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且}3{BA，}9{)(ABCU
，
则A=（ ） A.{1，3} B.{3，7，9} C.{3，5，9} D.{3，9} 3.（08陕西）已知全集{12345}U，，，，，集合2{|320}Axxx，{|2}BxxaaA，，则集合
)(BAC
U
中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. (11江西)已知集合02,3121xxxBxxA，则BA等于( )
A. 01xx B. 10xx C．20xx D．10xx 5.（00全国Ⅰ）设集合NBA，映射nnfn2：，则在映射下，象20的原象是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6.（08全国Ⅰ）函数(1)yxxx的定义域为（ ）
A．|0xx≥ B．|1xx≥ C．|10xx≥ D．|01xx≤≤ 7. (06陕西)函数)(11)(2Rxxxf的值域是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
8. (08山东)设函数f (x)=2211,2,1,xxxxx＞则f 1(2)f的值为（ ） A. 1516 B.1627 C.89 D.18 9. (02全国)函数),0(2xcbxxy是单调函数的充要条件是（ ） A．0b B．0b C．b＞0 D．b＜0 10. (07安徽) )图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A.|1|23xy (0≤x≤2)
B.|1|2323xy (0≤x≤2) C.|1|23xy (0≤x≤2) D.|1|1xy (0≤x≤2) 11.（08江西）定义集合运算:,,ABzzxyxAyB.设1,2A，0,2B，则集合AB 的所有元素之和为 ( ) A．0 B．2 C．3 D．6
12.（09陕西）定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1212,(,0]()xxxx，有
2121()(()())0xxfxfx.则当*nN时，有（ ）
A.()(1)(1)fnfnfn B. (1)()(1)fnfnfn C.(1)()(1)fnfnfn D. (1)(1)()fnfnfn 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
13.（11天津）已知集合2|1|＜xRxA,Z为整数集，则集合ZA中所有元素的和等于_____. 14.（08重庆）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，则)()(CCBAU
= . 15.（11湖南）已知()fx为奇函数，()()9,(2)3,(2)gxfxgf则 ．
16.（07北京）已知函数()fx，()gx分别由下表给出： x 1 2 3 x 1 2 3
)(xf 2 1 1 )(xg 3 2 1
则[(1)]fg的值为 ；当[()]2gfx时，x ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知全集}7{}120{}1420{2ACaAaaUU，，，，，，，. （Ⅰ）求实数a的值； （П）若B｝｛0 A，写出所有满足要求的集合B.
18.（本题满分10分）已知06,042axxBxxA，且B是A的子集. （Ⅰ）求a的取值集合M； （Ⅱ）写出集合M的所有非空真子集.
19.（本题满分12分）已知Rxxxfxf,)1()(2且0x. （Ⅰ）求函数)(xf的解析式； （Ⅱ）求函数)(xf的值域.
20.（本题满分12分）已知二次函数)(xf满足)23()23(,1)1(1)0(xfxfff，. （Ⅰ）求函数)(xf的解析式； （Ⅱ）若方程mxxf)(的两根1x和2x满足1x＜2x＜1，求实数m的取值范围．
21.（本题满分12分）已知函数)(xf对于一切Ryx、，都有)()()(yxfyxfxyf.
（Ⅰ）求证：)(xf在R上是偶函数； （Ⅱ）若)(xf在区间)0,(上是减函数，且有)342()12(22aafaaf，求实数a的取值范围.
22.（本题满分12分）甲、乙 两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60km/h，已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x（km/h）的平方成正比例，比例系数为601，固定部分为60元. （Ⅰ）将全程的运输成本y（元）表示为速度x（km/h）的函数，并指出函数的定义域； （Ⅱ）判断此函数的单调性，并求当速度为多少时，全程的运输成本最小. 新课标高一（上）数学章节素质测试题——第1章 集合与函数概念 （参考答案） 一、选择题答题卡： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案 A D B B C C B A A B D C
二、填空题 13. 3 . 14.}52{，． 15. 6 ；16. 1 ， 1 ． 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）.7,7}7{}120{}1420{2AUACaAaaUU，，，，，，，，……2分
.41712a
aa
即
.32,3a
aa或.3a………………………………………………4分
故实数a的值为3.……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知}4,2,0{A.……………………………………………………………………7分 B｝｛0 A，
}.4,0{}2,0{},0{，B…………………………………………………………10分
18.解：（Ⅰ）2,2A.…………………………………………………1分 B是A的子集，}2{}2{,，B.………………………………2分
①B时，方程06ax无解，得0a；…………………………………………………3分 ②}2{B时，方程06ax的解为2x，得062a，所以3a；…………………4分 ③}2{B时，方程06ax的解为2x，得062a，所以3a.……………5分 所以a的取值集合}3,3,0{M.……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）}3,3,0{M的非空真子集为3}-{33}-{0{0,3}{-3}{3}},0{，，，，，，，……12分（每个1分） 19. 解：（Ⅰ）,)1()(2xxfxf…………………………① 以x1代替x，代入①，得,1)()1(2xxfxf………②…………2分 ①2②，得,12)(3xxxf……………………………………4分 )0(3132)(xxxxf.
所以函数)(xf的解析式为)0(3132)(xxxxf.………………6分 （Ⅱ）由xxy3132得1232xxy，即01322xyx.………7分 ,,0Rxx关于x的方程01322xyx有实数根. ……………8分
0892y，即982y.……………………………………9分
解之得322y，或322y.…………………………………11分 所以函数)(xf的值域为,322322,.……………12分 20. 解：（Ⅰ）设二次函数cbxaxxf2)(，则抛物线的对称轴为23x.根据题意得………1分
23211abcbac
，………………………………………4分
解之得1,3,1cba.……………………………………………………5分 所以，函数)(xf的解析式为13)(2xxxf.…………………………6分 （Ⅱ）由mxxxxf13)(2得01)3(2xmx. 设1)3()(2xmxxg，则抛物线的对称轴为23mx.…………7分 方程0)(xg的两根1x和2x满足1x＜2x＜1，则有
12
301)1(04)3(2m
mgm.……………………………………………10分
解之得m＞5.…………………………………………………………11分 所以，实数m的取值范围为),5(.………………………………12分 21. （Ⅰ）证明：函数)(xf对于一切Ryx、，都有)()()(yxfyxfxyf， 令0x，得)()()0(yfyff，……………………………………………………1分 再令xy，得)()()0(xfxff.…………………………………①……………2分 令0y，得)()()0(xfxff.………………………………………②……………3分 ①—②得0)()(xfxf，……………………………………………………………4分
23mx
y o x1 x2 1 x g(1)