2020版高考数学(理)新增分大一轮人教通用版讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.2 含解析

§2.2 函数的单调性与最值 最新考纲 考情考向分析 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.

1．函数单调性的定义 增函数 减函数

定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝

f(x)在区间M上是减函数

图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的

2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间． 3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值

概念方法微思考 1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？ 提示 对∀x1，x2∈D，fx1－fx2x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似． 2．写出对勾函数y＝x＋ax(a>0)的增区间． 提示 (－∞，－a]和[a，＋∞)．

题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )

(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × ) (4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( × ) (5)所有的单调函数都有最值．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________． 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))

3．函数y＝2x－1在[2,3]上的最大值是______． 答案 2 4．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________． 答案 (－∞，2] 解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2. 题组三 易错自纠 5．函数y＝212log(4)x－的单调递减区间为________．

答案 (2，＋∞) 6．已知函数f(x)＝ a－2x，x≥2，12x－1，x<2，满足对任意的实数x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x2<0成立，则实数a的取值范围为____________． 答案 －∞，138

解析 由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有 a－2<0，a－2×2≤122－1，由此解得a≤138，即实 数a的取值范围是－∞，138. 7．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)答案 [－1,1)

解析 由条件知 －2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a， 解得－1≤a<1. 8．函数f(x)＝ 1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________． 答案 2 解析 当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2.

题型一 确定函数的单调性 命题点1 求函数的单调区间 例1 (1)函数y＝212log(231)xx－＋的单调递减区间为( )

A．(1，＋∞) B.－∞，34 C.12，＋∞ D.34，＋∞ 答案 A 解析 由2x2－3x＋1>0，

得函数的定义域为－∞，12∪(1，＋∞)．

令t＝2x2－3x＋1，x∈－∞，12∪(1，＋∞)． 则y＝12logt，

∵t＝2x2－3x＋1＝2x－342－18， ∴t＝2x2－3x＋1的单调递增区间为(1，＋∞)． 又y＝12logt在(1，＋∞)上是减函数， ∴函数y＝212log(231)xx－＋的单调递减区间为(1，＋∞)．

(2)(2018·沈阳检测)设函数f(x)＝ 1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________． 答案 [0,1)

解析 由题意知g(x)＝ x2，x>1，0，x＝1，－x2，x<1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．

命题点2 讨论函数的单调性 例2 判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1

解 函数f(x)＝ax2＋1x(1证明：设1≤x1f(x2)－f(x1)＝ax22＋1x2－ax21－1x1

＝(x2－x1)ax1＋x2－1x1x2， 由1≤x10,21又因为1得a(x1＋x2)－1x1x2>0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增． 引申探究 如何用导数法求解本例？

解 f′(x)＝2ax－1x2＝2ax3－1x2， 因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8，又1所以2ax3－1>0，所以f′(x)>0， 所以函数f(x)＝ax2＋1x(其中1思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．(4)具有单调性函数的加减． 跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( ) A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|

C．f(x)＝1x－x D．f(x)＝ln(x＋1) 答案 C 解析 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D选项中，f(x)为增函数；

B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝1x－x，因为y＝1x与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数． (2)函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是__________． 答案 (－∞，2] 解析 因为f(x)在R上单调递增，所以a－1>0，即a>1，因此g(x)的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间(－∞，2]． (3)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________． 答案 [1,2]

解析 f(x)＝ x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x<2. 画出f(x)图象，

由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]． 题型二 函数的最值 1．函数y＝x2－1x2＋1的值域为____________． 答案 [－1,1) 解析 由y＝x2－1x2＋1，可得x2＝1＋y1－y.

由x2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y<1， 故所求函数的值域为[－1,1)． 2．函数y＝x＋1－x2的最大值为________． 答案 2 解析 由1－x2≥0，可得－1≤x≤1. 可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，

则y＝cos θ＋sin θ＝2sinθ＋π4，θ∈[0，π]， 所以－1≤y≤2，故原函数的最大值为2. 3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________． 答案 [3，＋∞)

解析 函数y＝ －2x＋1，x≤－1，3，－1作出函数的图象如图所示．

根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)． 4．当－3≤x≤－1时，函数y＝5x－14x＋2的最小值为________． 答案 85 解析 由y＝5x－14x＋2，可得y＝54－742x＋1. ∵－3≤x≤－1，∴720≤－742x＋1≤74， ∴85≤y≤3.∴所求函数的最小值为85. 5．函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案 3 解析 由于y＝13x在[－1,1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在 [－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. 6．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( ) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关