7.函数的图像
2016版高中数学人教A版必修四课件：第一章§7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.
与正弦函数、余弦函数的定义可知
tan
α＝sin
cos
αα(比值ab叫作
角 α 的余切函数，记作 y＝cot α，其中 α∈R 且 α≠kπ，k
∈Z)．
栏目 第四页，编辑于星期五：二十三点导五十引分。
第一章 三 角 函 数
2．正切线 (1)定义： 在直角坐标系中，设 单位圆 与x轴的非负半轴的交点为A(1， 0)，过点___A_(_1_，__0)____作x轴的垂线，与角α的终边或其终边的 延长线相交于T点，则称______线_段__A_T__为角α的正切线． (2)画法：
吗？为什么？ (3)正切函数的诱导公式的实质是什么？
栏目 第二页，编辑于星期五：二十三点导五十引分。
第一章 三 角 函 数
2．例题导读 P39例1.通过本例学习，学会已知一个角的正切值，求这个角的正弦
值和余弦值的方法．
试一试：教材P40习题1－7 A组T1、T2你会吗？ P40例2.通过本例学习，学会利用正切函数的诱导公式进行化简 求值． 试一试：教材P41习题1－7 A组T7(1)你会吗？
栏目 第二十三页，编辑于星期五：二十导三点引五十分。
第一章 三 角 函 数
正切函数的性质
求函数 f(x)＝tan 2x－π3 的定义域、最小正周期和单调
区间． (链接教材 P40 练习 T2)
π
π
[解] 由题意，知 2x－ 3 ≠kπ＋ 2 (k∈Z)，
所以 x≠kπ 2 ＋51π2 (k∈Z)，
本例中“函数 f(x)＝tan |x|”若换为“函数 f(x)＝|tan x|”，其他
条件不变，其结论又如何呢？
解：函数
f(x)＝|tan
x|的定义域是xx≠kπ＋π2 ，k∈
2021新教材人教B版数学必修第三册教师用书：第7章 7.3 7.3.1 正弦函数的性质与图像含解析
7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像学习目标核心素养1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点)2．能正确使用“五点法”作出正弦函数的图像．(难点)1.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养．2．通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养.将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图所示)．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板．这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．问题(1)通过上述实验，你对正弦函数图像的直观印象是怎样的？(2)你能比较精确地画出y＝sin x在[0,2π]上的图像吗？(3)以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin x，x∈[0,2π]图像的方法？你认为图像上哪些点是关键点？提示(1)正弦函数的图像是“波浪起伏”的连续光滑曲线．(2)能，利用特殊角的三角函数的定义．(3)五点作图法y＝sin x的五点：(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．1．正弦函数的性质定义域、值域定义域为R，值域为[－1,1]当且仅当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，y max＝1；当且仅当x＝3π2＋2kπ，k∈Z时，y min＝－1奇偶性奇函数周期性2π单调性单调增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z 单调减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z零点kπ，k∈Z思考：(1)－2π是正弦函数的周期吗？(2)正弦函数的零点是点吗？若不是，是什么？[提示](1)是.2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期．(2)不是，是实数kπ，k∈Z.2．函数的周期性(1)周期：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．思考：对非零常数T，若存在x0，使f(x0＋T)＝f(x)，那么T是函数的周期吗？为什么？[提示]不是，必须对定义域内的每一个值成立．3．正弦函数的图像(1)图像：(2)对称性：对称轴x ＝π2＋k π，k ∈Z ，对称中心(k π，0)，k ∈Z . (3)五点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．[拓展] (1)作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数．(2)在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接．(3)五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点．1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)正弦函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是递增的．( )(2)若存在一个常数T ，使得对定义域内的每一个x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数f (x )为周期函数．( ) (3)函数f (x )＝sin x －1的一个对称中心为(π，－1)． ( )[提示] (1)×.正弦函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上先递增，再递减．(2)×.应为非零常数T .(3)√.因为正弦函数的一个对称中心为(π，0)，函数f (x )＝sin x －1即将正弦函数向下平移一个单位，故一个对称中心为(π，－1)．[答案] (1)× (2)× (3)√ 2．函数y ＝x sin x 是( ) A ．奇函数，不是偶函数B ．偶函数，不是奇函数C ．奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数B [f (－x )＝－x sin(－x )＝－x (－sin x )＝x sin x ＝f (x )，所以y ＝x sin x 为偶函数，不是奇函数．]3．下列图像中，符合y ＝－sin x 在[0,2π]上的图像的是( )D [把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]上的图像关于x 轴对称，即可得到y ＝－sin x ，x ∈[0,2π]上的图像，故选D ．]4．若sin x ＝2m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________．[0,1] [因为sin x ＝2m －1，x ∈R ，所以－1≤2m －1≤1，所以0≤2m ≤2,0≤m ≤1，所以m 的取值范围是[0,1]．]正弦函数的性质及应用【例1】 (1)函数y ＝sin 12x 的最小正周期为________． (2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋2x ＋x 2sin x 的奇偶性是______．(1)4π (2)奇函数 [(1)令u ＝12x ，则y ＝sin u 是周期函数，且周期为2π.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin 12x ，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋4π)＝sin 12x .所以y ＝sin 12x 的周期是4π.(2)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，因为x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]1．定义法求函数的周期紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T，该方法主要适用于抽象函数．2．判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．[跟进训练]1．(1)函数y＝|sin x|，x∈R的最小正周期为________．(2)若函数y＝2sin(x＋θ)为奇函数，则θ＝________.(1)π(2)kπ，k∈Z[(1)设f(x)＝|sin x|，因为f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，所以y＝|sin x|的最小正周期为π.(2)因为y＝2sin(x＋θ)为奇函数，则由f(－x)＋f(x)＝0，可得θ＝kπ，k∈Z.]角度二利用单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小．(1)sin 194°和cos 160°；(2)sin 74和cos53.[思路探究]先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. 因为0°<14°<70°<90°， 所以sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2)因为cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π<π2＋53<32π，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是减函数，所以sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.比较正弦值大小的方法比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.[跟进训练] 2．比较大小： (1)sin 250°与sin 260°； (2)sin 2，sin 3与sin 4.[解] (1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈[0°，90°]是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°.(2)因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，sin 4＝sin(π－4)＝－sin(4－π)<0， 又0<π－3<π－2<π2，且y ＝sin x 在[0，π2]上是增函数，所以0<sin(π－3)<sin(π－2)，即0<sin 3<sin 2.所以sin 4<sin 3<sin 2.角度三 正弦函数的值域与最值问题 【例3】 求下列函数的值域． (1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3；(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .[思路探究] (1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值范围． (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值范围．[解] (1)因为－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2， 所以1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5，所以1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5]．(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1， y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图像可知－2≤y ≤98，即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.关于与正弦函数有关的最值(1)一次式：如果是关于正弦函数的一次式，要根据一次项的系数正负确定最值；(2)二次式：如果是关于正弦函数的二次式，则通过换元转化为一元二次函数配方求最值.[跟进训练]3．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．[解] f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.因为|x |≤π4，所以－22≤sin x ≤22，所以当sin x ＝－22时取最小值为1－22.正弦函数的图像下列问题：(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点，求a 的取值范围； (3)求函数y ＝1－2sin x 的最大值，最小值及相应的自变量的值． [解] 按五个关键点列表：x －π －π2 0 π2 π sin x－1 01y ＝1－2sin x1 31 －1 1描点连线得：(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分y >1，在y ＝1下方部分y <1，所以当x ∈(－π，0)时，y >1，当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1，所以a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1}．(3)由图像可知y 最大值为3，此时x ＝－π2；y 最小值为－1，此时x ＝π2.“五点法”作函数y ＝r sin x ＋l 的图像(1)列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数y ＝r sin x ＋l 的五点. (2)描点：将函数y ＝r sin x ＋l 的五点在坐标系中描出来. (3)连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接.[跟进训练]4．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]上的图像． [解] 取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y ＝12＋sin x123212－1212正弦函数性质与图像的应用【例5】 (1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)求函数y ＝3－2sin x 的定义域、值域和零点．[思路探究] (1)转化为函数图像的交点个数判断． (2)按照相关的概念列式，结合不等式、方程求解． (1)B [令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －sin x ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝sin x ，如图所示．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝sin x 在[0,2π]上有两个交点，故函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－sin x 有两个零点．](2)[解] 令3－2sin x ≥0，即sin x ≤32， 解得2π3＋2k π≤x ≤7π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3＋2k π，7π3＋2k π，k ∈Z . 因为－1≤sin x ≤32，所以0≤3－2sin x ≤3＋2， 所以0≤3－2sin x ≤3＋2， 故函数的值域为[0，3＋2]．令y ＝3－2sin x ＝0，解得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z 或x ＝7π3＋2k π，k ∈Z . 所以函数的零点为2π3＋2k π，k ∈Z ，或7π3＋2k π，k ∈Z .关于正弦函数性质、图像的应用(1)周期性的应用：正弦函数是周期函数，可以先研究其在一个周期内的性质，再推广到定义域内.(2)奇偶性的应用：先确定函数的奇偶性，只研究函数在[0，＋∞)上的性质，再利用奇偶函数的性质推广到(－∞，0]上.(3)数形结合的应用：将问题转化为正弦函数与其他初等函数图像间的关系，利用图像解决问题.[跟进训练]5．(1)函数y ＝2sin (π－2x )－1的定义域为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪k π＋π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z(2)函数f (x )＝sin x －x10的零点个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(1)D (2)D [(1)要使函数有意义，则2sin(π－2x )－1≥0，即sin 2x ≥12，则2k π＋π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，则k π＋π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .即函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪k π＋π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z. (2)令f (x )＝sin x －x 10＝0，即sin x ＝x10，令y 1＝sin x ，y 2＝x10，在同一坐标系内分别作出y 1，y 2的图像如图．由图像可知图像有7个交点，即函数有7个零点．]1．求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图像法，即作出y ＝f (x )的图像，观察图像可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性． 3．正弦函数单调性的说明(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．4．正弦函数最值的释疑(1)明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．(3)形如y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A sin z的形式求最值．5．“五点法”画正弦函数图像“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．1．以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是()A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图像形状相同，只是位置不同B．关于x轴对称C．介于直线y＝1和y＝－1之间D．与y轴仅有一个交点B[观察y＝sin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B．] 2．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图像不可能是()A BC DD[当a＝0时，f(x)＝1，选项C符合；当0<|a|<1时，T>2π，f(x)的最大值小于2，选项A符合；当|a|>1时，T<2π，选项B符合．排除选项A ，B ，C ，故选 D ．]3．函数y ＝－2sin x －1的单调减区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，(k ∈Z ) [函数y ＝－2sin x －1的单调减区间即正弦函数y ＝sin x 的单调增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，(k ∈Z )．]4．(一题两空)函数y ＝－sin x ＋1的对称中心是________，对称轴为________． (k π，1)，k ∈Z x ＝π2＋k π，k ∈Z [由函数y ＝－sin x ＋1与正弦函数图像的关系可知，函数y ＝－sin x ＋1的对称中心为(k π，1)，k ∈Z ，对称轴为x ＝π2＋k π，k ∈Z .]5．求方程sin x ＝lg x 的解的个数．[解] 建立平面直角坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像，再向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图像，如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．。
正弦函数的图像(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
课本练习
练习７．１（１） １．作出函数y＝ｓｉｎx，x∈［－π，π］的大致图像． ２．作出函数y＝ －ｓｉｎx，x∈［０，２π］的大致图像，并 分别写出使得y＞０和y＜０的 x的取值范围． ３．在同一平面直角坐标系中作出y＝ｓｉｎx和y＝ｓｉｎx＋２ 的大致图像，并说明它们之间的关系．
随堂检测
从图７-１-２可知，（０，０）、（π２，１）、（π，０）、 （３π２，－１）和 （２π，０）是函数y＝ｓｉｎx，x∈［０， ２π］图像的五个关键点．我们描出这五个点，并用光滑的曲 线将它们连接起来，就得到函数y＝ ｓｉｎx，x∈［０，２π］ 的大致图像（图７-１-４）．
这种通过五个关键点作出正弦函数大致图像的方法，通常称为 “五点（作图）法”．
例１ 用“五点法”作出函数y＝１－ｓｉｎx，x∈［０，２π］的大致图像，并写 出使得y＜１的x的取值范围． 解 将五个关键点列表（表７１）如下：
描点并用光滑曲线把它们连接起来，就得到y＝１－ｓｉｎx， x∈［０，２π］的 大致图像（图７-１-５）．
作出函数y＝１的图像，如图７-１-５所示．由图可知，使得y＜１的x的取值范 围是 （０，π）．
随着α的变化，可以得到函数y＝ｓｉｎx图像上的其他
点． 方便起见，我们先将单位圆O１ 分为１２等份（等
份数越多，作出的图像越精确），使得角α的弧度数依
次取０、
…、２π，再借助圆 O１ 得到对应
的纵坐标，依次作出函数y＝ｓｉｎx图像上的点（０，
ｓｉｎ０）、
…、
（２π，ｓｉｎ２π），用光滑的曲线将这些点连接起
我们已经知道，任意一个给定的实数狓都对应着唯一确 定的角（其弧度数等于实数x），而这个角又对应着唯一 确定的正弦值ｓｉｎx．这样，对于任意一个给定的实数 x，都有唯一确定的正弦值ｓｉｎx与之对应．按照这个 对应关系所建立的函数叫做正弦函数，记作y＝ｓｉｎ x．正弦函数的定义域是实数集R．
2015年高考数学(文)一轮课件：3-7函数的图像
考点三
函数图像的应用
【例3】 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)判断函数f(x)的单调性； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}． 思维启迪：利用函数的图像可直观得到函数的单调性，方程解 的问题可转化为函数图像交点的问题．
2 x－2 －1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞， 解析：f(x)＝ 2 －x－2 ＋1，x∈1，3，
图像如图①.
(2)将y＝2x的图像向左平移2个单位．图像如图②.
2 x －2x－1 (3)y＝ 2 x ＋2x－1
x≥0， 图像如图③. x＜0.
3 3 (4)因y＝1＋ ，先作出y＝ 的图像，将其图像向右平移1 x x－1 x＋2 个单位，再向上平移1个单位，即得y＝ 的图像，如图④. x－1
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(2)一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对 称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同 函数图像的对称关系． (3)函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像不同，y＝|f(x)|的图像是保留y ＝f(x)图像在x轴上方的部分，把x轴下方的翻折上去；y＝f(|x|)的 图像是保留y轴右侧的部分，左侧部分和右侧部分关于y轴对称．
●三种方法 (1) 定性分析法：通过对问题进行定性分析，从而得到图像
上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题． (2) 定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题． (3) 函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模
型，利用这一函数模型来分析解决问题．
1．函数y＝lg|x－1|的图像大致为(
第七课：正弦、余弦函数的图象和性质
第七课：正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
sinyx在[0,2]x上的五个关键点为： 30010-12022（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.
xycos在[0,2]x上的五个关键点为：
周期函数定义：对于函数xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有xfTxf，那么函数xf就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳：正弦、余弦、的图像及其性质： xysin xycos
图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1]
最值 maxmin
2,122,12xkkZyxkkZy时，
时， max
min
2,12,1xkkZyxkkZy时，
时，
周期性 2T 2T
奇偶性 奇 偶
单调性 Zk
在[2,2]22kk上单调递增
在3[2,2]22kk上单调递减 在[2,2]kk上单调递增
在[2,2]kk上单调递减 对称性 Zk 对称轴方程：2xk，对称中心(,0)k 对称轴方程：xk对称中心(,0)2k
1-1
y=cosx
-3
2
-5
2-727252322-2-4-3-2432
-oyx
1-1
y=sinx
-32-52-727252322-2-4-3-2432-
oyx 应用：函数sin0,0yx的性质： ①振幅：；②周期：2；③频率：12f；④相位：x；⑤初相：．
例题1、求函数,32sin4Rxxxf周期，单调区间，最大和最小值以及此时x的取值。
变式1：求函数,32sin4Rxxxf周期，单调区间，最大和最小值以及此时x的取值。
§7 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
D.以上都不对
3.解不等式 1+ tanx ≥ 0.
答案：x x k ≤ x k , k Z . 4 2
解：令z x , 那么函数y tan z的定义域 4 是 z z k, k Z . 2 由x z k, 4 2
§7 正切函数
7.1 7.2 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
1.了解任意角的正切函数的概念.(重点) 2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点) 3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质.(难点) 4.能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点)
在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦函数， 并借助于它们的图像研究了它们的性质. 今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角 坐标系内学习任意角的正切函数.
3 2
2
3 2
2
k , k Z }
⑶ 周期性： 正切函数的最小正周期为. ⑷ 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称. ⑸ 单调性：在每一个开区间（
k, k） Z)内都是增函数. (k 2 2
白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将 弱冠非童子，学不成名岂丈夫？ ——俞良弼
解:(1)90 167 173 180，
y tan x在 ， 上是增加的， tan167 tan173 2
11 (2) tan( ) tan , 4 4
13 2 tan( ) tan . 5 5
2 0 , 4 5 2
k k， 2 4 4 所以函数y tan(x )的定义域为 4 x x k, k Z . 4 可得x
函数的图像总结
函数的图像总结函数的图像总结函数的图像是函数的可视化表示形式，通过绘制函数的图像，我们可以更直观地了解函数的性质、特点以及变化规律。
在数学中，函数的图像是我们研究函数性质的重要工具，也是数学建模与问题求解的基础。
函数的图像通常用笛卡尔坐标系表示，横轴表示自变量（通常为x），纵轴表示因变量（通常为y）。
绘制函数的图像需要确定函数的定义域、值域、关键点和曲线形状，下面将分别从这几个方面对函数的图像进行总结。
1. 定义域与值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，反映了函数的有效输入范围。
对于一些简单的函数，定义域可能是整个实数集，如常数函数、幂函数、指数函数等。
但对于一些具有约束条件的函数，定义域可能是一段或多段区间，如有理函数、三角函数等。
定义域的确定对于绘制函数的图像起到了关键的作用。
函数的值域是指因变量的取值范围，反映了函数可能的输出范围。
值域的确定需要分析函数的性质和变化趋势，可以通过限制条件、函数的单调性、极限等方法来求解。
值域的确定有助于我们对函数的图像形状有更准确的把握。
2. 关键点和曲线形状：关键点是函数图像上的一些特殊点，包括函数在定义域内的极值点、驻点、拐点等。
关键点的确定需要通过函数的导数、二阶导数、极限等方法来求解，关键点的性质和位置对函数的图像形状起到了关键的影响。
曲线形状是函数图像的最直观特征，常见的曲线形状包括直线、抛物线、双曲线、指数曲线、三角函数曲线等。
曲线形状的确定需要考虑函数的定义域、值域、关键点以及函数的性质与变化趋势。
绘制曲线需要准确地描绘出曲线的走向、凹凸性、对称性等特性，可以通过计算机绘图软件和数学绘图工具来实现。
对于不同类型的函数，其图像具有不同的特点和变化规律。
下面将以几种常见的函数类型为例，对函数的图像进行分析和总结。
3. 常数函数：常数函数的图像是水平直线，即垂直于y轴的一条直线。
常数函数的值在整个定义域上都相等，即函数图像与x轴平行。
4. 一次函数：一次函数的图像是一条斜直线，具有常斜率。
指数函数的图像及性质
∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝( 1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1.
2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利 用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于 形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
素材2.1 设函数f x =a－ (a 0且a 1)，
x
若f 2 = 4，则a = f (2)与f 1的大小关系 是 ；
，
xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是
解析：
1由f 2 4，得a
－2
1 4，所以a ， 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评： 利用单调性可以解决与指数函数有关的值域 问题．指数函数本身是非奇非偶函数，但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用相关
的概念和性质解决问题．
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，1)时，f(x)＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1，1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0，1)上是减函数．
人教B版数学必修第三册7_3_4正切函数的性质与图像课件
2
1
2
4
1
2
−
4
的单调区间．
2
由kπ－ < x－ <kπ＋ (k∈Z)，
2
3
2
得2kπ－ <x<2kπ＋ π(k∈Z)，
∴函数y＝3tan
1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−
4
2
3
2
的单调递增区间是(2kπ－ ，2kπ＋ π)(k∈Z)．
变式2 求函数y＝lgtan的单调区间．
因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数．
法二：(公式法)
3
∵tan 2 + + ＝tan 2 +
即tan [2( +
)
2
+
∴f(x)＝tan 2 +
] ＝tan
3
3
2
3
+
3
的周期是 .
2
，
f(x)＝tan 2 +
， T＝
.
2
3
的周期
[例2]
(2)已知函数y＝tan −
2
3
3
，则该函数图像的对称
所以函数的定义域为{x| x≠
设t＝tan 3 +
3
3
3
＋
＋
3
(k∈Z)，
18
(k∈Z)}.
18
，
则t∈R，y＝t2＋t＋1＝
正切函数的定义与正切函数的图像与性质PPT
【审题路线图】1.符号+单调性⇒大小关系. 2.正切自身隐含定义域+分母不为零+被开方数非负⇒定 义域. 3.换元法+配方法⇒正切函数单调性⇒最值⇒值域.
【解析】1.选C.因为1弧度的角在第一象限,2,3弧度的 角在第二象限,故a>0,b<0,c<0,又因为正切函数在区间 ( ，) 上是增加的,故b<c,因此b<c<a.
②三点两线法:“三点”是指( ，-1)，(0,0),( ，1)；
4
4
“两线”是指x=- 和x= . 在三点、两线确定的情况
2
2
下,类似于五点法作图,可大致画出正切函数在 ( ， )
22
上的简图,然后向左、向右扩展即得正切曲线.
【知识拓展】(1)几种特殊角的正切值
(2)三角函数在各个象限的符号规律 只记住在各个象限为正值的三角函数,其他的则为负值, 记忆口诀:“一象全,二正弦,三正切,四余弦”.
A． 2
B． 3
C． 3 7
D. 2 7
3
2
7
7
【解析】选A.由正切函数的定义可知tanα=- 2 .
3
2.函数y=3tan (2x＋ ) 的定义域是 ( )
4 A.{x|x k＋，k Z}
2 B.{x|x k ，k Z}
28 C.{x|x k ＋，k Z}
28 D.{x|x k ，k Z}
2
tan x 1，
2.根据题意,得
tan(x
6解) 得0，
x
6
2
k，
所以函数的定义域为
4
x
k x 2
k， 6
k，
x
3
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函数的图像 姓名_________
一、作图：
图像的作法：描点法和图像变换法
例1．已知函数f(x)定义在[－2,2]上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象； （1）y ＝f(x ＋1)；(2)y ＝f(x)＋1； （3）y ＝f(－x)；
(4)y ＝－f(x)； (5)y ＝|f(x)|；(6)y ＝f(|x|)；(7)y ＝2f(x)；
变式练习:画出下列函数图像的草图. （1）211
x y x -=
-(2)y ＝|x 2－4x ＋3| （3）(1)2y x x =+- （4）y ＝|lg(x －1)| （5）|1|
2x y +=
[总结反思] 为了正确地作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法之外，还要做到以下两点： (1)熟练掌握几种基本函数的图像，以及形如y ＝x ＋1x ，y ＝x -1x
，x
a y =，x y a log =的函数图像．
(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等 二、识图
1.（1）函数x
x x
x x f ---+=2222)(的图象大致为（）
A. B. C. D.
（2）如图所示，函数31
x y =的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
(3)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x ，则y ＝f (x )的图像大致为( )
2.（1）函数1
(0,1)x
y a a a a
=-
>≠的图象可能是 （ ）
(2)函数f (x )＝|x |＋a
x
(其中a ∈R )的大致图像不可能是( )
[总结反思] 函数图像的识别主要依据两点：
一是函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等； 二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项．
三、用图
1. ⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=1,21,log )(2
1x x x x f x 函数的值域是_______________
2.若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)<0的解集是 ( )
A ．(－1，0)
B ．(－∞，0)∪(1，2)
C ．(1，2)
D ．(0，2)
3.对,a b R ∈,记}{
,max ,,a a b
a b b a b ≥⎧=⎨
<⎩，
函数{}()max 1,2()f x x x x R =+-∈的最小值是（ ）
A. 0
B.
12 C.3
2
D.3
4．已知函数x x x h x x x g x x f x +=+=+=32)(,log )(,2)(的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大 小顺序正确的是（ ）
A ．b c a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．c b a >>
5.直线y =1与函数y =x 2
-2|x |+a 的图象有四个不同交点，则实数a 的取值范围是______ ．
6.已知函数f(x)＝2x ，x ∈R.,方程|f(x)－2|＝m 有两个解,则m 的范围是_____________
7.当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是______________．
8．已知函数f (x )=(a x
+b )(x -1)，（其中a >0且a ≠1，b ∈R ），对任意的实数x ， 均有 f (x )≥0，则 b 的取值范围
9.若函数f （x ）=（x 2+mx +n ）（1-x 2）的图象关于直线x =2对称，则f （x ）的最大值是（ ） A.16 B.14 C.15 D.18
10.已知函数f (x )＝[x ]－x ([x ]表示不超过x 的最大整数，如 []－3.6＝－4，[]2.1＝2)，则方程f (x )＋lg x ＝0的根的个数为( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
11．已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－
x －1(x ≤0)f (x －1)(x>0)，若方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范
围为( )
A ．(－∞，0]
B ．[0,1)
C ．(－∞，1)
D ．[0，＋∞)
12.已知函数
是定义在上的奇函数，当
时，
，若对任意的
，都有，则实数的取值范围为（ ） A.
B.
C.
D.。