小学立体图形 体积计算公式
小学数学体积较难练习题
小学数学体积较难练习题在小学数学学习中，体积是一个相对较难的概念。
学生需要理解和掌握有关立方体、长方体以及其他立体图形的体积计算方法。
为了帮助学生更好地练习和理解这一概念，本文将提供一些小学数学体积较难的练习题。
1.练习题一某小区的游泳池长13米，宽8米，深2.5米。
请问游泳池的体积是多少？解题思路：游泳池的形状为长方体，体积的计算公式为：体积 = 长 ×宽 ×高。
根据题意，游泳池的长为13米，宽为8米，高为2.5米。
将这些值代入公式进行计算即可。
解答：体积 = 13 × 8 × 2.5 = 260立方米2.练习题二一个立方体的体积为512立方厘米，边长为多少？解题思路：立方体的体积计算公式为：体积 = 边长 ×边长 ×边长。
根据题意，这个立方体的体积为512立方厘米。
将这个值代入公式，解出边长即可。
解答：512 = 边长 ×边长 ×边长由此可知，边长的立方等于512，因此边长等于8厘米。
3.练习题三某个长方体的体积为240立方厘米，长和宽的比为4∶3，求长方体的长、宽和高。
解题思路：设长方体的长为4x，宽为3x，高为h。
根据题意，长方体的体积为240立方厘米，代入体积公式进行计算。
解答：240 = 4x × 3x × h解方程得到 h = 20/3因此，长方体的长为4x，宽为3x，高为20/3。
4.练习题四一个饮料瓶的形状为一个圆柱体，底面半径为6厘米，高度为10厘米。
请问这个饮料瓶的体积是多少？解题思路：饮料瓶的形状为圆柱体，体积的计算公式为：体积 = 底面积 ×高度。
底面积的计算公式为：底面积= π × 半径的平方。
将这些值代入公式进行计算即可。
解答：底面积= π × 6^2 = 36π体积= 36π × 10 = 360π立方厘米综上所述，小学数学中的体积计算对学生来说可能较为困难。
菱形体体积计算公式
菱形体体积计算公式菱形体是一种几何图形，其体积可以通过特定的公式进行计算。
在本文中，我们将介绍菱形体的定义和性质，并详细阐述菱形体体积的计算公式。
菱形体是由六个菱形面组成的立体图形。
每个菱形面都是由四条相等长度的边组成的，并且相邻的两个菱形面之间的夹角为120度。
菱形体有六个顶点，每个顶点都是四个菱形面的交点。
菱形体的体积是确定其大小的重要指标，我们可以通过计算公式来获得。
菱形体的体积计算公式是 V = (a^2 * h * √3)/4，其中V表示菱形体的体积，a表示菱形的边长，h表示菱形的高度。
这个公式可以帮助我们准确地计算任意菱形体的体积。
为了更好地理解这个公式，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。
假设我们有一个菱形体，其边长为5cm，高度为8cm。
我们可以使用上述公式来计算其体积。
我们需要将已知的数值代入公式中。
根据公式V = (a^2 * h * √3)/4，我们可以将a替换为5，h替换为8，得到V = (5^2 * 8 * √3)/4。
接下来，我们可以进行计算。
首先计算5的平方，得到25。
然后将25乘以8，得到200。
最后将200乘以根号3，得到200√3。
我们将200√3除以4，得到菱形体的体积。
根据计算结果，这个菱形体的体积为50√3 cm³。
通过这个例子，我们可以看到菱形体体积计算公式的应用过程。
通过使用这个公式，我们可以准确地计算出任意菱形体的体积。
不仅如此，菱形体的体积计算公式还可以应用于实际生活中的问题。
例如，在建筑工程中，我们经常需要计算各种立体图形的体积，包括菱形体。
通过使用菱形体的体积计算公式，我们可以准确地估算出建筑物的容积，从而更好地规划和设计建筑项目。
菱形体体积计算公式是一种重要的数学工具，可以帮助我们准确地计算菱形体的体积。
通过对公式的应用，我们可以更好地理解和应用菱形体的性质，为实际问题的解决提供准确的数值。
希望本文能够对读者理解菱形体体积计算公式有所帮助，并能够应用于实际生活中的问题解决。
面积与体积的计算与比较
面积与体积的计算与比较面积和体积是数学中重要的概念，广泛应用于几何学和物理学等领域。
面积是指平面图形所占据的空间大小，而体积则是指立体图形所占据的空间大小。
在本文中，我们将探讨面积和体积的计算方法，并比较它们之间的差异和相似之处。
一、面积的计算方法1. 二维图形的面积计算：在计算二维图形的面积时，我们需要根据具体的图形类型选择相应的公式进行计算。
以下是一些常见二维图形的面积计算公式：- 矩形的面积计算公式：面积 = 长 ×宽- 三角形的面积计算公式：面积 = 底边长 ×高 ÷ 2- 圆的面积计算公式：面积= π × 半径的平方（其中，π取近似值3.14159）2. 更复杂图形的面积计算：对于更为复杂的图形，如椭圆、多边形等，可以通过将其分解为多个简单图形，然后计算每个简单图形的面积，最后将它们相加得到总面积。
这种分解的方法被称为复合图形的面积计算方法。
二、体积的计算方法1. 三维图形的体积计算：与面积类似，计算三维图形的体积也需要根据具体的图形类型选择相应的公式进行计算。
以下是一些常见三维图形的体积计算公式：- 立方体的体积计算公式：体积 = 边长的立方- 圆柱体的体积计算公式：体积 = 圆的面积 ×高- 圆锥体的体积计算公式：体积 = 圆的面积 ×高 ÷ 3- 球体的体积计算公式：体积= 4/3 × π × 半径的立方（其中，π取近似值3.14159）2. 更复杂图形的体积计算：对于更为复杂的图形，同样可以通过将其分解为多个简单图形，然后计算每个简单图形的体积，最后将它们相加得到总体积。
这种分解的方法同样适用于复合图形的体积计算。
三、面积与体积的比较面积和体积虽然都是计算空间大小的概念，但它们之间存在明显的差异。
面积只涉及到平面图形，而体积则涉及到立体图形，因此体积更能准确地描述物体的容积。
此外，面积和体积的单位也有所不同。
【小升初】26.立体图形的体积教案讲义及练习
26.立体图形的体积知识要点梳理一、体积和容积1．体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2．容积：容器所能容纳物体的体积叫做容积。
容积单位一般用体积单位。
当容器所容纳的物体是液体时，常用升、毫升作单位。
〔注：容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要沉着器的里面量。
〕二、立体图形的体积计算公式考点精讲分析典例精讲考点1方体和正方体的体积【例1】在一个长、宽、高分别是30厘米、25厘米、60厘米的长方体的箱子里，最多能装进棱长为1分米的立方体〔〕个。
A．45 B．30 C．36 D．72【精析】把这个长方体箱子的长、宽、高分别换算成分米是3分米、2.5分米、6分米，这个箱子一层长可以装进3个，宽只能装进2个棱长1分米的立方体，高可以装进6个，因此只能装进〔3×2×6〕＝36个。
【答案】 C【归纳总结】注意，此题容易出现的错误是不考虑实际，用这个箱子的容积除以每个立方体的体积。
考点2圆柱的体积【例2】下列图是一根空心钢管，求它所用钢材的体积。
【精析】此题考查空心圆柱体积的求法。
根据空心圆柱的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积计算即可。
【答案】 3.14×［〔1.22〕2－〔0.62〕2］×2.5＝2.1195〔立方米〕答：它所用钢材的体积是2．1195立方米。
【例3】有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形〔不包括瓶颈〕，容积是20升。
瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20cm，倒放时空余局部高度为5cm，问瓶中现有饮料〔〕升。
【精析】正放和倒放时，瓶中液体的体积不变，即空余局部体积相等。
【答案】20×［20÷〔20＋5〕］＝16〔升〕答：瓶中现有饮料16升。
【归纳总结】无论是正放还是倒放瓶子的饮料和瓶子的体积不变，所以它们的空余局部总是不变的。
考点2 圆锥的体积【例4】一个圆锥形沙堆，底面积是8平方米，高是1．5米。
用这堆沙在5米宽的路上铺2厘米厚，能铺多少米？【精析】沙子都铺在路面上后的形状，是一个宽5米、厚2厘米的近似长方体。
长方体体积计算公式换算表
长方体体积计算公式换算表
【实用版】
目录
1.长方体的基本概念
2.长方体体积计算公式
3.长方体体积计算公式换算表
4.实际应用示例
正文
一、长方体的基本概念
长方体是一种由六个矩形面组成的立体图形，其中相对的面积相等。
长方体的三个边长分别称为长、宽和高。
在日常生活中，长方体广泛应用于各种物品的体积计算，例如箱子、容器等。
二、长方体体积计算公式
长方体的体积计算公式为：V = 长×宽×高，即体积等于长、宽、高三个边长的乘积。
这个公式可以通过数学推导得到，也可以通过直观想象验证。
三、长方体体积计算公式换算表
为了方便实际应用，我们可以制作一个长方体体积计算公式的换算表。
换算表可以列出长、宽、高各种组合下的体积，便于人们在计算时进行查阅。
例如，当长为 10 厘米、宽为 5 厘米、高为 2 厘米时，体积为 100 立方厘米。
四、实际应用示例
假设我们要计算一个长方体箱子的容量，已知长为 5 米、宽为 3 米、高为 2 米。
根据长方体体积计算公式，我们可以得到：
V = 5 × 3 × 2 = 30 立方米
因此，这个箱子的容量为 30 立方米。
在实际生活中，长方体的体积计算公式及其换算表为我们提供了方便、快捷的计算方法。
总结：长方体的体积计算公式为 V = 长×宽×高，通过制作换算表，我们可以更方便地在实际应用中进行计算。
立体图形的表面积和体积
立体图形的表面积和体积
杨庙镇中心小学 戴 峰
表 面 积 长方体 正方体 圆 柱
表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
体 V=abh V=a3 V=Sh V= 1 Sh
3
积
表面积=棱长×棱长×6
V=Sh
表面积=侧面积+2个底面积
圆 锥
底面
底面周长
底面
这个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是3厘 米。求长方体的表面积和体积。
4厘米
2厘米
选做题： 王叔叔有一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分（如图） 正好能做一个油桶。你知道这个油桶的体积有多大吗？（接
头处忽略不计）
思 考：
1、一个圆锥与一个圆柱等底等高， 已知圆锥的体积是 8 立方米， 圆柱的体积是（ 24立方米 ）。 2、一个圆锥与一个圆柱等底等体积， 已知圆柱的高是 2 厘米， 圆锥的 高是（ 6 厘米 ）。
底面积 （dm2） 圆 柱 圆 锥 圆 锥 6 18 6
高 （dm）
4 4 12
体积 （dm3）
24 24 24
观察表格，你能发现什么？ 体积、高都相等的圆柱和圆锥，圆锥的底面积是圆柱的3倍。 体积、底面积都相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱的3倍。
说一说：
分析在计算下列物体面积时，应考虑几个面的面积。
这个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是3厘 米。切出一个最大的正方体，正方体的棱长是多少？
求这个正方体的表面积和体积。
思考题
把这块棱长是4厘米的正方体的木料加工成一个最大 的圆柱体。这个圆柱体的表面积和体积各是多少？
4厘米
4厘米
转化 新知
旧知
立体图形表面积体积
教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课 类型T (立体图形相关知识点) C （典型例题试题讲解） T （拓展提高）授课日期时段教学内容知识点一：表面积1、长方体表面积=长x 宽× 2+ 宽× 高× 2+ 长×高× 2 字母公式：S=ax b× 2+ a× c× 2+ b×c× 2 或者：长方体的表面积 =( 长×宽 + 长×高 + 宽×高 ) × 2 。
字母公式：S=(ax b+ a× c+ b×c)× 22、正方体的表面积 =棱长×棱长×6。
字母公式：S=a ×a× 63、圆柱体的表面积：圆柱表面积=上底+下底+侧面（侧面面积=底面圆的周长×圆柱的高） 用字母表示：22s r ch π=+注：侧面积的求法：已知底面半径和高，rh π侧2s = 已知底面直径和高，dh π侧=s知识点二：体积1、长方体体积：长方体体积= ① 长×宽×高 （Ｖ＝ａｂｈ）② 底面积×高=横截面积×长 （V =sh ） 2、正方体的体积：正方体体积＝棱长×棱长×棱长检测题1：把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形．已知这个圆柱的高是10厘米，它的侧面积是（ ）平方厘米．A ．50B ．100C ．50πD ．100π答案：B检测题2．把一个棱长4厘米的正方体分割成两个长方体，表面积增加了______平方厘米．答案：64检测题3 一个正方体的棱长之和是48厘米，它的棱长是______厘米，表面积是______平方厘米，体积是______立方厘米． 答案：2 24 8检测题4 把两个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是______平方厘米．答案：250检测题5．一个练功房铺设了1600块长50厘米，宽10厘米，厚3厘米的木地板，这个练功房的面积有______平方米．答案：这个练功房的面积有80平方米．检测题6．圆柱的底面半径扩大2倍，高缩小到原来的21，它的体积就（ ）答案：扩大2倍检测题7．做一个圆柱体，侧面积是9.42平方厘米，高是3厘米，它的底面半径是______．答案：1.57cm一、专题精讲例1.如图是高为10厘米的圆柱，如果它的高增加4 厘米，那么它表面积就增加125.6平方厘米。
圆的体积计算公式表
圆的体积计算公式表常用的立体图形体积公式：长方体：v=abc（长方体体积=长×宽×高）正方体：v=a³（正方体体积=棱长×棱长×棱长）圆柱（正圆）：v=πr²×h【圆柱（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高】圆锥（正圆）：v=πr²×h÷3【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高÷3】角锥：v=rs×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】柱体：v=sh(柱体体积=底面积×高）表面积的公式 1、柱体（1）棱柱每个面的面积相加）特殊长方体、正方体（长方体：s=2(ab+ah+bh)正方体：s=6a^2（2）圆柱s=2πr^2+2πrh2、锥体（1）棱锥每个面的面积相加（2）圆锥s=πr^2+πrl3、台体（1）棱台每个面的面积相加（2）圆台s=πr^2+πr′ ^2+πrl+πr′l4、球s=4πr^2长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长c和面积s正方形 a—边长 c＝4as＝a2长方形 a和b－边长 c＝2(a+b)s＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半a,b,c－内角其中s＝(a+b+c)/2 s＝ah/2＝ab/2·sinc＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinbsinc/(2sina)四边形 d,d－对角线长α－对角线夹角 s＝dd/2·sinα平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 s＝ah＝absinα菱形 a－边长α－夹角d－长对角线长d－短对角线长 s＝dd/2＝a2sinα梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 s＝(a+b)h/2＝mh圆 r－半径d－直径 c＝πd＝2πrs＝πr2＝πd2/4扇形 r—扇形半径a—圆心角度数c＝2r＋2πr×(a/360)s＝πr2×(a/360)弓形 l－弧长b－弦长h－矢高圆的体积计算公式（圆的面积计算公式）r－半径α－圆心角的度数 s＝r2/2·(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环 r－外圆半径r－内圆半径d－外圆直径d－内圆直径 s＝π(r2-r2)＝π(d2-d2)/4椭圆 d－长轴d－短轴 s＝πdd/4立方图形名称符号面积s和体积v正方体 a－边长 s＝6a2v＝a3长方体 a－长b－宽c－高 s＝2(ab+ac+bc)v＝abc棱柱 s－底面积h－高 v＝sh棱锥 s－底面积h－高 v＝sh/3棱台 s1和s2－上、下底面积h－高 v＝h[s1+s2+(s1s1)1/2]/3拟柱体 s1－上底面积圆的体积计算公式（圆的面积计算公式）s2－下底面积s0－中截面积h－高 v＝h(s1+s2+4s0)/6圆柱 r－底半径h－高c—底面周长s底—底面积s侧—侧面积s表—表面积 c＝2πrs底＝πr2s侧＝chs表＝ch+2s底v＝s底h＝πr2h扇形体积计算公式？它是一个扇形的平面图形，只有面积和周长，没有体积。
五下组合体的体积计算公式
五下组合体的体积计算公式在几何学中，组合体是由多个基本几何体组合而成的立体图形。
计算组合体的体积是一个重要的几何问题，它涉及到对各个基本几何体的体积进行求和或减法。
在本文中，我们将介绍五下组合体的体积计算公式，以及如何应用这些公式来解决实际问题。
五下组合体通常由多个基本几何体组合而成，例如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
计算五下组合体的体积需要分别计算每个基本几何体的体积，然后进行相应的加减运算。
下面我们将介绍几种常见的五下组合体，并给出它们的体积计算公式。
1. 长方体和正方体的组合体。
长方体和正方体是最常见的基本几何体，它们的体积计算公式分别为V = lwh和V = a³，其中l、w、h分别代表长方体的长、宽、高，a代表正方体的边长。
当长方体和正方体组合在一起时，我们可以分别计算它们的体积，然后将两个体积相加即可得到组合体的体积。
2. 圆柱体和圆锥体的组合体。
圆柱体和圆锥体也是常见的基本几何体，它们的体积计算公式分别为V = πr²h和V = (1/3)πr²h，其中r代表底面半径，h代表高。
当圆柱体和圆锥体组合在一起时，我们可以分别计算它们的体积，然后将两个体积相加即可得到组合体的体积。
3. 多个基本几何体的组合体。
除了上述两种情况外，五下组合体还可能由多个基本几何体组合而成，例如长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的组合体。
在这种情况下，我们需要分别计算每个基本几何体的体积，然后进行相应的加减运算。
例如，如果一个组合体由一个长方体和一个圆柱体组成，我们可以先计算长方体和圆柱体的体积，然后将两个体积相加即可得到组合体的体积。
在实际问题中，计算五下组合体的体积通常需要根据具体情况进行分析和计算。
下面我们将通过几个实际问题来演示如何应用五下组合体的体积计算公式。
1. 一个水箱的体积。
假设一个水箱是由一个长方体和一个圆柱体组成的，长方体的长、宽、高分别为3m、2m、4m，圆柱体的底面半径为1m，高为4m。
五年级上册奥数试题-第9讲.立体图形的体积(含解析)人教版
1.掌握立体图形的体积计算常用公式．2.掌握求不规则立体图形体积的常用方法．本讲立体图形的体积计算，与第七讲的立体图形的表面积，是姐妹篇．对于小学几何而言，立体图形的体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试(比如仁华的入学考试，几乎每年必考)都很重视对立体图形的考查．其中，尤其要以“不规则立体图形的体积”为考查重点．立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例体积公式相关要素长方体V abh=V Sh=三要素：a、b、h二要素：S、h正方体3V a=V Sh=一要素：a二要素：S、h 第9讲立体图形的体积圆柱体V=Sh二要素：S (或r 、d 、C ) 和h圆锥体V=13Sh 二要素：S 、h不规则形体的体积常用方法：一、 化虚为实法 二、 切片转化法 三、 先补后去法 四、 实际操作法 五、 画图建模法【例 1】 (第五届《小数报》数学竞赛决赛)一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．【分析】 设大长方体的宽(高)为a 分米，则长为2a ，右(左)面积为2a ，其余面的面积为22a ，根据题意， 22222862600a a a ⨯++⨯= 所以225a =，5a =． 大长方体的体积2555250=⨯⨯⨯=(立方分米)．［铺垫］ (第十五届“迎春杯”决赛)把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．2.4米［分析］ 96812÷=(平方厘米)，122402880⨯=(立方厘米)．所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．【例 2】 (第九届“祖冲之杯”数学邀请赛)有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块．最多可放 块．【分析】 下图表明34⨯的长方形可以填满712⨯的长方形．于是534⨯⨯的长方体可以填满40712⨯⨯的长方体，即盒子中最多可放这种长方体40712(534)56⨯⨯÷⨯⨯=(个)．规则立体图形体积的计算444433333［巩固］(第九届“迎春杯”数学竞赛决赛)把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体．［分析］因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米．必须分割出棱长是2厘米的小正方体才能使数量减少．显然，棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的小正方体，剩余部分再切割出33322227819+=(个)⨯⨯-⨯⨯=-=个棱长是1厘米的小正方体，这样总共可以分割成11920小正方体．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?【分析】如图，在4020⨯的长方形铁皮的四角截去边长5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒．这个铁皮盒的长405530=--=(厘米)．宽205510=--=(厘米)，高5=(厘米)． 体积301051500=⨯⨯=(立方厘米)．如图，在4020⨯长方形铁皮的左侧两角上割下 边长5厘米的正方形(二块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长40535=-=(厘米)，宽205510=--=(厘米)， 高5=(厘米)，体积351051750=⨯⨯=(立方厘米)．如图，在4020⨯的长方形铁皮的左右两侧各割 下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块)，分 别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁 皮盒的长40555520=----=(厘米)， 宽20=(厘米)，高5=(厘米)，体积202052000=⨯⨯=(立方厘米)． 因此，最后一种容积最大．［铺垫］ (第三届“华杯赛”复赛)如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？［分析］ 容器的底面积是(134)(94)45-⨯-=(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是，45290⨯=(立方厘米)．【例 3】 (第七届“华杯赛”决赛)用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体1111ABCD A B C D -(如图)，大正方体内的对角线1AC ，1BD ，1CA ，1DB 所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?D 1C 1B 1A 1D CBA【分析】 1AC 、1BD ，1CA ，1DB ，四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体．除此而外，每条对角线穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过401111014-+=个小正方体这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成．因此大正方体由3101个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有310140110303014011029900-=-=． 即用了1029900个无色透明的小正方体．【例 4】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如下图右．那么这个几何体至少用了 块木块．【分析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如右图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．［拓展］ 右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？［分析］ 正方体只可能有两种：由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的222⨯⨯的正方体，有4个． 所以共有正方体22426+=(个)． 由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13131440++=(个)．【例 5】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【分析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.A不规则立体图形体积的计算［拓展］这个图形，是否能够由112⨯⨯的长方体搭构而成？［分析］每一个112⨯⨯的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由112⨯⨯的长方体搭构而成.【例 6】一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【分析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm 高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22⨯⨯=瓶中剩余空间的体积1010 (3025)π125π22-⨯⨯=酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)+==［巩固］输液100毫升，每分钟输毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？［分析］100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输毫升，12分钟已输液2.51230⨯=(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是10050150+=(毫升)．【例 7】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?【分析】8010(8016)12.5⨯÷-=，因为12.512>，所以此时水已淹没过铁块，8010(8016)1232⨯--⨯=，32800.4÷=，所以现在水深为120.412.4+=厘米［铺垫］一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?［分析］ 根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．(法1)：808(8016)6406410⨯÷-=÷=(厘米)；(法2)：设水面上升了x 厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)x x =+，解得：2x =，8210+=(厘米)． (提问“圆柱高是15厘米”，和“高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？)［拓展］ 一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?【分析】 玻璃杯剩余部分的体积为80(1513)160⨯-=立方厘米，铁块体积为1612192⨯=立方厘米，因为160192<，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米总结铁块放入玻璃杯会出现三种情况①放入铁块后，水深不及铁块高.②放入铁块后，水深比铁块高但未溢出玻璃杯，③水有溢出玻璃杯.小故事 教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是多少，可是又没有办法来测量．(如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再称一下黄金头冠的重量，就能知道是否掺假的结果了)于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．(小朋友们，你们能帮阿基米德解决难题吗？)阿基米德苦思冥想不得其解，就连晚上沐浴时还在思考这个问题． 当他坐进水桶里，看到水在往外满溢时，突然灵感迸发，大叫一声：“我找到方法了……”，就急忙跑出去告诉别人，大家看到了一个还光着身子的阿基米德．他的方法是：把水桶装满水，当把黄金头冠放进水桶，浸没在水中时，所收集的溢出来的水的体积正是头冠的体积．【例 8】 (武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【分析】 求体积：开了315⨯⨯的孔，挖去31515⨯⨯=，开了115⨯⨯的孔， 挖去11514⨯⨯-=；开了215⨯⨯的孔， 挖去215(22)6⨯⨯-+=，剩余部分的体积是：555(1546)100⨯⨯-++=．(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100⨯+=． 求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为55612138⨯⨯-=，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为()22515121320⨯⨯+⨯-⨯-⨯=、 ()2153513132⨯⨯+⨯-⨯-=、()2151511214⨯⨯+⨯-⨯-=，所以总的表面积为 138203214204+++=．(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向：32上下方向：30 左右方向：40总表面积为()⨯++=．2323040204 Array［巩固］一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？［分析］解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由侧面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由底面图形抽出的小正方体有4520⨯=个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228⨯+⨯+⨯=个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有⨯+⨯+⨯=个，三个面的⨯+⨯=个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有121122713227图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，252520877452++---+=，所以共抽出了52个小正方体．1255273-=，所以右图中剩下的小正方体有73个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．这里，化虚为实的思想方法很重要．解法二：(用“切片法”来解)可以从上到下切五层，得：（1）从上到下五层，如图：（2）或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：总结一下“切片法”： 全面打洞(例如本题，五层一样)挖块成线(例如本题，在前一次的基层上，一条线一条线地挖)． 这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【例10】 如图,已知A 、B 、C 分别是相邻的三条棱的中点．沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立方体切掉一角．如果原来的立方体棱长为8，求：⑴切掉的小部分的体积是多少？⑵剩下的大部分的体积是多少？【分析】 本题应用相关体积公式．⑴2111244103323V Sh ==⨯⨯⨯=锥⑵3185013V V =-=剩锥⑴教师可以沿三个不相邻的顶点再切一下，求小的图形与大的图形的体积各是多少？小的是：21118885323⨯⨯⨯=;大的是：24263.⑵教师可以提问：去掉一个角上的部分后，它的体积是原立方体体积的几分之几？【例11】 如图，是一个正方体，将正方体的A 、C 、B '、D '四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知正方体的边长为3，求正四面体的体积.D′C′B′A′DC BA【分析】 这个正四面体可以看作由正方体切掉A '、C '、B 、D 四个角后得到的，如图所示：B C AD′D′D′D′C′B′B′B′B′A′DC CBA AA A所以正四面体的体积1133343332718932⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-= ⎪⎝⎭.【例12】 如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的面积为8平方厘米，那么该四棱锥的体积为多少？【分析】 知道四棱锥的底面面积，只要知道四棱锥的高就能求得四棱锥的体积．将四棱锥沿对角线和顶点构成的平面剖开，剖面是一个三角形.该三角形的斜边等于正方形的对角线，直角边等于正方形和等边三角形的边长，所以三角形是一个等腰直角三角形，它的高等于对角线的一半，根据对称性，这条高也等于四棱锥的高.本题，我们要想知道四棱锥的高，如果仅仅通过操作法，可能无法准确得知．我们隆重推出“画图建模法”，比如：请注意在一个正方体中如何作等边三角形，这一经验，会让我们“类比联想”到，如何让四个等边三角形围绕一个正方形，得到四棱锥．另外，这个四棱锥的高正好等于原正方体棱长的一半．根据小正方形面积是8推得，大正方形面积是小正方形的2倍， 所以大正方形面积是16，所以大正方体的边长是4． 所以小正方体的棱长为2． 即四棱锥的高度为2．四棱锥的体积为168233⨯÷=立方厘米．1.(第十一届“迎春杯”)有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的12与高的13之和比宽多1厘米．这个长方体的体积是 立方厘米．【分析】 长的12即宽，所以高的13就是1厘米，高是3厘米，宽是339⨯=厘米，长是9218⨯=厘米，体积是3918486⨯⨯=(立方厘米)．2. (第六届“华杯赛”决赛口试)某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【分析】 长方体中高+宽1(3655)1802=-=， ⑴高+长1(4055)2002=-=， ⑵长+宽1(4855)2402=-=， ⑶⑵-⑴：长-宽20=， ⑷ ⑷+⑶：长130=，从而宽110=， 代入⑴得高70=． 所以长方体体积为701101301001000⨯⨯=(立方厘米) 1.001=(立方米)3. 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.【分析】 三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为1644÷=平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积(即所成形体的体积)是33224⨯=立方厘米.4. 一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【分析】 由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为752cm -=，从而水与空着的部分的比为4:22:1=，由图1知水的体积为104⨯，所以总的容积为()4022160÷⨯+=立方厘米． 5.有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?高宽长33223323322323111111【分析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．765434565第三层654323454第二层第一层343212345上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(2745)3216+⨯=．6.把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15厘米，宽为12厘米，高为9厘米．分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图．除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中．图1图2【分析】 分割方法很多，如图3，给出以下9种分割方法：图3低地的价值加州海岸的一座城市中，所有适合建筑的土地在不断的开发中都已经被开发，并予以利用，城市的地皮不断飙升着。
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小学立体图形 体积计算公式
长方体
：
棱长=(a+b+h)×4
S=(ab+ah+bh)×2
V=abh
正方体：
总棱长=12a
a=总棱长÷12
S正=6a²
V正=a³
圆柱
：
S底=πr²
S侧=Ch =2πr²h =πdh
S表= S侧+2 S底 (4) V=Sh
V=πr²h (5) h=V÷S
圆锥：
V=1/3Sh =1/3πr²h
h=3V÷S底