三角形复习

1 三角形（一） 一目标： （1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。 （2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。 （3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力 二重点、难点： 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。

三知识要点： 知识点1 三角形的边、角关系 ①三角形任何两边之和大于第三边； ②三角形任何两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于180°； ④三角形三个外角的和等于360°； ⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 知识点2 三角形的主要线段和外心、内心 ①三角形的角平分线、中线、高； ②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等； ③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等； ④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点3 等腰三角形 等腰三角形的识别： ①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形； ⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形的性质： ①等边对等角； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于60°。 知识点4 直角三角形 直角三角形的识别： ①有一个角等于90°的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 知识点5 全等三角形 全等三角形的概念、判定、性质、中位线、应用 知识点6 相似三角形 2



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三条对应边的比相等两个对应角相等夹角相等两对应边的比相等判定方法

定义

相似三角形,







相似比平方面积比等于相似比周长比对应高的比对应边的比

相似三角形的性质

典型例题 例1、角平分线的性质 如图,将直角边AC=6cm,BC=8cm的直角△ABC纸片折叠,使点B与点A重合,折痕为DE, 则CD等于( )

(A)425 (B) 322 (C) 47 (D) 35

例2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点。求证：MN⊥DE

NME

D

CB

A 相关练习 1、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。MN、AC的位置关系如何？证明你的猜想。

NMD

C

BA 2、已知梯形ABCD中，∠B+∠C＝90o，EF是两底中点的连线，试说明AB－AD＝2EF

FED

CBA

A(B) C D

E 3

3、过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30o求证：3OG=DC

GOF

EDC

BA

4、如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD。求证：∠FDA=∠FCB

FD

ECB

A

例3、三角形（梯形）中位线 (a)如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。(PM＝6)

(b)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中点，且AD＋BC＝DC。求证：MD⊥MC。 堂上练习 1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。 4

2、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。 3、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则它的高为（ ） A、4 cm B、24cm C、8cm D、28cm 4、如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ）

A、20031 B、20041 C、200321 D、200421

5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝300，∠C＝600，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF＝ 。

6、如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝ 。

7、如图，直角梯形ABCD的中位线EF＝a，垂直于底的腰AB＝b，则图中阴影部分的面积是 。 5

8、如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点，求证：EF＞)(21CDAB 例4、全等三角形的判定 1、如图，已知A，B，C，D，E五点的坐标分别为(1,2)，(3,2)，(4,3)，(2,6)，(3,5)．如果点F在第—象限内，且以D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，那么点F的坐标是多少？

2、如图：已知等边△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E． 求证：AE＝3CE．

3、如图，已知点C是AB上一点，ΔACM、ΔCBN都是等边三角形.AN、CM交于点D，CN、BM交于E， 证明：（1）AN=BM （2）△DCE是等边三角形 （3）DE//AB

4、如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．

A B C D

E

ABMNCA

B C D

E F G 6

5、如图：已知设△ABC是等腰三角形，D、E分别是腰AB及AC延长线上的点，且BD=CE，连接DE交BC于G点．求证：DG=EG．

练习 1、如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。 求证：BE⊥AC。

2、如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。 求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。

3、如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。 求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。

4、如图：已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，试说明CE=DE．

ABCD

EG

CFEBD

A

OFED

C

B

A

GHFED

CB

A 7

5、如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证：（1）∠CDA＝∠EDB；（2）AD=CE+DE．

1 2 A B

C D E 6、如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF．

7、如图：已知D是△ABC的边BC上一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．试说明AC=2AE． 8、已知：点P是等边⊿ABC内的一点，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的长。 例5、比例线段 （A） 已知875cba，且20cba，求cba2

若65432cba,且2132cba ，试求cba::（堂上练习）

ABCD

E

F 8

（B）ba＝dc＝fe＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ .（bandbmcandbnmdcba





:)0(等比性质）

（C）已知dcba，证明：ddcbba (合比性质) 例6、相似三角形 1、如图，在ABG中，D、E和C、F分别是AG、BG的三等分点下面给出四个结论：

（1）:1:4GDCGEFSS（2）:1:9GDCGABSS （3）S△EGF：S△GAB=2：3（4）EFCDABFE:1:3:5GDCSSS四边形四边形：

其中结论正确的个数是（ ） 2、如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y． （1）如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x之间的函数关系式； （2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．

3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC•的中点，EF与BD相交于点M． （1）求证：△EDM∽△FBM； （2）若DB＝9，求BM．

4、如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．