【推荐精选】2018-2019版高中数学 模块综合试卷 新人教A版选修2-3

模块综合试卷(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x4考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案 A解析由题意可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4.2．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A．36 B．35 C．34 D．33考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案 D解析不考虑限定条件确定的不同点的个数为C12C13A33＝36，但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33.3．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在第一次正面向上的条件下，第二次反面向上的概率为( )A.14B.13C.12D.23考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 C解析 记事件A 表示“第一次正面向上”，事件B 表示“第二次反面向上”，则P (AB )＝14，P (A )＝12，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12.4．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ＜2)＝0.6，则P (0＜ξ＜1)等于( ) A ．0.4 B ．0.3 C ．0.2 D ．0.1 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 D解析 由已知可得曲线关于直线x ＝1对称，P (ξ＜2)＝0.6，所以P (ξ＞2)＝P (ξ＜0)＝0.4，故P (0＜ξ＜1)＝12P (0＜ξ＜2)＝12(1－0.4－0.4)＝0.1.5．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②在刻画回归模型的拟合效果时，R 2的值越大，说明拟合的效果越好； ③设随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，则P (ξ＞4)＝12；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越小． 其中正确的说法是( )A ．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 考点 独立性检验思想的应用题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用 答案 B解析 ①中各小长方形的面积等于相应各组的频率；②正确，相关指数R 2越大，拟合效果越好，R 2越小，拟合效果越差；③随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，正态曲线对称轴为x ＝4，所以P (ξ＞4)＝12；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则说明“X与Y 有关系”的犯错误的概率越大．6．设某地区历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85.在过去的30年内该地区都未发生特大洪水，则在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是( )A ．0.25B ．0.3C ．0.35D ．0.4 考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题 答案 A解析 设在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是P ，根据条件可得，0.8×1＋(1－0.8)×P ＝0.85，解得P ＝0.25.7．某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝0.8x ＋a ^，若某儿童记忆能力为12，则预测他的识图能力约为( )A ．9.5B ．9.8C ．9.2D ．10 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 A解析 ∵x ＝14×(4＋6＋8＋10)＝7，y ＝14×(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本点的中心为(7,5.5)，代入回归方程得5.5＝0.8×7＋a ^，∴a ^＝－0.1，∴y ^＝0.8x －0.1，当x ＝12时，y ^＝0.8×12－0.1＝9.5，故选A.8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有( ) A ．40种 B ．30种 C ．20种 D ．60种 考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 C解析 分类解决．甲排周一，乙，丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排，有A 24＝12(种)方法；甲排周二，乙，丙只能是周三至周五选两天安排，有A 23＝6(种)方法；甲排周三，乙丙只能安排在周四和周五，有A 22＝2(种)方法．由分类加法计数原理可知，共有12＋6＋2＝20(种)方法．9．如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么此系统的可靠性为( )A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题 答案 B解析 1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C ) ＝1－0.1×0.2×0.3＝1－0.006＝0.994.10．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式通项T k ＋1＝C k 552k x -·(－1)k a k ·2k x -＝(－1)k a k C k 552k x -， 令52－k ＝32，则k ＝1， ∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行．要使4引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 B解析 4引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,2引擎飞机成功飞行的概率为p 2，要使C 34p 3(1－p )＋p 4＞p 2，必有13＜p ＜1.12．若在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( ) A.16 B.14 C.13 D.512 考点 排列与组合的应用题点 排列、组合在古典概型中的应用 答案 D解析 注意到二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式的通项是T k ＋1＝C k n ·(x )n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C kn ·2－k·234n kx-.依题意有C 0n ＋C 2n ·2－2＝2C 1n ·2－1＝n ，即n 2－9n ＋8＝0，(n －1)(n －8)＝0(n ≥2)，解得n ＝8.∴二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项是T k ＋1＝C k 8·2－k ·344k x -，展开式中的有理项共有3项，所求的概率为A 66A 37A 99＝512.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．任意选择四个日期，设X 表示取到的四个日期中星期天的个数，则E (X )＝________，D (X )＝________.考点 二项分布、两点分布的均值 题点 二项分布的均值 答案 47 2449解析 由题意得，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17，所以E (X )＝47，D (X )＝2449. 14．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 考点 排列与组合的应用题点 排列、组合在古典概型中的应用 答案1735解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735. 15．某数学老师身高为176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm. 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 183.5解析 记从爷爷起向下各代依次为1,2,3,4,5用变量x 表示，其中5代表孙子．各代人的身高为变量y ，则有计算知x ＝2.5，y ＝175.25.由回归系数公式得b ^＝3.3，a ^＝y －b ^x ＝175.25－3.3×2.5＝167，∴线性回归方程为y ^＝3.3x ＋167，当x ＝5时，y ＝3.3×5＋167＝183.5，故预测其孙子的身高为183.5 cm.16．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种．(填数字) 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 56解析 分析题意可知，最终剩余的亮着的灯共有9盏，且两端的必须亮着，所以可用插空的方法，共有8个空可选，所以应为C 38＝56(种)． 三、简答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值． 考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－k C k 52052k x -，令20－5k ＝0，得k ＝4，故常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n， 由题意知2n＝16，得n ＝4，由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T 3， 故有C 24a 4＝54，解得a ＝± 3.18．(12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数． (1)A ，B 必须被选出； (2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任． 考点 排列与组合的应用 题点 排列组合的综合应用解 (1)除选出A ，B 外，从其他10个人中再选3人，选法数为C 310＝120.(2)按女生的选取情况分类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生．所有选法数为C 25C 37＋C 35C 27＋C 45C 17＋C 55＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理，所有选法数为C 17·C 15·A 310＝25 200.19．(12分)近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加，某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势，如图是根据该市环保部门提供的2011年至2015年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图．(为便于计算，把2011年编号为1,2012年编号为2，…，2015年编号为5)(1)以PM2.5年均浓度值为因变量，年份的编号为自变量，利用散点图提供的数据，用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准，空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米，该市若不采取措施，试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限制．参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2，a ^＝y －b ^x .考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用解 (1)由散点图可得，变量x i ，y i 组成的几组数据为(1,13)，(2,15)，(3,20)，(4,22)，(5,25)， 则x ＝3，y ＝19，所以b ^＝(－2)×(－6)＋(－1)×(－4)＋0×1＋1×3＋2×6(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝3.1. a ^＝y －b ^x ＝19－3.1×3＝9.7.所以所求线性回归方程为y ^＝3.1x ＋9.7. (2)由3.1x ＋9.7＞35，得x ＞8.16， 因为x ∈N ，所以x ＝9.故可预测到2019年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．20．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋中的概率P (A )；(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率与ξ的均值E (ξ)． 考点 常见的几种均值 题点 二项分布的均值解 (1)方法一 记小球落入B 袋中的概率为P (B )，则P (A )＋P (B ) ＝1.由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B 袋，∴P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，∴P (A )＝1－14＝34.方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A 袋，∴P (A )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝34.(2)由题意，ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，34，∴P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343⎝ ⎛⎭⎪⎫141＝2764，∴E (ξ)＝4×34＝3.21．(12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和均值．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).考点 独立性检验思想的应用题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用 解 (1)由已知数据得K 2的观测值k ＝30×(10×8－6×6)216×14×16×14≈1.158＜2.706.所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关． (2)X 的可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝C 28C 214＝413，P (X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891，P (X ＝2)＝C 26C 214＝1591.所以X 的分布列为X 的均值为E (X )＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.22．(12分)设袋子中装有a 个红球、b 个黄球、c 个蓝球，且规定：取出1个红球得1分，取出1个黄球得2分，取出1个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中依次任取(有放回，且每个球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求a ∶b ∶c .考点 均值与方差的应用 题点 均值与方差的综合应用解 (1)根据题意，得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，推荐精选K12资料推荐精选K12资料 P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的分布列为(2)根据题意，知η的分布列为所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53， D (η)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59， 化简⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.。