【课例】 球面与球冠
南京市第二十九中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(解析版)
【解析】
【分析】对于选项 A：利用分步计数原理求解判断；对于选项 B：按 1，1，2 分组求解判断；
对于选项 C：根据每家企业至少分派 1 名医生，且医生甲必须到 A 企业，分 A 企业分 2 人和
1 人两类求解判断；对于选项 D：分 C 企业没有派医生去和派 1 名医生两类求解判断.
【详解】对于选项 A：所有不同分派方案共有 34 种，故错误；
【详解】2 至 8 这 7 个数中质数有 4 个，从 7 个数中取 2 个，共有 C72 21个结果，
取出
2
个数都为质数，有 C24
6
个结果，所以所求概率
P
6 21
2 7
．
故选：B
4. 已知 m 0 ，且152022 m 恰能被 14 整除，则 m 的取值可以是（ ）
A. 1
B. 12
C. 7
2023x1
C 1 1 2022 2023
2022x1
2022
2023x
2023
2022x
0
，
所以，1 x4 1 2x5 1 2023x 2022 1 2022x 2023 的展开式中含 x 的项为 6x，其系
数q 6．
依题意得 m n p C62 C36 C64 15 20 15 50 ，
3
2
2 3
6
2
2 3
3.
故选：C
2.
设
P(A|B)＝P(B|A)＝
1 2
，P(A)＝ 1 3
，则 P(B)等于（
）
A. 1
2
【答案】B 【解析】
1
B.
3
1
C.
4
1
D.
球的表面积积分推导
球的表面积积分推导
球体是一种非常常见的几何体，在很多物理和数学问题中都有着重要的应用。
球的表面积是球体一个非常基本的性质，我们可以通过积分来推导球的表面积公式。
假设球半径为R，球心位于原点，我们可以用球坐标系来描述球体的几何性质。
球坐标系中，一个点的坐标可以用径向距离r、极角θ和方位角φ三个参数来描述：
x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ
球的表面积可以看成是由无数个小面积元素组成，每个小面积元素可以看成一个球冠的一部分。
球冠的面积可以用微积分的方法来求解，具体方法如下：
先考虑一个球冠，它的半径为r，高度为h。
我们可以将球冠展开成一个扇形，扇形的弧长为2πr sinθ，扇形的面积为1/2×(2πr sinθ)×h。
将球冠划分成无数个小球冠，每个小球冠的高度都可以看成是无穷小，那么球冠的面积就可以表示为：
dS = 2πr sinθ dh
将球冠的面积元素dS在整个球面上积分，就可以得到球的表面积S：
S = ∫∫dS = ∫^π0∫^2π0 2πR sinθ dθ dφ根据积分的定义，我们可以将上式展开，得到：
S = ∫^π0 sinθ dθ∫^2π0 2πR dφ
S = 4πR^2
因此，球的表面积公式为S = 4πR^2。
我们可以看到，这个公式与我们平时所接触到的球的表面积公式是相同的。
14静电场习题课
X
由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的ｙ分量抵消 由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的ｙ
λ ｄｌ ＋ ）＝－ ｄEｘ＝ｄEｃｏｓ（ π φ 2ｃｏｓ φ 4ππR 0 λR 0 2 ＝－ ｄ 2ｃｏｓφ φ 4ππR 0
λ0 2π 2 Eｘ＝－ ∫ ｃｏｓ φｄ φ 4πε R 0 0 λ0 2π 1－ｃｏｓ 2φ ＝－ ｄφ ∫ 0 4πε R 2 0 λ0 ＝－ 4ε0 R
2
d
•
⇒ E = 0 试指出其错误。 试指出其错误。
答：所选球面上场强的大小不处处相等，不能用： 所选球面上场强的大小不处处相等，不能用：
E • dS = E • 4πr ∫∫
S
2
〔例5〕已知空间电场强度分布为 〕 求（1）通过图示立方体的电通量， ）通过图示立方体的电通量， （2）该立方体内的总电荷是多少？ ）该立方体内的总电荷是多少？ 解：（1） ：（ ）
ｑ ∴U 0＝ ＝U球 4πε ｒ 0
〔例14〕正电荷均匀分布在半径为R的球形体积内，电荷体 〕正电荷均匀分布在半径为R的球形体积内， 密度为ρ,求球内ａ点与球外ｂ点的电势差时， ρ,求球内 密度为ρ,求球内ａ点与球外ｂ点的电势差时，得出结果
R O
σ
x
X
σ －σ ｘ E＝ ｉ ＋ 〔1－ ｉ〕 2 2 2ε 2ε R ＋ｘ 0 0 σ ｘ ＝ ｉ 2 2 2ε R ＋ｘ 0
U＝ E •ｄ ｌ ∫Eｃｏｓ π ＝ －E（－ｄｘ） ＝ ｄｌ ∫ ∫
0 ｘ 0 ｘ 0 ｘ
σ 0 ｘ 注意符号变换！ 注意符号变换！ ｄｘ ＝ ∫ 2 ｘ 2 2ε R ＋ｘ 0 －1 σ 01 2 2 ＝ ∫（R ＋ｘ ） 2ｄ（R 2＋ｘ2） ｘ 2ε 2 0 σ 1 （R ＋ｘ ）2 0 σ ＝ 〔 • 〕 ＝ 〔R－ R 2＋ｘ2〕 ｘ 1 2ε 2 2ε 0 0 2
2023-2024学年辽宁省协作体高二(下)期末物理试卷(含答案)
2023-2024学年辽宁省协作体高二（下）期末物理试卷一、单选题：本大题共7小题，共28分。
1.某同学上学时错过了校车。
校车从上车位置A 点出发10分钟后，某同学才从A 点乘上了一辆出租车。
两车刚好同时到达下车位置B 。
两车均视为直线运动，所走路径一致，校车的v−t 图像如图实线所示；出租车的v−t 图像如图虚线所示。
关于两车从A 到B 的过程，下列说法正确的是( )A. 前25min 内两车间的距离一直在增大B. 出租车的平均速度比校车的大C. 30min 末两车第三次相遇D. 25min 末校车速度和加速度的方向均改变2.如图所示，蜘蛛网的主干纤维上分布着许多纤维凸起，可作为水蒸气凝结为水珠的凝结核，在朝阳下宛如珍珠项链。
下列说法正确的有( )A. 清晨的露珠格外明亮，这是阳光照射进小水珠后的折射现象B. 由于露珠受到重力作用，所以露珠呈现的是上小下大的近似球状的水滴，与表面张力无关C. 水珠悬挂在蜘蛛网上，说明水可以浸润蜘蛛丝D. 露珠内部水分子热运动的平均动能不随温度变化而变化3.如图所示，甲图是铀核裂变，铀核在被中子轰击后分裂成钡和氪，同时释放中子，产生的中子能使核裂变反应连续的进行，称为链式反应，乙图是反应堆中放射性元素氡的质量和初始时质量比值与时间之间的关系图像，丙图是原子核的比结合能与质量数之间的关系图像，丁图为α粒子散射图景，下列判断正确的是( )A. 甲图，铀核裂变反应方程为 23592U→14456Ba +8936Kr +210nB. 乙图，每过3.8天反应堆的质量就减少一半BaC. 丙图， 5626Fe原子核结合能高于 14456D. 丁图，其中有少数α粒子发生大角度偏转，是因为α粒子受到原子核的库仑斥力4.有时我们能观察到日晕现象，如图甲所示，日晕是当太阳光线在卷层云中的冰晶折射时而产生的。
图乙所示为一束太阳光射到六角形冰晶时的光路图，a、b为其折射出的两种单色光。
下列说法正确的是( )A. a光的频率大于b光的频率B. 以相同角度斜射到同一玻璃板透过平行表面后，b光侧移量大C. 分别用a、b两种光在相同条件做双缝干涉实验，a光得到的干涉条纹间距较窄D. b光比a光更容易发生明显衍射现象5.如图所示为做简谐运动的质点位移随时间变化图像，则下列说法正确的是( )A. 质点在t=0时刻位移方向为y轴负方向B. (t1+0.25)s～(t1+0.5)s时间内，质点的速度与加速度方向相反C. 质点在任意一个1.25s内通过的路程均为50cm)mD. 质点的振动方程为y=0.1sin(2πt+π66.如图甲所示为演示光电效应的实验装置，图乙所示为该实验装置在a、b、c三种光照射下得到的三条电流表与电压表读数之间的关系曲线，图丙所示为氢原子的能级图，表格给出了几种金属的逸出功和极限频率关系。
【新结构】(临沂一模)山东省临沂市2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷+答案解析
【新结构】（临沂一模）山东省临沂市2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则()A.1B.C.9D.2.已知等差数列的前n项和为，若，则()A.1012B.1013C.2024D.20253.若虚数单位i是关于x的方程的一个根，则()A.0B.1C.D.24.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是()A. B. C. D.5.的展开式中含x项的系数为()A.9B.10C.18D.206.已知函数则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北方向发射炮弹，B则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为()A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里8.将1到30这30个正整数分成甲、乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则()A.的定义域为B.的值域为RC.当时，为奇函数D.当时，10.下列结论正确的是()A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为B.已知随机变量，若，则C.在列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍，其中D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，“2枚骰子正面向上的点数相同”，则A，B互为独立事件11.已知圆，抛物线的焦点为F，P为W上一点.()A.存在点P，使为等边三角形B.若Q为C上一点，则最小值为1C.若，则直线PF与C相切D.若以PF为直径的圆与C相外切，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
立体角
数学术语
01 定义
03 常见
目录
02 应用
立体角（Solid Angle），常用字母Ω表示，是一个物体对特定点的三维空间的角度，是平面角在三维空间 中的类比。它描述的是站在某一点的观察者测量到的物体大小的尺度。例如，对于一个特定的观察点，一个在该 观察点附近的小物体有可能和一个远处的大物体有着相同的立体角。
对于任意一个四面体OABC,其中O,A,B,C分别为四面体的四个顶点。下面给出一个公式，计算从O点观察三角 形ABC的立体角Ω的方便简单的公式。令α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB(均为各自平面内两条直线的夹角，可以 采用平面三角形的余弦公式计算求得)，。
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锥体的立体角大小定义为，以锥体的顶点为球心作球面，该锥体在球表面截取的面积与球半径平方之比，单 位为球面度。
定义
公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 任意定向曲面
单位 封闭曲面
在球坐标系中，任意球面的极小面积为： 因此，极小立体角（单位球面上的极小面积）为： 所以，立体角是投影面积与球半径平方值的比，这和“平面角是圆的弧长与半径的比”类似。对极小立体角 做曲面积分即可得立体角：
常见
圆锥球冠
任意四面体
顶角为2的圆锥的立体角为一个单位球的球冠。 （上面结果由下式得到） 应该注意阿基米德在2200年前不用微积分证明了球冠的表面积与半径为球冠边沿到球冠最低点的距离的圆的 面积相等。球冠边沿到球冠最低点的距离为 显然，在单位圆中球冠立体角为 当θ=π，立体角涵盖整个球体，球冠变为有着立体角 4π的球，我们将4π称为全方位立体角。当θ=π/2， 球冠变为有着立体角 2π的半球。
一个完整的球面对于球内任意一点的立体角为4πsr（对于球外任意一点的立体角为0sr）： 这个定理对所有封闭曲面皆成立，它也是高斯定律的主要依据。
三面角与球面几何如何正确运用三面角与球面几何相关知识解决数学问题
三面角与球面几何如何正确运用三面角与球面几何相关知识解决数学问题三面角与球面几何如何正确运用三面角和球面几何是数学中重要的概念和工具，在解决数学问题时具有广泛的应用。
本文将重点介绍三面角和球面几何的相关知识，并探讨如何正确运用它们来解决数学问题。
一、三面角的基本概念三面角是由三个平面所围成的空间角，也可以被看作是一个点在三个平面上的投影。
它具有以下几个基本属性：1. 三面角的顶点位于球心上。
2. 三面角的边是由球心到三个顶点的线段。
3. 三面角的面是由三个相邻的边所围成的平面区域。
4. 三面角的大小可以用它的面积来衡量，可以通过球面几何中的一些公式计算得出。
二、球面几何的基本概念球面几何是研究球面上的几何性质和关系的数学分支。
它和平面几何类似，但在某些方面具有独特的性质。
以下是球面几何的一些基本概念：1. 球面：球面是由球的表面构成的二维几何对象。
2. 球心：球心是球面的中心点，用来确定球面上的位置。
3. 球面上的直线：球面上的直线是连接球面上两点的最短路径。
4. 球面上的角：球面上的角是由两条球面上的弧所围成的部分。
三、三面角和球面几何在数学问题中的应用三面角和球面几何在解决数学问题时有着重要的应用，比如：1. 三面角的面积计算：通过球面几何的公式可以计算出三面角的面积，从而解决与三面角面积相关的问题。
2. 球面上的距离计算：球面几何可以帮助我们计算球面上两点之间的最短路径，从而解决与球面上距离相关的问题。
3. 球面上的角度计算：球面几何可以帮助我们计算球面上两条弧之间的夹角，从而解决与球面上角度相关的问题。
4. 三面角的相似性与一致性：三面角有一些特殊的相似性和一致性性质，可以应用于解决相关问题。
四、例题分析为了更好地理解和应用三面角和球面几何的知识，我们来看一个例题：已知一个球体，其半径为r。
球体上有一角A，B，C。
求证：三面角ABC的面积等于球冠的表面积减去三个三角形的面积之和。
解答：首先，三面角ABC的面积可以通过球面几何的公式计算得出。
高二数学二第一章1.3.2 球的体积和表面积【教案】
《1。
3.2球的体积和表面积》教学设计教材：人民教育出版社A 版普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》一、 教学目标知识目标：1、掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=.2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．能力目标：通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神。
提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力情感目标：通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、 教学重点、难点重点：球的体积和表面积的计算公式的应用。
难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题三、教学方法采用试验探索，启发式的教学方法。
教辅手段:圆柱、圆锥、半球容积比实物模型;一盆水；多媒体。
四、教学过程2 球的表面积：（以后讲）11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+又∵i h R≈,且S =12i S S S ∆+∆+++∆∴可得13V R S ≈⋅,又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=，∴24S R π=即为球的表面积公式小结:球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=都是以R 为自变量的函数。
教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想渗透微积分思想。
练习1：如果球的体积是36πcm 3,那么它的半径是 .3练习2： 若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为( C ）(A ）8：27 （B ）2：3 (C ）4：9 （D ）2：9例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证：(1）球的体积等于圆柱体积的23教师引导学生共同完让学生应用举例（2)球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R,高为2R.则有V球=334R，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=圆柱V32。
空间几何中的球与其截面知识点
空间几何中的球与其截面知识点在空间几何学中，球体是一个重要的几何体，具有众多的特性和性质。
球体的截面是指通过球体的一个平面所得的图形。
本文将从球体的基本定义开始，深入探讨空间几何中的球与其截面的知识点。
一、球体的基本定义球体是由所有到某一固定点距离相等的点组成的集合。
这个固定点称为球心，到球心距离相等的距离称为半径。
球体的表面称为球面，球面上的点到球心的距离等于半径。
球体是一种特殊的立体，具有很多独特的性质。
二、球体的参数球体的参数包括球心、半径和球面积。
球心是球的中心点，可以用坐标表示。
半径是从球心到球面上任意一点的距离，用符号r表示。
球面积指的是球面的总面积，它等于4πr²，其中π是一个数学常数，近似取值为3.14。
三、球体的截面类型1. 当平面与球体相交于球心时，所得截面是一个直径。
2. 当平面和球体相交于球面上的两点，所得截面是一个弦。
3. 当平面与球体相交于球面上的一点，所得截面是一个切线。
4. 当平面与球体相互平行时，所得截面是两个相交的圆。
四、截面与球体的关系1. 直径是一种特殊的截面，它将球体分成两个等大的半球。
2. 弦是两个不相交的截面，它们在球体内部形成一个球冠。
3. 切线是切割球体表面的截面，它与球体表面上的点相切。
4. 平行截面将球体分成两个相等的部分，每个部分都是一个球冠。
五、球体截面的性质1. 直径是球体截面中最长的，且其长度等于球体的直径。
2. 弦的长度小于直径，且弦长等于这两个点之间的距离。
3. 切线和球体的半径垂直，且相交于球体表面上的点。
4. 切线与切线之间是平行的，它们在球体内部形成一个带状区域。
六、球体截面的应用球体截面的研究在许多领域有着广泛的应用，如物理、工程和建筑等领域。
例如，在物理学中，球体截面的形状和大小对于计算物体的密度分布和质量分布均匀性非常重要。
在工程学中，球体截面的性质被广泛应用于设计和制造圆形零件，如轴承和球阀。
在建筑学中，球体截面的美学特性被应用于建筑设计中，创造出独特而富有艺术感的建筑形式。
立体几何小题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)
立体几何小题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）一、单选题1．（2023·广东·统考一模）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A．12B．2C．3D2．（2023·山东济南·一模）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A．4B．4C．D．3．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中a αβ⋂=，b βγ= ，c γα= ，且a b P = ，则下列结论一定成立的是（）A ．b 与c 是异面直线B ．a 与c 没有公共点C ．//b cD ．b c P= 【答案】D【分析】根据题设条件可得相应的空间图形，从而可得正确的选项.【详解】∵a b P = ，∴P a ∈，P b ∈，∵a αβ= ，b βγ= ，∴P α∈，P β∈，P γ∈，∵c αγ⋂=，∴P c ∈，∴b c P = ，∴a c P ⋂=，如图所示：故A ，B ，C 错误；故选：D ．4．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵..”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（）A ．8B ．6C ．4D ．35．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知矩形ABCD 中，AB =8，取AB 、CD 的中点E 、F ，沿直线EF 进行翻折，使得二面角A EF B --的大小为120°，若翻折后A 、B 、C 、D 、E 、F 都在球O 上，且球O 的体积为288π，则AD =（）A ．B ．C ．4D ．2记三角形CDF 外接圆的圆心为因为二面角A EF B --的大小为且,EF DF EF CF ⊥⊥，所以所以30DCF ∠=o ，由正弦定理可得sin DFDCF∠6．（2023·山东日照·统考一模）红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积S Rh=.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，2π则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为（）A．21940πcm B．22400πcm D．22540πcm2350πcm C．27．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知圆锥的侧面积为，高为，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为（）A．B．8πC．9πD．【答案】D【分析】由圆锥侧面积公式及勾股定理可得圆锥半径r与母线l长，求该圆锥的外接球体积即可.【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则8．（2023·山东威海·统考一模）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．20π9．（2023·山东聊城·统考一模）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线m 、n 分别在平面ABCD 和11ABB A ，且m n ⊥，则下列命题中正确的是（）A ．若m 垂直于AB ，则n 垂直于AB B ．若m 垂直于AB ，则n 不垂直于ABC ．若m 不垂直于AB ，则n 垂直于ABD ．若m 不垂直于AB ，则n 不垂直于AB【答案】C【分析】根据线面垂直的判定定理及直线位置关系来判定选项即可.【详解】如图所示：A 选项，若m 垂直于AB ，则面11ABB A 内的所有直线均与m 垂直，无法证明,AB n 的关系，故A 选项错误，B 选项与A 同理；C 选项，若m 不垂直于AB ，因为1BB m ⊥，所以当m n ⊥时，1//BB n ，又因为1BB AB ⊥，所以n 垂直于AB ；D 选项与C 同理.故选：C10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）则三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面π,6,3,6ABC PA BC CAB ==∠=，则三棱锥-P ABC 的外接球半径为（）A ．3B．C ．D ．611．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm ，高10cm ，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.r 的值应设计为（）A ．BC ．4D ．5【答案】D【分析】表示出表面积后，根据二次函数性质可得.【详解】大圆柱表面积为2215π10215π750π⨯+⨯⨯=小圆柱侧面积为102πr ⨯，上下底面积为22πr 所以加工后物件的表面积为2750π20π2πr r +-，当=5r 时表面积最大.故选：D12．（2023·湖北·统考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（）A．B ．2023C D ．13．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲、S 乙，体积分别为V 甲、V 乙，若2S S =甲乙，则V V 甲乙等于（）A B ．5C ．5D14．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知,,A B C为球O球面上的三个点，若3AB BC AC===，球O的表面积为36π，则三棱锥O ABC-的体积为（）A B．4C．4D．415．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）A．175π3B．75πC．238π3D．259π3因为圆台上､下底面的半径分别为所以4OB OA ==，1O B 所以2211OO OB O B =-所以127O O =，16．（2023·广东茂名·统考一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m ；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为2的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（）A ．321πmB ．318πm C ．(318πm+D ．(320πm+【答案】C因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为()2211sin 23sin 3l αα=⨯⨯=17．（2023·广东茂名·统考一模）已知菱形ABCD 的各边长为2，=60B ∠︒.将ABC 沿AC 折起，折起后记点B 为P ，连接PD ，得到三棱锥P ACD -，如图所示，当三棱锥P ACD -的表面积最大时，三棱锥P ACD -的外接球体积为（）A ．π3B ．π3C ．D ．π34+【点睛】结论点睛：若三棱锥有两个面为共斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球的球心为该斜边的中点.18．（2023·江苏·统考一模）已知正四面体-P ABC 的棱长为1，点O 为底面ABC 的中心，球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O 的半径为（）A B C ．9D ．3二、多选题19．（2023·浙江·统考一模）已知三棱柱ABC DEF -的棱长均相等，则（）A ．AB CF ⊥B ．AE BD ⊥C ．60ABC ∠=︒D ．60ADE ∠=︒【答案】BC【分析】根据题意结合异面直线夹角逐项分析判断.【详解】对A ：∵AD CF ，则AB 与CF 的夹角为BAD ∠，不一定是直角，A 错误；对B ：由题意：ABED 为菱形，则AE BD ⊥，B 正确；对C ：由题意：AB BC CA ==，则60ABC ∠=︒，C 正确；对D ：由题意：ABED 为菱形，则()0,πADE ∠∈，即ADE ∠大小无法确定，D 错误.故选：BC.20．（2023·江苏泰州·统考一模）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点O ，则（）A ．1AD //平面1BOCB ．BD ⊥平面1COC C ．1C O 与平面ABCD 所成的角为45 D ．三棱锥1C BOC -的体积为23【答案】ABD【分析】根据线面平行判定定理判断A ，利用线面垂直判定定理判断B ，利用线面夹角的定义判断C ，根据等体积法判断D.【详解】∵111//,AD BC AD ⊄平面11,BOC BC ⊂平面1,BOC 1∴AD //平面1BOC ，A 对；21．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知a ，b 为空间中两条不同直线，α，β为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（）A ．αβ∥，a α⊂，b a b β⊥⇒⊥B ．αβ∥，a α⊥，b a b β⊥⇒∥C ．αβ⊥，a αβ⋂=，b a b β⇒∥∥D ．αβ⊥，a α⊥，b a b β⊥⇒⊥22．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -侧面11BB C C （包含边界）上一点，下列说法正确的是（）A ．存在唯一一点P ，使得DP //1AB B ．存在唯一一点P ，使得AP //面11ACD C ．存在唯一一点P ，使得1A P ⊥1B D D ．存在唯一一点P ，使得1D P ⊥面11AC D 【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，设()1,,1,AD P x z =，写成点的坐标，A 选项，根据向量平行得到方程组，得到0,1x z ==，存在唯一一点P ，使得DP //1AB ，A 正确；B 选项，证明出1BD ⊥ 平面11AC D ，从而得到10AP BD ⋅=，列出方程，解得：x z =，得到P 点轨迹为线段1B C ；C 选项，由向量数量积为0列出方程，得到P 在线段1BC 上，满足条件的P 有无数个；D 选项，在1BD ⊥平面11AC D 的基础上，得到,P B 重合，D 正确.【详解】如图建系，令()1,,1,AD P x z =，则()()()()()()()11111,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1A A C D B D B ，对于A ，()()1,1,,0,1,1DP x z AB == ，若1//DP AB ，则01x z λλλ=⋅⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得：0,1x z ==故()0,1,1P 满足要求，与1C 重合，存在唯一一点P ，使得DP //1AB ，A 对.对于B ，因为()()1111,1,11,1,0110B AC D ⋅=--⋅-=-= ，()()111,1,11,0,1110BD A D ⋅=--⋅--=-=，因为1111A C A D A ⋂=，111,A C A D ⊂平面11AC D ，所以1BD ⊥ 平面11AC D ，又AP //平面11AC D ，则10AP BD ⋅=，()()1,1,11,1,110x z x z --⋅-=--+=，解得：x z =，故P 点轨迹为线段1B C ，满足条件的P 有无数个，B 错，对于C ，()()11111,1,1,1,1,1,11110A P x z DB A P DB x z x z =--=⋅=-++-=+-= ，P 在线段1BC 上，满足条件的P 有无数个，C 错.对于D ，由B 选项可知：1BD ⊥ 平面11AC D ，而1D P ⊥面11AC D ，又1D P 与1BD共线，故,P B 重合，D 对.故选：AD.23．（2023·山东青岛·统考一模）下列说法正确的是（）A ．若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B ．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C ．设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D ．若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补24．（2023·湖南常德·统考一模）已知平面α，β，直线l ，m ，则下列命题正确的是（）A ．若αβ⊥，,,m l m l αβα⋂=⊥⊂，则l β⊥B ．若l αβα⊂∥，，m β⊂，则//l mC ．若m α⊂，则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件D ．若m α⊂，l α⊄，则“l α∥”是“l m ”的必要不充分条件【答案】ACD【分析】根据面面垂直的性质定理可判断A,根据线面平行的判断以及性质可判断BD,根据线面垂直的性质可判断C.【详解】由面面垂直的性质定理可知A 正确,对于B,若l αβα⊂∥，，m β⊂，则//l m ,或者,l m 异面，故B 错误,对于C,若m α⊂,l α⊥则l m ⊥,故充分性成立,但是l m ⊥，m α⊂，不能得到l α⊥，故C 正确，对于D,若m α⊂，l α⊄，l α∥,不能得到l m ,因为,l m 有可能异面，但是l m ，m α⊂，l α⊄，则l α∥，故D 正确，故选：ACD25．（2023·广东茂名·统考一模）已知空间中三条不同的直线a 、b 、c ，三个不同的平面αβγ、、，则下列说法中正确的是（）A ．若a b ∥，a α⊥，则b α⊥B ．若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，则a b c ∥∥C ．若αβ⊥，a α⊄，a β⊥，则a αP D ．若c β⊥，c γ⊥，则βγ∥如图，正方体两两相交的三个平面平面ABCD ⋂平面11ABB A =平面11ABB A 平面11ADD A =对于C ，若αβ⊥，a β⊥，则αP三、填空题26．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为20cm ，10cm ，侧棱长为10cm ，忽略其壁厚，则该升斗的容积为_________3cm ．【详解】上下底面对角线的长度分别为：202,10上底面的面积2120400S ==()2cm ，下底面的面积四棱台的体积27．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，22AB DC ==，E 为AD 的中点.将EAB 和ECD 分别沿,EB EC 折起，使得点A ，D 重合于点F ，构成四面体FBCE .若四面体FBCE 的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为_________.故答案为：324.28．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，12AM AD =，平面11A BC ⋂平面1CC M l =，则直线l 与1D M 所成角的余弦值为__________．【答案】3030【分析】作出辅助线，找到1C G 即为直线l ，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式求出答案.【详解】作出图形，如图所示．延长DC 至E ，使得DC CE =，则1A AB △≌1C CE △，111D A C≌CBE △，故11A B C E =，11A C BE =，故四边形11A C EB 为平行四边形，连接BE ，延长MC ，BE 交于点G ，连接1C G ，则1C G 即为直线l ．以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AD =，过点G 作GN ⊥y 轴于点N ，则MDC △∽GNC △，且相似比为1:2，故24CN CD ==，22GN DM ==，则()10,2,2C ，()2,6,0G -，()1,0,0M ，()10,0,2D ，29．（2023·湖北·校联考模拟预测）葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其枝密集繁茂，象征着儿孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚大，代表着心胸开阔、和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体Ω，其中Ω的下半部分是半径为1O 的一部分，Ω的上半部分是半径为3的球2O 的一部分，且126O O =，则过直线12O O 的平面截Ω所得截面的面积为__________．30．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为23π3，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________．【答案】2【分析】设圆台的母线长为l ．解得2故答案为：2.。
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【课例】 球面与球冠
（1）教学目标
通过“球的表面积”和“球冠的面积”的教学
让学生掌握有关的面积计算公式，以及推导公式的方法；
激发学生探索公式来源的愿望
让学生经历猜测、验证的过程，发展他们“做数学”的能力。
设计意图
这是一个富有数学内涵，而且能够引起学生数学思考的学习题材。不能把它定位与之要
求学生记住球面（球冠）面积公式，剩下的练习就是反复地解几个一元方程——已知半径求
面积；已知面积球半径等等，因为中小学数学不能仅仅是工具，还应当具有培养学生思维能
力的智力价值。而怎样把培养思维能力与学习知识技能结合起来，则应当通过设计一些富有
思考价值的问题来实现。
这个问题的关键在于球面不能展开成平面图形，所以球的表面积公示无法用展开图求出，
而这种利用展开图求几何体表面积的方法是学生熟悉的——以往求圆柱、圆锥、圆台的表面
积公式时，都采用了展开图的方式，这里是引发认知冲突的一个“好点”。
为了计算球的表面积，教材不得不用学生不熟悉的方法——无限逼近法，而且事先还要
证明一个预备定理。这里，学生会有两个不满意的地方：
①“球面不能展开成平面图形”，教材没有阐明缘由，而且直观并不明显，学生就不轻
信、不满意。
②中学生在这里第一次接触无限运算，感情上总有点抵触（尽管无限运算是非常科学的
方法），何况还要求先证明一个预备定理，远不如展开图的方法那么干净、利落。因此，学
生对旧的方法（展开图方法）便产生眷念之情，一时放不下，总想着用它来解决问题。
（3）教学过程
①激发学生研讨公式的愿望。
教师顺次提出下列三个问题：
问题1 [教师手捧实心半球模型，要全班学生目测]是半球的面积大？还是底面的大圆
面积大？
（设计者：人人都能回答这个问题，使全体学生进入活动）
问题2 半球面积是大圆面积的几倍？
10倍对不对？5倍对不对？3倍对不对？（均无学生肯定）2倍对不对？（有学生肯定）
问题3 正好是2倍吗？不能是2.1倍或1.9倍吗？
（设计者：凭直觉难以确定，教材上有答案：球面积是大圆面积的4倍。若有学生采用
教材的答案也不要紧——书上说是2倍，大家相信吗？此时已经引起他们需要“真正相信”
结论的欲望了——他们学习这段教材的要求从潜伏状态进入活动状态，不满足于记住书中的
结论。尽管通过自己的目测与讨论，学生确定可以记住书本的结论，但他们更想知道这个结
论是如何得出的。）
师：[宣读教材上的一段话]“圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，都是利用它们的展开
图求出的。由于球面不能展开成平面图形，所以球的表面积公式无法用展开图求出。为了求
得球的表面积公式，我们需要证明一个预备定理„„”。
事实上，因为圆柱、圆锥、圆台都是一条线段运动而成，属于可展开平面（甚至孙悟
空挥舞金箍棒时取得的曲面有时也属于可展开平面），但球面就不属于可展开平面，这一点，
我们现在无法去探讨。（设计者：对于探索欲望强的学生，这段话是不能让他满意的，这里
就埋下了一个可供研究的线索（事实的发展果然如此），而且也实现了“让学生经历猜测与
验证的过程，发展他们做数学的能力”的教学目标。）
②用分析法介绍预备定理“phS2圆台侧”的证明过程。
（设计者：“预备定理”的证明并不难，但采用分析法的方式，可以帮助学生理解证
明的思路，学习证明的基本方法。）
教材中的一句话“注意：这个结果对于球的内接圆柱、圆锥同样成立”会引起学生注
意，可以作为练习，让学生完成。
（设计者：这些活动有助于学生理解结论的意义，掌握推导相应公式的方法——教学
目标。）
③讲解定理：球面面积等于它的大圆面积的4倍。
这是学生们迫切需要解决的问题，由于学生第一次接触无限运算，因此最好由教师讲
解。关键的两点要讲清。
（设计者：对学生认知水平的把握是设计合理教学的基本前提）
第一点，教材提出“如果分点无限增加，侧面就无限地接近于半球面，同时p也无限地
接近于R。当p变为R时，侧面积的和S变为22R，我们把这个和作为半球面的面积”为什么
要把和“22R”作为半球面的面积，而不直接说22R就是半球面的面积？
第二点，教材是采用等分圆弧来无限逼近的，如果采用等分半径行不行？
④介绍相应的球冠知识。
有了上述的基础知识，掌握球冠知识就不难了，教学时应让学生理解一些最基本的知
识与方法，并能灵活地运用它们解决一些问题，而不要死记一些次要的东西。例如。可以强
调指出：
● 球冠是球面的一部分，● 不● 是几何体——球冠的面积不● 包括底面圆
的面积。
● 球面被一平面截得的两部分都是球冠，● 其中一个球冠的高大于或等于球半
径R，● 另
一个球冠的高小于或等于半径R——因而所得两个球冠的面积公式是一样的。球冠面积另一
公式：22hrS球冠（其中r是球冠的底的半径，h是球冠的高）。不要求死记，而应让
学生自己去理解、掌握。