统计学8章指数

第8章统计指数指数是社会经济统计中历史最悠久、应用最广泛，同社会经济生活关系最密切的一个组成部分。

它产生于18世纪欧洲资本主义迅速发展时期。

当时由于美洲新大陆开发的大批金银贵金属源源不断输人，使欧洲物价骤然上涨，引起社会的动荡不安。

经济学家为了测定物价的变动，开始尝试编制物价指数。

此后200多年，指数的应用和理论不断发展，逐步扩展到工业生产、进出口贸易、铁路运输、工资、成本、生活费用、股票证券等各个方面。

其中有些指数，如消费品价格指数、生活费用价格指数，同人们的日常生活休戚相关；有些指数，如生产资料价格指数、股票价格指数等，则直接影响人们的投资活动，成为社会经济的指示器。

至今，指数不仅是分析社会经济和景气预测的重要工具，而且还被应用于经济效益、生活质量、综合国力、社会发展水平的综合评价研究。

本章第一节简述指数的概念和分类，第二节、第三节阐述指数的编制方法和指数应用的几个重要的特例，第四节扼要介绍指数体系。

§8.1 指数的概念和种类－、指数的概念和作用我国早期的统计学家胡孝绳曾经这样给指数下过定义：指数是指有关变数在不同场合综合大小的比较数字。

在这里，所谓“有关变数”是指变量或变量群。

因此，指数就是在某一场合的综合变量与另一场合综合变量互相比较得到的，用以说明变量综合变化的特殊的动态相对数。

指数的涵义有广义和狭义两种。

广义的指数是指一切说明社会经济现象数量变动或差异程度的相对数，如我们以前学过的动态相对数、比较相对数、计划完成程度等均可称之为指数。

而胡孝绳先生的指数定义即是狭义的指数：一种特殊的相对数，也即专指说明不能直接相加的复杂社会经济现象综合变动程度的相对数。

例如，零售物价指数，是说明全部零售商品价格总变动的相对数；工业产品产量指数，是说248明一定范围内全部工业产品实物量总变动的相对数，等等。

统计中的指数，主要是指这种狭义的指数。

从指数的概念可知，指数是对现象量的变动的综合测定，具有综合的性质。

从数量上进行综合，无非是把各个别的量加总为一个总量，或者是对这些个别的量进行平均，以平均数为代表，表示总体的水平。

但是，使用价值不同的量是不可以直接相加的；即使求平均数，也必须以同质的量为基础。

统计指数，作为一种测定方法，其核心就是要解决如何对不同质的量进行综合的问题。

具体来说，指数有以下几个主要性质：（1）指数是比较的数字：指数的主要性质在于比较，此种比较通常以相对数（Relative）或比率(Ratio)表现。

（2）指数是综合的数字：大多数指数是综合多种变量与另一条件下综合量的比较，而非单一各数字之间的比较。

单一数字之间的比较我们称之为“个体指数”，个体指数实际上就是相对数，且应用不广泛。

因此指数是综合多因素的分析，具有综合的特性。

（3）指数分析的是变量在不同环境下的变化，所谓不同环境，可以是时间环境，空间环境等。

（4）指数是平均的数字：指数乃综合大小的比较，这个综合数量应该是个别量的代表，寓意含平均的性质，所以西方经济学家通常采用的是求平均数的方法去进行指数的计算和分析。

二、指数的种类可以从不同的角度对指数进行分类。

基本分类有以下三种：1、按指数所反映的对象不同，分为个体指数和总指数。

个体指数是说明个别现象变动的相对数，如某种产品的产量指数，某种商品的价格指数等。

总指数是说明总体范围某种现象变动的相对数，如工业产品产量指数，农产品收购价格指数等。

此外，介于个体指数与总指数之间的指数，叫组指数或类指数，说明总体中某一组或某一类现象变动的相对数，类指数是由个体指数加权平均得到，个体指数与类指数是相对的，小类指数相对于中类指249数就是个体指数。

以下总指数和类指数统称综合指数，都属于狭义的指数，编制方法相同，只是计算范围不同而已。

2、按指数表明的现象性质不同，分为数量指标指数和质量指标指数。

数量指标指数是反映数量指标变动程度的相对数，如产品产量指数，商品销售量指数等。

质量指标指数是反映质量指标变动程度的相对数，如价格指数，成本指数等。

3、按指数采用的基期不同，分为定基指数和环比指数。

在指数数列中，如果各个指数采用某一固定时期为基期，这种指数称为定基指数；如果各个指数均以前一时期作为基期，则这种指数称为环比指数,同理还有年距指数。

4、按说明对象的时间状况不同，统计指数可分为动态指数和静态指数动态指数是用于说明现象在不同时间上数量对比的相对数。

随着指数的研究范围和应用领域不断扩大，推广到研究同一时间不同空间的数量对比和计划完成情况研究，这类指数即属于静态指数。

静态指数是动态指数在应用上的扩展，所以其计算原理和分析方法与动态指数基本相同。

§8.2 综合指数编制方法综合指数的编制是指数分析的主要应用与工具。

历史上，早期的价格指数曾用各种价格的总和进行对比和简单平均方法计算。

这类指数由于不考虑各种商品的使用价值与权重，难以反映价格的真实变动而多数遭淘汰。

随着数学方法的不断发展，逐渐出现了各种加权方法计算的总指数。

如前所述，指数最早产生于对个体物价水平的变动分析，即用报告期物价除以基期物价得到的相对数，我们以K代表个体指数，1p代表报告期物价水平，0p代表基期物价水平，则个体物价指数250251 %)100(01⨯=p pK （8.1） 例如，市场上某种商品2003年的价格为306元/件，2004年为312 元/件，则该商品的价格指数为（%)100(01⨯=p K ＝312/306＝）101.96% 但是，在日常生活以及生产过程中，我们每天消费的产品多达几十种甚至近百种，那么，怎样对于这多种不同产品综合考察其价格的变动幅度呢？ 一、拉斯贝尔综合指数在指数研究领域贡献杰出的当推德国的经济学家。

1864年，德国经济学家拉斯贝尔用基期的销售额作权数，对于个体物价指数和个体销售量指数分别求加权算术平均数，创建了最早的综合指数，我们称之为拉斯贝尔综合指数。

即若共有n 个个体，第i 个体的物价指数和销 售量指数分别为0101,i i i i i i q qq p p p K K ==，其中01,i i p p ，01,i i q q 分别为 第i 个体的报告期与基期的物价和销售量，以基期销售额00i i q p 构造的一组权数 ∑==n j j j i 1i q p q p i w 1000，n i ,1= （8.2）可以得到拉氏综合物价指数为：∑∑==∑===n i q p q p p n i i p p n j j j i i i i K w K K 1110000再将01i i i p p p K =代入上式，整理得到∑∑===n i j j n i i i q p q p p K 100100，在不致混淆 时略去下标i ，简记为∑∑=0001q p q p p K （8.3）252 同理，以（8.2）式基期销售额00i i q p 构造的一组权数i w ，按上面相同步骤，可以得到拉氏综合数量指数，公式为∑∑=0010q p qp q K （8.4） 拉斯贝尔的指数公式一经出台，便在社会上得到了广泛运用。

人们发现了一种综合反映社会经济发展状况的行之有效的方法：当我们研究总体的变化时，可将此总体分为对其产生影响的若干因素，在固定其他因素的前提下研究其中一种因素的变化对于总体所产生的影响。

这种分析方法就是今天被广泛使用的指数分析法。

让我们换一个角度来分析拉斯贝尔指数（以下称拉氏指数）的意义。

在物价指数中，由于我们需要研究的是物价的变动，因此分子是报告期的物价，分母是基期的物价。

但是由于产品的使用价值不同，多种产品的物价是不能够直接相加的，因此在公式中引入了销售量因素，由于销售量因素的引用，使得不能够直接相加的价格转化成为了能够直接相加的销售额。

在研究销售量的变化时，分子是报告期的销售量，分母是基期的销售量，但是多种商品的销售量指标是不能够直接相加的，于是在指数公式中引入了价格指标，价格作为一个过渡因素，使得不能够相加的销售量转变成为了可以直接相加的销售额。

我们把这个引入的过渡指标称作“同度量因素”。

在拉氏指数中，同度量因素被固定在基期。

二、派许综合指数在拉斯贝尔的指数公式被广泛使用了10年以后，1874年，另一位德国经济学家派许用报告期的n 个销售额11i i q p 构造一组权数i w ，分别对个体价格指数和个体销售量指数计算加权调和平均数，得出派氏综合物价指数和综合物量指数，其公式分别为：∑==n i i i p 1w p K 11， ∑==n i i i q 1w q K 11 其中0101,i i i i i i q q q p pp K K ==，于是253 ∑∑=∑∑=∑∑=======n i i i n i i i n i q p q p p ni q p q p K p q p q p K n j j j i i i i p n j j j i i i p 11011111111111101111111略去下标i 不难得到派氏综合物价指数公式为∑∑=1011q p q p p K （8.5） 同理，派氏综合物量指数公式为∑∑=0111q p qp q K （8.6） 在派许指数公式中，我们看到了类似的分析方法，即同度量因素被固定在报告期。

应该指出的是，在两个公式中，同度量因素不仅充当转化剂的角色，同时还起着权数的作用。

拉氏指数将权数因数固定在基期，派氏指数将其固定在报告期；以物价指数为例，拉氏指数分析的是当销售量因素固定在基期（保持）不变条件下的物价变动幅度，而派氏指数分析的是当销售量因素相对不变（保持在报告期）条件下的物价变动幅度。

应该说，两个公式各有所长：在拉氏公式中，由于同度量因素保持在基期，使得价格指数在计算过程中不受销售量的变动影响，从而可以确切地只反映价格的变化，但其缺点是往往脱离目前的消费水平；派氏指数考虑到了当前的消费，但反映的就不再是单纯价格因素的变动。

对于同样的资料，采取不同的公式，计算的结果是不相同的。

为了使得不同空间下计算的指数具有可比性，本教程规定在不指定按派许还是按拉氏公式计算指数时，意味者：“物量指数按拉氏公式和物价指数按派氏公式”即，当研究价格，扩大来说，当研究质量指标指数时，将作为同度量因素的数量指标固定在报告期；当研究数量指标指数时，将作为同度量因素的质量指标固定在基期。

这种固定方法不仅保持了不同地254区指数指标的可比性，同时也使得选择因素之间保持了平衡关系，便于进行因素分析。

下面我们举例说明其具体应用：例8.1某商店销售3种商品的销售量和价格资料如表8.1，试求该商店的综合销售量指数。

解：三种商品的销售量均有所增长，其增长变动可分别用个体 指数表示。

以01i i i q q K =表示个体物量指数，01,i i q q 分别为第i 个 体的报告期与基期的销售量，则三种商品的个体物量指数分别为：甲商品%12525.1505.6210111====q q q K 乙商品%120902==q K 丙商品%1151001153==q K 上面三个指数只能各自反映一种商品的销售量变动幅度，对于企业所有者而言，更多时候他们关注的是销售n 种商品的综合销售量变动情况，要概括说明三种商品销售量总变动情况，就要计算销售量总指数。