四年级质数和合数练习题
小学奥数知识名师点拨 例题精讲 质数与合数(一).教师版
【例 6】 9 个连续的自然数，每个数都大于 80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组 【考点】判断质数合数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】我们知道任意连续 9 个自然数中最多有 4 个质数，本题考察对 100 以外的质数的熟练情况，有 101，
后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是 5 5 5 15 ，最大是19 19 19 57 ， 经试验，三个数的和可以是从15 到 57 的所有奇数，所有可能的不同值共有 22 个。 【答案】22
【例 8】 自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数 有多少个？
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. ⑵ 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.
二、判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我 们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个
5-3-1.质数与合数（一）.题库
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【考点】判断质数合数 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】全国小学奥林匹克 【解析】这样的自然数有 4 个：23，37，53，73． 【答案】4
【例 9】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易
103，107，109 是 4 个质数。 【答案】101，103，107，109 是 4 个质数
爱提分四年级第一阶数论第02讲
知识图谱-100以内的质数100以内质数表偶质数性质与基本应用质数与合数的应用提高数论第02讲_100以内的质数错题回顾100以内的质数知识精讲一．质数与合数的概念1．只有1和它本身两个因数的数，称为质数。
2．除了1和它本身，还有其他因数的数，称为合数。
0和1既不是质数，与不是合数。
二．100以内的质数表1~100中的质数是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
1~100中有25个质数，74个合数，其中1既不是质数与不是合数。
质数中有且仅有一个偶数，那就是2。
三点剖析重难点：熟悉100以内的25个质数，并且灵活应用奇偶性，解决偶质数的相关应用。
题模精讲题模一100以内质数表例1.1、只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，如：2、3、5、7,等．那么，比40大并且比50小的质数是___________，小于100的最大的质数是___________．答案：41、43、47；97解析：本题考查100以内的常见质数．例1.2、爸爸和儿子岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，且数字之和为13，又已知爸爸比儿子大27岁，则儿子是________岁．答案：20解析：，只有67为质数，故年龄和为67．由和差问题易知儿子20岁．例1.3、五个连续自然数，每个数都是合数且都不超过60，则这五个连续自然数的和最大是（）．A、170B、250C、280D、285答案：解析：小于60的质数有59、53、47、43、41、……，所以连续的五个自然数且都是合数，最大的是58、57、56、55、54，它们的和是．例1.4、已知为50以内的一个两位质数，且也是质数，则满足条件的所有的和是________．答案：104解析：50以内的两位质数是11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，满足条件的有11、23、29、41，和为．例1.5、有一类最简真分数满足以下条件：（1）分子与分母都是两位数的质数；（2）分母正好是分子这个质数逆序排列所成的质数．如就是满足上述条件的一个分数．那么满足这两个条件的最简真分数有__________个，其中最大的一个是__________．答案：解析：满足自身与其逆序数均为两位质数的有11；13、31；17、71；37、73；79、97．符合条件的最简真分数有有4个，最大的是．题模二偶质数性质与基本应用例2.1、Let a、b are prime numbers and the sum of these primes is 49．Then （）．A、B、C、D、答案：B解析：根据奇偶性及2是质数中唯一的偶数易知两个质数分别为2和47，．例2.2、（1）两个质数的和是1999，那么这两个质数是多少？（2）若两个质数的差是35，那么它们的积是多少？答案：（1）1997（2）74解析：（1）通过奇偶分析易知两个质数必为一奇一偶，即一个为2，另一个为．（2）通过奇偶分析易知两个质数必为一奇一偶，即一个为2，另一个为，它们的积是．例2.3、三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？答案：可能为（2，3,47）（2,43,7）（2,37,13）（2,31,19）解析：小于50的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、发现只有一个偶数2，所以一定包含2，另外两个为奇数，且和为50,、．例2.4、若两个不同的质数m、n满足，那么__________．答案：7或8解析：满足条件的有，或，，所以．例2.5、若三个不同的质数的和是53，则这样的三个质数有__________组．答案：11解析：三个不同的质数的和是53，所以三个质数都必须是奇数．从最小的奇质数枚举如下：．共11组．例2.6、三个数p，p + 3 ，p + 5 都是质数，它们的倒数之和是 ____ ．答案：解析：可知p一定是2，．例2.7、有6个数字a、b、c、d、p、q，满足，c和d的奇偶性相同，且p、q、都是质数，则最大是多少？答案：解析：c和d的奇偶性相同，故为偶数，p、q、中必有偶数，只能是，进而易得，．将问题转化为竖式，易知最大是9846．例2.8、已知p、q为质数，并且存在两个正整数m、n，使得，，则_________．答案：解析：因为且为质数，所以中有一个为1．不妨设，则，．又因为p、q为质数，故．代入得原式值为．题模三质数与合数的应用提高例3.1、在1到100这100个正整数中，不能被2、3、5、7中任何一个数整除的数有__________个．答案：解析：数论问题，不能被这些数整除的一定都是质数，1-100的质数去掉1、2、3、5、7还有22个．例3.2、将正整数1，2，3，4，5，6，…，10000排成一行．若一个数不能表示成两个合数的和，则将此数划去．例如要划去1，但是因为，8就不能划去．根据上面规定划掉所有能划掉的数之后，将剩下的数由小到大排列．这时从左数第2013个数是_______．答案：2022解析：从8开始往后的偶数可以拆成两个偶合数的和；从13开始的奇数可以拆成9+2n的形式（n大于等于2），而1、2、3、4、5、6、7、9、11要划去，所以剩下的数列为8、10、12、13、14、15……，第2013项即为2022．例3.3、小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数．”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数．”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方．”那么小明今年____________岁．（小明今年年龄小于31岁，且年龄均为整数岁）答案：16解析：设小红岁，年龄差，则小明岁．由题意知为质数①，为质数②，为质数③的平方即年龄和，年龄和可能为4，9，25，49．经验证，年龄差为7，小红今年9岁，小明今年16岁．例3.4、四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形顶点上的数之和相等．问这六个质数的积是多少？答案：900解析：设每个小三角形顶点上的数之和为，当计算题4个小三角形顶点上的数之和时，中间三个圆圈算了三次，减去两次后得到六个质数之和20，，三个质数和为10，则这三个质数为2、3、5.六个圆圈分别填两个2、3、5.它们的积为900．随堂练习随练1.1、最小的质数是________，最小的自然数是________．答案：2；0解析：最小的质数是2，最小的自然数是0．随练1.2、在31、37、51、57、71、77、91、97这8个数中，有几个合数？A、2个B、3个C、4个D、5个答案：C解析：在这8个数中，31、37、71、97是质数，51、57、77、91是合数，即一共有4个合数．正确答案是C．随练1.3、三个连续自然数，每个数都是合数，则这三个连续自然数的和最小是（）．A、6B、27C、45D、720答案：B解析：列举可知，最小的三个数为8、9、10，所以这三个连续自然数的和最小是．随练1.4、在20以内的质数中，加上2以后结果还是质数的，一共有（）个．A、8B、6C、4D、2答案：C解析：3、5、11、17符合要求，共4个．随练1.5、两个质数的和是45，这两个质数的积是_______．答案：86解析：两质数必为一奇一偶，故一定有2，另一个为，两数之积为86．随练1.6、从20以内的质数中选出6个，写在一个正方体的六个面上，使得两个向对面的和都相等，所选的6个数是________．答案：5、7、11、13、17、19解析：首先2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3、5、7、11、13、17、19这7个数，从中选择6个相当于剔除一个，由于这7个数的和为75，是3 的倍数，而选出的6个数的和也是3的倍数，所以被剔除的那个数应该也是3的倍数，只能是3，所以选出的6个数分别是5、7、11、13、17、19．随练1.7、三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积最大是__________．答案：374解析：三个数的和是偶数，可以是三个偶数，或者一偶两奇．考虑质数中只有2是偶数，可知一定是一偶两奇，且偶数是2．另外两个奇数是5和23或11和17．所以这三个质数的乘积是或，乘积最大是374．随练1.8、一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．答案：11、13、17、31、37、71、73、79、97解析：列出备选的两位质数，十位数字是2、4、5、6、8的就不用罗列了．观察这些数，只有19颠倒过来后是合数：，排除19，剩下的质数都满足要求．自我总结课后作业作业1、1~100这100个自然数中质数有25个，合数有________个．答案：74解析：1~100中，25个质数之外的75个数中，只有1不是合数，其他的都是．所以有74个合数．作业2、a是100以内最大的质数，b是100以内最小的质数，那么__________．答案：99解析：，，所以．作业3、五个连续的自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是__________．答案：130解析：最小的连续五个合数是24、25、26、27、28，所以这五个连续自然数的和最小是130．作业4、在横线上填入三个不同的质数，使等式成立________+________+________＝60，则共有________种不同的填法．答案：3解析：由奇偶性分析易知这三个质数必为2奇1偶，即必有2，只需将58表示为2个质数之和即可．，共3种填法．作业5、有一个质数是两位数，这两位上的数字相差6，则这个两位数的质数是．答案：17或71解析：各位必为偶数．分别试验1、7和3、9，17或71满足要求．作业6、两个质数的和是19，则这两个质数的积是______．答案：34解析：由奇偶性可知必有2，另一个为，两数乘积为34．作业7、当和+5都是质数时，_______．答案：37解析：当和+5奇偶性不同，而且都为质数，那么较小的数必须为2，所以37．作业8、已知正整数p、q都是质数，并且与也都是质数，求p、q的值．答案：或解析：若p、q均为奇数则为大于2的偶数，与其为质数矛盾，故p、q必有偶数，即为2．当时，q、、均为质数，且讨论得此三数被3除的余数各不相同，因此q只能为3，此时另两个均为17，满足条件；当时，p、、均为质数，同理可得p也只能为3，此时另两个数分别为23和17，满足要求．综上，或．作业9、张中中小朋友手中有四张卡片，分别写有1、2、3、4；张右右小朋友手中也有四张卡片，分别写着5、6、7、9，两位小朋友将卡片放在一起适当组合恰好形成四个不同的两位质数（卡片不重复使用，也不得有剩余），请将四个质数的和求出．答：_________答案：190解析：2只能和9配，为29．4只能和7配，为47．进而另两个为61、53，总和为190．作业10、（1）两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？答案：（1）35（2）2、7、31解析：（1）．偶质数是2，所以奇质数是．这两个质数的差是（2）40是偶数，如果写成三个数相加的形式则有两种情况，，或，第一种情况显然是不可能的（质数中只有2是偶数）．所以可以确定出三个质数中有一个一定是2，剩下两个奇质数的和是38．通过简单的枚举可得，只有符合题意．所以这三个质数分别是：2，7，31．作业11、有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如（n为质数）的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数．例如：就是第一个梅森质数．第一个梅森合数是（）．A、4B、15C、127D、2047答案：D解析：可依次写出梅森数：，第一个梅森质数；，第二个梅森质数；，第三个梅森质数；，第四个梅森质数；，第一个梅森合数．所以答案为D．也可以用排除法，梅森数一定为奇数，A选项排除．，4为合数，所以15不是梅森数，B选项排除．，127为质数，所以127为梅森质数，C选项排除．检验可知，D选项为梅森合数，所以答案为D．作业12、在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是____________．答案：5，13，17，29解析：通过枚举法可得，5、13、17、29．作业13、已知a,b,c只3个彼此不同的质数，若，则最大是___________．答案：32解析：．作业14、有些三位数，它的各位数字的乘积是质数，这样的三位数最大的为A，最小的为B．则__________．答案：599解析：由质数定义可知，质数只能写成1乘本身的形式，则说明三位数的三个数位上的数字有2个1，另一个为质数．则这样的三位数最大为711，最小为112，则．作业15、从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可能读的最大的数是________________．答案：98567432解析：设首位为9，旁边可为8，下一位最大为5……这样进行下去，最大为98567432．。
四年级上册数学素材-质数、合数与因数分解
质数、合数与因数分解一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫做质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：⎪⎩⎪⎨⎧合数质数单位正整数1质数，合数有下面常用的性质：1．1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数．2．若质数p │ab ，则必有p │a 或p │b ．3．若正整a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p ．4．算术基本定理：任意一个大于l 的整数N 能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N 可以写成标准分解形式：k k p p p N αααΛ2121=其中k p p p Λ<<21，i p 为质数，i a 为非负整数，(i ＝1，2，…k)．【例1】 已知三个不同的质数a ，b ，c 满足ab b c+a=2000，那么a 十b 十c= ．思路点拨 运用乘法分配律、算术基本定理，从因数分解人手，突破a 的值．+注： 对于研究者来说，寻找最大质数的精神，犹如物理学家在寻找比原子更懂小的粒子、或天文学家在不断追寻未为人所知的星体般，都须付出惊人的救力，正是这种单纯为满足求知欲的好奇心，正好是人类突破知识领域的动力．18世纪，欧拉发现了当时最大的质数231一l ，20世纪末人类借助超级计算机，发现了最大的质数2859433—1．【例2】 不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( )．A ．3B ．1C ．7D ．9思路点拨 从寻找适合题意的质数人手．【例3】 求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．思路点拨 由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数进行实验，但这样的质数惟一吗?还需按剩余类的方法进行讨论．【例4】(1)将l ，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N ．求证：N 一定是合数；(2)若n 是大于2的正整数，求证：2n 一1与2n +1中至多有一个是质数．思路点拨 (1)将1到2004随意排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论怎样排．所得数都有非1和本身的约数；(2)只需说明2n 一1与2n +1中必有一个是合数，不能同为质数即可．【例5】 用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm 规格的地砖，恰用n 块；若选田边长为ycm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x ，y 、n 都是正整数．且(x ，y)＝1．试问这块地有多少平方米?思路点拨 虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式．寻找解题的突破口．【例6】由超级计算机运算得到的结果2859433—1是一个质数，则2859433+1是( )A ．质数B ．合数C 奇合数D ．偶合数思路点拨 ∵ 2859433—1，2859433，2859433+1是三个连续正整数，∵2859433—1的末位数字是1，∴2859433是偶合数．∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433—1是质数，∴2859433+1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433+1是奇合数，故选C ．注：同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗?二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6=3+3，12=5+7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．【例7】用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x(㎝)规格的地砖，恰用n 块；若选用边长为了y(cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x ，、y 、n 都是正整数，且(x ，y)=1．试问：这块地有多少平方米?思路点拨 设这块地的面积为S ，则S=nx 2=(n+124)y 2，得n (x 2—y 2)=124y 2．∵ x>y ，(x ，y)=1，∴．(x 2－y 2，y 2)=l ，得(x 2－y 2)│124．∵124=22×31，x 2－y 2=(x 十y)(x －y)，x 十y>x －y ，且x 十y 与x －y 奇偶性相同， ⎩⎨⎧=-=+131y x y x 或⎩⎨⎧=-⨯=+2312y x y x 解之得x=16，y=15，此时n=900．故这块地的面积为S=nx 2=900×162=230400(cm 2)=23．04(m 2) ．注：虽然同—块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式，寻找解题的突破口．【例8】p 是质数，p 4+3仍是质数，求p 5+3的值．思路点拨 ∵ p 是质数，∴p 4+3 >3又p 4+3为质数，∴p 4+3必为奇数，∴p 4必为偶数，∴p 必为偶数．又∵p 是质数，∴p=2，∴p 5+3=25+3=35．【例9】已知正整数p 和q 都是质数，且7p+q 与pq+11也都是质数，试求p q +q p 的值． 思路点拨 pq+11＞11且pq+11是质数，∴pq+11必为正奇质数，pq 为偶数，而数p 、q 均为质数，故p=2或q=2．当p=2时，有14+q 与2q+11均为质数．当q=3k+1(k ≥2)时，则14+q=3 (k+5)不是质数； 当q==3k+2(k ∈N)时，2q+11=3(2k+5)不是质数，因此，q=3k ，且q 为质数，故q=3． 当q=2时，有7p+2与2p+11均为质数．当p==3k+1(k ≥2)时，7p+2=3(7k+3)不是质数；当p=3k+2(k ∈N )时，2p+11=3(2k+5)不是质数，因此，p=3k ，当p 为质数，故p=3． 故p q +q p =23+32=17．【例10】若n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数．思路点拨 我们知道，n 除以3所得的余数只可能为0、1、2三种．若余数为0，即n=3k(k 是一个非负整数，下同)，则n+3=3k+3=3(k+1)，所以3│n+3，又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．若余数为2，且n=3k+2，则n+7=3k+2+7=3(k+3)，故3│n+7，n+7不是质数；与题设矛盾．所以n 除以3所得的余数只能为1．注：一个整数除以m 后，余数可能为0，1，…，m —1，共m 个，将整数按除以m 所得的余数分类，可以分成m 类．如m=2时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余数为1的整数，即奇数．同样，m=3时，就可将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类．通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用．【例11】设a 、b 、c 、d 都是自然数，且a 2+b 2=c 2+d 2，证明：a+b+c+d 定是合数． 思路点拨 ∵a 2+b 2与a+b 同奇偶，c 2+d 2与c+d 同奇偶，又a 2+b 2=c 2+d 2，∴a 2+b 2与c 2+d 2同奇偶，因此a+b+c+同奇偶． ∴ a+b+c+d 是偶数，且a+b+c+d ≥4， ∴a+b+c+d 一定是合数．注：偶数未必都是合数，所以a+b+c+d ≥4在本题中是不能缺少的．【例12】正整数m 和m 是两个不同的质数，m+n+mn 的最小值是p ，求222p n m +的值． 思路点拨 要使p 的值最小，而m 和n 都是质数，则m 和n 分别取2和3，于是p=m+n+mn=11，故12113222=+pn m ． 注：要使p 值最小，别m 和n 尽可能取较小的值，而m 、n 是两个不同的质数，故m 和n 分别取2和3，从而p 值可求．【例13】若a 、b 、c 是1998的三个不同的质因数，且a ＜b ＜c ，则(b+c)a 的值是多少? 思路点拨 ∵1998=2×3×3×37，而a 、b 、c 为质数，∴a 、b 、c 的值分别为2、3、37．a ＜b ＜c ，故a=2，b=3，c=37，得(b+c)a =1600．【例14】n 是不小于40的偶数，试证明：n 总可以表示成两个奇合数的和．思路点拨 因为n 是不小于40的偶数，所以，n 的个位数字必为0、2、4、6、8，现在以n 的个位数字分类：(1)若n 的个位数字为0，则n=15+5k(k ≥5为奇数)；(2)若n 的个位数字为2，则n=27+5k(k ≥3为奇数)；(3)若n 的个位数字为4，则n=9+5k(k ≥7为奇数)；(4)若n 的个位数字为6，则n=21+5k(k ≥5为奇数)；(5)若n 的个位数字为8，则n=33+5k(k ≥3为奇数)；综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇合数的和．注：本题证明一个不小于40的偶数可以表示成两个奇合数之和，其难度与“哥德巴赫猜想”当然不可同日而语，但本题证明时使用了构造的方法，值得大家注意．【例15】 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．思路点拨 (1)能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，…，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，…，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．(2)不能办到．若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．注 站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．【例16】写出5个正整数，使它们的总和等于20，而它们的积等于420．思路点拨 设这5个正整数为54321x x x x x 、、、、，则7532420254321⨯⨯⨯==⋅⋅⋅⋅x x x x x ，而2054321=++++x x x x x ，故知这5个数分别为1、4、3、5、7．注： 在420的分解式中，把22看作2×2(即两个数相乘)还是一个数4，是否再增加一个因数1，这取决于对求和式的观察．【例17】若自然数n+3与n+7都是质数，求n 除以6的余数．思路点拨 不妨将n 分成六类，n=6k ，n=6k+1，…，n=6k+5，然后讨论．当n=6k 时，n+3=6k+3=3(2k+1)与n+3为质数矛盾；当n=6k+1时，n+3=6k+4=2(3k+2)与n+3为质数矛盾；当n=6k|+2时，n+7=6k+9=3(2k+3)与n+7为质数矛盾；当n=6k+3时，n+3=6k+6=6(k+1)与n+3为质数矛盾；当n=6k+5时，n+7=6k+12=6(k+2)与n+7为质数矛盾．所以只有n=6k+4，即n 除以6的余数为4．本题利用分类讨论进行．学力训练1．在l ，2，3，…，n 这n 个自然数中，已知共有p 个质数，q 个合数，k 个奇数，m 个偶数，则(q 一m)十(p 一k)＝ ．2．p 是质数，并且p+3也是质数，则p 11一52＝ ．3．若a 、b 、c 、d 为整数，且(a 2+b 2)(c 2+d 2)=1997，则a 2+b 2+c 2+d 2= ．4．已知a 是质数，b 是奇数，且a 2+b ＝2001，则a+b ＝ ．5．以下结论中( )个结论不正确．(1) 1既不是合数也不是质数；(2)大于0的偶数中只有一个数不是合数；(3)个位数字是5的自然数中，只有一个数不是合数；(4)各位数字之和是3的倍数的自然数，个个都是合数．A ．1B ．2C ． 3D ．46．若p 为质数，p 3+5仍为质数，p 5+7为( )．A ．质数B ．可为质数也可为合数C ．合数D ．既不是质数也不是合数7．超级计算机曾找到的最大质数是2859433一1，这个质数的末尾数字是( )．A ．1B ．3C ．7D ．98．若正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，a 为质数，那么b 、c 两数( )．A ．同为奇数B ．同为偶数C ． 一奇一偶D ．同为合数9．设n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数．10．试证明：形如11111l 十9×10n (n 为自然数)的正整数必为合数．11．若p 、q 为质数，m 、n 为正整数，p ＝m+n ，q ＝mn ，则mn qp n m q p ++= ． 12．若质数，m 、n 满足5m+7n ＝129，则m+n ＝ ．13．已知三个质数m 、n 、p 的积等于这三个质数的和的5倍，则m 2+n 2+p 2＝ ．14．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于 ．15．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1992个数是 ．16．证明有无穷多个n ，使多项式n 2+n 十41(1)表示合数；(2)为43的倍数．17．已知正整数p 、q 都是质数，且7p+q 与pq+1l 也都是质数，试求pq q p +的值．18． 1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，……请你回答：在这串数中有多少个质数?并证明你的结论．19．41名运动员所穿运动衣号码是l ，2，…，40，41这41个自然数，问：(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请单一例；若不能办到，请说明理由．参考答案。
冀教版四年级上册《第5章_倍数和因数》小学数学-有答案-单元测试卷
冀教版四年级上册《第5章倍数和因数》单元测试卷一、用心填一填，相信你能行！（17分）1. 在9、48、0.6、145、0、97、6这些数中，自然数是________；偶数是________；7奇数是________；质数是________；合数是________．2. ________既不是合数也不是质数。
3. 把30分解质因数，30＝________．4. 12的因数有________．5. 两个质数的积是39，这两个质数分别是________和________．6. A是一个自然数，它的最大因数是________，最小因数是________．7. 一本40页的画册，翻开后看到的页码数既是2、3的倍数，又是5的倍数，这个页码是________页。
8. 三个连续的自然数之和是36，则这三个数是________．二、相信你的眼睛最明亮．（对的打“√”，错的打“×”，14分）所有的质数都是奇数。
________．（判断对错）一个数的倍数一定比它的因数大。
________ （判断对错）把28分解质因数是：28=4×7．________．一个合数至少有三个因数。
________．（判断对错）个位上是3、6、9的数，都是3的倍数。
________．（判断对错）一个数既是2的倍数，又是5的倍数，那么，这个数一定是偶数。
________．（判断对错）因为42÷7=6，所以42是7的倍数，7是42的因数。
________．（判断对错）三、精心选一选，你一定能将正确答案的序号填在括号内（18分）一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（）A.6B.12C.144两个质数相乘的积一定是（）A.奇数B.偶数C.合数18和20都有的质因数是（）A.2B.3C.5正方形的边长是质数，它的面积一定是（）A.奇数B.偶数C.质数D.合数E.无法确定3和7都是21的（）A.质数B.质因数C.倍数在1∼20的各数中，4的倍数有（）个。
四年级数学上册分解质因数练习题及答案
答案
一、1.把一个数写成几个质数相乘的形式2.质数相乘3.短除
4. 2 3
二、1. A 2. B 3. B 4. C
三、3 5 3×5 21 3 7 2×3×7 4 6 2 2 2 3 2×2×2×3
四、8=2×2×2 16=2×2×2×2 54=2×3×3×3 72=2×2×2×3×3
2、在算式20=4×5中，4和5都是20的（）。
A、质因数B、因数C、倍数
3、3和7都是21的（）。
A、质数B、质因数C、倍数
4、一个合数，至少有（）个因数。
A、1B、2C、3
三、把下面各数分解质因数。
15 42 24
（）×（）2×（）（）×（）
15=（）×（）（）×（）（）×（）
42=24=
四、用短除法把下面各数分解质因数。
把282828分解质因数的是分解质因数的是分解质因数的是28228228பைடு நூலகம்728728728281281281222在算式在算式在算式204204204和和和55都是都是都是202020aaa质因数质因数质因数bbb因数因数因数ccc倍数倍数倍数和和和77都是都是都是212121aaa质数质数质数bbb质因数质因数质因数ccc倍数倍数倍数444一个合数至少有一个合数至少有一个合数至少有个因数
5.5分解质因数
一、我会填。
四年级数学上册分解质因数练习题及答案
2、每个合数都可以写成几个（）的形式。
3、把一个合数分解质因数，为了简便，通常用（）法。
4、两个数都是质数的连续自然数是（）和（）。
二、我会选。
1、把28分解质因数的是（）。
A、28=2×2×7B、2×2×7=28C、28=1×2×2×7
四年级下册数学奥数讲义-质数 冀教版
四年级第十二讲质数、合数与分解质因数◆温故知新：1.只能被1和自身整除的数叫做。
2.除了1和他本身之外,还能被其他数整除的数,叫做；3.最小的质数是；最小的合数是。
4.自然数1和0既不是,也不是。
5.把一个合数分解成几个质数连乘积的形式叫做。
这几个质数就叫做。
6.分解质因数2002＝。
7.请写出100以内的质数◆课前小练习1.将36分成两个质数的和。
2.将50分成两个质数的和。
3.在括号内填入适当的质数。
10=（）+（）10=（）×（）20=（）+（）+（）8=（）×（）×（）4.把下面各数分解质因数。
124= 198= 65=56= 93= 105=94= 76= 135=87= 20= 72=5.下面的数中,哪些是合数,哪些是质数。
1,13,24,29,41,57,63,79,87合数有：质数有：◆例题展示例题1两个质数的和是2001,这两个质数的乘积是多少？练习1（1）两个质数的和是33,求这两个质数的积。
（2）两个质数的和是39,求这两个质数的积。
例题2如果三个互不相同的质数相加,和为52,这三个质数可能是多少？练习2设有三个不同的质数,它们的和是40,这3个质数分别是多少？例题3两个自然数的和为20,积为96,求这两个数。
练习3两个质数的和是18,积是65,这两个质数分别是多少？例题4小高参加了学校四年级数学兴趣小组的综合能力竞赛,并获得了前三名,她高兴地对同学们说：“我的得分,名次与我的年龄之积恰好是2328.”你能推算出她的年龄,名次与成绩吗？练习4（1）把下面的数分解质因数：①360；②539；③12660；④374；⑤373（2）请把下面的数分解质因数：①2635；②22425.◆拓展提高拓展1三个连续自然数的乘积等于39270,那么这三个连续自然数的和等于多少？强化1（1）三个连续自然数的积是32736,求这三个数。
（2）四个连续自然数的积是3024,求这四个数。
四年级上册数学质数和合数
四年级上册数学质数和合数一、质数与合数的定义。
1. 质数（素数）- 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
例如2，2的因数只有1和2；再如5，5的因数也只有1和5。
- 最小的质数是2，2是唯一的偶质数。
2. 合数。
- 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
比如4，4的因数有1、2、4；9的因数有1、3、9等。
- 1既不是质数也不是合数，因为1只有1个因数，不符合质数与合数的定义。
二、判断质数与合数的方法。
1. 列举因数法。
- 对于较小的数，可以通过列举出这个数的所有因数来判断它是质数还是合数。
- 例如判断12是质数还是合数，12的因数有1、2、3、4、6、12，因数个数超过2个，所以12是合数。
- 再判断7是质数还是合数，7的因数只有1和7，所以7是质数。
2. 试除法。
- 对于较大的数，可以用试除法来判断。
- 从2开始，依次用小于这个数的自然数去除这个数，如果都不能整除，那么这个数就是质数；如果能被某个数整除，那么这个数就是合数。
- 例如判断101是否为质数，用2、3、4、5……依次试除，发现101不能被2到100之间的任何数整除，所以101是质数。
三、质数与合数相关的数学问题类型及解法。
1. 概念辨析题。
- 例：下面的数中，哪些是质数，哪些是合数？17、22、35、37、87。
- 解答：17的因数只有1和17，所以17是质数；22的因数有1、2、11、22，所以22是合数；35的因数有1、5、7、35，所以35是合数；37的因数只有1和37，所以37是质数；87的因数有1、3、29、87，所以87是合数。
2. 根据条件求质数或合数。
- 例：一个两位数，它是合数，并且十位数字与个位数字之和是8。
这样的两位数有哪些？- 解答：因为十位数字与个位数字之和是8，所以可能的组合有（1，7）、（2，6）、（3，5）、（4，4）。
- 组成的两位数分别是17、71、26、62、35、53、44。
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新书院质数和合数练习题
一填空
1．在自然数中，最小的奇数是（ ），最小的偶数是( )，最
小的质数是( )，最小的合数是( )。
2、20以内不是偶数的合数有（ ），不是奇数的质数有
（ ）。
3、在20以内的自然数中，既是奇数又是合数的数是（ ）和（ ）。
4、质数只有( )个因数，它们分别是( )和( )。
5、一个合数至少有( )个因数，( )既不是素数，也不是合数。
6、自然数中，既是质数又是偶数的是( )。
7、在20至30中，不能分解质因数的数是( )。
8、在1—20的自然数中，奇数有（ ），偶数有（ ）素数有（ ），
合数有（ ）。
9、一个自然数的最大因数是24，这个数是（ ）。
10、100以内最大的质数与最小的合数的和是（ ），差是（ ）
11、两个质数和为18，积是65，这两个质数是（ ）和
（ ）。
12、100以内最大的质数与最小的合数的和是（ ），差是（ ）。
13、两个都是质数的连续自然数有（ ）和（ ）；三个数都是合数
的连续自然数有（ ），（ ）和( )
14、百内质数中，数字相同但是位置相反的质数有（ ）（ ）、（ ）（ ）、
（ ）（ ）、（ ）（ ）。
15、有两个数都是质数，这两个数的和是15，两个数的积是26，这两个数是
（ ）、( )
16、 有两个数都是质数，这两个数的和是8，两个数的积是15，这两个数是：
（ ）、（ ）
17、两个质数和为18，积是65，这两个质数是（ ）和（ ）。
18、有三个质数，它们的乘积是105，这三个质数各是（ ）、（ ）、
（ ）。
19、把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做（ ）。
20、A、B、C是三个不同的质数，且A－B=C，若得数最小，A是（ ）B是
（ ）、C是（ ）。
二判断题
1、两个质数的和一定是偶数。 ( )
2、质数的因数只有一个。 （ ）
3．一个数的因数都比它的倍数小。 ( )
4、1是奇数也是素数。 （ ）
5、所有的偶数都是合数。 （ ）
6、18的因数有6个，18的倍数有无数个。 （ ）
7、一个数是6的倍数，这个数一定是2和3的倍数。 （ ）
8、两个奇数的和是偶数，两个奇数的积是合数。 （ ）
9、一个数的因数一定比它的倍数小。 ( )
10、质数与质数的乘积还是质数。 ( )
11、一个自然数个位上是0，这个自然数一定是2和5的倍数。 （ ）
12、质数一定是奇数，合数一定是偶数。
13、任何一个数都可以写成质数相乘的形式。 （ ）
14、任何一个合数都可以写成质数相乘的形式。 ( )
三选择题
1、正方形的边长是奇数，它的面积一定是( )，它的周长一定是( )。
①奇数 ②偶数 ③质数 ④偶数
2、13的倍数是（ ）
①合数 ②素数 ③可能是合数，也可能是素数
3、11和2都是（ ）。
①合数 ②素数 ③奇数 ④偶数
4、2是（ ），但不是（ ）。
①合数 ②素数 ③偶数
6、下面的数，因数个数最多的是（ ）。
A 18 B 36 C 40
7、两个素数的和是（ ）。
A 偶数 B 奇数 C奇数或偶数
8、自然数按是不是2的倍数来分，可以分为（ ）。
A奇数和偶数 B素数和合数 C素数、合数、0和1
9、1是（ ）。A 素数 B 合数 C 奇数 D 偶数
10、两个质数的积一定是（ ）
A 素数 B 合数 C 奇数 D 偶数
11、20以内所有质数的和是（ ）
A 18 B 50 C 76 D 77
三、把下面的数分解质因数。
90 75 85 72 81 111 123 105
四．在括号里填上适当的质数
①8=（ ）＋（ ） ②12=（ ）＋（ ）＋（ ）
③18=（ ）＋（ ）＋（ ） ④9=（ ）+（ ） ⑤
15=（ ）+（ ） ⑥ 91 =（ ）×（ ）⑦21=（ ）+（ ） ⑧
39=（ ）+（ ） ⑨40（ ）+( )
⑩ 30=（ ）＋（ ）=（ ）×（ ）×（ ）
五、速写题
（1）下面的数中，把质数划去，留下合数。
2 9 23 27 28 29 31 35 37 39 51
（2）在2、3、45、10、22、17、51、91、93、97中。
质数是：
合数是：
六、猜电话号码
（1）西西家的电话号码是由七位数字组成，第一位数字比3的最小倍数小1，
第二位数字是最小的合数，第三位数字是最小的偶数，第四位数字是既不是质
数而不是合数的数，第五位数字是5的最大因数，第六位数字比最小的质数多
1，第七位数字是10以内的既是2的倍数，也是4的倍数的数，但不是4，西
西家的电话号码是多少？
（2）猜一猜贝贝家的电话号码：A—5的最小倍数；B—最小的自然数；C—5
的最大因数；D—它既是4的倍数，又是4的因数；E—它的所有因数是1，
2，3，6；F—它的所有因数是1， 3；G—它只有一个因数。这个号码是
( )
七、培优题
1、长安公园门口有一个正方形的花坛，面积是225平方米，它的边长是多少
米？
2、一个长方形的面积是24厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有
多少种？长和宽分别是多少厘米？
3、体育课上老师指导60人分组做游戏，要求魅族人数相等，且每组人数不多
于15人，不少于8人，有几种分法？