2015清华附中初三数学零模试卷(无答案)

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北京清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题

北京清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题一、单选题1．下列变量具有二次函数关系的是（） A ．圆的周长C 与半径rB ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体的质量xC ．正三角形的面积S 与边长aD ．匀速行驶的汽车，路程s 与时间t2．抛物线y=﹣12x 2+3x ﹣52的对称轴是（）A ．x=3B ．x=﹣3C ．x=6D ．x=﹣523．下列所给方程中，没有实数根的是（） A ．20x x += B ．24520x x -+= C ．25410x x --=D ．23410x x -+=4．用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是（） A ．()213x -=B ．()214x -=C ．()215x -=D ．()213x +=5．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c >6．已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2的值等于（） A ．2B ．﹣2C ．32D ．﹣327．函数221y ax x =-+和y ax a =+（a 是常数，且0)a ≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．已知一个二次函数图象经过()113,P y -，()221,P y -，()331,P y ，()443,P y 四点，若324y y y <<，则1234,,,y y y y 的最值情况是( ) A ．3y 最小，1y 最大 B ．3y 最小，4y 最大 C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题9．关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一根为0，则m =． 10．方程2x x =的解是．11．把函数23y x =-的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的解析式是．12．已知抛物线22y x x =+经过点12(4,),(1,)y y -，则1y 2y ．（填“＞”，“＝”，“＜”） 13．二次函数2y x 2x 3=-+-，用配方法化为2y a(x h)k =-+的形式为．14．如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为x 米，面积为y 平方米．写出y 与x 的函数关系式，自变量x 的取值范围是．15．如图，抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，若点P 的坐标为()4,0，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是．16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①D A C E B →→→→；②D B E A C →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是（填序号）；（2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．三、解答题17．解方程：()232x x x +=+． 18．解方程()224415x x x -+=+19．已知﹣1是方程x 2+ax ﹣b=0的一个根，求a 2﹣b 2+2b 的值．20．已知关于x 的方程()2320x m x m -+++=．(1)求证：无论实数m 取何值时，方程总有实数根； (2)若方程有一个根的平方等于4，求m 的值．21．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,1A 和()0,1B -．(1)求该函数解析式；(2)当2x >-时，对于x 的每一个值，函数12y x n =+的值小于函数()0y kx b k =+≠的值且大于4-，直接写出n 的取值范围．22．一个小球以6m /s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______米，滚动______米后停止．(2)小球滚动11m 1.73）（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v （初速度与末速度的算术平均数）与路程s ，时间t 的关系为s vt =）23．已知：二次函数()20y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：(1)直接写出m 的值为______； (2)求这个二次函数的解析式；(3)当14x -<<时，y 的取值范围为______． 24．综合与实践【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x （单位：cm ）表示．将所收集的样本数据进行如下分组：整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：任务1 求图1中a 的值．【数据分析与运用】任务2 A ，B ，C ，D ，E 五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C 组； ②两园样本数据的众数均在C 组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．任务4 结合市场情况，将C ，D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，E 是平面内一点，且CE C B <，过点C 作FC CE ⊥，且CF CE =，连接AE 、AF 、M 是AF 的中点，作射线DM 交AE 于点N ．(1)如图1，若点E 在BC 边上，F 在CD 边上． ①请补全图形；②请问DN 和AE 有怎样的位置关系，并证明；(2)如图2，若点E 在四边形ABCD 内，点F 在直线BC 上方，求EAC ∠与ADN ∠的和的度数．。

2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷及答案解析(3月份)

2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷一、选择题（共8小题）1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．三棱柱D．长方体2．故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面积最大．请将720000用科学记数法表示应为（）A．0.72×105B．7.2×105C．7.2×104D．72×1033．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜04．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF 等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°5．如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式x（x+2）+（x+1）2的值是（）A．﹣5B．5C．3D．﹣36．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b7．如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BF A 的面积比为（）A．1：B．1：2C．1：4D．1：88．某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），使得，则n的取值不可能为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：4a2﹣28ab＝．11．把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是．12．数据组：28，37，32，37，35的中位数是．13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为．14．如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为6，则k＝．15．小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是．16．小夏同学从家到学校有A ，B 两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时频数公交车线25≤t ≤3030＜t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤45合计A 59151166124500B4357149251500据此估计，早高峰期间，乘坐B 线路“用时不超过35分钟”的概率为；若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐（填A或B ）线路．三、解答题：（共68分）17．计算：．18．解不等式组：．19．下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，▱ABCD ．求证：∠BAD ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ．方法一：证明：如图，连接AC ．方法二：证明：如图，延长BC 至点E ．方法三：证明：如图，连接AC 、BD ，AC 与BD 交于点O ．20．关于x 的方程x 2﹣2x +2m ﹣1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．21．如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．（1）求证：四边形OMPN是矩形；（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．22．已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，2），（3，﹣4）两点且与y轴交于A点．（1）求函数解析式及点A的坐标；（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝kx+b的值，求m 的取值范围．23．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月之间存在如图2（一段抛物线）所示的变化趋势．（1）分别求函数y1和y2的表达式；（2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？24．抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC＝90°，请直接写出实数m的取值范围．25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点D作DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，CF＝CD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若，求⊙O半径的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）若c＝4，点C（﹣2，4）在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标（0，﹣2），过原点的直线OC与直线AB交于C，∠COA＝∠OCA＝∠OBA＝30°，AB＝4．（1）点C坐标为，OC＝，△BOC的面积为，＝；（2）点C关于x轴的对称点C′的坐标为；（3）过O点作OE⊥OC交AB于E点，则△OAE的形状为，请说明理由；（4）在坐标平面内是否存在点F使△AOF和△AOB全等，若存在，请直接写出F坐标；若不存在，请说明理由．28．已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC＝45°时，求证：CE ＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当AE＝CE＝3时，求CD的长．2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷参考答案与试题解析（3月份）一、选择题（共8小题）1．【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱．故选：A．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．2．【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．【解答】解：将720000用科学记数法表示应为7.2×105．故选：B．【点评】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．3．【分析】根据数轴确定a，b的大小与符号，然后根据实数的运算法则计算即可．【解答】解：由数轴可知，a＜﹣2，故A结论错误，不符合题意；a＜﹣2，0＜b＜1，|a|＞b，故B结论正确，符合题意；a＜0，b＞0，|a|＞|b|，a+b＜0，故C结论错误，不符合题意；a＜0，b＞0，b﹣a＝b+（﹣a）＞0，故D结论错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，解题的关键是关键数轴确定a，b的符号与绝对值的大小．4．【分析】依据AB∥EF，即可得∠FCA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，∴∠FCA＝∠A＝30°．∵∠F＝∠E＝45°，∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，则原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝5，故选：B．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．6．【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【解答】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜2；所以：A、B、C都是错误的；故选：D．【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．7．【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴△CEF∽△ABF，∴＝，∵E为DC的中点，∴＝＝，∴＝．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF ∽△ABF是解题关键．8．【分析】设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）也都在函数y＝kx的图象上，根据正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点的个数即可得出答案．【解答】解：设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）也都在函数y＝kx 的图象上，即：正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点，由图象可知，正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点可能有1个或2个或3个或4个或5个．故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象，数形结合是解题的关键．二、填空题9．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≠0，解得x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．【分析】原式提取公因式即可．【解答】解：原式＝4a（a﹣7b）．故答案为：4a（a﹣7b）．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．11．【分析】分析命题的题设和结论，写成“如果…那…”的形式即可．【解答】解：命题“不相等的角不是对顶角”的题设是两个角不相等，结论为这两个角不是对顶角．改写成“如果…那…”的形式为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．故答案为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．【点评】本题考查了命题即相关知识，掌握命题的形式是解决本题的关键．12．【分析】先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可得出答案．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：28，32，35，37，37，最中间的数是35，则中位数是35．故答案为：35．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．13．【分析】利用扇形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意，∠FAB＝120°，AF＝AB＝2，＝＝，∴S阴故答案为：．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积S ＝．14．【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE，和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6．设D点的横坐标为x，纵坐标就为，∵D为OB的中点．∴EA＝x，AB＝，∴四边形DEAB的面积可表示为：（+）x＝6k＝4．故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．15．【分析】设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可．【解答】解：设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，依题意得：，解这个方程组得：，则小亮的得分是2x+3y＝6+15＝2（1分）．故答案为21；【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．16．【分析】用乘坐B线路“用时不超过35分钟”的班次数量除以总数量即可得出答案；先结合表中数据得出两线路40分钟之内到达学校的概率，从而得出答案．【解答】解：由表知，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为＝，∵A线路40分钟之内到达学校的概率为＝0.752，B线路40分钟之内到达学校的概率为＝0.498，∴若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐A线路，故答案为：，A．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．三、解答题：（共68分）17．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用负整数指数幂法则计算．【解答】解：原式＝，＝，＝9．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分．【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，解不等式，得：x＜5，则不等式组的解集为：﹣2≤x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：选择方法一：如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠DCA，∴∠BAC＝∠DAC，在△ADC与△BCA中，，∴△ADC≌△BCA（SAS），∴∠B＝∠D，即平行四边形的对角相等．【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行．20．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．21．【分析】（1）由三角形中位线定理得PM∥OC，PN∥OD，得四边形OMPN是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠MON＝90°，即可得出结论；（2）证△ABD是等边三角形，得AD＝BD＝AB＝4，得OD＝2，再由勾股定理得OA＝2，则AN＝OA+ON＝3，然后由矩形的性质得NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点，∴PM、PN是△OCD的中位线，∴PM∥OC，PN∥OD，∴四边形OMPN是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠MON＝90°，∴平行四边形OMPN是矩形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，∴OD＝BD＝2，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，∴OC＝2，∵M，N分别为OD，OC的中点，∴OM＝OD＝1，ON＝OC＝，∴AN＝OA+ON＝3，由（1）可知，四边形OMPN是矩形，∴NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，∴AP＝＝＝2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22．【分析】（1）把2个已知点的坐标分别代入y＝kx+b中得到关于k、b的方程组，再解方程组求出k、b，从而得到以此函数解析式，然后计算自变量为0对应的函数值得到点A 的坐标；（2）根据题意，当m≥0，x＝1时，函数y＝mx的函数值比y＝﹣3x+5的函数值小，所以m≤﹣3+5；当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，所以﹣3≤m＜0．【解答】解：（1）把（1，2），（3，﹣4）分别代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣3x+5，当x＝0时，y＝﹣3x+5＝5，∴A点坐标为（0，5）；（2）∵x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝﹣3x+5的值，当m≥0时，x＝1时，m≤﹣3+5，即m≤2，当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，则﹣3≤m＜0，∴m的取值范围为﹣3≤m≤2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象与系数的关系．23．【分析】（1）设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，用待定系数法求解即可；（2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，将（6，10），（9，9）代入y1＝kx+b，得：，解得，∴y1＝﹣x+12；将（11，14）代入y2＝a（x﹣5）2+8，得：14＝a（11﹣5）2+8，解得a＝，∴y2＝（x﹣5）2+8，函数y1和y2的表达式分别为y1＝﹣x+12，y2＝（x﹣5）2+8；（2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得：w＝﹣x+12﹣[（x﹣5）2+8]＝﹣（x﹣4）2+2.5，＝2.5．∴当x＝4时，w有最大值，w最大∴销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是2.5元．【点评】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．24．【分析】（1）由y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）首先令x＝0，求得点C的坐标，然后设直线BC的解析式为y＝kx+b′，由待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），＝S△PDC+S△PDB，得到S△BDC＝﹣（a﹣）2+，利用二次求出PD的长，由S△BDC函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，点P的坐标；（3）将x＝代入抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3求出点P的纵坐标，过点C作CG⊥DF，然后分①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大，然后根据勾股定理得出CD2+DM2＝CM2，列出关于m的方程，解方程求出m的最大值；②点N在线段GF上时，设GN＝x，然后表示出NF，根据同角的余角相等求出∠NCG＝∠MNF，然后证明△NCG和△MNF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出MF，再根据二次函数的最值问题求出y的最大值，然后求出MO，从而得到点M的坐标，求出m的最小值．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝3，即C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，＝S△PDC+S△PDB＝PD•a+PD•（3﹣a）＝PD•3＝（﹣a2+3a）＝﹣（a ∴S△BDC﹣）2+，∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）将x＝代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣（）2+2×+3＝，∴点D的坐标为（，）．过点C作CG⊥DF，则CG＝．①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大．∵∠MNC＝90°，∴CD2+DM2＝CM2，∵C（0，3），D（，），M（m，0），∴（﹣0）2+（﹣3）2+（m﹣）2+（0﹣）2＝（m﹣0）2+（0﹣3）2，解得m＝．∴点M的坐标为（，0），即m的最大值为；②点N在线段GF上时，设GN＝x，则NF＝3﹣x，∵∠MNC＝90°，∴∠CNG+∠MNF＝90°，又∵∠CNG+∠NCG＝90°，∴∠NCG＝∠MNF，又∵∠NGC＝∠MFN＝90°，∴Rt△NCG∽△MNF，∴＝，即＝，整理得，MF＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时（N与P重合），MF有最大值，此时M与O重合，∴M的坐标为（0，0），∴m的最小值为0，故实数m的变化范围为0≤m≤．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．25．【分析】（1）连接OC，则∠OCB＝∠OBC，由CD⊥AB于点E，得∠BEC＝90°，由CH⊥DF，CF＝CD，得∠FCH＝∠DCH，则∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC ＝90°，即可证明CF是⊙O的切线；（2）由垂径定理得CE＝DE，而CD＝CF＝8，所以CE＝CD＝4，由＝tan∠DCB＝，则BE＝CE＝2，根据勾股定理得（OC﹣2）2+42＝OC2，即可求得OC＝5，则⊙O半径的长是5．【解答】（1）证明：连接OC，则OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵CD⊥AB于点E，∴∠BEC＝90°，∵DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，∴CH⊥DF，∵CF＝CD，∴∠FCH＝∠DCH，∴∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，∴CF是⊙O的切线．（2）解：∵AB⊥CD，∴∠OEC＝∠BEC＝90°，CE＝DE，∵CD＝CF＝8，∴CE＝CD＝×8＝4，∵＝tan∠DCB＝，∴BE＝CE＝×4＝2，∵OE2+CE2＝OC2，OE＝OB﹣2＝OC﹣2，∴（OC﹣2）2+42＝OC2，解得OC＝5，∴⊙O半径的长是5．【点评】此题重点考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．26．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式后，利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；（2）分a＞0、a＜0两种情况，结合函数图象，分别求解即可．【解答】解：（1）若c＝4，则抛物线为y＝ax2﹣2x+4（a≠0），∵点C（﹣2，4）在抛物线上，∴4＝4a+4+4，∴a＝﹣1，∴抛物线为y＝﹣x2﹣2x+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）当a＞0时，如图1．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＞0，∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∴＞2，∴0＜a＜；（ⅱ）当a＜0时，如图2．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，∴抛物线与线段AB只有一个公共点A，∴a＜0，综上所述，a的取值范围是：0＜a＜或a＜0．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论、数形结合是解题的关键．27．【分析】（1）先由∠OBA＝30°、AB＝4得到OA的长，即可得到点A的坐标，过点C 作CD⊥x轴于点D，然后结合∠COA＝∠OCA＝30°求得AC的长，进而得到AD、CD 的长，即可得到点C的坐标；然后得到OC的长；由点B的坐标得到OB的长，进而得到△BOC的面积；由点A、点B、点C的坐标求得△OAC和△OAB的面积，再求得的值；（2）直接由点C的坐标求得点C'的坐标；（3）由OE⊥OC得到∠COE＝90°，然后由∠COA＝30°求得∠AOE＝60°，再由∠OBA＝30°求得∠OAE＝60°，即可得到∠AOE＝∠OAB＝60°，从而得到△OAE是等边三角形；（4）分情况讨论：①△AOB≌△AOF；②△AOB≌OAF，然后作出对应的图形求得点F 的坐标．【解答】解：（1）∵点B（0，﹣2），∴OB＝2，∵AB＝4，∠OBA＝30°，∠AOB＝90°，∴OA＝2，即A（2，0），∵∠AOC＝∠ACO＝30°，∴AC＝OA＝2，∠OAB＝60°，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＝60°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝，∴OD＝OA+AD＝2+1＝3，∴C（3，），＝＝＝3，∴OC＝2，S△BOC＝＝，S△OAB＝＝2，∴S△AOC∴＝，故答案为：（3，），2，3，．（2）∵C（3，），点C与点C'关于x轴对称，∴C'（3，﹣），故答案为：（3，﹣）；（3）∵OE⊥OC，∴∠COE＝90°，∵∠COA＝30°，∴∠AOE＝60°，∵∠OAE＝60°，∴∠AOE＝∠OAB＝60°，∴△OAE是等边三角形，故答案为：等边三角形；（4）在坐标平面内存在点F使△AOF和△AOB全等；理由如下：①如图1，当△AOB≌△AOF时，OB＝OF，∵OB＝2，∴OF＝2，∴F1（0，2），F2（0，﹣2），②如图2，当△AOB≌OAF时，AF＝OB，∴AF＝2，∴F3（2，2），F4（2，﹣2），综上所述，存在F1（0，2），F2（0，﹣2），F3（2，2），F4（2，﹣2），使得△OAB与△OAF全等．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形三边关系、等腰三角形、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过含30°角的直角三角形三边关系求得相关线段的长度．28．【分析】（1）根据圆周角定理，将2∠ADB+∠CDB转化为△ABC的内角和即可；（2）过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，利用ASA证明△CEN≌△CGN，从而证明结论；（3）连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，先证AQ⊥BC，再证EH＝GH，在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，求得PE＝HE＝，由△CDE∽△BAE，即可求得CD的值．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠ADC＝∠CDB+∠ADB，∴∠ADC+∠ABC＝∠CDB+∠ADB+∠ADB＝∠CDB+2∠ADB＝180°，∴2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）证明：过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，如图1，∵∠DBC＝45°，∴∠MCB＝180°﹣∠CNB﹣∠DBC＝45°，∴∠MCB＝∠DBC＝45°，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∴∠ACM＝∠DBA，∵∠CNG＝∠GFB，∠NGC＝∠FGB，∴∠NCG＝180°﹣∠CNG﹣∠NGC＝180°﹣∠GFB﹣∠FGB＝∠GBF＝∠ECN，在△CEN与△CGN中，，∴△CEN≌△CGN（ASA），∴CE＝CG；（3）解：如图2，在DE上取EP＝EH，连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O 作OM⊥AB于M，∵E为AC的中点，∴OE⊥AC，∵AB＝AC，∴OE＝OM，∴AQ平分∠CAB，∴AQ⊥BC，∵CQ＝BQ，点H在AQ上，∴CH＝BH，∵∠DBC＝45°，∴∠HCB＝∠DBC＝45°，∴∠CHB＝180°﹣∠HCB﹣∠DBC＝90°，∴CH⊥BD，∵CE＝CG，∴EH＝GH，∵在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，∴AP∥CH，AP＝CH，∠APH＝90°，∵∠AHP＝∠BHQ＝45°，设PE＝x，∴AP＝PH＝2PE＝2x，AH＝PH＝2x，∵AH2﹣PH2＝AE2﹣PE2，∴8x2﹣4x2＝32﹣x2，3解得：x＝，∴PE＝HE＝，∴AP＝PH＝CH＝BH＝，BE＝，∴AH＝PH＝，∴HQ＝BH＝，在Rt△ABQ中，BQ＝HQ＝，AQ＝+＝，∴AB＝＝6，∵弦AC与BD相交于E，∴△CDE∽△BAE，∴＝，∴CD＝＝＝2；方法二：作DL⊥AC，如图4，∵∠DLA＝90°，∠DBC＝45°，∴△DLA是等膘直角三角形，∴DL＝AL，∵CF⊥AB，∠DBA+∠FGB＝90°，CE＝CG，∴∠FGB＝∠CGE＝∠CEG＝∠DEL，∴∠DBA＝∠ACE＝∠EDL，∵△DLE∽△DCL，设DL为x，则CL＝6﹣x，∴＝，解得：x＝2，∴CL＝4，∴CD＝＝2．【点评】本题考查圆的综合应用，掌握圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键。

2015年初中学业水平考试参考答案

2015年初中学业水平数学模拟试题参考答案9、-3 10、 11、-9 12、13、0 14、15、5 16、( 3n+1)三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17、解：（1）△A 1B 1C 如图所示；（2）△A 2B 2C 2如图所示；（3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）．18、解：原式=当a=0时原式=119、解：（1）400+100=500（人） 400×3％=12（人）答：（2）12500×=10000（人）设平均增长率为x 10000（1+x ）=12100解之得=10％答：20、解：（1）解法一：根据题意画树状图如下：解法二：根据题意列表得：由表（图）可知，所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中积结果为负数的结果有4种，分别是（1，－），（1，－3），（－１，），（－1，1.5），乘积结果为负数的概率为．（2）乘积是无理数的结果有2种，分别是（1，－），（－1，－），所以获得一等奖的概率为．x ﹣得﹣22、解：过P点作PM⊥AB于M在RtΔPM中PBM=45° tan45°=∴ PM=BM在RtΔACM中PAM=60°AB=100 tan60°=∴PM=23、解：（1）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，∵∠D=2∠CAD，∴∠D=∠COD，∵PD切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=∠COD=45°；（2）∵∠D=∠COD，CD=2，∴OC=OB=CD=2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22=（2+BD）2，解得：BD=2﹣2．24、（1）解：∵直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y=ax2﹣x+c过B、C 两点，∴，解得，∴y=x2﹣x﹣2．（2）证明：如图1，连接AC，∵y=x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点，∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，∵AO=1，OC=2，∴AC=，在Rt△BOC中，∵BO=4，OC=2，∴BC=2，∵AB=AO+BO=1+4=5，∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC为直角三角形．（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：①D点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．设GC=x，AG=﹣x，∵，∴，∴GF=2﹣2x，∴S=GC•GF=x•（2）=﹣2x2+2x=﹣2[（x ﹣）2﹣]=﹣2（x ﹣）2+，即当x=时，S 最大，最大为．②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，设GD=x，∵，∴，∴AD=x，∴CD=CA﹣AD=﹣x ，∵，∴，∴DE=5﹣x，∴S=GD•DE=x•（5﹣x）=﹣x2+5x=﹣ [（x ﹣）2﹣]=﹣（x﹣）2+，即x=时，S 最大，最大为．以上答案仅供参考其它方法也可以。

2015初三级数学期末考试卷

2015初三年级数学期末考试卷即5x2+2x﹣4=0，这里a=5，b=2，c=﹣4，∵△=4+80=84，x==.四、(每小题9分，共18分)18.解：(1)画树状图得：则(m，n)的所有取值为：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2);(2)∵关于x的一元二次方程有实数根，△=m2﹣2n0，关于x的一元二次方程有实数根的有：(0，0)，(1，0)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2);关于x的一元二次方程有实数根的概率为：=.19.(1)解：设每千克核桃应降价x元.1分根据题意，得(60﹣x﹣40)(100+20)=2240.4分化简，得x2﹣10x+24=0解得x1=4，x2=6.6分答：每千克核桃应降价4元或6元.7分(2)解：由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54(元)，.9分答：该店应按原售价的九折出售.10分五、(共18分)20.解：过点B作BDAC于D.由题意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，ACB=180﹣BAC﹣ABC=30，在Rt△ABD中，BD=ABsinBAD=20=10(海里)，在Rt△BCD中，BC===20(海里).答：此时船C与船B的距离是20海里.21.证明：(1)∵Rt△ABC中，BAC=30，AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EFAB，AB=2AFAF=CB，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，△AFE≌△BCA(HL)，AC=EF;(2)由(1)知道AC=EF，而△ACD是等边三角形，DAC=60EF=AC=AD，且ADAB，而EFAB，EF∥AD，四边形ADFE是平行四边形.六、(每小题8分，共16分)22.解：(1)∵点P的坐标为，可得AP=2，. 又∵PN=4，可得AN=6，点N的坐标为.把代入中，得k=9.(2)∵k=9，双曲线方程为.当x=2时，..又∵PMAN，AM==C△APM=5+.23.解：由题意得，AP=2t，CQ=4t，PD=AD﹣AP=12﹣2t，∵E是BC的中点，CE=BC=32=16，∵AD∥BC，点P在AD上，点Q在BC上，PD∥QE，①点Q在线段CE上时，EQ=16﹣4t，12﹣2t=16﹣4t，解得t=2，②点Q在线段BE上时，EQ=4t﹣16，12﹣2t=4t﹣16，解得t=，点P停止运动时，t==6，06，当运动时间为2秒或秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.七、(本题12分)24.解：(1)∵PEPM，EPM=90，DPE+CPM=90，又矩形ABCD，D=90，DPE+DEP=90，CPM=DEP，又D=90，△CPM∽△DEP，=，又CP=x，DE=y，AB=DC=4，DP=4﹣x，又M为BC中点，BC=2，CM=1，=，则y=﹣x2+4x;(2)当E与A重合时，DE=AD=2，∵△CPM∽△DEP，=，又CP=x，DE=2，CM=1，DP=4﹣x，=，即x2﹣4x+2=0，解得：x=2+或x=2﹣，则x的值为2+或2﹣;(3)存在，过P作PHAB于点H，∵点D关于直线PE的对称点D落在边AB上，PD=PD=4﹣x，ED=ED=y=﹣x2+4x，EA=AD﹣ED=x2﹣4x+2，PDE=D=90，在Rt△DPH中，PH=2，DP=DP=4﹣x，根据勾股定理得：DH==，∵EDA=180﹣90﹣PDH=90﹣PDH=DPH，PDE=PHD=90，△EDA∽△DPH，=，即==x=，整理得：2x2﹣4x+1=0，解得：x=，当x=时，点D关于直线PE的对称点D落在边AB上.故答案为：(1)y=﹣x2+4x;(2)2+或2﹣这篇初三年级数学期末考试卷就为大家分享到这里了。

2023年北京交通大学附属中学九年级下学期零模练习数学试卷(解析版)

2022－2023学年北京交大附中九年级第二学期零模练习数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 如图是某几何体的表而展开图，则这个几何体是（）A. 正三棱柱B. 正方体C. 圆柱D. 圆锥【答案】A 【解析】【分析】根据空间想象将展开图还原即可【详解】解：是正三棱柱的展开图故选：A【点睛】本题考查展开图与立体图形之间的关系，空间想象能力是关键2. 经文旅部数据中心测算，2021年“五一”假期，北京市接待旅游总人数842.6万人次，比2020年增长81.9%，恢复到2019年的98.4%，旅游总收入93亿元，比2020年增长1.2倍，恢复到2019年的86%．将9 300 000 000用科学记数法表示应为（）A.89310´ B.99.310´ C.109.310´ D.100.9310´【答案】B 【解析】【分析】本题利用科学记数法的表示方法10110na a ´£<（）表示即可．【详解】解：993000000009.310=´，故选：B【点睛】此题考查科学记数法表示方法10110na a ´£<（），注意a 的取值范围即可．3. 如图，以量角器的直径AB 为斜边画直角三角形ABC ，量角器上点D 对应的读数是100°，则BCD Ð的度数为（）A. 30°B. 40°C.50°D. 80°【答案】B 【解析】【分析】根据题意，确定A B C D 、、、在同一个圆上，根据量角器量角及圆周角定理即可得到1402BCD BOD Ð=Ð=°．【详解】解：令圆心为O ，连接OD ，如图所示：Q 以量角器的直径AB 为斜边画直角三角形ABC ，C \在O e 上，Q 量角器上点D 对应的读数是100°，100DOA \Ð=°，18010080BOD \Ð=°-°=°，»»DBDB =Q ，1402BCD BOD \Ð=Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，读懂题意，掌握量角器量角的方法及圆周角定理求解是解决问题的关键．4. 如图，数轴上两点A B ，所对应的实数分别为a b ，，则b a -的结果可能是（）A. 3B. 2C. 1D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据a b ，在数轴上的位置可确定b 和a -的取值范围，相加之后可得b a -的范围．【详解】解：由题意：0121b a <<-<<-，，∴12a <-<，∴1012b a +<-<+，即13b a <-<．∴b a -的结果可能是：2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置确定出字母的取值范围是解题的关键．5. 如右图，是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白两种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（）A. 14B. 32C. 12D. 1【答案】C【解析】【分析】求出空白部分在整个转盘中所占的比例即可得到答案．【详解】解：∵每个扇形大小相同，∴灰色部分面积和空白部分的面积相等，∴落在空白部分的概率为：2142=，故选：C．【点睛】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率等于相应的面积与总面积之比．6. 关于x的一元二次方程210x ax++=有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】A【解析】【分析】根据210x ax++=有两个不相等的实数根即可得到24a>，即可得到答案．【详解】解：∵x的一元二次方程210x ax++=有两个不相等的实数根，∴240aD=->，∴24a>，3a=满足题意，故选：A【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．7. 2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（）A. 它是轴对称图形B. 它是中心对称图形C. 它的外角和是360°D. 它的每个内角都是140°【答案】B 【解析】【分析】根据轴对称与中心对称的定义可判断A 、B 的正误；根据正多边形的外角和为360°可判断C 的正误；根据正n 边形的内角为()1802n n°-可判断D 的正误．【详解】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形∴A 正确，B 错误；由正多边形的外角和为360°可知正九边形的外角和为360°∴C 正确；由正n 边形的内角为()1802n n°-，可得()180921409°´-=°∴D 正确；故选B ．【点睛】本题考查了正多边形的内角、外角和，轴对称，中心对称．解题的关键在于熟练掌握正多边形的内角、外角与对称性．8. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A. 圆的面积y 与它的半径xB. 正方形的周长y 与它的边长xC. 小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y 与平均速度xD. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x【答案】D【解析】【分析】根据题意求出两个变量之间的函数关系式分别判断即可．【详解】Q圆的面积y与它的半径x的关系式为2=y xp\圆的面积y随半径x的增大而增大，故A选项不符合题意；Q正方形的周长y与它的边长x的关系式为4y x=\正方形的周长y随边长x的增大而增大，故B选项不符合题意；设路程为s，则所用时间y与平均速度x的关系式为=syx\所用时间y随平均速度x的增大而减小，故C选项不符合题意；设铁丝的长度为a，则矩形的面积221==22a xy x x ax--+g\矩形的面积y与边长x的之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故D选项符合题意．故答案选D．【点睛】本题考查了函数的图象，确地得出两个变量之间的关系式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．【答案】x≥-3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【详解】解：依题意有x+3≥0，解得：x≥-3．故答案为：x≥-3．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握定义是解题关键．10. 因式分解：3a2－12a＋12＝______．【答案】()232a-【解析】【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：231212a a -+=()2344a a -+=()232a -故答案为：()232a -．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．11. 方程：2303x x-=-的解为______________．【答案】9x =【解析】【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解出答案．【详解】解：2303x x-=-Q \方程两边同时乘以()3x x -得，()2330x x --=2390x x \-+=9x \=检验：当9x =时，()30x x -¹9x \=是原方程的根．故答案为：9x =．【点睛】本题考查了分式方程的求解，解题的易错点在于分式的方程根必须要检验．12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与双曲线4y x=交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则12y y +的值为______________．【答案】0【解析】【分析】联立两个函数表达式得：4kx x=，即240kx -=，利用根与系数的关系得出120x x +=，故()1212120y y kx kx k x x +=+=+=．【详解】解：联立两个函数表达式得：4y kxy x =ìïí=ïî∴4kx x=，即240kx -=，∴120x x +=，∴()1212120y y kx kx k x x +=+=+=，故答案为：0．【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，利用根与系数的关系是本题解题的关键．13. 某市6月份日最高气温统计如图所示，则在日最高气温这组数据中，众数是_____℃，中位数是_____℃．【答案】 ①. 21 . ②22【解析】【分析】先从图中找出出现次数最多的数据，求出众数，再将题中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中位数即可．【详解】解：由统计图可得出，该市6月份日最高气温为21C°的天数最多，故这组数据中，众数为21C°，将这组数据按照从小到大的顺序排列，可得出第15天和第16天的日最高气温均为22C°，可得出中位数为：222222(C)2°+=．故答案为：21，22．【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．14. 如图，在矩形ABCD 中，若210AE AC ==，，14AFFC=，则AB 的长为______________．【答案】6【解析】【分析】先由矩形的性质得到90AD BC ABC =°，∠，进而证明AEF CBF ∽△△，得到48BC AE ==，在Rt ABC △中，由勾股定理得即可求出6AB =．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC ABC =°∥，∠，∴AEF CBF ∽△△，∴14AE AF BC FC ==，∴48BC AE ==，∴在Rt ABC △中，由勾股定理得6AB ==，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，证明△△，得到48AEF CBF∽==是解题的关键．BC AE15. 如图，已知等腰三角形ABC，40，，若以点B为圆心，BC长为半=Ð=°AB AC A．径画弧，交腰AC于点E，则ABEÐ=______________°【答案】30【解析】【分析】在ABCÐ=Ð=°，在BCD△中可求得40ACB ABCV中可求得70Ð=°，EBC可求出ABEÐ．【详解】解：∵40，，=Ð=°AB AC A∴70Ð=Ð=°，ABC ACB又∵BC BE=，∴70Ð=Ð=°，BEC BCE∴40Ð=°，EBC∴704030Ð=Ð-Ð=°-°=°，ABE ABC EBC故答案为：30．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．16. 以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要______________分钟．【答案】33【解析】【分析】节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解决问题．【详解】解：根据题意，可以这样安排：先准备米饭（3分钟），然后使用电饭煲加工米饭（30分钟）.在加工米饭的同时，准备汤菜（5分钟），然后使用煲汤锅加工汤（6分钟）煲汤的同时摘菜（5+5=10分钟），炒菜（6+8=14分钟），即炒菜和汤共需29分钟，∴妈妈做好这顿饭，最少需要30+3=33分钟.故答案为：33．【点睛】本题属于合理安排时间问题，要抓住既节约时间又不使工序矛盾来进行分析设计．三、解答题（本题共68分，第17至22题，每小题5分，第23至26题，每小题6分，第27至28题，每小题7分）17. 计算：201(24602sin p -æö---+°ç÷èø．【答案】5+【解析】【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°=2，求出各项的值即可．【详解】解：原式41242=-+-+´5=+5=+【点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值．18. 解不等式组：()41710853x x x x ì+£+ïí--<ïî，并写出它的所有非负整数解．【答案】不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．【解析】【分析】先解不等式组求出x 的取值范围，然后找出符合范围的非负整数解．【详解】解：4(1)710853x x x x +£+ìïí--<ïî①②由不等式①得：x ≥－2，由不等式②得：，72x <，∴不等式组的解集为：722x -£<，∴x 的非负整数解为：0，1，2，3．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19. 已知2a 2+3a -6=0．求代数式3a 2a +1）-（2a +1）（2a -1）的值．【答案】7【解析】【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．【详解】解：3(21)(21)(21)a a a a +-+-=226341a a a +-+=2231a a ++∵22360a a +-=∴22317a a ++=∴原式=7．【点睛】本题考查整式的化简求值．20. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．【答案】见解析【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得ACO CAOÐ=，然后根据三角形外角的性质可得Ð=Ð，同理可得：2Ð=Ð，然后根据BOD BCOAOD ACO2Ð=Ð+Ð即可证明结论．AOB AOD BOD【详解】证明：∵OC AO=∴ACO CAOÐ=∴2Ð=Ð+Ð=ÐAOD ACO CAO ACO同理：2Ð=ÐBOD BCO∵AOB AOD BODÐ=Ð+Ð∴()2222AOB ACO BCO ACO BCO ACB Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð,即12ACB AOB Ð=Ð．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角等知识点，理解圆周角定理是解答本题的关键．21. 如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若AB ＝4，AD ＝6，∠ABC ＝60°，求tan ∠ADP 的值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB =BE ，AB =AF ，AF =BE ，从而证明四边形ABEF 是菱形；（2）作PH ⊥AD 于H ，由菱形的性质得到AB =AF =4，∠ABF =∠ADB =APHÐ=30°，AP ⊥BF ，得PHAH =1，则DH =5，然后由锐角三角函数的定义求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ．∴∠DAE =∠AEB ．∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ．∴∠BAE =∠AEB ．∴AB =BE ．同理：AB =AF ．∴AF =BE ．∴四边形ABEF 是平行四边形．∵AB =BE ，∴四边形ABEF 是菱形．【小问2详解】作PH ⊥AD 于H ，如图所示：∵四边形ABEF 是菱形，∠ABC =60°，AB =4，∴AB =AF =4，∠ABF =∠AFB =APH Ð=30°，AP ⊥BF ，∴AP =12AB =2，∴AH =12AP =1，PH =∴DH =AD -AH =5，∴tan ∠ADP =5PHDH =【点睛】本题考查了菱形的判定与、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定．勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+¹的图象与直线2y x =平行，且经过点()13，．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，反比例函数()0m y m x=¹的值都小于一次函数()0y kx b k =+¹的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）21y x =+（2）03m <£或0m <【解析】【分析】（1）根据坐标系中两直线平行，那么一次项系数相同得到2k =，再代入()13，进行求解即可；（2）分0m >和0m <两种情况，分别画出对应的函数图象，利用图象法进行求解即可．【小问1详解】解：∵一次函数()0y kx b k =+¹的图象与直线2y x =平行，∴2k =．∵一次函数2y x b =+的图象过点()13，，∴321b =´+．∴1b =．∴这个一次函数的表达式为21y x =+．【小问2详解】解：∵在21y x =+中，20>，∴y 随x 增大而增大，∴1x >时，一次函数21y x =+的函数图象在第一象限，如图1所示，当0m <，1x >时，反比例函数m y x=的函数图象在第四象限，符合题意；如图2所示，当0m >，1x >时，反比例函数m y x=的函数图象在第一象限，要使得当1x >时，对于x 的每一个值，反比例函数()0m y m x=¹的值都小于一次函数()0y kx b k =+¹的值，那么当1x =时反比例的函数值要小于或等于一次函数的函数值，∴31m£，∴03m <£．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移，灵活运用所学知识是解题的关键．23. 某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员，获得了这些营业员的销售额（单位：万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．设营业员该月的销售额为x（单位：万元），甲部门营业员销售额数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：1015£<，2530x£<，xx£<，1520x£<，2025）：x££3035b．甲部门营业员该月的销售额数据在2025£<这一组的是：x21.3 22.1 22.6 23.7 24.3 24.3 24.8 24.9c．甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n．1在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n．2比较,n n的大小，并说明理由；12（3）若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额．【答案】（1）24.0（2）12n n >；理由见解析（3）2300万元【解析】【分析】（1）将甲部门营业员该月的销售额从小到大进行排序，找出排在第10位和第11位的数据，求其平均数即可；（2）根据甲部门抽取的营业员该月的销售额的数据可知111n =；根据乙部门调查数据的中位数，推算出210£n ，即可得出结论；（3）根据乙部分的平均数估计乙部门该月的销售总额即可．【小问1详解】解：∵将甲部门营业员该月的销售额从小到大进行排序，找出排在第10位的是23.7，第11位的是24.3，∴中位数23.724.324.02m +==．【小问2详解】12n n >；理由如下：由甲部门抽取的营业员该月的销售额的数据可知111n =，∵在乙部门抽取的20名营业员该月销售额数据的中位数是22.7万元，小于23.0万元，∴210£n ，∴12n n >．【小问3详解】估计乙部门该月的销售总额约为：23.01002300´=（万元）．【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，以及应用中位数作出判断，根据平均数估计总数，熟练掌握求偶数个中位数时，需要求中间两个数的平均数，是解题的关键．24. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA=OE，∴∠BAD=∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠AEO=∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E 在⊙O 上，∴EG 是⊙O 的切线；（2）∵⊙O 的半径为5，∴EF =2OE =10，在Rt △AEF 中，AF =6，根据勾股定理得，228AE EF AF =- ，由（1）知OE ∥BC ，∵OA =OD ，∴BE =AE =8．【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，能判断出EF BC ∥是解本题的关键．25. 一小球M 从斜坡OA 上的点O 处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．若小球到达最高点的坐标为()4,8．（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x 的取值范围）；（2）若要在斜坡OA 上的点B 处竖直立一个高4米的广告牌，点B 与抛出点O 的水平距离为2，请判断小球M 能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；（3）直接写出小球M 在飞行的过程中离斜坡OA 的最大高度．【答案】（1）()21482y x =--+，（2）小球M 能飞过这棵树；理由见解析（3）498【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为2(4)8y a x =-+，把(00)，代入即可确定抛物线解析式；（2）将2x =分别代入两个函数求解，比较即可．（3）设小球M 在飞行的过程中离斜坡OA 的高度为h 米，先根据抛物线和一次函数的解析式可得出h 关于x 的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．【小问1详解】解：∵小球到达的最高的点坐标为()48，，∴设抛物线的表达式为()248y a x =-+，把()00，代入得，()20048a =-+，解得：12a =-，∴抛物线的表达式为()21482y x =--+；【小问2详解】当2x =时，11212y =´=，()22124862y =-´-+=，∵614->，∴小球M 能飞过这棵树；【小问3详解】小球M 在飞行的过程中离斜坡OA 的高度()221117494822228h x x x æöç÷è=--+-=+ø--，∴小球M 在飞行的过程中离斜坡OA 的最大高度为498．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线242y ax ax =-+(0)a >与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）当05x ££时，y 的最小值是－2，求当05x ££时，y 的最大值；（3）抛物线上的两点 P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ），若对于11t x t <<+，223t x t +<<+，都有12y y ¹，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）A （0，2）；对称轴是x ＝2；（2）7；（3）0t £或1t ³．【解析】【分析】（1）把x ＝0代入抛物线解析式，即可求出点A 坐标，将抛物线配方成顶点式，即可求出对称轴；（2）根据抛物线开口向上，当05x ££时，y 的最小值是－2，抛物线对称轴为x ＝2，即可求出a =1，根据抛物线性质即可求出当x ＝5时，y 有最大值，7y =；（3）根据已知条件分点P 、Q 都在对称轴x =2左侧、右侧、P 在对称轴x =2左侧，点Q 在对称轴x =2右侧三种情况分类讨论，综合比较即可求解．【详解】解：（1）令x ＝0则y ＝2，∴．点A 坐标为（0，2）．∵242y ax ax =-+＝2(44)24a x x a -++-＝2(2)24a x a -+-，∴二次函数图象的对称轴是x ＝2；（2）∵a ＞0，∴抛物线开口向上，∵当05x ££时，y 的最小值是－2，抛物线对称轴为x ＝2，∴2－4a ＝－2，解得a ＝1.∴二次函数表达式为242y x x =-+，∴在05x ££时，当x ＝5时，y 有最大值，254527y =-´+=；（3）∵点 P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ），且11t x t <<+，223t x t +<<+，都有12y y ¹，∴①当点P 、Q 都在对称轴x =2左侧时，12y y ¹，此时t +3≤2，解得t ≤-1；②当点P 、Q 都在对称轴x =2右侧时，12y y ¹，此时t ≥2；③当点P 在对称轴x =2左侧，点Q 在对称轴x =2右侧时，且12y y ¹，此时2-（t +1）≥（t +3）-2或2-t ≤（t +2）-2，解得t ≤0,或t ≥1，综上所述，0t £或1t ³．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键．27. 已知：在ABC V 中，45A Ð=°，ABC a Ð=，以BC 为斜边作等腰Rt BDC V ，使得A ，D 两点在直线BC 的同侧，过点D 作DE AB ^于点E ．（1）如图1，当20a =°时，①直接写出CDE Ð的度数；②判断线段AE 与BE 的数量关系，并证明；（2）当4590a °<<°时，依题意补全图2，请直接写出线段AE 与BC 的数量关系（用含a 的式子表示）．【答案】（1）①25°；②AE BE =，理由见解析．（2）补全图形见解析，()2cos 45AE BC a =×-°．【解析】【分析】（1）①由余角的性质可求25CDE EBD Ð=Ð=°．②通过证明点A ，点C ，点B ，点H 四点共圆，由垂径定理可求出AE BE =．（2）通过证明点A ，点C ，点B ，点H 四点共圆，由垂径定理可求出AE BE =，利用余弦三角函数求出()cos 45AE BE DB a ==-°×，再根据等腰直角三角形的性质推出DB 与BC 关系，从而推出AE 与BC 关系．【小问1详解】①解：Q 以CB 为斜边作等腰直角三角形BCD △，90CDB \Ð=°，45CBD Ð=°．20ABC Ð=°Q ，25EBD \Ð=°．Q 过点D 作DE AB ^于点E ，90DEB \Ð=°．90EBD EDB \Ð+Ð=°．90CDB Ð=°Q ，即90CDE EDB Ð+Ð=°．25CDE EBD \Ð=Ð=°．②AE BE =；理由如下：如图，延长BD 至H ，使BD DH =，连接CH ，BD DH =Q ，CD BD ^，CH BC \=，45CBH CHB \Ð=Ð=°，45A CHB \Ð=Ð=°，90HCB Ð=°，\点A ，点C ，点B ，点H 四点共圆，90HCB Ð=°Q ，BH \是直径，D 是圆心，DE AB ∵⊥，∴AE BE =，故答案为：①25°；②AE BE =；【小问2详解】解：补全图形如图所示，AE 与BC 关系：()2cos 45AE BC a =×-°证明如下：如图，延长BD 至H ，使BD DH =，连接CH ，BD DH =Q ，CD BD ^，CH BC \=，45CBH CHB \Ð=Ð=°，45A CHB \Ð=Ð=°，90HCB Ð=°，\点A ，点C ，点B ，点H 四点共圆，90HCB Ð=°Q ，BH \是直径，D 是圆心，DE AB ∵⊥，∴AE BE =，在Rt DEB △中，45DBE a Ð=-°，()cos 45AE BE DB a \==-°×，Q 在等腰直角CDB △中，22DB BC =，()cos 452AE BE BC a \==-°×，()cos 45BC a =×-°．　【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，四点共圆、垂径经定理、余弦知识等知识，解题的关键在于如何证明点A ，点C ，点B ，点H 四点共圆．28. A ，B 是C e 上的两个点，点P 在C e 的内部．若APB Ð为直角，则称APB Ð为AB 关于C e 的内直角，特别地，当圆心C 在APB Ð边（含顶点）上时，称APB Ð为AB 关于C e 的最佳内直角．如图1，AMB Ð是AB 关于C e 的内直角，ANB Ð是AB 关于C e 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中．（1）如图2，⊙O 的半径为5，()0,5A -，()4,3B 是C e 上两点．①已知()11,0P ，()20,3P ，()32,1P -，在1APB Ð，2AP B Ð，3AP B Ð中，是AB 关于C e 的内直角的是②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB Ð是AB 关于C e 的内直角，求b 的取值范围．（2）点A 是以(),0C t 为圆心，4为半径的圆上一个动点，C e 与x 轴交于点B （点B 在点C 的右边）．现有点()1,0M ，()0,2N ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使APB Ð是AB 关于C e 的最佳内直角，请直接写出t 的取值范围．【答案】（1）①2AP B Ð，3AP B Ð；②55b -<£ （2）15t -£<【解析】【分析】（1）①判断点1P ，2P ，3P 是否在以AB 为直径的圆弧上即可得出答案；②求得直线AB 的解析式，当直线2y x b =+与弧AB 相切时为临界情况，证明OAH △∽BAD V ，可求出此时5b =，则答案可求出；（2）可知线段MN 上任意一点(不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【小问1详解】解：①如图1，1(1,0)P Q ，(0,5)A -，(4,3)B ，2248AB \=+=1P A ，1PB =，1P \不在以AB 为直径的圆弧上，故1APB Ð不是AB 关于O e 的内直角，2(0,3)P Q ，(0,5)A -，(4,3)B ，28P A \=，AB =，24P B =，22222P A P B AB \+=，290AP B \Ð=°，2AP B \Ð是AB 关于O e 的内直角，同理可得，22233P B P A AB +=，3AP B \Ð是AB 关于O e 的内直角，故答案为：2AP B Ð，3AP B Ð；②APB ÐQ 是AB 关于O e 的内直角，90APB \Ð=°，且点P 在O e 的内部，\满足条件的点P 形成的图形为如图2中的半圆(H 点A ，B 均不能取到)，过点B 作BD y ^轴于点D ，(0,5)A -Q ，(4,3)B ，4BD \=，8AD =，并可求出直线AB 的解析式为25y x =-，\当直线2y x b =+过直径AB 时，=5b -，连接OB ，作直线OH 交半圆于点E ，过点E 作直线EF AB ∥，交y 轴于点F ，OA OB =Q ，AH BH =，EH AB \^，EH EF \^，EF \是半圆H 的切线．OAH OAH Ð=ÐQ ，90OHA BDA Ð=Ð=°，OAH \V ∽BAD V ，4182OH BD AH AD \===，1122OH AH EH \==，OH EO \=，EOF AOH Ð=ÐQ ，90FEO AHO Ð=Ð=°，EOF \V ≌()HOA ASA V ，5OF OA \==，//EF AB Q ，直线AB 的解析式为25y x =-，\直线EF 的解析式为25y x =+，此时5b =，b \的取值范围是5 5.b -<£【小问2详解】解：Q 对于线段MN 上每一个点H ，都存在点T ，使DHE Ð是DE 关于T e 的最佳内直角，\点T 一定在DHE Ð的边上，4TD =Q ，90DHT Ð=°，线段MN 上任意一点(不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，\当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值，即n 的最大值为2．分两种情况：①若点H 不与点M 重合，那么点T 必须在边HE 上，此时90DHT Ð=°，\点H 在以TD 为直径的圆上，如图3，当G e 与MN 相切时，GH MN ^，1OM =Q ，2ON =，22MN ON OM \=+GMH OMN Ð=ÐQ ，GHM NOM Ð=Ð，2ON GH ==，GHM \△≌NOM △，MN GM \=，1OG \，1OT \，当T 与M 重合时，1t =，\此时t 的取值范围是11t -£<，②若点H 与点M 重合时，临界位置有两个，一个是当点T 与M 重合时，1t =，另一个是当4TM =时，5t =，\此时t 的取值范围是15t £<，综合以上可得，t 的取值范围是1 5.t -£<【点睛】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识；掌握相关性质及定理，并会灵活运用，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．。

清华附中本部2023年九年级上学期开学考试数学试题(原卷版)

2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数学试卷（一）一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）1. 实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 2a >−B. a b >C. 0a b +>D. 0b a −< 2. 如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC CD =；②A EBC ∠=∠；③AB EB ⊥；④CD 平分ADE ∠（）A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④ 二.填空题（共2小题，本题共8分，每题4分）3. 有甲､乙两组数据，如表所示：甲 11 12 13 14 15乙 12 12 13 14 14甲､乙两组数据的方差分别为22,s s 甲乙，则2s 甲______________2s 乙（填“＞”，“＜”或“＝”）． 4. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e 的卡片写有数字_______．三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）5.计算：021)|1()2π−−−−. 6. 解不等式组：247412x x x x −<+ +−≤． 7. 已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.8. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ l ∥．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，交PA 延长线于点B ；②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，交BC 的延长线于点Q ； ③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB = ，CB = ，∴PQ l ∥（）（填推理依据）．9. 列分式方程解应用题．的的倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要0.618≈）10. 如图，在四边形ABCD 中，6810AB CD AC BC ABC BCD ====∠=∠，，，．过点D 作DE BC ⊥，延长DE 至点F ，使E F ＝D E ，连接CF ．（1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）求DE 的长．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点1A m （-，）是直线2y x =−+上一点，点A 向右平移4个单位长度得到点B（1）求B 点的坐标；（2）若直线l ：20y kx k =−≠（）与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围． 12. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：a ．乙校区学生成绩频数分布直方图如下（数据分为5组：6580x ≤<；8085x ≤<；8590x ≤<；9095x ≤<；95100x ≤<）：的b ．乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是： 91 91 92 94c ．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：校区平均数中位数方差甲校区89.3 88.5 42.6 乙校区 89.3 m 87.2根据上述信息，解答问题：（1）m =______；（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”；（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中．13. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x ，水流的最高点到地面的距离记为y ．y 与x 的几组对应值如下表：（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 m ；（2）在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y 与x 的函数图象；（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m 时，水流的最高点到地面的距离为 m （精确到1m ）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 m （精确到1m ）． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222=−+−y x tx t t ．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；（2）点()()1122,,,P x y Q x y 在抛物线上，其中1212,1−≤≤+=−t x t x t ．①若1y 最小值是2−，求1y 的最大值；②若对于12,x x ，都有12y y <，直接写出t 的取值范围．15. 已知ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=°，P 为AE 的中点（1）如图1，点A 、B 、D 在同一条直线上，直接写出DP 与BC 的位置关系；（2）将图1中ADE 绕点A 逆时针旋转，当AD 落在图2所示的位置时，点C 、D 、P 恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明BAE ACP ∠=∠；②连接BD ，交AE 于点F ，判断线段BF 与DF 的数量关系16. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点C ，若ABC 是以AB 为一条直角边，且满足AC AB >的直角三角形，则称点C 为线段AB 的“从属点”．已知点A 的坐标为(0,1)．的的（1）如图1，若点B 为()2,1，在点()10,2C −，()22,2C ，()31,0C ，()40,3C 中，线段AB 的“从属点”是___________；（2）如图2，若点B 为()1,0，点P 在直线23y x =−−上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；（3）点B 为x 轴上的动点，直线()40y x b b =+≠与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若存在某个点B ，使得线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，直接写出b 的取值范围．。

北京市海淀区清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学摸底数学试题

北京市海淀区清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学摸底数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底全国共有共青团员7358万．数据73580000用科学记数法表示为（） A ．77.35810⨯B ．37.35810⨯C ．47.35810⨯D ．67.35810⨯2．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．如果1∠与2∠互余，2∠与3∠互补，则3∠与1∠的关系是（） A ．31∠=∠B ．3901∠=︒+∠C ．3901∠=︒−∠D ．31801∠=︒−∠4．已知实数a ，b 满足11a b +>+，则下列选项错误的是（） A ．a b >B ．a b −>−C ．22a b −>−D ．22a b >5．下列多边形中，内角和等于外角和的是（） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（） A ．4B ．2C ．1D ．1−8．如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则下列结论错误的是（）．ABC 的面积为15．点()13,A y ，()2,B a y 在二次函数合条件的整数a 的值．16．21C 级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在x轴上方时，直接写出(3)若抛物线在点P右侧部分（含点24．某公司的午餐采用自助的形式，①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______m ，并求y 与x 满足的函数解析式；③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系()23 4.25y a x =−+，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d _____5（填“>”，“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()22220y mx m x m =−+≠与y 轴交于点A ，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B ．(1)求B 点的横坐标（用含m 的式子表示）；(2)已知点(22)(02)P m Q m ++，，，，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．27．如图1，E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点（不与B ，D 重合），F 为DE 中点，作EG BC ⊥于G ，连接AF ，FG ．(1)直接写出线段AF 与FG 的数量关系和位置关系，不必证明； (2)将BEG 绕点B 逆时针旋转α（090α︒<<︒）．①如图2，若045α︒<<︒，（1）中的结论是否还成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；②如图3，若4590α︒<<︒，连接AE 且满足AE EG ⊥，直接用等式表示线段EA ，AF ，EG 之间的数量关系，不必证明．28．在平面直角坐标系中，对于点(),P a b ，(),Q c d ，当0c ≥时，将点P 向右平移c 个单位，当0c <时，将点P 向左平移c −个单位，得到点P '，再将点P '关于直线y d =对称得到点M ，我们称点M 为点P 关于点Q 的跳跃点．例如，如图1，已知点()1,3P ，()3,2Q ，点P 关于点Q 的跳跃点为()41M ，．(1)已知点()31A ，，()22B ，， ①若点C 为点A 关于点B 的跳跃点，则点C 的坐标为______． ②若点A 为点B 关于点C 的跳跃点，则点C 的坐标为______．(2)已知点D 在直线2y x =上，点D 的横坐标为m ，点E 的坐标为()03m ，． ①点K 为点E 关于点D 的跳跃点，若DKO △的面积为4，直接写出m 的值； ②点E 向上平移1个单位得到点F ，以EF 一边向右作正方形EFGH ，点R 为正方形EFGH 的边上的一个动点，在运动过程中，直线2y x =上存在点D 关于点R 的跳跃点，请直接写出m的取值范围．。

2024-2025学年清华大学附属中学九年级上学期9月月考数学试题及答案

2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°3. 已知30m +< ） A. 33m m −<<−<B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（） A 1k <B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠5. 正六边形的外角和是（） A. 720°B. 540°C. 360°D. 180°6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（） A 35.2510×B. 45.2510×C. .41510×D. 41.0510×7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（）..A. 1B.23C.32D. 28. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌．给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二．填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 10. 因式分解：3269x x x ++=____________． 11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下：稻穗长度 5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.5 6.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥稻穗个数5816147根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BEEC的值为________．15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号AB CD E修复时间（分钟） 15 8 29 710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D BE A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()112024π12−−−−+18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+−−<．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭，其中5x =．20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO =∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值． 21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B −，且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a ．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H ；b ．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p ；c ．运动员该次试跳的得分A ＝难度系数H ×完成分p ×3．在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：难度系数裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分7.58.54.09.08.08.57.0（1）甲运动员这次试跳完成分P 甲＝，得分A 甲＝；（直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P 甲'，那么与（1）中所得的P 甲比较，判断P 甲' P 甲（填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P 乙至少要达到多少分．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表的a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t 0 3 6m10 12 14 16 18 20 22 24 26 …T 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他（填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()222y x m x m =−++的对称轴为直线x t =．（1）求t 值（用含m 的代数式表示）；（2）点()1,A t y −，()2,B t y ，()31,C t y +在该抛物线上．若抛物线与x 轴一个交点为()0,0x ，其中002x <<，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．27. 在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是BC 中点，点E 是线段BC 上一点，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转α得到线段AF ，连接EF ．的的（1）如图1，当点E 与点D 重合时，线段EF ，AC 交于点G ，求证：点G 是EF 的中点；（2）如图2，当点E 在线段BD 上时（不与点B ，D 重合），若点H 是EF 的中点，作射线DH 交AC 于点M ，补全图形，直接写出AMD ∠的大小，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段a ，给出如下定义：直线11:3l y x b =+经过线段a 的一个端点，直线22:4l y x b =−+经过线段a 的另一个端点，若直线1l 与2l 交于点P ，且点P 不在线段a 上，则称点P 为线段a 的“双线关联点”．（1）已知，线段a 的两个端点分别为()0,2−和()0,5，则在点()()123413,3,1,1,,2,1,222P P P P−−，中，线段a 的“双线关联点”是___________：（2）()()12,,3,A m y B m y +是直线23y x =上的两个动点． ①点P 是线段AB 的“双线关联点”，其纵坐标为3，直接写出点P 的横坐标___________；②正方形CDEF 的四个顶点的坐标分别为()()()(),,,,3,,3,C t t D t t E t t F t t −−，其中0t >．若所有线段AB 的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形CDEF 的边上，直接写出t 的取值范围___________．2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．【详解】解：选项A 、B 、C 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D ．2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为180°是解题的关键．先由对顶角性质求得35AOC ∠=°，再根据角平分线的定义求出AOE ∠，再根据邻补角之和为180°计算，即可得到答案．【详解】解：∵35AOC BOD ∠=∠=°，又∵OC 平分AOE ∠， 270AOE AOC ∴∠=∠=°， 180110BOE AOE ∴∠=°−∠=°，故选：C ．3. 已知30m +<，则下列结论正确是（） A. 33m m −<<−< B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：∵30m +<， ∴3m <−， ∴3m −>， ∴33m m <−<<−，∴A ，B ，C 不符合题意；D 符合题意；故选：D4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（） A. 1k < B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠【答案】D 【解析】【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．【详解】解：关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，∴()2Δ64936360k k =−−××=−≥，0k ≠，解得：1k ≤，且0k ≠ 故选：D ．的5. 正六边形的外角和是（） A. 720° B. 540° C. 360° D. 180°【答案】C 【解析】【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．【详解】解：六边形的外角和是360°．故选：C ．【点睛】考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关． 6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（） A. 35.2510× B. 45.2510× C. .41510× D. 41.0510×【答案】D 【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：45250210500 1.0510×==×．故选：D ．7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（）A. 1B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明AFE DCE ∽ 是解题的关键．由菱形的性质得AB DC ∥，3AB DC ==，可证明AFE DCE ∽ ，则12AF AE DC ED ==，求得3122AF DC ==，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，3AB =，∴AB DC ∥，3AB DC ==，∵点F 在直线AB 上，∴AF DC ∥，∴AFE DCE ∽ ， ∴12AF AE DC ED ==， ∴1322AF DC ==．故选：C ．8. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌．给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系、相似三角形的判定与性质等知识点，由全等三角形的性质可得BAE CED ∠=∠，AE ED =，BE CD =，结合90B BCD ∠=∠=°，求出90AED ∠=°，即可判断①；由三角形三边关系即可判断②；证明FEC AEB ∽，得出EF CF AE AB=，即可判断③，从而得解．【详解】解：ABE ECD ≌，BAE CED ∴∠=∠，AE ED =，BE CD =，90B BCD ∠=∠=° ，90AEB CED AEB BAE ∴∠+∠=∠+∠=°，()18090AED AEB CED ∴∠=°−∠+∠=°，AE DE ∴⊥，故①正确，符合题意；AB BE AE +> ，且BE CD =，AB CD AE ∴+>，故②正确，符合题意；AE ED = ，90AED ∠=°，AD ∴=，AE AD ∴， 90FCE B ∠=∠=° ，FEC AEB ∠=∠，FEC AEB ∴ ∽，EF CF AE AB∴=，AB EF AD CF ∴⋅=⋅，EF AD CF ⋅=⋅，故③正确，符合题意；故选：D ．二．填空题（本题共162分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 【答案】5x ≠【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可．【详解】解：∵代数式15x −有意义， ∴50x −≠，解得：5x ≠，故答案为：5x ≠．10. 因式分解：3269x x x ++=____________．【答案】()23x x +【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：3269x x x ++()269x x x =++()23x x +．故答案为：()23x x +．11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ．【答案】3x =【解析】【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】解：1203x x −=+，去分母得：320x x +−=，移项，合并同类项得：3x −=−，系数化为1得：3x =，检验：把3x =代入()()3333180x x +=×+=≠， ∴3x =是原方程的解，故答案为：3x =．12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．【答案】2k >【解析】【分析】根据一次函数的增减性进行解答即可．【详解】解：一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，且12y y <，∴一次函数()21y k x =−+的图像y 随x 的增大而增大，20k ∴−>，2k ∴>，故答案为：2k >．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，掌握k 的正负性与一次函数y kx b =+的增减性之间的关系是解题的关键．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下：稻穗长度5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.56.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥ 稻穗个数 5 8 16 14 7根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．【答案】1.8【解析】【分析】本题考查用样本估计总体，利用3万棵水稻乘以穗长在5.5 6.5x ≤<范围内的所占比，即可解题．【详解】解：由题知，16143 1.850+×=（万棵），故答案：1.8．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BE EC的值为________．【答案】73##123【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键．由平行线分线段成比例可得，BE AF CE DF=，从而可得答案．【详解】解：∵AB EF CD ∥∥，5AO =，2OF =，3FD =，为52733BE AF CE DF +∴===，故答案为：73． 15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）【答案】14【解析】【分析】根据题意可得ABC DBE ∽△△，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．【详解】解：∵DE CE ⊥，A C C E ⊥， ∴90C E ∠=∠=°，根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：ABC DBE ∠=∠，∴ABC DBE ∽△△， ∴DE BE AC BC =，即1.6 2.421AC =，解得：14AC =，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号 A B C D E修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．【答案】 ①. ① ②. 1010【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．【详解】解：（1）①总停产时间：574831021529156×+×+×+×+=分钟，②总停产时间：574153292108210×+×+×+×+=分钟，③总停产时间：529415310287258×+×+×+×+=分钟，故答案为：①；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，7514936223101×+×+×+×+=分钟，101101010×=（元）故答案为：1010．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()1012024π12− −−−+【答案】2−【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．【详解】解：()1012024π12− −−−+112=+−−+2−．18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+ −−<．【答案】3x ≤<-2【解析】【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可．【详解】解：()21581252x x x x +≤+ −−<①②，解①得：2x ≥−，解②得：3x <，∴3x ≤<-2．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-÷ ⎪--⎝⎭，其中5x =．【答案】3x x −，52【解析】【分析】先进行通分，和因式分解，再应用分数的除法法则，将5x =代入，即可求解，本题考查了，分式的华计件求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．【详解】解：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭ ()()2312111x x x x x x −− =−÷ −−−()()21313x x x x x −−×−− 3x x =−，当5x =时，553532xx ==−−． 20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO=∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值．【答案】（1）见解析（2）DE =【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得OE CB =，90BOC ∠=°，结合AD EO =可得AD CB =，结合BC AD ∥，可证四边形ABCD 是平行四边形，再根据90BOC ∠=°可证四边形ABCD 是菱形；（2）先根据已知条件和（1）中结论证明ABC 是等边三角形，进而求出AO ，BO ，再利用勾股定理解Rt DBE 即可．【小问1详解】证明：四边形BECO 是矩形，OE CB ∴=，90BOC ∠=°， AD EO = ，AD CB ∴=，AD BC ∴∥，∴四边形ABCD 是平行四边形．90BOC ∠=° ，∴平行四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：如图，连接DE ，四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AB CD ∥，AC BD ⊥，∴180BCD ABC ∠+∠=°，120BCD ∠=°，∴18060ABC BCD ∠=°−∠=°，∴ABC 等边三角形，AC BD ⊥，4AC =，是∴122AO OC AC ===，∴BO ， ∴2BD BO ==，四边形BECO 是矩形，2BE OC ∴==，90OBE ∠=°，∴DE =．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法．21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm【解析】【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，由题意可得()1180244425101444120x x ++×=++×+．解得6x =∴1272x =，答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()()3,5,2,0A B −，且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x −+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B −，代入函数解析式得，3520k b k b += −+= ，解得12k b = =， ∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x −+>+，的即24nx−<，又2x<，∴22 4n−≥，解得：10n≥，∴n的取值范围为10n≥．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：难度系数裁判1#2#3#4#5#6#7#3.5 打分7.5 8.54.0 9.0 8.0 8.5 7.0（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝，得分A甲＝；（直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲'P甲（填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分．【答案】（1）8.0，84；（2）<；（3）9.0分【解析】【分析】（1）根据公式求出P甲、A甲即可；（2）根据平均数的公式求出P甲'，比较得出答案；（3）列方程求解即可．【小问1详解】解：7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分为7.5，8.0，8.5，平均数=7.58.08.58.03++=，∴完成分P 甲＝8.0；得分A 甲＝3.58.0384××=，故答案为：8.0，84；【小问2详解】 P 甲'=7.58.5 4.09.08.08.57.07.57++++++=，∵7.5<8.0， ∴P 甲'<P 甲，故答案为<；【小问3详解】由题意得3.638413.1P ××+乙，解得971108P =乙， ∴这一跳乙的完成分P 乙至少要达到9.0分．【点睛】此题考查了平均数的计算公式，列一元一次方程解决问题，正确理解题意，掌握平均数的计算公式是解题的关键．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长．【答案】（1）证明见详解（2）152OA = 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出OAB OBA ∠=∠，再根据余角和对顶角的性质可得DEB DBE ∠=∠，即可证明DB DE =．（2）连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，根据等腰三角形的性质可得90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°，根据E 是AB 的中点，12AB =，5BD =，得出6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==，勾股定理可得4DF =，即4sin 5DF DEF DE ∠==，再根据余角和对顶角可得DEF CEA AOE ∠=∠=∠，得4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==，即可求出152OA =．【小问1详解】证明：∵OA OB =， ∴OAB OBA ∠=∠，又∵EC OA ⊥，BD OB ⊥，∴OAB CEA OBA DBE ∠+∠=∠+∠， ∴CEA DBE ∠=∠，又∵CEA DEB ∠=∠， ∴DEB DBE ∠=∠， ∴DB DE =．【小问2详解】解：连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，如图：∵OA OB =，E 是AB 的中点，DB DE =， ∴90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°， ∵E 是AB 的中点，12AB =，5BD =， ∴6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==， ∵5BD =，90DFB ∠=°，∴4DF ==，∴4sin 5DF DEF DE ∠==， ∵CEA DEB ∠=∠，90CEA OAE OAE AOE ∠+∠=∠+∠=°， ∴DEF CEA AOE ∠=∠=∠，∴4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==， ∵6AE =，∴645AO =，解得：152OA =．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，余角和对顶角，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他（填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水．【答案】（1）8（2）①图见解析；②60℃ （3）不能【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可；（2）①描点并连线即可；②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t ，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；（3）由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，此时离出门还剩3018.511.5−=（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论．【小问1详解】解：在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，30310÷=（℃），∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃， ∴()10610080m −−， ∴8m =．【小问2详解】解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：。

北京市海淀区清华附中2022-2023学年数学九年级第一学期期末监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（）A ．2B ．2.5C ．3D ．42．设点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数k y x=图象上的两个点，当1x ＜2x ＜时，1y ＜2y ，则一次函数2y x k =-+的图象不经过的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．若一个扇形的圆心角是45°，面积为2π，则这个扇形的半径是( )A ．4B ．22C ．4πD ．22π 5．如图，双曲线k y x=与直线y mx =相交于A 、B 两点，B 点坐标为()2,3--，则A 点坐标为（）A ．()2,3? --B ．()2,3C ．()2,3-D ．()2,3-6． “2020年的6月21日是晴天”这个事件是（）A ．确定事件B ．不可能事件C ．必然事件D ．不确定事件7．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（）A ．2x 2+6x ﹣5=0B ．2x 2﹣3x ﹣5=0C ．2x 2﹣6x+5=0D ．2x 2﹣6x ﹣5=08．下列光线所形成的投影不是中心投影的是（）A ．太阳光线B ．台灯的光线C ．手电筒的光线D ．路灯的光线9．如图，在∆ABC 中，点D 为BC 边上的一点，且AD ＝AB ＝5， AD⊥AB 于点A ，过点D 作DE⊥AD，DE 交AC 于点E ，若DE ＝2，则∆ADC 的面积为（）A ．42B ．4C ．1256D ．25310．观察下列图形，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．11．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴是（）A ．直线x ＝－1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝－2D ．直线x ＝212．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的锐角三角函数值( )A ．扩大2倍B ．缩小12C ．不变D ．无法确定二、填空题（每题4分，共24分）13．如果关于x 的方程x 2﹣5x+k=0没有实数根，那么k 的值为________14．边长为4cm 的正三角形的外接圆半径长是_____cm ．15．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为__________s ．16．数据8，9，10，11，12的方差等于______.17．小明身高是1.6m ，影长为2m ，同时刻教学楼的影长为24m ，则楼的高是_____．18．方程2250x x -=的解为_____.三、解答题（共78分）19．（8分）若一个三位数的百位上的数字减去十位上的数字等于其个位上的数字，则称这个三位数为“差数”，同时，如果百位上的数字为a 、十位上的数字为b ，三位数t 是“差数”，我们就记：()()F t b a b =⨯-，其中，19a ≤≤，09b ≤≤．例如三位数1．∵514-=，∴1是“差数”，∴()()5141514F =⨯-=．（1）已知一个三位数m 的百位上的数字是6，若m 是“差数”，()9F m =，求m 的值；（2）求出小于300的所有“差数”的和，若这个和为n ，请判断n 是不是“差数”，若是，请求出()F n ；若不是，请说明理由．20．（8分）如图，在电线杆上的点C 处引同样长度的拉线CE ，CF 固定电线杆CD ，在离电线杆6米处安置测角仪AB （其中点B 、E 、D 、F 在同一条直线上），在A 处测得电线杆上点C 处的仰角为30，测角仪AB 的高为3米．（1）求电线杆上点C 离地面的距离CD ；（2）若拉线CE ，CF 的长度之和为18米，求固定点E 和F 之间的距离．21．（8分）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y＝kx（k≠0，x＞0）过点D．（1）写出D点坐标；（2）求双曲线的解析式；（3）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．23．（10分）已知二次函数y = x2 -4x +1．（1）用配方法将y = x2 -4x +1化成y = a(x - h)2 + k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象．（1）结合函数图象，直接写出y＜0时自变量x的取值范围．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．25．（12分）为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2017年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2019年投入资金达到1440万元．（1）从2017年到2019年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少？（2）假设保持这个年平均增长率不变，请预测一下2020年该县将投入多少资金用于教育扶贫？26．用配方法解一元二次方程2670--=x x参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】如图：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x ，则ON=OF ，∴OM=MN-ON=4-x ，MF=2，在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2=OF 2，即：（4-x ）2+22=x 2，解得：x=2.5，故选B ．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2、A【解析】∵点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数k y x =图象上的两个点，当1x ＜2x ＜1时，1y ＜2y ，即y 随x 增大而增大， ∴根据反比例函数k y x=图象与系数的关系：当0k >时函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大．故k ＜1．∴根据一次函数图象与系数的关系：一次函数1y=k x+b 的图象有四种情况：①当1k 0>，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、三象限；②当1k 0>，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、三、四象限；③当1k 0<，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、四象限；④当1k 0<，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第二、三、四象限．因此，一次函数2y x k =-+的1k 20=-<，b=k 0<，故它的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ．3、C【解析】试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2b a＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣2b a位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误．故选C ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．4、A【分析】根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：设扇形的半径为为R ，由题意得2452360R ππ=, 解得R=4.故选A.【点睛】本题考查了扇形的面积公式，R 是扇形半径，n 是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L 是扇形对应的弧长.那么扇形的面积为：2360n R S π=. 5、B【解析】反比例函数的图象是中心对称图形,则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.【详解】解:点A 与B 关于原点对称, B 点坐标为()2,3--∴A 点的坐标为(2,3).所以B 选项是正确的.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性,要求同学们要熟练掌握.6、D【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．【详解】“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选：D ．【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．7、D【分析】利用根与系数的关系判断即可．【详解】满足两个实数根的和等于3的方程是2x2-6x-5=0，故选D．【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．8、A【分析】利用中心投影(光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影)和平行投影(由平行光线形成的投影是平行投影)的定义即可判断出．【详解】解：A．太阳距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影．B．台灯的光线是由台灯光源发出的光线，是中心投影；C．手电筒的光线是由手电筒光源发出的光线，是中心投影；D．路灯的光线是由路灯光源发出的光线，是中心投影．所以，只有A不是中心投影．故选：A．【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义．熟记定义，并理解一般情况下，太阳光线可以近似的看成平行光线是解决此题的关键．9、D【分析】根据题意得出AB∥DE，得△CED∽△CAB，利用对应边成比例求CD长度，再根据等腰直角三角形求出底边上的高，利用面积公式计算即可.【详解】解：如图，过A作AF⊥BC，垂足为F，∵AD⊥AB,∴∠BAD =90°在Rt△ABD中，由勾股定理得，2222AD,5552∵AF⊥BD,∴∵AD⊥AB，DE⊥AD,∴∠BAD=∠ADE=90°,∴AB∥DE，∴∠CDE=∠B, ∠CED=∠CAB, ∴△CDE∽△CBA,∴DE CD AB CB,∴2552CDCD,∴CD=1023,∴S △ADC=111025225 22323 CD AF .故选：D【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例求线段长是解答此题的关键.10、C【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握概念是解题的关键．11、B【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴．【详解】解：∵解析式为()212y x =-+，∴对称轴是直线1x =．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质．12、C【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴BC sin A AB =，AC cos A AB =，BC tan A AC=， ∴在Rt △ABC 中，各边都扩大2倍得：2BC BC sin A 2AB AB ==，2AC AC cos A 2AB AB ==，2BC BC tan A 2AC AC==，故在Rt △ABC 中，各边都扩大2倍，则锐角A 的锐角三角函数值不变.故选C.【点睛】本题考查了锐角三角函数，根据锐角三角函数的概念：锐角A 的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值可知，三角形的各边都扩大（缩小）多少倍，锐角A 的三角函数值是不会变的.二、填空题（每题4分，共24分）13、k ＞254【解析】据题意可知方程没有实数根，则有△=b 2-4ac ＜0，然后解得这个不等式求得k 的取值范围即可．【详解】∵关于x 的方程x 2-5x+k=0没有实数根，∴△＜0，即△=25-4k ＜0，∴k ＞254，故答案为：k ＞254．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式（△=b 2-4ac ）判断方程的根的情况：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有：当△＜0时，方程无实数根．基础题型比较简单．14、3．【分析】经过圆心O 作圆的内接正n 边形的一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．连接OA ，则在直角△OAC 中，∠O ＝180n．OC是边心距r，OA即半径R．AB＝2AC＝a．根据三角函数即可求解．【详解】解：连接中心和顶点，作出边心距．那么得到直角三角形在中心的度数为：360°÷3÷2＝60°，那么外接圆半径是4÷2÷sin60°＝433；故答案为：433．【点睛】本题考查了等边三角形、垂径定理以及三角函数的知识，解答的关键在于做出辅助线、灵活应用勾股定理.15、1【解析】根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．则t=1205-⨯-=1s，故答案为1．16、2【分析】根据方差的公式计算即可.【详解】这组数据的平均数为89101112105++++=∴这组数据的方差为()()()()()22222 81091010101110121025S-+-+-+-+-==故答案为2.【点睛】此题主要考查方差的计算，牢记公式是解题关键.17、19.2m【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出教学楼高度即可列方程解答．【详解】设教学楼高度为xm，列方程得：1.6 242 x=解得x＝19.2，故教学楼的高度为19.2m．故答案为：19.2m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．18、10x =，252x = 【分析】因式分解法即可求解.【详解】解：2250x x -=x(2x-5)=0,10x =，252x =【点睛】本题考查了用提公因式法求解一元二次方程的解,属于简单题,熟悉解题方法是解题关键.三、解答题（共78分）19、（1）633m =；（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，n 是“差数”，()16F n =【分析】（1）设三位数m 的十位上的数字是x ，根据()=(6)F m x x -进行求解；（2）根据“差数”的定义列出小于300的所有“差数”，进而求解．【详解】解：（1）设三位数m 的十位上的数字是x ，∴()=(6)9F m x x -=，解得，3x =，∴个位上的数字为：633-=，∴633m =；（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，∴101110202211220844n =++++=，显然n 是“差数”，()()8444(84)16F n F ==⨯-=．【点睛】本题是新定义问题，考查了解一元二次方程，理解新的定义是解题的关键．20、（1）2）米【分析】（1）过点A 作AH ⊥CD 于点H ，可得四边形ABDH 为矩形，根据A 处测得电线杆上C 处得仰角为30°，在△ACH 中求出CH 的长度，从而得出CD 的长；（2）然后在Rt △CDE 中求出DE 的长度，根据等腰三角形的性质，可得出DF=DE ，从而得出EF 的长．【详解】解：（1）过A 作AH CD ⊥于H ，由条件知，ABDH 为矩形， ∴3DH AB ==，6BD AH ==．在Rt ACH ∆中，tan CH CAH AH ∠=，即336CH =， ∴23CH =．∴23333CD =+=．∴CD 为33米．（2）∵CE CF =，18CE CF +=，∴9CE =，在Rt CED ∆中，33CD =，9CE =，∴229(33)36DE =-=，∵CE CF =，CD EF ⊥，∴36DF DE ==，∴66EF =，∴E 、F 之间的距离为66米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．21、 (1)y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元. 【解析】(1)当6≤x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，利用待定系数法求得k 、b 的值即可；当10＜x≤12时，由图象可知y ＝200，由此即可得答案；(2))设利润为w 元，当6≦x≤10时，w ＝－2002172x -（）＋1250，根据二次函数的性质可求得最大值为1250；当10＜x≤12时，w ＝200x －1200，由一次函数的性质结合x 的取值范围可求得w 的最大值为1200，两者比较即可得答案.【详解】(1)当6≤x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)，∴1000620010k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2002200k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴当6≤x≤10时， y ＝-200x+2200，当10＜x≤12时，y ＝200，综上，y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩； (2)设利润为w 元，当6≤x≤10时，y ＝－200x ＋2200，w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－2002172x -（）＋1250， ∵－200＜0，6≦x≤10，当x ＝172时，w 有最大值，此时w=1250；当10＜x≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200，∴200＞0，∴w ＝200x －1200随x 增大而增大，又∵10＜x≤12，∴当x ＝12时，w 最大，此时w=1200，1250＞1200，∴w 的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质等，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键.22、（1）点D 的坐标是（1，2）；（2）双曲线的解析式是：y ＝2x；（1）△CDE 的面积是1．【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，将线段长度转化为点的坐标即可；（2）求出点D 的坐标后代入反比例函数解析式求解即可；（1）观察图形，可用割补法将CDE ∆分成ADE ∆与ACD ∆两部分，以AD 为底，分别以E 到AD 的距离和C 到AD 的距离为高求解即可.【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），∴点D 的坐标是（1，2），（2）∵双曲线y ＝k x （k≠0，x ＞0）过点D （1，2）， ∴2＝1k ，得k ＝2，即双曲线的解析式是：y ＝2x；（1）∵直线AC 交y 轴于点E ，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），点D 的坐标是（1，2）， ∴AD＝2，点E 到AD 的距离为1，点C 到AD 的距离为2，∴S△CDE＝S△EDA+S△ADC＝212222⨯⨯+＝1+2＝1，即△CDE 的面积是1．【点睛】本题主要考查反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握两知识点的性质是解答关键.23、 (1) 2(2)1y x =--；（2）见解析；（1） 1 < x < 1【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；（2）根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；（1）运用数形结合思想解答即可．【详解】(1) 2(2)1y x =--（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出该函数的图象如下：（1）y ＜0即在x 轴下方的点，由图形可以看出自变量x 的取值范围为： 1 < x < 1【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．24、（1）详见解析；（2）24【分析】（1）可先证得△AEF ≌△DEB ，可求得AF=DB ，可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD ，可证得结论；（2）将菱形ADCF 的面积转换成△ABC 的面积，再用S △ABC 的面积=12AB•AC ，结合条件可求得答案．【详解】（1）证明：∵E是AD的中点∴AE＝DE∵AF∥BC∴∠AFE＝∠DBE在△AEF和△DEB中AFE DBEDEB AEF AE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF≌△DEB（AAS）∴AF＝DB∵D是BC的中点∴BD=CD=AF∴四边形ADCF是平行四边形∵∠BAC＝90°，∴AD＝CD＝12BC∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8∴S菱形ADCF＝CD•h＝12BC•h＝S△ABC＝12AB•AC＝168242⨯⨯=．【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．25、（1）20%；（2）1728万元．【分析】（1）设年平均增长率为x，根据：2017年投入资金×（1+增长率）2＝2019年投入资金，列出方程求解可得；（2）根据求得的增长率代入求得2020年的投入即可．【详解】解：（1）设该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1000（1+x）2＝1440，解得：x＝0.2或x＝﹣2.2（舍），答：从2017年到2019年，该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为20%；（2）2020年投入的教育扶贫资金为1440×（1+20%）＝1728万元．【点睛】本题考查的知识点是用一元二次方程求增长率问题，根据题目找出等量关系式是解此题的关键.26、17x =，21x =-【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，解方程即可．【详解】解：2670x x --=移项得 x 2﹣6x=7，配方得 x 2﹣6x+9=7+9，即2(3)16x -=，∴ x -3=±4 ，∴17x =，21x =- ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，正确配方是解题的关键：“当二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数一半的平方” ．。

清华附中2020初三零模试卷(含完型阅读的译文、答案及解析)

初17级延时开学自主学习检测英语2020.3一、单选填空（共6分，每小题0.5分）从下面所给的A、B、C、D四个选项中，选择可以填入空白处的最佳选项。

1.My uncle is a doctor. ________ works hard to save patients in a hospital.A.SheB. HeC. ID. We2. The Dragon Boat Festival falls ________ the fifth day of the fifth month in Chinese lunar calendar.A.inB. atC. toD. on3.— ________ do you eat outside?—Twice a week, but I haven’t done that for a month.A.How longB. How oftenC. How muchD. How soon4.Remember to think twice ________ you make a decision.A.andB. beforeC. soD. unless5.— ________ I cover my mouth and nose when I cough, mom?— Yes, you should. Otherwise, it’s bad for people around you.A.ShouldB. CanC. MayD. Need6.— Who is ________ at math, Mike or Eric?— Eric. He always gets higher grades than Mike.A.betterB. bestC. goodD. the best7.— This blue dress looks nice on you!— Thanks. My aunt ________ it to me as a present on my 15th birthday.A.givesB. gaveC. has givenD. will give8.Turn down the music, Tom! Your dad ________ an online meeting now.A.hasB. hadC. is havingD. was having9.Kate, your English ________ behind if you don’t r ead English books every day.A.fallsB. fellC. will fallD. have fallen10.Steve ________ more outgoing since last year.A.wasB. would beC. has beenD. will be11.Most of the artworks in this exhibition ________ in the 1910s.A.createB. are createdC. createdD. were created12.— Mrs Green, could you please tell us ________ the film together?— Sure. Next Wednesday.A.when we watchedB. when we will watchC. when did we watchD. when will we watch二、完型填空（共8分，每小题1分）阅读下面的短文，掌握其大意，然后从短文后各题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

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2015.4清华附中第二学期初三年级数学练习
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．地球与月球的距离为384000千米，这个数据可用科学记数法表示为（）
A．3.84×104千米 B．3.84×105千米 C．3.84×106千米D．38.4×104千
米
2．如右下图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是（）

A． B． C． D．
3．如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是8，那么点B表示的数是（）
B
A
O

A．5 B． 3 C．3 D．5

4．如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转
盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（）

A．14 B．13 C．12 D．23
5．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则
∠2的度数是（）
A．50° B．45° C．35° D．30°
6．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于12AC的长为半
径画弧，两弧相交于点B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下
结论：
①BD垂直平分AC； ②AC平分∠BAD；
③AC=BD； ④四边形ABCD是中心对称图形．
其中正确的有（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
7．在某捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：
金额（元/人）
20 30 40 50 60
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学生数（人）
3 17 5 12 3
则在这次活动中，该班同学捐款金额的中位数是（）
A．30 B．40 C．35 D．45

8．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报纸后，继续散步了一段时间，
然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散
步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的
是（）
A．小明看报用时8分钟
B．公共阅报栏距小明家200米
C．小明离家最远的距离为400米
D．小明从出发到回家共用时16分钟
9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，
CD的长为（）

A．22 B．4 C．42 D．8
10．点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P
两点间的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图
形是（）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．分解因式：34mm 。

12．已知21xy是方程25xay的解，则a 。
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13．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2。写出一个函数

0kykx
，使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为。

14．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则AB'的
长为。

15．在四边形ABCD中，已知AB=CD，请补充一个条件，使得四边形ABCD
是平行四边形。
16．小芸统计了自己班同学的身高，整理分析数据后得到如下结论：

人数平均身高（单位：厘米）方差
男生
15 175 36
女生
15 165 16
则全班所有同学身高的方差为。
三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．计算：10120152sin60312

18．解不等式组：3121212xxx＞，并在数轴上表示出其解集。
19．实数x满足2210xx，求代数式221422xxxxx的值。
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20．如图，已知AB∥CD，AB=CD，BF=CE，求证：AE=DF。
B
A
C
D

F
E

21．已知关于x的方程220xaxa
（1）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

22．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进
第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但购进单价贵了4元，
结果第二批用了6300元．第二批购进书包的单价是多少元？

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，
AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．
（1）求sinB的值；

（2）如果CD＝5，求BE的值．

H
EDB

C
24．据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图
表的一部分：
- 5 -

请根据以上信息，回答以下问题：
（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了________分钟；
（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用
户中，经常使用户约为_________亿，偶尔使用；（结果精确到0.1）；
（3）从调查数学看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，
我国微信用户的规模将到达_________亿.

25．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O相切，切点分别为A，C，PC的延长线于AB
的延长线相交于点D。
（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若OA=1，PA=2，求BD的长。

26．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积。
小芳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在
网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不
需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．．．。若△ABC三边的长分别为2a、13a、
- 6 -

17a
（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，

并求出它的面积填写在横线上；
探索创新：

（3）请参照小芳的解答问题过程中的思想方法，证明：对于任意整数a，b，c，均有
222222
2abbcca

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线254ymxnxm关于y轴对称，且经过点（1，
3
4

）

（1）求m，n的值；
（2）直线l经过点（0，2）且与y轴垂直，点P是抛物线上一动点，记P到直线l的距
离为d，试探索d与线段OP长度的数量关系，并证明；
（3）若A（1，1），点P是抛物线上一动点，请结合函数图像，直接写出OP+AP的最小值，
以及取得最小值时点P的坐标。
28．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与
AB，AP，BD，AD分别交于点M，E，F，N。
（Ⅰ）若AB=9，BP=3，求线段MN的长度；（Ⅱ）求证：ME+NF=EF。
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NFMEBCADPNF
M
E

P
NF

M
E

P
29．若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（1x，1y），
（2x，2y），都有12yyH，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的
最小值，称为该函数的界高。
例如：下面所表示的函数的界高为4.
（1）若函数y=kx+1（2≤x≤1）的界高为4，求k的值；
（2）已知m＞2，若函数2yx（2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；
（3）已知a＞0，函数223yxaxa（2≤x≤1）的界高为254，求a的值。

x
y

–1–2–3–4–512345
–1

–2
–3

1
2
3
O