湖北省武汉市新洲区第一中学2022-2023学年高二下学期开学收心考试数学试题含答案
湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题
湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．存在某个位置，使得BMB ．1A EC △面积的最大值为C ．三棱锥1A EDC-体积最大是D ．当a 为锐角时，存在某个位三、填空题13．某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩()2~90,X N d ，且()600.1P X <=，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______．14．某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：四、双空题16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为1,2,3,4），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件{k A =第k 次取单恰好是从1号店取单()},k P A 是事件k A 发生的概率，显然()()121,0P A P A ==，则()3P A =__________，()10P A =__________（第二空精确到0.01）.五、解答题17．已知正项等比数列{}na 的前n 项和为n S ，且11231,2aa a a =+=，数列{}nb 满足()241n b n n a S =+.(1)求数列{}nb 的通项公式；选项，当三棱锥1A EDC-体积最大，112A D A E ==且190DA E Ð=°所以111133A EDCEDC VS A F -=´´=V（1）直接构造函数法：证明不等式()()>转化为证明()()0f xg x->，进而构造辅助f xg x函数()()()=-；h x f x g x（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
湖北省武汉市新洲区第一中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
的值域为 2a,2b ，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． m 17 8
B． 0 m 1 2
试卷第 1页，共 4页
C． m 2
D． 17 m 2 8
二、多选题
9．已知 sin 5 ，且 cos 0 ，则（ 3
A． tan 0
） B． sin cos 0
C． tan2 1
sin
2 x cos sin2 x
2x
4
sin 2 x cos2 x
cos2 x
4
tan 2x
1 tan 2
x
5
2
4 tan2
x
1 tan2
x
5
9 ，当且仅当
4 tan2
x
1 tan 2
x
，即
tan
x
2 时，等号成立，所以 2
y
1 sin2 x
4 cos2 x
的最小值为
9，故
D
正确.
故选：BD.
集合 N 为函数 y x 的值域，故 N y y x R ，
∴ M N 0, .
故选：A.
2．D 【解析】利用三角函数的定义可求出 cos 的值.
【详解】由三角函数的定义可得 cos
12
122 52
12 13
.
故答案为：D.
【点睛】本题考查利用三角函数的定义计算余弦值，考查计算能力，属于基础题.
19．已知函数
f
x
ex ex 1
1 2
.
(1)判断函数 y f x 的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数 y f x 在 R 上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意的 t R ，不等式 f mt2 1 f 1 mt 0 恒成立，求实数 m 的取值范围.
2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高二年级下册学期期末联考数学试题【含答案】
2022~2023学年度第二学期联合体期末联考高二数学试卷考试时间：2023年6月27日上午8：00—10：00试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若22a=，648S =，则等差数列{}n a 的公差为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【分析】根据已知列出方程组，求解即可得出答案.【详解】设公差为d ，由已知可得，2161261548a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得124a d =-⎧⎨=⎩.故选：C.2.(1)n x +的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A.7 B.6C.5D.4【答案】B【分析】写出二项式定理展开式的通项，根据2x 的系数即可求得.【详解】根据二项式定理的展开式通项得，1C ,(0,1,2,3,,)rrr n T x r n +== ，所以当2r =时，223C ,n T x =因为(1)n x +的展开式中2x 的系数为15，所以2C 15n =，解得6n =.故选：B3.设2()e x f x x =-，则()f x 的导函数()f x '=（）A.22e 1x - B.22e 1x + C.2e 1x - D.2e 1x +【答案】A【分析】根据复合函数的求导法则，即可得出答案.【详解】由已知可得，()()22()e 22e 1x x f x x x ''''=⋅=--.故选：A.4.某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩(110,100)X N ~，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（）（参考数据：()0.68,(2)0.95P X P X μσμσ-<≈-<≈）A.16B.10C.8D.2【答案】C【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.【详解】因为数学成绩(110,100)X N ~，所以110,10μσ==，因此由1(11010)0.68(100120)0.68(110120)0.680.34,2P X P X P X -<≈⇒<<≈⇒<<≈⨯=所以有11(120)(110120)]0.340.1622P X P X ≥=-<<=-=，估计该班数学得分大于120分的学生人数为0.16508⨯=，故选：C5.算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A =“表示的四位数大于5500”，则()P A =（）A.12B.14C.18D.116【答案】B【分析】由题意可知基本样本总数为4216=个，然后列出大于5500的数，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每个珠子有两种情况：1和5，∴共有4216=种情况，其中大于5500的有5511、5515、5551、5555共4种.41().164P A ∴==故选：B.6.有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是A.960 B.720 C.480 D.240【答案】A 【解析】【分析】先把丙,丁两人绑定，与没有要求的另外三人，进行全排列，有5个空，甲,乙两人插空，由分步计算原理计算出结果．【详解】第一步，先把丙,丁两人绑定，有222A =种方法；第二步，把绑定的二人与无要求的三人全排列，有4424A =种方法，这时形成5个空；第三步，把甲,乙两人，插入5个空中，有2520A =种方法，由分步计算原理可知：有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是22420960⨯⨯=，故本题选A ．【点睛】本题考查了分步计算原理、排列有关知识．本题涉及到绑定法、插空法．7.已知()0.4P B =，()0.8P B A =，()0.3P B A =，则()P A =（）．A.34B.38C.13 D.15【答案】D【分析】根据互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，独立事件的概率公式即可求解.【详解】()()()()()()P B P AB AB P A P B A P A P B A =+=+,即()()0.40.80.31P A P A ⎡⎤=+-⎣⎦，解得()10.25P A ==.故选：D.8.2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B 遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M 大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A ，B ，C 三名学生报名参加了这次竞赛，已知A 通过初赛、复赛的概率分别为12，13；B 通过初赛、复赛的概率分别为23，12，C 通过初赛和复赛的概率与B 完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X 元，则X 的数学期望为（）A.300元B.10003元 C.350元D.20003元【答案】B【分析】求出X 的可能取值及对应的概率，得到数学期望.【详解】由题知X 的所有可能取值为150，250，350，450，()111115023318P X ==⨯⨯=，()1111215250223323318P X ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，()121122435022332339P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，()12224502339P X ==⨯⨯=，所以数学期望()154210001502503504501818993E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．故选：B ．二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.9.研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题.减少硶排放具有深远的意义.我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一.在这样的大环境下，我国新能源汽车逐浙火爆起来.下表是2022年我国某市1∼5月份新能源汽车销量y （单位：千辆）与月份x 的统计数据.月份x 12345销量y55m68现已求得y 与x 的经验回归方程为 0.6 4.2y x =+，则（）A.6m =B.y 与x 正相关C.y 与x 的样本相关系数一定小于1D.由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆【答案】ABC【分析】A 选项利用样本中心(),x y 在回归直线上即可；利用线性回归方程判断选项B 、C ；把7x =代入线性回归方程求解判断选项D.【详解】由1234535x ++++==，55682455m my +++++==，代入 0.6 4.2y x =+中有：620.632544.mm =⨯+⇒=+，故A 正确；由线性回归系数ˆ0.60b=>，所以y 与x 正相关，故B 正确；由样本点不全在线性回归方程上，则y 与x 的样本相关系数一定小于1，故C 正确，将7x =代入线性回归方程 0.6 4.2y x =+中得： 0.67 4.28.4y =⨯+=，故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D 不正确，故选：ABC.10.已知6270127(1)(2)x x a a x a x a x -+=++++ ，则（）A.01270a a a a ++++=B.248a =C.02462a a a a +++=- D.13571+++=a a a a 【答案】AD【分析】令1x =，即可判断A 选项；令=1x -，结合1x =，即可判断C 、D 选项；写出()62x +展开式的通项，得出含2x 的系数，即可判断B 选项.【详解】对于A 项，令1x =，可得()()6012711120a a a a ++++=-+= ，故A 项正确；对于B 项，()62x +展开式的通项为66166C 22C rrr r r rr T xx --+=⋅⋅=，0,1,2,3,4,5,6r =.由61r -=可得=5r ，所以()62x +展开式含x 的项为51566C 2192T x x =⋅⋅=.由62r -=可得4r =，所以()62x +展开式含2x 的项为424256C 2240T x x =⋅⋅=.所以，6(1)(2)x x -+展开式中含2x 的项为2219224048x x x x ⨯-=-，所以，248a =-，故B 项错误；对于C 项，令=1x -，可得601234567(11)(12)2a a a a a a a a -+-+-+--+=--=-.又01270a a a a ++++= ，两式相加可得，()024622a a a a +++=-，所以02461a a a a ++=-+，故C 项错误；对于D 项，由C 可知02461a a a a ++=-+，又01270a a a a ++++= ，所以13571+++=a a a a ，故D 项正确.故选：AD.11.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，151a a >=，{}n a 前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列结论正确的是（）A.数列{}n a 为递减数列B.数列{}n T 为递增数列C.当4n =或5时，n T 最大D.41(1)n S q q <-【答案】ACD【分析】根据已知即可得出01q <<，判断A 项；举例即可说明B 项错误；根据单调性以及已知得出n a 与1的关系，即可得出C 项；由已知表示出1a ，根据等比数列的前n 项和公式，即可得出D 项.【详解】对于A 项，由已知可得，01q <<，10a >，所以()110n n n a a a q +-=-<，所以数列{}n a 为递减数列，故A 项正确；对于B 项，由已知可得，6501a a <<=，所以6655T a T T =<，故B 项错误；对于C 项，由已知可得，14n ≤≤，有1n a >；5n =时，1n a =；6n ≥时，有01n a <<.所以，当4n =或5时，n T 最大，故C 项正确；对于D 项，由已知可得，4511a a q ==，所以141a q =，所以，()()()144111111n n n a q q S qq q q q --==<---，故D 项正确.故选：ACD.12.若关于x 的方程22(3)ln 3ln 0x a x x a x -++=有3个不等的实根，则实数a 的取值可以是（）A.3-B.1- C.1D.3【答案】ABD【分析】解方程可得3ln x x =或ln x a x =.可将已知转化为3ln x x =以及ln x a x =这两个方程共有3个不等的实数解.构造函数()ln ,1ln ln ,01xx x xf x x x x x⎧≥⎪⎪==⎨-⎪<<⎪⎩，根据导函数研究函数的单调性以及极值，进而根据函数的图象.然后根据函数的图象，得出()ln x f x k x==解的个数对应的k 的范围.然后即可得出方程3ln x x =解的个数，进而得出答案.【详解】由已知可得，22(3)ln 3ln 0x a x x a x -++=，解得，3ln x x =或ln x a x =.要使方程22(3)ln 3ln 0x a x x a x -++=有3个不等的实根，则只需3ln x x =以及ln x a x =这两个方程共有3个不等的实数解.构造函数()ln ,1ln ln ,01xx x xf x x x x x⎧≥⎪⎪==⎨-⎪<<⎪⎩，因为方程有3个不等的实根，所以()f x k =有3个解.当1x ≥时，有()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x ，解()0f x '=可得，e x =.由()0f x ¢>可得，0e x <<，所以()f x 在()1,e 上单调递增；由()0f x '<可得，e x >，所以()f x 在()e,+∞上单调递减，且()ln 0xf x x=>在()e,+∞上恒成立.所以，()f x 在e x =处有极大值()ln e 1e e ef ==；当01x <<时，有()221ln 1ln 0x xx x f x x x ⋅--+'=-=<在()0,1上恒成立，所以()f x 在()0,1上单调递减.作出函数()f x的图象由图象可知，当10e <<k 时，()ln x f x k x==有3个解，即1ln x x k =有3个不等的实数解；当1e k =时，()ln x f x k x ==有2个解，即1ln x x k =有2个不等的实数解；当1e k >或0k =时，()ln x f x kx==有1个解，即1ln x x k =有1个实数解；当0k <时，()ln x f x k x==无解，即1ln x x k=没有实数解.且由图象可得出，当0k ≥时，不同k 值的方程的解均不相同.所以，3ln x x =有3个不等的实数解.要使3ln x x =以及ln x a x =这两个方程总共有3个不等的实数解，则应有3a =或10a<，即3a =或a<0.故选：ABD.【点睛】关键点睛：解方程得出3ln x x =或ln x a x =.构造函数()ln ,1ln ln ,01xx x xf x x x x x⎧≥⎪⎪==⎨-⎪<<⎪⎩，求导根据导函数，研究函数的性质.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从4个男生3个女生中挑选3人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有__________种．（用数字作答）【答案】30【分析】由题意分2男1女和1男2女两类选法，再由分类加法计数原理求解.【详解】这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况，若3人中有2男1女，则不同的选法共有2143C C 18=种；若3人中1男2女，则不同的选法共有1243C C 12=种，根据分类加法计数原理，既有男生又有女生的选法共有181230+=种，故答案为：30．14.过点(1,2)P --作曲线ln(1)y x =+的切线，则该切线的斜率为__________.【答案】e【分析】求出导函数，设出切点()00,A x y ，根据导数的几何意义以及斜率的公式列出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，11y x '=+，点(1,2)P --不在曲线上.设切点为()00,A x y ，根据导数的几何意义可知，曲线在点A 处切线的斜率011k x =+.所以有()0000011ln 121k x y x y k x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪+⎪=+⎪⎩，解得0011e 1e x y k ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩.故答案为：e .15.将2n 个数排成n 行n 列的数阵，如图所示，其中()*1,1,ij a i n j n n N≤≤≤≤∈表示第i 行第j列上的数，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以2为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以2为公比的等比数列，若113a =，1i n <<，则iia =__________.111213121222323132333123n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a 【答案】1(21)2i i -+【分析】由于第一列的n 个数从上到下构成以2为公差的等差数列，所以可得1112(1)i a a i =+-，再由每一行的n 个数从左到右构成以2为公比的等比数列，可得112i ii i a a -=⋅，从而可求得结果.【详解】因为该数阵第一列的n 个数从上到下构成以2为公差的等差数列，113a =，所以1112(1)32221i a a i i i =+-=+-=+，因为该数阵每一行的n 个数从左到右构成以2为公比的等比数列，所以1112(21)2i i ii i a a i --=⋅=+，故答案为：1(21)2i i -+16.已知三棱锥-P ABC 的顶点处有一质点M ，点M 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次.若质点M 的初始位置在点A 处，则点M 移动2次后仍然在底面ABC 上的概率为__________，点M 移动n 次后仍然在底面ABC 上的概率为__________.【答案】①.79②.113434n⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭【分析】先求出质点M 移动1次后，在底面ABC 上的概率为123P =；然后根据第1次落在底面ABC 上以及落在P 点，讨论计算即可得出移动2次的概率；设点M 移动n 次后仍然在底面ABC 上的概率为n P ，2n ≥.根据第n 1-落在底面ABC 上以及落在P 点，讨论计算即可得出移动n 次的概率1113n n P P -=-+，变形可得出34n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以112-为首项，以13-为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式，即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，质点M 移动1次后，在底面ABC 上的概率为123P =；（2）①若质点移动1次后，在B 点或C 点，则第2次移动后仍然在底面ABC 上的概率为12439P =；②若质点移动1次后，在P 点，则第2次移动后仍然在底面ABC 上的概率为()11113P ⨯-=.所以，点M 移动2次后仍然在底面ABC 上的概率为2417939P =+=.（3）设点M 移动n 次后仍然在底面ABC 上的概率为n P ，2n ≥.①若质点移动n 1-次后仍然在底面ABC 上，则第n 次移动后仍然在底面ABC 上的概率为123n P -；②若质点移动n 1-次后在P 点，则第n 次移动后仍然在底面ABC 上的概率为()11111n n P P --⨯-=-.所以，111211133n n n n P P P P ---=-+=-+，所以有1313434n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又131412P -=-，所以，数列34n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以112-为首项，以13-为公比的等比数列，所以有，131111412343n nn P -⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，113434n n P ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭.故答案为：79；113434n⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：每次移动后均有可能落在平面ABC 上或点P 上，设点M 移动n 次后仍然在底面ABC 上的概率为n P .讨论根据第n 1-次的情况，进而得出1,n n P P -的关系.变形构造得出等比数列，根据等比数列的通项公式，即可得出答案.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下：小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及以下学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的22⨯列联表；低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计800（2）根据（1）中所得列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()2P K k ≥0.0500.0100.001K 3.841 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）没有【分析】（1）根据题中数据，填写列联表即可；（2）由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，根据列联表数据计算，与临界值比较即可【小问1详解】完成的22⨯列联表如下：低学历高学历合计不了解数字人民币150125275了解数字人民币250275525合计400400800【小问2详解】根据列联表得：22800(150275125250)800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关．18.在①12(21)3124n n n a a na -⋅++++= ，②11122n n S a +=-，且23a =.这两个条件中任选一个补充在下面问题的横线上，并解答.已知数列{}()*n a n ∈N 的前项和为n S ，且满足__________.（1）求数列{}n a 的通项；（2）求数列{}(21)n n a -前n 项和n T .【答案】（1）13n n a -=，*n ∈N （2）(1)31n n T n =-⨯+【分析】（1）若选①：将122n a a na +++ 看为数列{}n na 的前n 项和，根据和与项的关系推得13n n na n -=⋅，即可得出13n n a -=.检验1a ，即可得出通项公式；若选②：根据n S 与n a 的关系，推得13n na a +=.检验即可得出{}n a 为等比数列，写出等比数列的通项公式，即可得出答案；（2）设2113353(21)3n n T n -=+⨯+⨯++-⨯ ，根据错位相减法，即可得出答案.【小问1详解】若选①：当1n =时，11a =；当2n ≥时，12(21)3124n n n a a na -⋅++++= ，1121(23)312(1)4n n n a a n a ---⋅++++-= ，上式相减得11(21)31(23)31344n n n n n n na n ---⋅+-⋅+=-=⋅，所以13n n a -=.显然11a =满足13n na -=，所以13n n a -=，*n ∈N .若选②：当1n =时，121122S a =-，又23a =，所以11a =.当2n ≥时，11122n n S a +=-，11122n n S a -=-，两式相减得111122n n n n S S a a -+-=-，即11122n n n a a a +=-，整理可得13n na a +=.又21331a a ==满足该式，所以13n na a +=，*n ∈N ，所以数列{}n a 成等比数列，所以13n n a -=，*n ∈N .【小问2详解】令2113353(21)3n n T n -=+⨯+⨯++-⨯ ，233133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，两式相减得2121232323(21)3n nn T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯ ()21213331(21)3n nn -=++++---⨯ 21321(21)3(22)313nn n n n -=⨯---⨯--⨯=--，所以，(1)31n n T n =-⨯+.19.已知函数2()(21)ln a f x x a x x=--+，a ∈R .（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）当0a >时，讨论()f x 的单调性.【答案】（1）极小值为1，无极大值（2）答案见解析【分析】（1）代入0a =，求出函数的定义域以及导函数，根据导函数得出函数的单调区间，进而得出函数的极值；（2）先求出函数的定义域以及导函数，解()0f x '=可得，2x a =或1x =.根据两根的大小关系，分类讨论，得出()0f x '>以及()0f x '<的解，即可得出函数的单调区间.【小问1详解】当0a =，()ln f x x x =-，定义域为()0,∞+，则11()1x f x x x'-=-=.由()0f x '=可得，1x =.当(0,1)x ∈时，有()0f x '<，所以()f x 在()0,1上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，有()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增.所以，()f x 的极小值为(1)1f =，无极大值.【小问2详解】由已知可得()f x 定义域为()0,∞+，且2221()1a a f x x x +'=+-22(21)2x a x a x-++=2(2)(1)x a x x --=.由()0f x '=可得，2x a =或1x =.①当21a >，即12a >时，由()0f x '>可得，01x <<或2x a >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在(2,)a +∞上单调递增；由()0f x '<可得，12x a <<，所以()f x 在(1,2)a 上单调递减；②当21a =，即12a =时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当021a <<，即102a <<时，由()0f x '>可得，02x a <<或1x >，所以()f x 在()0,2a 上单调递增，在(1,)+∞上单调递增；由()0f x '<可得，21a x <<，所以()f x 在(2,1)a 上单调递减.综上所述，当12a >时，()f x 在()0,1上单调递增，在(1,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增；当12a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当102a <<时，()f x 在()0,2a 上单调递增，在(2,1)a 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.20.某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.（1）当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；（2）当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；（3）如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？【答案】（1）0.4（2）0.25（3）应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次【分析】（1）由已知设出事件，根据已知得出各个事件的概率，然后根据全概率公式，即可得出答案；（2）结合（1）的答案，用贝叶斯公式计算条件概率，即可得出答案；（3）分别用贝叶斯公式计算出球队输了某场比赛的条件下，甲担任各个位置的概率，根据概率值的大小关系，即可得出答案.【小问1详解】设1A 表示“甲球员出任前锋”，2A 表示“甲球员出任中锋”，3A 表示“甲球员出任后卫”，则123A A A Ω= ，设B 表示“球队输掉某场比赛”，则()10.1P A =，()20.5P A =，()30.4P A =，()()120.2P B A P B A ==||，()30.7P B A =|，所以()()()123()P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅|||0.10.20.50.20.40.7=⨯+⨯+⨯0.4=.所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4.【小问2详解】由（1）知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率()()()()22220.50.20.25()()0.4P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====||.【小问3详解】由（1）知，已知球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这场出任前锋的概率()()110.10.20.05()0.4P A B P A B P B ⨯===∣；甲球员在这场出任后卫的概率()()()330.40.70.70.4P A B P A B P B ⨯===∣；由（2）知，甲球员在这一场出任中锋的概率()20.25P A B =|.所以有，()()()123P A B P A B P A B <<∣∣∣，所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次.21.设数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，()1410n n n n S a a a +=+≠，1(1)n n n n n b a a +-=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 前n 项和为n T ，问n T 是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）21n a n =-（2）存在，15-【分析】（1）根据已知n a 与n S 的关系可得，当2n ≥时，114n n a a +--=.然后可得出{}n a 的奇数项和偶数项均分别为等差数列，根据1a 求得2a 的值，结合等差数列的通项公式，得出答案；（2）裂项化简可得111(1)42121n n b n n ⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪-+⎝⎭，求解可得n 为偶数时111421n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，求出此时n T 的最大值.然后得出n 为奇数时，11114214n T n ⎛⎫=--<- ⎪+⎝⎭，比较即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，141n n n S a a +=+①当2n ≥时，1141n n n S a a --=+②①-②得，114n n n n n a a a a a +-=-.因为0n a ≠，所以114n n a a +--=.又11a =，所以，1a ，3a ，…，21k a -，…是以11a =为首项，4为公差的等差数列，所以211(1)4432(21)1k a a k k k -=+-⨯=-=--；当1n =时，有11241S a a =+，11a =，所以23a =，所以，2a ，4a ，…，2k a ，…是以23a =为首项，4为公差的等差数列，所以22(1)4412(2)1k a a k k k =+-⨯=-=-.所以，21n a n =-.【小问2详解】由（1）可得，(1)111(1)(21)(21)42121n n n n b n n n n -⎛⎫==⨯-+ ⎪+⨯-+-⎝⎭.则当n 为偶数时，1111111114335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111421n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，显然n T 单调递减，所以有215n T T ≤=-；当n 为奇数时，1n n nT T b -=+11111142142121n n n ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭11114214n ⎛⎫=--<- ⎪+⎝⎭.又1145-<-，所以n T 存在最大值，且最大值为15-.22.已知函数2()2cos 2f x ax x =+-，a ∈R .（1）当1a =，(0,2π)x ∈时，证明：20()4πf x <<；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）[1,)+∞【分析】（1）代入1a =，求出()22sin f x x x '=-.令()sin g x x x =-，求导根据()g x 的单调性以及端点处的函数值，得出()0f x '>恒成立，即可得出()f x 的单调性，进而根据端点处的函数值，即可得出证明；（2）由已知可判断()f x 为偶函数，只需满足[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥即可.求出导函数()22sin f x ax x '=-，二次求导得出()cos h x a x '=-.根据余弦函数的值域，分1a ≥、0a ≤、01a <<讨论，得出()h x 的单调性，然后得出()f x 的单调性，结合特殊值，即可得出答案.【小问1详解】当1a =时，2()2cos 2f x x x =+-，(0,2π)x ∈，且()22sin f x x x '=-.令()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，所以，()g x 在()0,2π上为增函数，所以()(0)0g x g >=，即()0f x '>在()0,2π上恒成立，所以，()f x 在()0,2π上为增函数.又(0)220f =-=，()222π4π224πf =+-=，所以(0)()(2π)f f x f <<，即20()4πf x <<.【小问2详解】由已知可得，()()2()2cos 2f x a x x -=-+--()22cos 2ax x f x =+-=，所以，()f x 为偶函数.所以，要使()0f x ≥恒成立，只需满足[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥即可.()22sin f x ax x '=-，0x ≥，令()sin h x ax x =-，0x ≥，则()cos h x a x '=-.①当1a ≥时，()0h x '≥，所以()h x 在[0,)+∞为增函数，()(0)0h x h ≥=，所以有()0f x '≥，即()f x 在[0,)+∞上为增函数，()(0)0f x f ≥=满足条件；②当0a ≤时，2ππ2024f a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭显然不满足条件；③当01a <<时，由()0h x '=，可得cos x a =，显然存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使0cos x a =，当()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在()00,x 上为减函数，所以()(0)0h x h <=，即()0f x '<，所以，()f x 在()00,x 上单调递减，所以()(0)0f x f <=，不满足条件.综上所述，a 的取值范围是[1,)+∞.【点睛】关键点睛：根据函数的解析式，判断函数为偶函数，只需研究0x ≥时，即可.。
湖北省孝感市2022-2023学年高二下学期收心(开学)考试语文试题答案和解析
2023年湖北省孝感市高二收心考试高二语文参考答案1.C【解析】本题考查筛选并辨析信息的能力。
逻辑关系不成立，原文说的是“在整理明清方志文献过程中，研究者要尽可能贴近古人小说观念，以宽严相济的眼光来审视相关史料”，“以宽严相济的眼光来审视相关史料”与“尽可能贴近古人小说观念”之间并没有条件关系。
2.B【解析】本题考查分析概括作者在文中的观点态度的能力。
材料二介绍了方志中的部分内容可归入小说范畴，说明了整理明清方志中的小说史料可以扩充古代小说文献存量，丰富古代小说研究对象，这印证的是材料一第三段的观点。
3.C【解析】本题考查根据文章内容进行推断和想象的能力。
材料一第四段提到“古代……这对小说研究带来了诸多困扰。
而倘若将视野投向明清方志，往往能有一些意外收获”，意在说明从方志中可以找到小说作者及其生平情况。
C选项内容是说判定作者时用其他文献内容来印证方志内容，明显与原文不符。
故选C。
4.①道理论证，“方志是记载一地自然和人文方面历史与现状的综合性地方文献”，这里引用方志的一般定义，属于道理论证；②对比论证，“当代小说评论界将这些在创作中借鉴了志书编纂理念和手法的小说命名为‘方志小说’，这比辛谷先生将方志中的小说命名为‘方志小说’显得更为科学”，这里从创作手法及出处的角度将“方志小说”与“方志中的小说”进行对比，属于对比论证；③举例论证，“有的是神话故事，如广东《海丰县志》中的《盘瓤》……有的是民间传说故事，如《肇庆府志》中的《勿学你翁》……”，这里大量举例，属于举例论证。
（以上三点，每点2分，任答两点即可）【解析】本题考查认识赏析文章的表现手法和特点的能力。
“方志是记载一地自然和人文方面历史与现状的综合性地方文献”，这里引用方志的一般定义，属于道理论证；“当代小说评论界将这些在创作中借鉴了志书编纂理念和手法的小说命名为‘方志小说’，这比辛谷先生将方志中的小说命名为‘方志小说’显得更为科学”，这里从创作手法及出处的角度将“方志小说”与“方志中的小说”进行对比，属于对比论证；“有的是神话故事，如广东《海丰县志》中的《盘瓤》……有的是民间传说故事，如《肇庆府志》中的《勿学你翁》……”，这里大量举例，属于举例论证。
2022-2023学年湖北省宜昌市高二下学期期中协作体联考数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省宜昌市高二下学期期中协作体联考数学试题一、单选题1．若数列{}的通项公式为则（ ）n a 26n na n =+，4a =A ．B ．C ．D ．1721321115【答案】C【分析】由通项公式取即可.4n =【详解】因为26n na n =+，所以 4242.4611a ==+故选：C.2．若，则（ ）()2*A 42Nn n =∈3Cn=A ．20B ．21C ．30D ．35【答案】D【分析】根据排列数求得n ，再根据组合数公式求得答案.【详解】因为，所以，即，()2A 142n n n =-=2420n n --=()()760n n -+=解得或（舍去），所以,7n =6n =-337765C C 35321n ⨯⨯===⨯⨯故选：D.3．下列求导运算正确的是（ ）A ．B ．()1xxaa '-=2311x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()1ln 33x x'+=+()cos sin x x '=-【答案】D【分析】根据导数运算公式逐项求解即可.【详解】，故A 错误；()1ln xx aa a'-=，故B 错误；2312x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误；()1ln 3x x '+=，故D 正确.()cos sin x x '=-故选：D.4．已知等差数列的前项和为，则（ ）{}n a n 24,5,11n S a a ==10S =A ．155B ．160C ．290D ．310【答案】A【分析】根据等差数列的通项公式列式求解，再利用等差数列的求和公式运算求解.1,a d【详解】等差数列的公差为，{}n a d 由题意可得：，解得，21415311a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩123a d =⎧⎨=⎩所以.1010910231552S ⨯=⨯+⨯=故选：A.5．已知是两条平行线，直线上有4个不同的点，直线上有5个不同的点，从这9个点中任,a b a b 取3个点作为三角形的顶点，则组成的三角形的个数是（ ）A ．30B ．84C ．40D ．70【答案】D【分析】分类讨论从直线上选点的个数，结合组合数运算求解.a 【详解】从直线上选2个点，直线上选1个点，可以组成个三角形；ab 2145C C 30=从直线上选1个点，直线上选2个点，可以组成个三角形；a b 1245C C 40=所以总共可以组成个三角形.304070+=故选：.D 6．若函数在上存在极值，则实数的取值范围是（ ）()3263(0)f x x ax x a =++->R a A ．B ．C ．D．()+∞()+∞(0,(【答案】B【分析】求出函数的导函数，依题意可得，再结合，即可求出参数的取值范围.Δ0>0a >【详解】因为，()3263(0)f x x ax x a =++->所以，()2326f x x ax '=++由函数在上存在极值，所以，解得或()f x R 2Δ4720a =->a >a <-又，所以的取值范围是.0a >a ()+∞故选：B.7．已知等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）{}n a n n S 0n a >68S =1838S =24S =A ．27B ．45C ．65D ．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据n 6S 126S S -1812S S -2418S S -等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.1220S =【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，n 6S 126S S -1812S S -2418S S -所以有，即，()()212661812S S S S S -=-()()212128838S S -=⨯-整理可得，解得（舍）或.2121282400S S --=1212S =-1220S =又因为，()()()181212624182S S S S S S -=--所以有，解得.()()224(3820)20838S -=--2465S =故选：C.8．已知是定义在上的函数的导函数，且，则()f x 'R ()f x ()()0f x xf x '+<的大小关系为（ ）()()()22,e e ,33a f b f c f ===A ．B ．a b c >>c a b >>C ．D ．c b a >>b a c>>【答案】A 【分析】构建，求导，利用导数判断的单调性，进而利用单调性比较大小.()()g x xf x =()g x 【详解】构建，则，()()g x xf x =()()()g x f x xf x ''=+因为对于恒成立，所以，()()0f x xf x '+<x ∈R ()0g x '<故在上单调递减，()g x R 由于，且，()()()()()()222,e e e ,333a f g b f g c f g ======2e 3<<所以，即.()()()2e 3g g g >>a b c >>故选：A.【点睛】结论点睛：1.的形式，常构建；的形式，常构建；()()f x xf x +'()xf x ()()f x xf x '-()f x x 2.的形式，常构建；的形式，常构建.()()f x f x '+()e xf x ⋅()()f x f x -'()e xf x 二、多选题9．已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ）{}n a 3-70a >80a <1a A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】BC【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.【详解】由题意，得，所以.71181161807210a a d a a a d a =+=->⎧⎨=+=-<⎩11821a <<故选：BC.10．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是()[]()3,5f x x ∈-()f x '()f x '（ ）A ．在上单调递增B ．在上单调递减()f x ()2,1-()f x 18,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．在处取得极小值D ．在处取得极大值()f x 2x =-()f x 1x =【答案】ACD【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.【详解】当时，单调递增，()0f x ¢>()f x 由图可知时，，单调递增，故A 正确；()2,1x ∈-()0f x ¢>()f x 当时，，单调递增；1,12x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x当时，，单调递减，故B 错误；81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 当时，，单调递减；()3,2x ∈--()0f x '<()f x 当时，，单调递增，()2,1x ∈-()0f x ¢>()f x 所以在处取得极小值，故C 正确；()f x 2x =-当时，，单调递增；()2,1x ∈-()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减，131,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 所以在处取得极大值，故D 正确.()f x 1x =故选：ACD.11．若，则（ ）()202323202301232023(32)x a a x a x a x a x x -=+++++∈R A ．202302a =-B ．20230242022152a a a a -++++=C ．20231352023512a a a a --++++=D ．20233202312232023213333a a a a ++++=- 【答案】ABD【分析】利用赋值法，令，求出，判断A ；令和，将得到的两式相加、相减，0x =0a 1x ==1x -可判断B 、C ，令计算，可判断D.13x =【详解】由题意，当时，，A 正确；0x =202320230(2)2a =-=-当时，，1x =20230123202311a a a a a +++++== 当时，，=1x -20230123202220235a a a a a a -+-++-=- 两式相加得，，2023024*******a a a a -++++=两式相减得，，20231352023512a a a a +++++=所以B 正确，C 错误；当时，，13x =()20232023202312022023132113333a a a a ⎛⎫⨯-=++++=-=- ⎪⎝⎭ 所以，D 正确.2023320231202320231213333a a a a a ++++=--=- 故选：ABD.12．已知数列的前项和满足，，且，，数列的前{}n a n n S 32n n S a n =-*n ∈N 13nn n n b a a +=⋅*n ∈N {}n b 项和为，则（ ）n n T A ．数列是等比数列B ．数列是等比数列{}1n a +{}1n a -C ．D ．3322n n S n =-+14n T <【答案】AD【分析】根据与的关系，即可推得，变形可得，即可得出A 项；根据n a n S 132n n a a +=+1131n n a a ++=+时，求出，即可得出，求出，即可判断B 、C 项；代入裂项可得1n =12a =13nn a +=31n n a =-，然后求和即可得出D 项.111123131n n n b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭【详解】对于A 项， 由，得，32n n S a n=-11312n n S a n ++=--两式相减，得，整理可得，所以，故A 正确；1133122n n n a a a ++=--132n n a a +=+1131n n a a ++=+对于B 项，当时，，解得，所以，1n =111312a S a ==-12a =113a +=所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，{}1n a +11333n nn a -+=⨯=所以，所以，，显然数列不是等比数列，故B 错误；31n n a =-132n n a -=-{}1n a -对于C 项，由B 知，，所以，故C 错误；31nn a =-13322n n S n +=--对于D 项，，()()11133111231313131n n n n n n n n n b a a +++⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭所以，1223111111112313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭ ()11111111223144231n n ++⎛⎫=-=-< ⎪--⎝⎭故D 正确.故选：AD.三、填空题13．若3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，则不同的报名方式有__________ 种.【答案】64【分析】由分步乘法计数原理即可算出答案.【详解】由分步乘法计数原理，得不同的报名方式有（种）.44464⨯⨯=故答案为：6414．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬()m s ()min t ()2s t t t=+2min t =时速度为__________.m /min 【答案】5【分析】先求函数的导数，再把代入导数方程即可.2min t =【详解】，当时，.()()21v t s t t '==+2t =()25v =故答案为：515．已知，则__________.()423450123451(2)x x a a x a x a x a x a x -+=+++++24a a +=【答案】15【分析】利用赋值法即可求解.【详解】取，得；1x =0123450a a a a a a +++++=取，得，=1x -0123452a a a a a a -+-+-=-两式相加可得；0241a a a ++=-取，得，所以.0x =016a =-2415a a +=故答案为：.1516．对于函数，若存在，则称点与点是函数的()y f x =()()00f x f x =--()()00,x f x ()()00,x f x --一对“隐对称点”.若时，函数的图象上只有1对“隐对称点”，则0a >()ln ,0,e 1,0a xx f x xx x ⎧>⎪=⎨⎪-+-<⎩__________.=a 【答案】e【分析】根据题意分析可得原题意等价于与函数的图象只()()e 10g x x x =-+>()()ln 0a xf x x x =>有1个交点，分别判定与的单调性，结合图象分析运算.()g x ()f x 【详解】由题意可得：关于原点对称的函数为()()e 10f x x x =-+-<，()()()e 1e 10g x f x x x x ⎡⎤=--=---+-=-+>⎣⎦故原题意等价于与函数的图象只有1个交点，()()e 10g x x x =-+>()()ln 0a xf x x x =>对于函数可知：在上单调递减，在上单调递增，()g x ()g x ()0,e ()e,+∞故；()()e 1g x g ≥=对于，则，()()ln 0a xf x x x =>()()21ln a x f x x -'=由于，则有：0,0a x >>令，解得；令，解得；()0f x ¢>0e x <<()0f x '<e x >则在上单调递增，在上单调递减，()f x ()0,e ()f x ()e,+∞所以的最大值为；()f x ()e e af =分别作出与的图象（如图所示）.()f x ()g x 若与的图象只有1个交点，则，()()e 10g x x x =-+>()()ln 0a xf x x x =>(e)(e)f g =即，解得.1e a=e a =故答案为：.e【点睛】方法定睛：对于方程的根的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．四、解答题17．某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答）(1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序？(2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？【答案】(1)576种(2)1440种【分析】（1）因为是相邻问题，故利用捆绑法即可求得答案；（2）由于3个舞蹈节目不相邻，故利用插空法即可求得答案.【详解】（1）先将4首歌曲捆绑，四首歌曲内部全排列，有种情况，44A 再将捆绑好的4首歌曲看做一个整体与3个舞蹈排序，有种情况，44A 所以有（种）不同的出场顺序.4444A A 576⋅=（2）先将4首歌曲排好，有种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，44A 有种情况，所以有1440（种）不同的出场顺序.35A 4345A A ⋅=18．已知函数，且.()()3261f x x ax x a =+-+∈R ()16f '=-(1)求函数的图象在点处的切线方程；()f x ()()1,1f (2)求函数在区间上的值域.()f x []2,4-【答案】(1)12210x y +-=(2)[]9,17-【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；()16f '=-a ()1112f =-（2）利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得()f x ()f x 的值域.()f x【详解】（1），，解得：，()2326f x x ax '=+- ()1236f a '∴=-=-32a =-，则，()323612f x x x x ∴=--+()311116122f =--+=-在点处的切线方程为：，即.()f x \()()1,1f ()11612y x +=--12210x y +-=（2）由（1）知：，则，()323612f x x x x =--+()()()2336321f x x x x x '=--=-+当时，；当时，；∴[)(]2,12,4x ∈-- ()0f x ¢>()1,2x ∈-()0f x '<在，上单调递增，在上单调递减，()f x \[)2,1--(]2,4()1,2-又，，，，，，()21f -=-()912f -=()29f =-()417f =()max 17f x∴=()min 9f x =-的值域为.()f x \[]9,17-19．若展开式前三项的二项式系数之和为22.3nx ⎛ ⎝(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的常数项.【答案】(1)32540x -(2)135【分析】（1）根据展开式前三项的二项式系数之和求出n 的值，即可求出展开式中二项式系数最大的项；（2）利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】（1）因为展开式前三项的二项式系数之和为22，所以，012C C C 22n n n ++=即，2420n n +-=解得或（舍），故的值为6，6n =7n =-n 即展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，36C 20=即.3333246C (3)540T x x⎛==- ⎝（2）由题意知展开式中通项公式为，36662166C (3)(1,0,1,2,,)36C rrrrr r r r T x x r ---+⎛==-⋅ ⎝= 令，解得，3602r-=4r =所以，故展开式中的常数项为135.4644416(1)3C 135T -+=-⨯=20．已知数列 中 ，，.{}n a 13a =()*122N n n a a n +=-∈(1)求证：是等比数列；{}2n a -(2)若数列满足，求数列的前项和.{}n b ()()212n n b n a =+-{}n b n nT【答案】(1)证明见解析(2)()2121n n T n =-⋅+【分析】（1）由题意得，结合等比数列定义证明数列是等比数列；()1222n n a a +-=-{}2n a -（2）由（1）可求即，利用错位相减法求和即可.()1212n n b n -=+⋅【详解】（1）因为，()*122N n n a a n +=-∈所以，()1222n n a a +-=-又，，13a =121a -=所以，1222n n a a +-=-所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列{}2n a -（2）由(1)知 ，因为，122n n a --=()()212n n b n a =+-所以，()1212n n b n -=+⋅所以 ，()()01221325272212212n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯，()()12312325272212212n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ 两式相减，得，()()0121322222212n nn T n --=⨯++++-+⨯ ()()()14123212121212n nnn T n n ---=+-+⨯=---⋅-所以()2121n n T n =-⋅+21．第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答）,,,,,A B C D E F(1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？(2)若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A 不担任第一场比赛的主裁判，不担任第三场比赛C 的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？(3)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？【答案】(1)63种(2)504种(3)540种【分析】（1）根据可去裁判的人数结合组合数的性质分析运算；（2）利用间接法，在所有排列情况下排除A 担任第一场比赛的主裁判或C 担任第三场比赛的主裁判的可能；（3）根据题意，分类讨论人数的分配情况运算求解.【详解】（1）由题意知：可去名裁判，1,2,3,4,5,6所以共有（种）不同的安排方法.1266666C C C 2163+++=-= （2）这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，共有种方法，66A 若A 担任第一场比赛的主裁判的方法数为；55A 若C 担任第三场比赛的主裁判的方法数为；55A 若A 担任第一场比赛的主裁判同时担任第三场比赛的主裁判的方法数为；C 44A 所以A 不担任第一场比赛的主裁判，不担任第三场比赛的主裁判，共有C （种）不同的安排方法.654654A 2A A 72024024504-+=-+=（3）亚洲杯组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，则分类如下：①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有（种）不同的安排方法；1143654322C C C A 90A ⋅=②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有（种）不同的安排方法；12336533C C C A 360⋅=③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有（种）不同的安排方法.2223642333C C C A 90A ⋅=综上所述：组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，共有（种）不同的安排方法.9036090540++=22．已知函数，（，为自然对数的底数）.()ln 21x f x x -=+()()e x g x m f x =+m ∈R e (1)求函数的极值；()f x (2)若对，恒成立，求的取值范围.()0,x ∀∈+∞()0g x <m 【答案】(1)极大值为，无极小值311e +(2)31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；()f x '()f x （2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令()2ln e x x xm h x x --<=()0,∞+，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得()3ln x x xϕ=-+()x ϕ()x ϕ'到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.()h x ()minh x ()3min 1e h x =-m 【详解】（1）定义域为，，()f x ()0,∞+()23ln x f x x -'=当时，；当时，；∴()30,e x ∈()0f x ¢>()3e ,x ∞∈+()0f x '<在上单调递增，在上单调递减，()f x \()30,e ()3e ,+∞的极大值为，无极小值.()f x \()331e 1e f =+（2）由得：，在上恒成立；()0g x <ln 2e 10xx m x -++<2ln e x x x m x --∴<()0,∞+令，则；()2ln e x x x h x x --=()()()()()22112ln 113ln e e xx x x x x x x x x h x x x ⎛⎫-----+ ⎪+-+⎝⎭'==令，则，()3ln x x xϕ=-+()1110x x x x ϕ+'=+=>在上单调递增，又，，()x ϕ∴()0,∞+()2ln 210ϕ=-<()3ln 30ϕ=>，使得，则，()02,3x ∴∃∈()00x ϕ=00ln 3x x =-当时，；当时，；∴()00,x x ∈()0h x '<()0,x x ∈+∞()0h x '>在上单调递减，在上单调递增，；()h x ∴()00,x ()0,x +∞()()0000min 02ln e x x x h x h x x --∴==由得：，，00ln 3x x =-()0000ln ln e ln e 3x x x x +==030e e x x ∴=，，()()00003min 02ln 1e e x x x h x h x x --∴===-31e m ∴<-则实数的取值范围为.m 31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.。
2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案解析
2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学一、单选题(共45 分)1设集合A={1,2,3,4}B={1,2,3,a}且A=B则a=（）A1B2C3D4【答案】D【分析】根据集合相等直接得解【详解】因为A={1,2,3,4}B={1,2,3,a}且A=B所以a=4故选：D2设z=1−i则z2+i=（）A1B i C−i D−1【答案】C【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得【详解】因为z=1−i所以z2+i=(1−i)2+i=12−2i+i2+i=−i故选：C3已知a⃗=(1,√3)b⃗⃗=(2,0)则向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量是（）A(0,2)B(2,0)C(0,1)D(1,0)【答案】D【分析】首先求出a⃗⋅b⃗⃗|b⃗⃗|再根据投影向量的定义计算可得【详解】因为a ⃗=(1,√3)b⃗⃗=(2,0) 所以a ⃗⋅b⃗⃗=2|b ⃗⃗|=2 所以向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量是a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗|×b ⃗⃗|b ⃗⃗|=12b ⃗⃗=12(2,0)=(1,0) 故选：D4设abcd 都是不等于1的正数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 在同一直角坐标系中的图象如图所示则abcd 的大小关系是（ ）A a <b <c <dB b <a <d <cC c <d <a <bD d <c <b <a【答案】B【分析】 先根据指数函数的单调性确定abcd 与1的关系再由x =1时函数值的大小判断【详解】因为当底数大于1时指数函数是定义域上的增函数当底数大于0且小于1时指数函数是定义域上的减函数所以cd 大于1ab 大于0且小于1由图知：c 1>d 1 即c >d b 1<a 1即b <a所以b <a <1<d <c故选：B5已知sinα=−35且π<α<3π2则cosα=（ ） A −45B −34C 34D 45 【答案】A【分析】应用平方关系求余弦值注意角的范围确定值的符号【详解】由题设cosα=−√1−sin2α=−45故选：A6设向量a⃗=(x,2)b⃗⃗=(6,3)．若a⃗//b⃗⃗则x=（）A4B3C2D1【答案】A【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得【详解】因为向量a⃗=(x,2)b⃗⃗=(6,3)且a⃗//b⃗⃗所以3x=2×6解得x=4故选：A7下列函数中定义域和值域都是R的是（）A y=x3B y=2xC y=lgxD y=tanx 【答案】A【分析】根据幂指对及正切函数的定义域、值域判断各项是否符合要求即可【详解】幂函数y=x3的定义域和值域都是R A符合；指数函数y=2x的值域为(0,+∞)B不符合；对数函数y=lgx的定义域为(0,+∞)C不符合；正切函数y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2},k∈Z D不符合；故选：A8若x>y>0则下列不等式正确的是（）A|x|<|y|B x2<y2C1x <1yD x+y2<√xy【答案】C 【分析】应用不等式性质、基本不等式判断各项的正误即可【详解】由x>y>0则|x|>|y|x2>y21x <1yA、B错C对由x+y2≥√xy且x>y>0故等号取不到则x+y2>√xy D错故选：C9设x∈R则“sinx=0”是“cosx=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据同角三角函数平方关系结合必要不充分性的判断即可求解【详解】由sinx=0则sin2x=1−cos2x=0⇒cosx=±1故充分性不成立由cosx=1则cos2x=1−sin2x=1⇒sinx=0故必要性成立故“sinx=0”是“cosx=1”的必要不充分条件故选：B10为建设美丽中国增强民众幸福感市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为10m、宽为6m的矩形花园其四周种植花卉中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同且草坪的面积不超过总面积的三分之一那么花卉带的宽度可能为（）A1m B2m C3m D4m【答案】B【分析】设花卉带的宽度为x m由题设有(10−2x)(6−2x)10×6≤13且{10−2x>06−2x>0求x范围即可得答案【详解】设花卉带的宽度为x m 则(10−2x)(6−2x)10×6≤13 所以(5−x)(3−x)≤5即(x −4)2≤6可得4−√6≤x ≤4+√6又{10−2x >06−2x >0⇒x <3故4−√6≤x <3而1<4−√6<2则x 可能取值为2 故选：B11有20种不同的绿色食品每100克包含的能量（单位：kJ ）如下：110 120 120 120 123 123 140 146 150 162164 174 190 210 235 249 280 318 428 432根据以上数据估计这些食品每100克包含能量的第50百分位数是（ ）A165B164 C163 D162 【答案】C【分析】由百分位数的求法求第50百分位数【详解】由已知数据知：20×50%=10则这些食品每100克包含能量的第50百分位数是162+1642=163故选：C12“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具升装满后沿升口刮平称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台上、下底面边长分别为15cm 和12cm 高为10cm （厚度不计）则该升的1平升约为（ ）（精确到0.1L,1L =1000cm 3）A 1.0LB 1.8LC 2.4LD 3.6L【答案】B【分析】 应用棱台的体积公式求1平升即可得答案【详解】由题设上底面积为S 1=225 cm 2下底面积为S 2=144 cm 2所以1平升为13×10×(225+√225×144+144)=1830 cm 3约为1.8L故选：B13如图在任意四边形ABCD 中EF 分别是ADBC 的中点且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λEF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗则实数λ=（ ）A 32B2 C 52 D3【答案】B【分析】 先将AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别用AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示再结合题意即可得解 【详解】AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λEF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以λ=2故选：B14某对夫妇打算生育三个孩子假设生男孩、女孩是等可能的且不考虑多胞胎情形则这三个孩子中男、女孩均有的概率是（ ）A 12B 58C 34D 78 【答案】C【分析】列表法求三个孩子中男、女孩均有的概率即可【详解】三个孩子性别依次如下表：所以这三个孩子中男、女孩均有的情况有6种而一共有8种情况则这三个孩子中男、女孩均有的概率是34故选：C15为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图设AB分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG使得HGB三点在同一直线上在GH两点用测角仪测得A的仰角分别是α和βCD=a测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB若α=75°,β=45°则此建筑物的高度是（）A√3+12a+ℎB√3+14a+ℎC√3+12a−ℎD√3+14a−ℎ【答案】A【分析】在△ACD中利用正弦定理求出AC再解Rt△ACE求出AE即可得解【详解】在△ACD中CD=a,∠ADC=45°,∠CAD=75°−45°=30°由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD所以AC=a×√2212=√2asin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6+√24在Rt△ACE中AE=ACsin∠ACE=√2a×√6+√24=√3+12a所以AB=AE+BE=√3+12a+ℎ即此建筑物的高度是√3+12a+ℎ故选：A二、多选题(共9 分)16随着我国高水平对外开放持续提速2022年货物进出口再创新高首次突破42万亿元．根据下图判断下列说法正确的是（）A从2018年开始货物进口额逐年增大B从2018年开始货物进出口总额逐年增大C从2018年开始2020年的货物进出口总额增长率最小D从2018年开始2021年的货物进出口总额增长率最大【答案】BCD【分析】根据统计图一一分析即可【详解】由图可知2020年的货物进口额小于2019年的货物进口额故A错误；2018年货物进出口总额为14.09+16.41=30.52019年货物进出口总额为14.33+17.24=31.572020年货物进出口总额为14.29+17.93=32.222021年货物进出口总额为17.36+21.69=39.052022年货物进出口总额为18.1+23.97=42.07所以从2018年开始货物进出口总额逐年增大故B正确；其中2019年的货物进出口总额增长率为31.57−30.530.5≈0.0352020年的货物进出口总额增长率为32.22−31.5731.57≈0.0212021年的货物进出口总额增长率为39.05−32.2232.22≈0.2122022年的货物进出口总额增长率为42.07−39.0539.05≈0.077所以从2018年开始2020年的货物进出口总额增长率最小故C正确；从2018年开始2021年的货物进出口总额增长率最大故D正确；故选：BCD17十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数f(x)满足f(x)⋅f(−x)=1则称f(x)为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（）A f(x)=1B f(x)=x2C f(x)=e xD f(x)=lnx【答案】AC【分析】根据所给定义一一计算可得【详解】对于A：f(x)=1则f(−x)=1所以f(x)⋅f(−x)=1故A正确；对于B：f(x)=x2则f(2)⋅f(−2)=16故B错误；对于C：f(x)=e x则f(−x)=e−x所以f(x)⋅f(−x)=e x⋅e−x=e0=1故C正确；对于D：f(x)=lnx定义域为(0,+∞)则当x∈(0,+∞)时−x∈(−∞,0)此时f(−x)无意义故D错误；故选：AC18“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现被刻在他的墓碑上当圆柱容球时圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为S球体积为V球；圆柱的表面积为S圆柱体积为V圆柱则（）A S圆柱:S球=3:2B V圆柱:V球=3:2C S圆柱:V圆柱=3:2D S球:V球=3:2【答案】AB【分析】设球的半径为R根据圆柱和球的表面积公式及体积公式分别求出其表面积与体积再逐一判断即可【详解】设球的半径为R则圆柱的底面圆的半径为R高为2R则S球=4πR2,V球=43πR3S圆柱=2πR2+2πR⋅2R=6πR2,V圆柱=πR2⋅2R=2πR3所以S圆柱:S球=6πR2:4πR2=3:2故A正确；V圆柱:V球=2πR3:43πR3=3:2故B正确；S圆柱:V圆柱=6πR2:2πR3=3:R故C错误；S 球:V球=4πR2:43πR3=3:R故D错误故选：AB三、填空题(共3 分)19已知两个单位向量a⃗与b⃗⃗的夹角是60°则a⃗⋅b⃗⃗=________．【答案】12## 0.5【分析】根据数量积的定义计算可得【详解】因为两个单位向量a⃗与b⃗⃗的夹角是60°所以a⃗⋅b⃗⃗=|a⃗|⋅|b⃗⃗|cos60°=1×1×12=12故答案为：12四、双空题(共3 分)20已知mn是两条不同直线αβ是两个不同平面．给出下列四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β．以其中三个论断作为条件余下一个论断作为结论写出一个正确命题：若_________则_________．（注：用序号作答．．．．．）【答案】(1) ①③④（答案不唯一）(2) ②（答案不唯一）【分析】由m⊥nm⊥α得n//α或n⊂α分类讨论并结合n⊥β及平面的基本性质、面面垂直的判定有α⊥β可得一个正确命题【详解】由m⊥nm⊥α则n//α或n⊂α当n⊂αn⊥β则α⊥β；当n//α过n作平面交α于l则n//l而n⊥β所以l⊥β而l⊂α则α⊥β；综上m⊥nm⊥αn⊥β则α⊥β故答案为：①③④②（答案不唯一）五、填空题(共3 分)21沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图AB⌢是以O为圆心OA为半径的圆弧C是AB的中点D在AB⌢上且CD⊥AB．记AB⌢的弧长的近似值为s“会圆术”给出了的一种计算公式：s=AB+CD 2OA．若OA=1∠AOB=90°则根据该公式计算s=_________．【答案】32## 1.5 【分析】连接OC 分别求出AB,OC,CD 再根据题中公式即可得出答案 【详解】 如图连接OC因为C 是AB 的中点 所以OC ⊥AB又CD ⊥AB 所以O,C,D 三点共线 即OD =OA =OB =1 又∠AOB =90°所以AB =√OA 2+OB 2=√2 则OC =√OA 2−AC 2=√22故CD =OD −OC =2−√22所以s =AB +CD 2OA=√2+(2−√22)2=32故答案为：32 六、双空题(共3 分)22为响应“强身健体智慧学习”倡议复兴中学开展了一次学生体质健康监测活动．已知高三（2）班有50名学生其中男生28人女生22人按男生、女生进行分层用分层随机抽样的方法从高三（2）班全体学生中抽取一个容量为25的样本．如果各层中按照比例分配样本则（1）女生应抽取的人数为_________人；（2）已知样本中男生、女生的平均体重分别为60.8kg和46.4kg．估计高三（2）班全体学生的平均体重为_________kg（精确到0.1kg）．【答案】(1) 11(2) 54.5【分析】（1）应用分层抽样等比例性质求女生应抽取的人数；（2）应用平均数的求法求样本均值即估计高三（2）班全体学生的平均体重【详解】（1）由分层抽样等比例性质知：女生应抽取的人数为25×2250=11人；（2）由（1）知：样本中男生人数为14人故样本均值为60.8×14+46.4×1125≈54.5kg故答案为：1154.5七、问答题(共6 分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据如下表：23 将上表数据补充完整填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．并写出函数y=f(x)的解析式；24 将函数y=f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度得到函数y=g(x)的图象求使g(x)≥0成立的x的取值集合．【答案】23 数据补充见解析f(x)=2sin(x+π6)；24 {x|2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3},k∈Z【分析】（1）根据已知数据求参数可得f(x)=2sin(x+π6)进而补充表格数据；（2）由图象平移得g(x)=2sin(x+π3)结合正弦型函数性质解不等式求解集即可【23题详解】由表格知：A=2且T2=5π3−2π3=π即T=2π故ω=2πT=1由ωπ2+φ=π2+φ=2π3⇒φ=π6则f(x)=2sin(x+π6)所以表格补充如下：【24题详解】由题设g(x)=f(x+π6)=2sin(x+π3)≥0即2kπ≤x+π3≤2kπ+π,k∈Z所以2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3,k∈Z即{x|2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3},k∈Z八、作图题(共6 分)如图长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8点EF分别在A1B1C1D1上且A1E= D1F=4．25 求AF的长；26 过点EF的平面与长方体的面相交交线围成一个正方形EFGH．在答题卡对应的图中．．．．．．．．．作出点GH并说明作法及理由．【答案】25 6√526 答案见解析【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）根据基本题意结合勾股定理作出这个正方形【25题详解】连接AD1因为C1D1⊥平面ADD1A1AD1⊂平面ADD1A1所以C1D1⊥AD1则AD1=√AD2+DD12=√100+64=2√41故AF=√AD12+D1F2=√164+16=6√5；【26题详解】因为A1E=D1F=4所以EF//A1D1且EF=A1D1=10过点E作EM⊥AB于M则EM=8,AM=4因为四边形EFGH为正方形所以EH=EF=10则MH=√102−82=6>4所以点H在线段MB上且AH=10在AB,DC上分别取H,G使得AH=DG=10连接EH,FG,GH 此时的四边形EFGH即为题中所要画的图形由上可知四边形EFGH为棱形因为A1D1⊥平面ABB1A1所以EF⊥平面ABB1A1又EH⊂平面ABB1A1所以EF⊥EH所以四边形EFGH为正方形九、证明题(共6 分)已知函数f(x)=pa x+qa−x(a>0,a≠1,且p,q∈R)．27 当|p|=|q|时讨论函数f(x)的奇偶性；28 从①②两组条件中选取一组作为已知条件证明：f(x)为增函数．①a>1,p>0,q<0；②0<a<1,p<0,q>0．注：如果选择两组条件分别解答按第一个解答计分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．【答案】27 答案见解析；28 所选条件及证明见解析【分析】（1）讨论p=q、p=−q≠0利用奇偶性定义证明；)再根据所选的条件判断（2）应用单调性定义令x1>x2f(x1)−f(x2)=(a x1−a x2)(p−qa x1a x2f(x1),f(x2)大小即可证【27题详解】由f(x)定义域为R当p=q则f(x)=p(a x+a−x)而f(−x)=p(a−x+a x)=f(x)即f(x)为偶函数；当p=−q则f(x)=p(a x−a−x)而f(−x)=p(a−x−a x)=−p(a x−a−x)=−f(x)即f(x)为奇函数；【28题详解】)令x1>x2则f(x1)−f(x2)=p(a x1−a x2)+q(a−x1−a−x2)=(a x1−a x2)(p−qa x1a x2>0选①a>1,p>0,q<0则a x1>a x2>0所以a x1−a x2>0p−qa x1a x2即f(x1)>f(x2)所以f(x)为增函数得证；<0选②0<a<1,p<0,q>0则a x2>a x1>0所以a x1−a x2<0p−qa x1a x2即f(x1)>f(x2)所以f(x)为增函数得证；。
湖北武汉市新洲区第一中学新高考数学多选题专项练习含解析
一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()()2214sin 2x xe xf x e -=+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，()()222114sin =2cos 2x x xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xxf x e x e '=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xx g x e x e=-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x x g x e x x e'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.2．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.3．设s,t 0>，若满足关于x s 恰有三个不同的实数解123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ）A ．1230x x x ++>B ．6425s t ⋅=C ．45t s = D ．14425s t +=【答案】CD 【分析】设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程()=f x s必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号；②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()f x s ==，54454x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=，又()f x 在(),t +∞上递增，35 4x t ∴=，即3564516=,42545x s t t s t =====， 6454144, 2516525t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.4．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC 【分析】 逐项分析判断即可. 【详解】当x -为有理数时，x 也为有理数∴()1f x -=当x -为无理数时，x 也为无理数∴()0f x -= ∴1()()0()x f x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x -=()f x ∴是偶函数，A 对；易知B 对；1x =时，()((1))11f f f ==∴C 对(())()f f x f x =的解为全体有理数∴D 错故选：ABC. 【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.5．已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.6．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.7．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.8．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立,即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.9．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的一个周期为πD ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BC 【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令cos2t x =，则12222ttt t y -=-=-，显然函数12222t t tty -=-=-为增函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222ttt ty -=-=-在cos2[1,1]t x =∈-时，3322y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；因为cos2()cos2(cos2c )os222)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=， 所以()f x 的一个周期为π，因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令sin 2sin 22(2)xx h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)xx h x --=上任意一点，则(,)2P x y π'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2())22sin 2sin 2()22222x x x x h y x y πππ-----=-==≠--，知点(,)2P x y π'--不在函数图象上，故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.10．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式220x x a +--<至少有一个负数解的是（ ） A ．9,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】ACD 【分析】将不等式变形为22x a x -<-，作出函数2,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】因为220x x a +--<，所以22x a x -<-且220x ，在同一坐标系中作出2,2y x a y x =-=-的图象如下图：当y x a =-与22y x =-在y 轴左侧相切时，22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94a =-，将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍），结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.二、导数及其应用多选题11．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②，∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．12．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln xk x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得． 【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数yf xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x-+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->，∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.13．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】 用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合.设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.14．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.15．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值 极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a ab -<<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需00f f ⎧⎛>⎪ ⎪⎝⎨⎪>⎪⎩，即00b b ⎧>⎪⎪>，即0b >>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.16．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞--⎪⎝⎭ D ．若163a =，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>， 所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.17．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.18．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确； 对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.19．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin x f x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.20．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.三、三角函数与解三角形多选题21．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =（S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABCD ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos B =，再根据cos B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABCS =△，所以=解得2t =，则4a =，6b =，c =故ABC 的周长为10+A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；C 项：因为π3C =，所以sin C =由正弦定理得2sin 3c R C ===，3R =，C 错误；D 项：由余弦定理得222cos214a c b B ac +-===，在BCD △中4BC =，BD =由余弦定理得2cos14B ==，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.22．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ）A ．最小正周期是πB ．区间[0，1]上的减函数C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（ ）。
2022-2023学年人教A版高二下数学月考试卷含答案及解析052639.pdf)
2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.已知等比数列{a n }前n 项的和S n =3n +a （a 为常数），则数列{a 2n }的前n 项和为( )A.12(9n −1)B.14(9n −1)C.18(9n +a )D.3+a8(9n −1)2. 已知二项式(x −1a √x )n (a >0)的展开式中，二项式系数之和为64， x 3 的系数为154，则a 的值为（）A. 2B.−2C. ±2D. 123. 函数f(x)=xcosx −sinx 的图象大致为( ) A. B.C.D.4. 某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节、下午4节），分别安排语文数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有( )A.4800种B.2400种C.1200种D.240种5. 已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则( )A. a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b6. 已知未成年男性的体重G（单位：kg）与身高x（单位：cm）的关系可用指数模型G=ae bx来描述，根据大数据统计计算得到a=2.004，b=0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm，体重为17.5kg，预测当他体重为35kg时，身高约为(ln2≈0.69)( )A.155cmB.150cmC.145cmD.135cm7. 袋中装有标号为1、2、3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A=“三次抽到的号码之和为6”，事件 B=“三次抽到的号码都是2”，则P(B|A)=( )A.17B.27C.16D.7278. 若m∈R，函数f(x)=x−mx−2lnx有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则mx2的取值范围为( )A.(0,3227]B.(1,3227]C.(3227,2]D.(1,2]二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，|a 5|=|a 11|，公差d <0，则下列结论正确的为( )A.a 8=0B.S 7，S 8均为S n 的最大值C.S 16>0D.当d =−2时，{|a n |}的前n 项和为T n ，则T 12=7610. 已知7名同学排成一排，下列说法正确的是( )A.甲不站两端，共有A 15A 66种排法B.甲、乙必须相邻，共有A 55A 22种排法C.甲、乙不相邻，共有A 25A 55种排法D.甲不排左端，乙不排右端，共有A 77−2A 66+A 55种排法11. 若(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，且a 1+a 2+⋯+a n−1=253−n ，则( )A.n =7B.a 0=6C.a 0+a 1+a 2+⋯+a n−1+a n =254D.a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =76912. 已知函数y =f(x)在R 上可导且f(0)=1，其导函数f ′(x)满足f ′(x)−f(x)x −1>0，对于函数g(x)=f(x)e x ，下列结论正确的是( )A.函数g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数B.x =1是函数g(x)的极小值点C.函数g(x)至多有两个零点D.当x ≤0时，不等式f(x)≤e x 恒成立卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n +2n ，则数列{a n }的通项公式a n =________.14. 已知可导函数f(x)的定义域为(−∞,0)，其导函数f ′(x)满足2f(x)+xf ′(x)>x 2，则不等式(x +2018)2f(x +2018)−f(−1)≤0的解集为________．15. 将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名同学的排法有________种.16. 设函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2 ，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a +2b +2c的取值范围是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数f(x)=e x −ax −1(a ∈R)，g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若直线y =x −1是函数y =f(x)图象的切线，求证：当x >0时， f(x)≥g(x).18. 已知等式(x 2+2x +2)5=a 1+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10，其中a i (i =0,1,2,…,10)为实常数．求：（1）10∑n=1a n 的值；（2）10∑n=1na n 的值． 19. 从7名男生和5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？(1)其中的A ，B 必须当选；(2)A ，B 恰有一人当选；(3)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．20. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =a n 2+a n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =(−1)n+1a 2n+1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ，并证明23≤T n ≤32．21. 如图，直角坐标系中，圆的方程为x 2+y 2=1,A(1,0)，B(−12,√32),C(−12 −√32)为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为 P n (A) ，P n (B)．P n (C)．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为P 1(A)=0，P 1(B)=12，P 1(C)=12．(1)分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；(2)掷骰子n 次时，若以x 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的余弦值记为随机变量X n ,求X 4的分布列和数学期望；(3)记P n (A)=a n ，P n (B)=b n ，P n (C)=c n ，其中a n +b n +c n =1 ．证明：数列 {b n −13}是等比数列，并求 a 2020．22. 已知函数f(x)=ln x ．（1）设函数g(x)=f(x)+f(4−x)，求函数g(x)的单调增区间．（2）若函数h(x)=f(m ⋅2x−m+3)的值域为R ，求m 的取值范围．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】等比数列的前n 项和【解析】此题暂无解析【解答】解：因为a n =S n −S n−1=(3n +a)−(3n−1+a)=3n −3n−1=2×3n−1，所以此数列为首项是2，公比为3的等比数列，则{a 2n }=49⋅9n ，所以S n =49×9(1−9n)1−9=12(9n −1).故选A.2.【答案】A【考点】二项式系数的性质二项展开式的特定项与特定系数【解析】先根据展开式的二项式系数之和求出n 的值，然后利用二项式的展开式找出x 的指数为3时r 的值，从而根据条件列出等式．【解答】解：∵ 二项式系数之和为64，∴ 2n=64，∴ n =6，∴ T r+1=C r6x 6−r ⋅(−1a √x )r =(−1)r ⋅C r6⋅a −r ⋅x 6−3r2，当6−3y2=3时，r =2，∵ x 3的系数为154．∴ (−1)2⋅a −2⋅C 26=154，解得a =2．故选A ．3.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：∵f′(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx,∴当x∈(0，1]时，f′(x)<0,即原函数f(x)在(0，1]上单调递减，故排除A，B,又∵当x∈[−1，0)时，f′(x)<0，即原函数f(x)在[−1，0)上单调递减，故排除C.故选D.4.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：分步排列，第一步：由题意知，生物只能出现在第一节或最后一节，∴在第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，有A12=2种编排方法；第二步：数学和英语在安排时必须相邻，则有5A22=10种编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有A55=120种编排方法．根据分步计数原理知，周五的课程顺序的编排方法共有2×10×120=2400种编排方法．故选B.5.【答案】A【考点】对数值大小的比较指数式与对数式的互化【解析】利用作商法可判断a，b的大小，然后通过指数与对数的互化又可以判断b，c的大小，最终确定a，b，c的大小关系．【解答】解：根据题意知a,b,c∈(0,1).由ab =log 53log 85=log 53⋅log 58<(log 53+log 58)24=(log 524)24<224=1，∴a <b.因为b =log 85，c =log 138，所以8b =5，13c =8.即85b =55，134c =84.又因为55<84,134<85，所以134c =84>55=85b >134b ，即b <c.综上所述：a <b <c ．故选A ．6.【答案】C【考点】函数模型的选择与应用指数函数的实际应用【解析】此题暂无解析【解答】解：将x =110，G =17.5代入G =2.004e 0.0197x ，得 17.5=2.004e0.0197×110 ①，将 G =35代入 G =2.004e 0.0197x ，得35=2.004e0.0197x ②．由②÷①得2=e 0.0197x−0.0197×110，即0.0197(x −110)=ln2，解得x ≈145．故选C ．7.【答案】A【考点】条件概率与独立事件【解析】结合条件概率计算公式，分别计算出p(AB)与P(A)，代入公式计算即可．【解答】解：因为P(A)=A 33+133，P(AB)=133，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=17.故选A.8.A【考点】利用导数研究函数的极值【解析】先求导，再根据导数和函数的极值的关系即可求出m 的范围，再构造函数g(x)=−x 3+2x 2，x >1，利用导数求出函数的最值即可．【解答】解：函数f(x)=x −mx −2lnx 的定义域为(0,+∞)，∴f ′(x)=1+mx 2−2x =x 2−2x +mx 2，令y =x 2−2x +m ，x >0，其对称轴为x =1，∵函数f(x)=x −mx −2lnx 有两个极值点，∴x 2−2x +m =0有两个正根，∴{Δ=4−4m >0,m >0,解得0<m <1.∵函数f(x)=x −mx −2lnx 有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，∴x 2∈(1,2)，∴x 22−2x 2+m =0，∴m =−x 22+2x 2∴mx 2=−x 32+2x 22设g(x)=−x 3+2x 2，x ∈(1,2)，∴g ′(x)=−3x 2+4x ，令g ′(x)=0，解得x =43，当1<x <43时，g ′(x)>0，函数g(x)单调递增，当43<x <2时，g ′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴g(x)max =g (43)=3227，g(1)=1，g(2)=−4.∵0<m <1，x 2∈(1,2)，∴mx 2>0，∴mx 2的取值范围为(0,3227]，故选A ．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,D【考点】等差数列的性质等差数列的前n 项和等差数列的通项公式此题暂无解析【解答】解：由d<0，得a5>a11.又∵|a5|=|a11| ，∴a5≠a11．∴a5=−a11且a5>0，∴a1+4d=−(a1+10d)，则a1+7d=0，即a8=0，故A正确；∵a8=0，d<0，∴S7，S8均为S n的最大值，故B正确；S16=162(a1+a16)=8(a8+a9)=8a9<0，故C错误；当d=−2 时， a1+7d=0，则 a1=14，∴T12=a1+a2+⋯+a8−a9−a10−a11−a12=82(a1+a8)−(a9+a10+a11+a12)=4(14+0)+(2+4+6+8)=56+20=76，故D正确．故选ABD．10.【答案】A,D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】考察对排列组合基本问题的理解和计算.【解答】解：A，甲不站两端，有C15A66=A15A66种排法，正确；B，甲、乙必须相邻，有 A66A22种排法，错误；C，甲、乙不相邻，有A55A26种排法，错误；D，甲不排左端，乙不排右端，则七人全排列，减去甲排左端，乙排右端情况，再加上一个甲排左端，乙排右端情况，有A77−2A66+A55种排法，正确；故选AD.11.【答案】A,C,D【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】此题暂无解析解：令x =1，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a n−1+a n=2+22+23+⋯+2n=2(1−2n )1−2=2n+1−2. ①令x =0，得a 0=n ．②因为(1+x)n 的展开式中x n 的系数为C nn=1，所以a n =1．③由①−②−③得2n+1−2−n −1=2n+1−n −3．因为a 1+a 2+⋯+a n−1=253−n ，所以2n+1−n −3=253−n ，得n =7，故A 正确；所以a 0=7，故B 错误；因为所有项系数和为28−2=254，故C 正确；因为(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)6+(1+x)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6+a 7x 7，所以1+2(1+x)+3(1+x)2+⋯+6(1+x)5+7(1+x)6=a 1+2a 2x +3a 3x 2+⋯+6a 6x 5+7a 7x 6，令x =1，则1+2×2+3×22+⋯+6×25+7×26=a 1+2a 2+3a 3+⋯+6a 6+7a 7=769，故D 正确．故选ACD ．12.【答案】A,B,C【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】结合题意求出函数g(x)的单调区间以及函数的极值，从而判断结论即可．【解答】解：∵x <1时，f ′(x)−f(x)<0，∴g ′(x)=f ′(x)−f(x)e x <0，故y =g(x)在(−∞,1)递减；在(1,+∞)递增，故A 正确；故x =1是函数y =g(x)的极小值点，故B 正确；若g(1)<0，则y =g(x)有2个零点；若g(1)=0，则函数y =g(x)有1个零点；若g(1)>0，则函数y =g(x)没有零点，故函数g(x)至多有两个零点，故C 正确；由y =g(x)在(−∞,1)递减，则y =g(x)在(−∞,0)递减，由g(0)=f(0)e 0=1，得x ≤0时，g(x)≥g(0)，故f(x)e x ≥1，故f(x)≥e x恒成立，故D 错误.故选ABC ．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.2n−1(n +1)【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a n+1=2a n +2n ，a 1=2，∴a n+12n+1−a n 2n =12，数列{a n 2n }是首项为1，公差为12的等差数列，∴a n 2n =1+(n −1)×12=n2+12，∴a n =2n−1(n +1).故答案为：2n−1(n +1).14.【答案】{x|−2019≤x <−2018}【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的单调性【解析】由题意构造函数g(x)＝x 2f(x)，求导可知函数是区间(−∞,0)上的减函数，把原不等式转化为x +2018≥−1，结合x +2018<0求出x 的范围．【解答】解：令g(x)＝x 2f(x)(x <0)，则g ′(x)＝x[2f(x)+xf ′(x)]．∵当x <0时，2f(x)+xf ′(x)>x 2>0，∴当x <0时，g ′(x)<0，∴g(x)在(−∞,0)上单调递减．由(x +2018)2f(x +2018)−f(−1)≤0，得(x +2018)2f(x +2018)≤f(−1)，∴g(x +2018)≤g(−1)，∴{x +2018<0，x +2018≥−1，∴−2019≤x <−2018，∴不等式的解集为{x|−2019≤x <−2018}．故答案为：{x|−2019≤x <−2018}．15.【答案】20【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】由A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学，分类讨论B 在A 与C 之间，与B 在A 的另一侧，A 与C 之间为D ，E 中任意1人两种情况，分类计数之后再相加得答案【解答】解：①若A 与C 之间为B ，即B 在A ，C 中间且三人相邻，则共有A 22=2种排法，将三人看成一个整体，与D ，E 两人全排列，共有A 33=6种排法，则此时有2×6=12种排法.②若A 与C 之间不是B ，则先从D ，E 中选取1人，安排在A ，C 之间，则有C 12=2种情况，此时B 在A 的另一侧，将四人看成一个整体，则有A 22=2种排法，将这个整体与剩下的1人全排列，有A 22=2种情况，此时有2×2×2=8种排法.综上，共有12+8=20种排法故答案为：20.16.【答案】(18,34)【考点】分段函数的应用求函数的值函数的求值【解析】根据题意，做出函数的草图，利用数形结合判断a 、b 、c 的范围与关系，然后求解2a +2b +2c的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2 ={−2x +1,x <02x −1,0≤x ≤2−x +5,x >2 ，其草图如图若互不相等的实数a ，b ，c ，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m ，则函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 有3个不同的交点，分别为(a,m)，(b,m)，(c,m)，且0<m <1，结合函数的图象：有a ∈(−∞,0)，b ∈(0,1)，c ∈(4,5)，当m →1时，表达式2a +2b +2c 的值趋向最小值：0+2+24＝18，当m →0时，表达式2a +2b +2c 的值趋向最大值：1+1+25＝34．则2a +2b +2c 的取值范围是(18,34)．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：(1) f ′(x)=e x−a .当a ≤0时， f ′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)；当a >0时，由f ′(x)=e x −a ，由f ′(x)=0，得x =lna ；当x ∈(−∞,lna)时， f ′(x)<0，当x ∈(lna,+∞)时， f ′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为(−∞,lna)，f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).综上所述：当a ≤0时， f(x)>0，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)；当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,lna),f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).(2)直线y =x −1是函数y =f(x)图象的切线，设切点为 (x 0,f (x 0)) ，则e x 0−a =1，即x 0=ln(a +1)，因为切点在切线上，所以f (x 0)=ln(a +1)−1，又f (x 0)=f(ln(a +1))=a −aln(a +1)，所以ln(a +1)−1=a −aln(a +1)，解得： a =e −1.当x >0时， f(x)≥g(x)，等价于e x −(e −1)x −1≥xlnx ，等价于e x x −(e −1)−1x −lnx ≥0 ，设h(x)=e xx −(e −1)−1x −lnx ，则h ′(x)=xe x −e x x 2+1x 2−1x =(e x −1)(x −1)x 2，因为x >0 ，e x −1>0，由h ′(x)=0得x =1，当x ∈(0,1)时， h ′(x)<0，当x ∈(1,+∞)时， h ′(x)>0，所以h(x)min =h(1)=0，即h(x)≥0，所以f(x)≥g(x) .【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题【解析】无无【解答】解：(1) f ′(x)=e x −a .当a ≤0时， f ′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)；当a >0时，由f ′(x)=e x −a ，由f ′(x)=0，得x =lna ；当x ∈(−∞,lna)时， f ′(x)<0，当x ∈(lna,+∞)时， f ′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为(−∞,lna)，f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).综上所述：当a ≤0时， f(x)>0，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)；当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,lna),f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).(2)直线y =x −1是函数y =f(x)图象的切线，设切点为 (x 0,f (x 0)) ，则e x 0−a =1，即x 0=ln(a +1)，因为切点在切线上，所以f (x 0)=ln(a +1)−1，又f (x 0)=f(ln(a +1))=a −aln(a +1)，所以ln(a +1)−1=a −aln(a +1)，解得： a =e −1.当x >0时， f(x)≥g(x)，等价于e x −(e −1)x −1≥xlnx ，等价于e x x −(e −1)−1x −lnx ≥0 ，设h(x)=e x x −(e −1)−1x −lnx ，则h ′(x)=xe x −e x x 2+1x 2−1x =(e x −1)(x −1)x 2，因为x >0 ，e x −1>0，由h ′(x)=0得x =1，当x ∈(0,1)时， h ′(x)<0，当x ∈(1,+∞)时， h ′(x)>0，所以h(x)min =h(1)=0，即h(x)≥0，所以f(x)≥g(x) .18.【答案】解：（1）在(x 2+2x +2)5=a 1+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10中，令x =−1，得a 1=1．令x =0，得a 1+a 1+a 2+...+a 9+a 10=25=32．所以10∑n=1a n =a 1+a 2+...+a 10=31．（2）等式(x 2+2x +2)5=a 1+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10两边对x 求导，得5(x 2+2x +2)4⋅(2x +2)=a 1+2a 2(x +1)+...+9a 9(x +1)9+10a 10(x +1)5．在5(x 2+2x +2)4⋅(2x +2)=a 1+2a 2(x +1)+...+9a 9(x +1)9+10a 10(x +1)5中，令x =0，整理，得10∑n=1na n =a 1+2a 2+...+9a 5+10a 10=5⋅25=160．【考点】二项式定理的应用简单复合函数的导数二项式系数的性质【解析】（1）通过x =−1求出a 1，然后通过x =0求出a 1+a 1+a 2+...+a 5+a 10，即可求解10∑n=1a n ．（2）利用二项式定理展开表达式，通过函数的导数且x =0推出所求表达式的值，【解答】解：（1）在(x 2+2x +2)5=a 1+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10中，令x =−1，得a 1=1．令x =0，得a 1+a 1+a 2+...+a 9+a 10=25=32．所以10∑n=1a n =a 1+a 2+...+a 10=31．（2）等式(x 2+2x +2)5=a 1+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10两边对x 求导，得5(x 2+2x +2)4⋅(2x +2)=a 1+2a 2(x +1)+...+9a 9(x +1)9+10a 10(x +1)5．在5(x 2+2x +2)4⋅(2x +2)=a 1+2a 2(x +1)+...+9a 9(x +1)9+10a 10(x +1)5中，令x =0，整理，得10∑n=1na n =a 1+2a 2+...+9a 5+10a 10=5⋅25=160．19.【答案】解：(1)根据题意，先选出A ，B ，再从剩下的10人中选3人，共有C 22C 310=120种选法；(2)根据题意，先选出A，B中1人，再从剩下的10人中选4人，共有C12C410=420种选法；(3)选出一名男生担任体育委员共有C17种情况，选出一名女生担任班长共有C15种情况，剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委，共有C26C14A33种情况，所以共有C17C15C26C14A33=12600种选法．【考点】排列、组合及简单计数问题排列、组合的应用【解析】无无无【解答】解：(1)根据题意，先选出A，B，再从剩下的10人中选3人，共有C22C310=120种选法；(2)根据题意，先选出A，B中1人，再从剩下的10人中选4人，共有C12C410=420种选法；(3)选出一名男生担任体育委员共有C17种情况，选出一名女生担任班长共有C15种情况，剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委，共有C26C14A33种情况，所以共有C17C15C26C14A33=12600种选法．20.【答案】解：(1)当n=1时，2a1=2S1=a21+a1，解得a1=1；当n≥2时，2a n=2S n−2S n−1=a2n+a n−(a2n−1+a n−1)，∴a2n−a n−(a2n−1+a n−1)=(a2n−a2n−1)−(a n+a n−1)=(a n+a n−1)(a n−a n−1−1)=0.∵{a n}是正项数列，∴a n+a n−1>0，∴a n−a n−1=1，∴数列{a n}是以1为首项1为公差的等差数列．∴a n=n．(2)由(1)可知b n=(−1)n+1a2n+1a n⋅a n+1=(−1)n+12n+1n(n+1)=(−1)n+1(n+1)+nn(n+1)=(−1)n+1(1n+1n+1)，因此，T n=(1+12)−(12+13)+⋯+(−1)n+1(1n+1n+1)=1+(−1)n+1n+1．当n 为奇数时，T n =1+(−1)n+1n +1=1+1n +1单调递减，此时T n =1+1n +1∈(1,32]；当n 为偶数时，T n =1+(−1)n+1n +1=1−1n +1单调递增，此时T n =1−1n +1∈[23,1)，∴23≤T n ≤32．【考点】数列递推式等差数列的通项公式数列与不等式的综合数列的求和【解析】无无【解答】解：(1)当n =1时，2a 1=2S 1=a21+a 1，解得a 1=1；当n ≥2时，2a n =2S n −2S n−1=a 2n+a n −(a 2n−1+a n−1)，∴a 2n −a n −(a 2n−1+a n−1)=(a 2n −a 2n−1)−(a n +a n−1)=(a n +a n−1)(a n −a n−1−1)=0.∵{a n }是正项数列，∴a n +a n−1>0，∴a n −a n−1=1，∴数列{a n }是以1为首项1为公差的等差数列．∴a n =n ．(2)由(1)可知b n =(−1)n+1a 2n+1a n ⋅a n+1=(−1)n+12n +1n(n +1)=(−1)n+1(n +1)+nn(n +1)=(−1)n+1(1n +1n +1)，因此，T n =(1+12)−(12+13)+⋯+(−1)n+1(1n +1n +1)=1+(−1)n+1n +1．当n 为奇数时，T n =1+(−1)n+1n +1=1+1n +1单调递减，此时T n =1+1n +1∈(1,32]；当n 为偶数时，T n =1+(−1)n+1n +1=1−1n +1单调递增，此时T n =1−1n +1∈[23,1)，∴23≤T n ≤32．21.【答案】(1)解：P 2(A)=12⋅12+12⋅12=12，P 2(B)=12⋅12=14，P 2(C)=12⋅12=14，P 3(A)=12×12×12+12×12×12=14，P 3(B)=(12+14)⋅12=38，P 3(C)=(12+14)⋅12=38，综上，(2)解：随机变量X 4的可能数值为1，−12．综合(1)得P(X 4=1)=(P 3(B)+P 3(C))⋅12=(38+38)⋅12=38，P(X 4=−12)=(P 3(A)+P 3(C))⋅12+(P 3(A)+P 3(B))·12=58，故随机变量X 4的分布列为X 41−12P 3858E(X 4)=1×38−12×58=116．(3)证明：易知b n =c n ，因此，b n−1=c n−1(n ≥2)，而当n ≥2时，b n =12(a n−1+c n−1)=12(a n−1+b n−1)，又a n−1+b n−1+c n−1=1，即a n−1+2b n−1=1．因此b n =12(1−2b n−1+b n−1)=−12b n−1+12(n ≥2)，故b n −13=−12b n−1+12−13=−12b n−1+16=−12(b n−1−13)(n ≥2)，即数列{b n −13}是以b 1−13=16为首项，公比为−12的等比数列．所以b n =13+16(−12)n−1，又a n =1−2b n =1−2[13+16(−12)n−1]=13−13(−12)n−1=13[1−(−12)n−1],故a 2020=13[1+(12)2019]．【考点】几何概型的概念及概率公式概率的应用离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差等比数列的通项公式等比关系的确定【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：P 2(A)=12⋅12+12⋅12=12，P 2(B)=12⋅12=14，P 2(C)=12⋅12=14，P 3(A)=12×12×12+12×12×12=14，P 3(B)=(12+14)⋅12=38，P 3(C)=(12+14)⋅12=38，综上，(2)解：随机变量X 4的可能数值为1，−12．综合(1)得P(X 4=1)=(P 3(B)+P 3(C))⋅12=(38+38)⋅12=38，P(X 4=−12)=(P 3(A)+P 3(C))⋅12+(P 3(A)+P 3(B))·12=58，故随机变量X 4的分布列为X 41−12P 3858E(X 4)=1×38−12×58=116．(3)证明：易知b n =c n ，因此，b n−1=c n−1(n ≥2)，而当n ≥2时，b n =12(a n−1+c n−1)=12(a n−1+b n−1)，又a n−1+b n−1+c n−1=1，即a n−1+2b n−1=1．因此b n =12(1−2b n−1+b n−1)=−12b n−1+12(n ≥2)，故b n −13=−12b n−1+12−13=−12b n−1+16=−12(b n−1−13)(n ≥2)，即数列b n −13是以b 1−13=16为首项，公比为−12的等比数列．所以b n =13+16(−12)n−1，又a n =1−2b n =1−2[13+16(−12)n−1]=13−13(−12)n−1=13[1−(−12)n−1],故a 2020=13[1+(12)2019]．22.【答案】【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
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新洲一中2024届高二下开学收心考试数学试卷（答案在最后）出题人：杨连传审题人：周洁晖一.选择题（共8小题）1.已知m ，n 是实数，若()2,23,2a m =-，()4,2,32b n =-，且a b ∥，则m n +=（ ） A.4-B.0C.2D.42.已知圆22:430C x y y +-+=，则圆C 的圆心和半径为（ ） A.圆心()0,2，半径1r = B.圆心()2,0，半径1r = C.圆心()0,2，半径2r =D.圆心()2,0，半径2r =3.椭圆221259x y +=与曲线()22:19925x y C k k k -=<--的（ ） A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同D.曲线C 是双曲线4.等比数列{}n a 的公比为2-，且12a +，32a +，57a -成等差数列，则{}n a 的前10项和为（ ） A.341-B.10253-C.171D.51135.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，离心率为12，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且2ABF △的周长为24，则椭圆C 的方程为（ ）A.2212736x y += B.2212436x y += C.2212736y x += D.2212724x y +=6.设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l .的直线经过焦点F ，交抛物线C 于点A ，交准线l 于点B （A ，B 在x 轴的两侧）.若6AB =，则抛物线的方程为（ ） A.22y x =B.23y x = C.24y x = D.26y x =7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（ ） ①直线1BD ⊥平面11AC D ②三棱锥11P A C D -的体积为定值③异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦④直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为3A.①②B.①②③C.①③④D.①②④8.设数列{}n a 满足13a =，26a =，()2129N*n n na a n a +++=∈，则（ ）A.存在n ∈N ，1n ≥，n a ∉QB.存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等差数列C.存在N n ∈，1n ≥，n a D.存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等比数列二.多选题（共4小题）（多选）9.过点()2,0P -的直线l 与直线1:20l x y +-=平行，则下列说法正确的是 （ ） A.直线l 的倾斜角为45°B.直线l 的方程为：20x y ++=C.直线l 与直线1l间的距离为 D.过点P 且与直线l 垂直的直线为：20x y -+=（多选）10.如图，P 是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>在第一象限的交点，且1C ，2C 共焦点1F ，2F ，12F PF θ∠=，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则下列结论不正确的是（ ）A.1PF m a =+，2PF m a =-B.若60θ=︒，则2212134e e += C.若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D.tan2b nθ=（多选）11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足()1302n n n a S S n -+=>，113a =，下列命题中正确的是（ ） A.1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.13n S n=C.()131n a n n =--D.{}3n S 是等比数列（多选）12.已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，点D 是棱1BB 上（不含端点）的一个动点.则下列结论正确的是（ ）A.棱11A C 上总存在点E ，使得直线1B E ∥平面1ADCB.1ADC △的周长有最小值，但无最大值C.三棱锥1A DC C -外接球的表面积的取值范围是2528,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.当点D 是棱1BB 的中点时，二面角1A DC C --三.填空题（共4小题）13.圆()()22:211C x y -+-=关于直线1y x =+对称的圆C '的标准方程为______.14.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为()5,0F ，两条渐近线互相垂直，则2a =______.15.已知数列{}n a 满足118a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为______. 16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14AA =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点N ，则直线11A B 与平面11BCC B 所成角的正弦值为______.四.解答题（共6小题）17.已知等差数列{}n a 中，32a =，4620a a +=. （1）求首项1a 和公差d ；（2）求该数列的前10项的和10S 的值.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，且1AB =，2CD =，BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点.（1）求证：AN ∥平面PBC ；（2）求平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值.19.已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为()1,3-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若122n a n n b a +=，求数列{}n b 前n 项和n S .20.如图，已知椭圆()2222:10y x E a b a b+=>>的一个焦点为()10,1F.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点1F 作斜率为k 的直线交椭圆E 于两点A ，B ，AB 的中点为M .设O 为原点，射线OM 交椭圆E 于点C .当ABC △与ABO △的面积相等时，求k 的值. 21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S na +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n na S n nλ-≤-恒成立.求实数λ的最大值.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()1,0B ，设ABC △的内切圆与AC 相切于点D ，且1CD =，记动点C 的轨迹为曲线T . （1）求T 的方程； （2）设过点11,32R ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与T 交于M ，N 两点，已知动点P 满足1PM MR λ=，且2PN NR λ=，若120λλ+=，且动点Q 在T 上，求PQ 的最小值.新洲一中2024届高二下开学收心考试数学解析一.选择题（共8小题）1.【解答】解：根据题意，若()2,23,2a m =-，()4,2,32b n =-，且a b ∥，设b ka =，则有()42223322k k m n k =⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解可得2m =、2n =，则4m n +=；故选：D.2.【解答】解：根据题意，圆22:430C x y y +-+=，即()2221x y +-=，即圆心为()0,2，半径1r =；故选：A.3.【解答】解：9k <时，曲线()22:19925x y C k k k -=<--方程为：221259y x k k+=--，即250k ->，90k ->，且259k k ->-，所以曲线C 为椭圆，可得椭圆221259x y +=的焦距28c ==，焦点在x 轴上，椭圆C 的焦距28c '==，焦点在y 轴上，所以两个椭圆的焦点不同，焦距相同，曲线C 的离心率由参数k ，所以离心率不同，故选：A.4.【解答】解：∵等比数列{}n a 的公比为2-，且12a +，32a +，57a -成等差数列， ∴()()()3152227a a a +=++-，即()()()1112422167a a a +=++-，解得11a =，∴等比数列{}n a 的前10项和为()()101234112--=---，故选：A. 5.【解答】解：由于椭圆的焦点在y 轴上，故设椭圆C 的方程为()222210y x a b a b+=>>，又离心率为12，则12c a =，又过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且2ABF △的周长为24，则1212424AF AF BF BF a +++==，解得6a =，所以3c =，则22236927b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2213627y x +=.故选：A. 6.【解答】解：如图，设抛物线的准线l 与x 轴交于点K ，抛物线与AB 直线的另一个交点为D ，分别过A ，D 作准线l 的垂线，垂足点分别为M ，N ，设AF m =，DF n =，则AM m =，DN n =，又AB 60AFx ∠=︒，∴60MAB NDB AFx ∠=∠=∠=︒， ∴22BD DN n ==，2AB AM =，又36AB BD DF AF n m =++=+=， ∴32n m m +=，∴26m =，∴3m =，1n =，∴1DN n ==，又易知BDN BFK ∽△△， ∴23DN BDFKBF ==，∴3322p FK DN ===，∴抛物线的方程为23y x =.故选：B.7.【解答】解：在①中，∵1111A C B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B =，且11B D ，1BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，∴111AC BD ⊥，同理，11DC BD ⊥，∵1111AC DC C =，且11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，正确；在②中，∵11A D B C ∥，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，∴1B C ∥平面11AC D ， ∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11AC D 的距离为定值，又11A C D △的面积是定值， ∴三棱锥11P A C D -的体积为定值，正确；在③中，∵11A D B C ∥，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角. 易知1AB C △为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥； 当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为3π. 故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，错误； 在④中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ， 所以()1,0,1C P a a =-，()11,1,1D B =-.由①正确：可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量， ∴直线1C P与平面11AC D所成角的正弦值为：1111C P D B C P D Ba⋅==⋅，∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D .故选：D. 8.【解答】解：∵()2129*n n na a n a +++=∈N ，∴2219n n n a a a ++=+①，则2119n n n a a a +-=+②，由①-②得222111n n n n n n a a a a a a ++-+-=-，∴()()2111n n n n n n a a a a a a +++-+=+，则1121n n n nn n a a a a a a +-++++=，由此可得2113112n n n n n na a a a a a a a a ++-++++===，2231915a a a +==，∴2115336n n n a a a ++++==，则213n n n a a a ++=-且13a =∈Z ，26a =∈Z ，故n a ∈Z ，故A ，C 错误；由3213n n n a a a +++=-，则32152n n n n a a a a +++-=-不是常数， 故不存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等差数列，故B 错误；假设存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等比数列，设公比为q ，则()11n n n n a pa q a pa +--=-， ∴()11n n n a p q a pqa +-=+-，由213n n n a a a ++=-，则31p q pq +=⎧⎨=⎩，解得32p ±=，故存在0p =>，使得{}1n n a pa +-是等比数列，故D 正确.故选：D. 二.多选题（共4小题）9.【解答】解：直线l 与直线1:20l x y +-=平行，则直线l 的斜率为1-，即直线l 的倾斜角为135°，故A 错误， 设直线l 的方程为()02x y m m ++=≠-，直线l 过点()2,0P -，则200m -++=，解得2m =，故直线l 的方程为20x y ++=，故B 正确， 直线l 与直线1l 间的距离为d ==C 正确，过点P 且与直线l 垂直的直线可设为0x y n -+=，()2,0P -代入可得，200n --+=，解得2n =，故过点P 且与直线l 垂直的直线为：20x y -+=，故D 正确.故选：BCD.10.【解答】解：依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A 不正确； 令122F F c=，由余弦定理得：()()()()2222222221212221242cos 22PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+-++--+-===+--，当60θ=︒时，22234a m c +=，即2234a m c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此2212134e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即222a m c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有2212112e e +=，而22120e 1e <<<，则有2222222121212e e e e 2e e 22⎛⎫++=⋅< ⎪⎝⎭，解得2212e e 2+>，C 不正确； ()()()()222222222222222222212cos 1n a c c m a m c b n b a m b n a c c m n b θ⎛⎫- ⎪---+--⎝⎭====-+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ--=-==++，于是得222211tan 21tan 12n bn b θθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，解得22tan 2n b θ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而tan 02θ>，0n b >，因此tan 2n b θ=，D 不正确.故选：ACD.11.【解答】解：∵()1302n n n a S S n -+=>，∴()11302n n n n S S S S n ---+=>， ∴()11132n n n S S --=>，又11113S a ==， ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为3，公差为3的等差数列，∴A 选项正确； ∴13n n S =，∴13n S n=，∴B 选项正确； 当2n ≥时，()()111133131n n n a S S n n n n -=-=-=---，又113a =， ∴()1,131,231n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，∴C 选项错误；∴113111393n n n S -+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，∴{}3n S 是以首项为19，公比为13的等比数列，∴D 选项正确.故选：ABD.12.【解答】解：对A ，在1AC 上取一点F 使得1EF AA ∥，则1EF BB ∥， 当1EF B D =时，四边形1EFDB 为平行四边形，故1EB DF ∥，又1B E ⊄平面1ADC ，DF ⊂平面1ADC ，所以直线1B E ∥平面1ADC ，故A 正确； 对B ，如图展开侧面1ABCC D ，易得当D 在1AC 与1BB 的交点时1AD DC +取得最小值， 因为D 是棱1BB 上（不含端点）的一个动点，故1AD DC +无最大值， 故1ADC △的周长有最小值，但无最大值，故B 正确；对C ，由题意，三棱锥1A DC C -外接球即四棱锥11D A C CA -的外接球，取11A C 中点N ，AC 中点M ，连接MN 并延长，交正方形11A C CA 的外接圆于PQ ，则1PQ AC ==易得平面DPQ ⊥平面11A C CA ， 根据外接球的性质有外接球的球心在平面DPQ 中，且为DPQ △的外接圆圆心， 由对称性，可得当D 在1BB 中点时，PDQ ∠最大，此时外接球直径最小， 此时sin DQP ∠==，故外接球直径2sin DPR DQP===∠，此时外接球表面积()2225423S R R πππ===， 当D 在B 或者1B 点时，三棱锥1A DC C -外接球即正三棱柱111ABC A B C -的外接球， 此时外接球的一条直径与1AA 和ABC △的外接圆直径构成直角三角形：此时外接球直径()22212823sin 3AB R AA π⎛⎫ ⎪=+=⎪ ⎪⎝⎭， 此时外接球表面积()2228423S R R πππ===， 因为点D 是棱1BB 上（不含端点）的一个动点， 故三棱锥1A DC C -外接球的表面积的取值范围是2528,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故C 正确；对D ，设A 到平面1DCC 的距离为h ，则由111133DCC ACC S h S ⋅=△△11222222h ⨯⨯⨯=⨯⨯h = 设A 到线段1DC 的距离d，则11122d DC AC ⋅=，解得d =， 故二面角1A DC C --==，故D 错误；故选：ABC.三.填空题（共4小题）13.【解答】解：设圆()()22:211C x y -+-=关于直线1y x =+对称的圆C '的圆心为(),m n ，由题意可得，12122112n m n m ++⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得0m =，3n =，故对称点的坐标是()0,3，故圆的方程为()2231x y +-=.故答案为：()2231x y +-=.14.【解答】解：由题意可得：5c ==，a b =，解得2252a =，故答案为：252. 15.【解答】解：∵12n n a a n +-=，212a a -=，324a a -=，…()121n n a a n --=-， 由累加得()()()21124212123122n n n a a n n n n --=+++-=⨯++++-=⨯=-， 所以22118n a n n a n n =-+=-+，∴181n a n n n=+-， ∵()18f x x x=+在(上单调递减，在()+∞上单调递增， ∴na n在(]0,4上单调递减，在[)5,+∞上单调递增，且*n ∈N ， ∴4n =或5时最小，4n =时，18154142n a n =+-=；5n =时，18381551552n a n =+-=>， 所以n a n的最小值为152.故答案为：152.16.【解答】解：如图所示：取11B C 的中点M ，连接AN ，1A M ，MN ，因为1A N BC ⊥，AN BC ⊥，又1AN A M ∥，所以1A M BC ⊥，又111A MA N A =，所以BC ⊥平面1A MN ，又BC ⊂平面11B BCC ，所以平面1A MN⊥平面11B BCC ， 又平面1AMN 平面11B BCC MN =，作1A P MN ⊥，则1A P ⊥平面11BBCC ，因为1114A N A MA P MN ⋅===所以直线11A B 与平面11BCC B所成角的正弦值为11122A P A B ==.四.解答题（共6小题）17.【解答】解：（1）因为在等差数列{}n a 中，32a =，4620a a +=，所以有11112263520a d a a d a d +=⎧⇒=-⎨+++=⎩，4d =；（2）因为在等差数列{}n a 中，16a =-，4d =，所以()10110610941202S =⨯-+⨯⨯⨯=. 18.【解答】证明：（1）取PC 中点为M ，连接NM ，MB ，如图所示，因为M ，N 分别是PC ，PD 的中点，所以12NM DC ∥且12NM DC =， 又因为12AB DC ∥且12AB DC =，所以NM AB ∥，NM AB =，所以四边形NMBA 为平行四边形，所以AN BM ∥，又因为AN ⊄平面PBC ，BM ⊂平面PBC ，所以AN ∥平面PBC . 解：（2）取DC 中点为E ，以A 为空间直角坐标系原点，AE 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()0,1,0B ，()22,1,0D -，()C ， 设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，因为()0,1,1BP =-，()2BC =，所以0220BP m y z BC m ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1y =，解得01x z =⎧⎨=⎩，即()0,1,1m =，设平面PDC 的法向量为(),,n a b c =，因为()21,1PD =--，()0,2,0DC =，所以22020PD n b c DC n b ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩，令a =04b c =⎧⎨=⎩，即()2,0,4n =，所以42cos ,32m n m n m n⋅===⨯⋅，所以平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值为23.19.【解答】解：（1）关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为()1,3-， 可得1-，3是方程2130a x dx --=的两根，则113d a -+=，1313a -⨯=-，解得11a =，2d =，则()12121n a n n =+-=-； （2）()122212n a n n n b a n +==-⋅，数列{}n b 前n 项和()()231123252232212n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，()()23412123252232212n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，上面两式相减可得()()2311222222212n n n n S n -+-=+++++--⋅()()114122221212n n n -+-=+⋅--⋅-，化简可得()16232n n S n +=+-⋅.20.【解答】解：（Ⅰ）由题意得1c =，又c e a ==，则a = ∴2221b a c =-=，∴椭圆E 的方程为2212y x +=； （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆E 的方程为2212y x +=，由题意得直线AB 的方程为1y kx -=，即1y kx =+，联立直线AB 与椭圆E 可得22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222210k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理得12222k x x k +=-+，()21122422y y k x x k +=++=+，∵ABC △与ABO △的面积相等，∴点C 和点O 到直线AB 的距离相等， 又AB 的中点为M ，则M 为线段OC 的中点，即四边形OACB 是平行四边形， 设(),C C C x y ，则OC OA OB =+，即()()()1122,,,C C x y x y x y =+， ∴12222C k x x x k =+=-+，21242C y y y k =+=+， 又2212C C y x +=，即()()2222284122k k k +=++，解得k = 21.【解答】解：（1）依题意，2n n S a n =-，当1n =时，1121a a =-，解得11a =， 当2n ≥时，2n n S a n =-，1121n n S a n --=-+，两式相减得1221n n n a a a -=--， 因此121n n a a -=+，则()1121n n a a -+=+，则{}1n a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，由12nn a +=，显然11a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21nn a =-.（2）由（1）可知，1222n n n S a n n +=-=--，因1n na S n nλ-≤-，整理得：2221n n λ≤--， 令2221n n n b =--，则()()()()()22211112221*********n n n n n n nn n n n b b +++⎡⎤--⋅+++⎣⎦-=-=----， 显然210b b -<，当2n ≥时，10n n b b +->，即1n n b b +>，因此当2n ≥时，数列{}n b 是递增的， 于是得()2min 23n b b ==，依题意，2221n n λ≤--恒成立，即有23λ≤，所以实数λ的最大值为23. 22.【解答】解：（1）设ABC △的内切圆与BC ，BA 分别相切于点E ，F ， 由切线长性质可知，1CD CE ==，AD AF =，BE BF =，所以2AD BE AF BF +=+=，所以4CA CB CD AD CE BE AB +=+++=>， 所以动点C 的轨迹为以点A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（且C 不在AB 上），设动点C 的轨迹方程为()222210x y y a b+=≠，则2a =，221a b -=，解得23b =，所以曲线T 的方程为()221043x y y +=≠； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()0,P x y ， 因为1PM MR λ=，所以()101011111,,,32x x y y x y λ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，若11λ=-，则21λ=，则PM MR =-，即P 与R 重合，与PN NR =矛盾，则11λ≠-；所以1011131x x λλ+=+，1011121y y λλ+=+，即1010111132,11x y M λλλλ⎛⎫++ ⎪⎪++ ⎪⎝⎭，将点M的坐标代入22143x y +=，整理可得()2221001003261272912360x y x y λλ-++-++-=，同理可得，()2222002003261272912360x y x y λλ-++-++-=，则1λ，2λ是方程()22200003261272912360x x y x x y -++-++-=的两个根，则001261272032x y λλ+-+==，即002120x y +-=，所以动点P 在定直线1:2120l x y +-=上，显然直线1l 与T 没有交点，令直线()2:200l x y m m +-=>， 当直线2l 与T 相切时，即1l ，2l 的距离为d ，则PQ d ≥，联立2220143x y m x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得，2242120x mx m -+-=，则()22416120m m ∆=--=，解得4m =（负值舍去）， 此时，可解得1x =，32y =，即切点坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，。