贝努力大数定律
概率统计第五章 大数定律
对于相互独立但不同分布的随机变量和的分布的 极限问题, 有李雅普诺夫中心极限定理。 定理7（李雅普诺夫Liapunov定理）设随机变量 1， 2 ，…， n，…相互独立，且 n 2 E i i , D i i2 0, ( i 1,2,)， 记Bn i2 i 1 若存在 >0，使得
i 1 1 i 有 D D( i ) 2 n n n n
故有
1 i u D lim 0 lim n n n n
即 n中每一被加项对总和的影响都很微小，但它 们迭加的和却以标准正态分布作为极限。
例 1 设有 100 个电子器件，它们的使用寿命 1 ， 2，…，100均服从参数为=0.05(h-1)的指数分布，其 使用情况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个损 坏第三个立即使用等等。令表示这100个电子器件使 用的总时间，试求超过1800h小时的概率。
D( i ) D i np(1 p)
n
n
nA np(1 p) 1 p(1 p) 从而有 P | p | 0 (n ) 2 2 2 n n n 证毕
i 1
i 1
上述伯努利大数定律从理论上给出了频率“接近” 概率这种“现象”的更加确切的含意，它反映了大 数次重复试验下随机现象所呈现的客观规律性。 ，…， ，…是一个随机变量序列，a是 设1， 2 n 一个常数，若对任意的正数 ，有
E i p,
D i p(1 p) ,
i 1,2,n
易知
于是
nA 1 2 n
nA n A np p n n 由契贝雪夫不等式得
n
i 1
大数定律
随机变量的其它特征数: 随机变量的其它特征数:矩
1.原点矩:对于正整数k,若 )<+∞,称 1.原点矩:对于正整数k,若E(Xk)<+∞,称Exk 原点矩 k, k=1,2,...,为随机变量X k=1,2,...,为随机变量X的k阶原点矩， 为随机变量 阶原点矩， 简称k阶矩. 简称k阶矩. 2.中心矩:对于正整数k,若E[(X2.中心矩:对于正整数k,若E[(X-EX)k]<+∞, 中心矩 k, k=1,2,...,为随机变量 为随机变量X 称E(X-EX)k k=1,2,...,为随机变量X的 E(Xk阶中心矩. 阶中心矩. EX和DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩 分别是一阶原点矩和二阶中心矩. 注: EX和DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩.
分位数和中位数
定义 ： 设连续随机变量 X 的分布函数为 F ( x )， 密度函数为 p ( x )， 对任意 α ( 0 < α < 1)， 假如 xα 满足条件 F ( xα ) = ′ 假如 xα 满足条件 ′ 1 F ( xα ) =
∫p ( x ) dx = α
∞
xα
则 xα 称为 X 分布的 α 分位数 ， 或称 α 下侧分位数 。
几个常见的大数定律
定理（切比雪夫大数定律） 定理（切比雪夫大数定律） 设随机变量序列 {Xn}相互独立，且均存在有限方差， {Xn}相互独立，且均存在有限方差，且方差 相互独立 其中常数C 无关， D(Xn) ≤C (n=1,2,...), 其中常数C与n 无关， 则对任意的ε>0 ，有 则对任意的ε>0
对任意给定的 ε > 0， 上式右端随着 n → ∞ 而趋向于零 。
大数定律
设随机变量序列{X 定义 设随机变量序列{Xn}，如果存在一个常 使得对任意的ε> ε>0 数a，使得对任意的ε>0，有
概率论基础公式
分布
①k1-k
②
③
二项分布
①
②
③
泊松分布
①
②
③
④泊松定理
超几何分布
其中，n,N,M为正整数，且n≤N,l=min{M,n},则称服从参数为n,M,N的超几何分布，记作X~H(n,M,N).
均匀分布
①
②
③
指数分布
①
②
③
正态分布
①)
②) ③
④
若，则。
协方差的性质
1、
2、
3、
4、
大数定律和中心极限定理
切比雪夫不等式或
切比雪夫大数定律
贝努力大数定律
辛钦大数定律
中心极限定理
抽样分布
Χ2分布
性质1：设,,并且，独立，则有性质2：设,则有.
T分布
性质1：设,则有
性质2：设,是T的概率密度，则
F分布
性质1：,则.
性质2：,则
性质3：.
参数估计
矩估计法：从总体X中抽取样本取样本k阶原点矩作为总体X的K阶原点矩的估计量，即
最大似然估计法：
1、离散型：
2、连续型：
似然方程：
对数似然方程：
无偏性：
有效性：,较更有效
一致性：或。
贝努力与大数定律
贝努力近代科学史上，最著名的科学家家族可能要算伯努利家族了。
伯努利家庭是瑞士的一个曾产生过11位科学家的家族。
其中著名的有雅可比·伯努利、雅可比的弟弟约翰·伯努利、约翰的次子丹尼尔·伯努利等。
雅格布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654－1705）是伯努利家族中重要的一员，卓越的数学家。
青年时曾学习神学，1676年开始到荷兰、德国、法国旅行，对数学有了深入的研究。
回国后于1687年到1705年在巴塞尔大学任教。
此后在数学方面取得了许多重大研究成果。
雅可比同莱布尼兹共同协作，对于微积分的发展做出了出色的贡献，为常微分方程的积分法奠定了充分的理论基础。
在研究曲线问题时他提出了一系列的概念，如对数螺线、双纽线、悬链线等。
他继承和深入地研究并发展了微积分学，创立了变分法，提出并部分地解决了等同问题及捷线问题。
雅可比还是概率论的早期研究者。
许多概率论方面的术语都是以他的名字命名的。
对于物理学方面的研究，雅可比也有一定贡献。
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）青年时曾经商，后研究数学和医学。
曾在巴黎留学，1695年任荷兰格罗宁根大学教授；1705年任巴塞尔大学教授；1699年被选为法国科学院院士；1712年被选为英国皇家学会会员。
他还是彼得堡科学院和柏林科学院的名誉院士。
约翰·伯努利也是变分法的重要创始人之一。
他提出的关于捷线问题对变分学的发展起到了重要的推动作用。
1696年约翰提出捷线问题后开始钻研几何问题，并取得了巨大成功。
约翰在物理学发展中同样做出了出色贡献。
他所发现的虚功原理对物理学的发展产生了重大的推动作用。
这一原理也称虚位移原理，是约翰于1717年发现的。
它的发现对于分析力学的发展具有重要理论价值丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700－1782）由于受到家庭的影响，从小对自然科学的各个领域有着极大兴趣。
伯努利大数定律名词解释
伯努利大数定律名词解释嘿，朋友们！今天咱来聊聊伯努利大数定律呀！这可真是个神奇又有趣的东西呢！你说啥是伯努利大数定律呢？就好比你扔硬币，你扔一次，可能是正面，也可能是反面，这可没准儿呀！但是你要是不停地扔，扔个成百上千次，那你就会发现，正面出现的次数和反面出现的次数会越来越接近一半一半哦！这是不是很有意思呀？咱再打个比方，就好像你去抽奖，一次两次可能运气好抽到大奖，也可能啥都没有，但要是你一直抽一直抽，那从总体上来看，你抽到奖和没抽到奖的情况就会变得有规律起来啦！这伯努利大数定律就像是个神奇的魔法，在背后默默地起着作用呢！你想想看呀，生活中好多事情不都是这样嘛！比如说天气，可能今天晴天，明天阴天，后天又下雨，但时间长了，各种天气出现的比例就会慢慢稳定下来呀。
再比如你做一件事情，一次可能成功，一次可能失败，但只要你坚持做下去，成功和失败的比例也会逐渐清晰起来呢。
这伯努利大数定律可不只是在这些小事情上起作用哦，在很多大的方面也很重要呢！比如说在统计学里，它可是个非常关键的概念呀。
有了它，我们才能更好地去分析和理解那些大量的数据，才能从看似杂乱无章的数据中找到规律呀！你说这是不是很神奇？就好像在茫茫的数据海洋中，伯努利大数定律是那盏指引方向的明灯，让我们不至于迷失在数据的迷雾里。
它告诉我们，只要我们有足够的耐心和坚持，就能够看到那隐藏在背后的规律。
那伯努利大数定律对我们普通人又有啥用呢？嘿嘿，用处可大啦！它能让我们更加理性地看待生活中的各种不确定性呀。
当我们遇到一些看似随机的事情时，不要着急，不要慌张，要知道在背后其实是有规律可循的呢。
而且呀，它还能让我们明白坚持的力量。
就像扔硬币，一次两次可能看不到结果，但只要坚持下去，规律就会显现出来。
我们做事情也是一样呀，不要因为一时的失败就放弃，要相信坚持下去就会有收获的！总之呢，伯努利大数定律就像是一个隐藏在生活背后的小秘密，等着我们去发现，去利用。
它让我们的生活变得更加有规律，更加可预测，也让我们在面对不确定性时更加从容不迫。
贝努利大数法则
贝努利大数法则
设一次试验中随机事件A 发生的概率为p ，A n 表示n 次独立重复试验中随机事件A 发生的次数。
则对任意正数ε，有：
1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+∞→εp n n P A n
贝努利大数法则可从切比雪夫大数法则来推导。
贝努利大数法则表明：
当随机试验的次数充分多时，随机事件发生的频率与其概率几乎相等。
这一法则是用频率解释概率的数理基础。
在保险经营中常用保险标的的损失频率来估计保险标的的损失概率。
只要保险人观察次数足够多或观察时间足够长，就可以得到与保险标的实际损失概率十分接近的损失频率。
伯努利Bernoulli大数定律
或
lim P
n
1 n
n k 1
Xk
1
定理的意义
具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列 的算术平均值依概率收敛于数学期望.
当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.
数学 期望
可被
算术 均值
近似代替
二、中心极限定理
定 林德伯格-列维中心极限定理 理 (Lindeberg-levi) 一 [ 独立同分布的中心极限定理 ]
1 6
k
5 6
6000k
0.959036
用Poisson分布近似计算
取 = 1000
P X 1 0.01
6000 6
P940 X 1060
1059 1000k e1000
k 941
k!
0.937934
例： 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90?
E(Yn
)
1
2
pq n
故
lim
n
P
n
n
p
0
伯努利(Bernoulli)大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率
n n“稳定于”事件A在一次试验中发生
的概率是指：
频率 n
n
与
p
有较大偏差
§19.1 几个经典的大数定律
（ⅰ）若EX n
有限，且Sn
ESn
P
0
n
,则称X n
服从
；
（ⅱ）若存在中心化数列an,n 1 和正则化数列bn,n 1 ，其中
0 bn ，使得
Sn
an
P
0
，则称
X
n
服从
.
bn
定理19.2 （
X n,n 1 是期望存在的r.v. 序列，则
1
n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
EX k
P
0
；
（ⅱ）当j k 时，Cov X j, Xk c j k ajak ，其中a j 0 ，c j 0 ；
（ⅲ） 1
bn2
n1
c
j 1
j
n
2 k
0
，
k 1
则
1 bn
Sn
ESn
P
0
.
证明 只需验证Markov条件，即（19.3）式成立，事实上，
，
VarSn bn2
1 bn2
n
2 k
下面补充证明（19.10）式，事实上，由
ESn nEX
nEXI
X
n
1
p
1 2
p
nEX
nEXI
X
n
1
p
1 2
p
nE
X
I
X
n
1
p
1 2
p
1 1 1 p
n n p 2 p E X
p
I
X
n
1
p
1 2
p
得到（19.10）式．
1 p 1
2p n p E
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贝努利大数定律的深入研究
一、定律的基本表述
贝努利大数定律是概率论中的一条基本定律，它表明当一个实验进行了大量重复时，某一事件发生的频率趋近于该事件发生的概率。
换句话说，随着实验次数的增加，某一事件的相对频率趋于其相对概率。
这一原理在日常生活和科学实验中有着广泛的应用。
二、定律的数学形式
贝努利大数定律的数学形式可以表述为：当一个实验进行了n 次独立重复，且每次实验中某一事件A发生的概率为p，那么对于任意的正数ε，有lim(n->∞) [|(1/n)∑(i=1->n) [xi] - p|<ε] = 1，其中xi是实验中事件A是否发生的指示变量，即如果A发生xi=1，否则xi=0。
三、定律的应用领域
贝努利大数定律在许多领域都有广泛的应用，以下列举一些例子：
统计和抽样：在统计学和抽样调查中，贝努利大数定律可以用来估计样本均值和总体均值的差异，以及估计样本比例和总体比例的差异。
保险业：保险业中常常需要根据历史数据来预测未来的风险，贝努利大数定律可以用来估计未来的风险和损失。
计算机科学：在计算机科学中，贝努利大数定律可以用来研究随机算法的性能和效率。
物理学：在物理学中，贝努利大数定律可以用来研究随机过程和热噪声的性质。
社会学：在社会学中，贝努利大数定律可以用来研究社会现象和人类行为的随机性和规律性。
四、定律的局限性
虽然贝努利大数定律具有广泛的应用和理论意义，但也有其局限性：
独立性假设：贝努利大数定律的前提假设是实验必须是独立的重复，事件之间没有相互影响。
如果实验不是独立的，或者事件之间存在相互影响，那么贝努利大数定律可能不成立。
有限性假设：贝努利大数定律需要实验次数是有限的或者至少
是可数的，这意味着实验不能无限进行下去。
如果实验次数是无限的，那么贝努利大数定律的结论可能不成立。
概率的估计：贝努利大数定律需要估计事件发生的概率。
如果概率的估计不准确，那么贝努利大数定律的结论可能不成立。
数据的处理：贝努利大数定律要求数据的处理必须符合该定律的数学形式，例如计算频率和概率时要保持一致性。
如果数据处理不正确，那么贝努利大数定律的结论可能不成立。
理论的假设：贝努利大数定律的理论假设是事件发生的概率必须大于零，即p>0。
如果概率等于零或者小于零，那么贝努利大数定律的结论可能不成立。
五、与中心极限定理的关系
中心极限定理是概率论中的另一条重要定理，它表明当一个随机变量的值是由大量独立的随机因素决定时，该随机变量的分布近似于正态分布。
中心极限定理与贝努利大数定律有着密切的联系。
事实上，中心极限定理可以看作是贝努利大数定律的一般化形式，因为贝努利大数定律是中心极限定理在p=0.5时的特例。
中心极限定理说明了即使每个独立随机因素对最终结果的影响很小，但当这些因素的数量非常大时，最终结果的分布可能是高度集中且近似正态分布的。
这种性质在许多自然现象和社会现象中都有体现，因此在许多领域中中心极限定理都有着广泛的应用。
六、对未来研究的展望
尽管贝努利大数定律和中心极限定理在许多领域中都有广泛的应用，但仍然有许多问题需要进一步研究和探索：
更深入的理论研究：进一步研究贝努利大数定律和中心极限定理的理论基础和数学证明，以更好地理解这些原理的本质和适用范围。
应用领域的拓展：进一步探索贝努利大数定律和中心极限定理在其他领域中的应用，特别是在新兴领域中的应用。
新的应用形式：研究贝努利大数定律和中心极限定理的新应用形式，特别是在大数据和机器学习等领域中的应用。