浮点数在计算机中的表示法
浮点数表示方法
浮点数表示方法浮点数表示法（Floating point representation）是用来表示实现有限位数范围内的实数值的表示法。
它利用一个移位浮点技术，使得移位整数和移位小数可以被合成成范围内的实数值。
1、特点：（1）数据格式灵活，能表示实数。
（2）能反映数据中的技术定格比较弱，有一定误差。
（3）表示范围广泛，但数据精度较差。
（4）为提高精度，采用双精度（double precision）或多精度（multi precision）浮点格式。
2、格式：（1）浮点数表示法通常由三个部分组成：浮点符号、整数部分和小数部分。
（2）示例：+0.100，其中“+”表示正数；“0”表示整数部分；“100”表示小数部分。
3、应用：（1）工程计算：飞行器的设计，图像处理软件工程等（2）科学计算：天文计算，气象学分析，量子力学等（3）计算机系统：操作系统，存储器管理，语言编译等。
（4）其他应用：时钟，位图，图形工具，材料工程计算等。
4、编码：（1）采用二进制编码：所有的数据都被表示为二进制.（2）指数编码：以进位计算法实现指数位编码，在数据表示中占据比较重要位置。
（3）尾数编码：尾数部分在许多浮点运算系统中扮演着十分重要的角色，它将实现精度提高。
5、运算：（1）加减法：两个数字相加减，异号相加减，同号相加减（2）乘法：浮点乘法可以看作由两部分组成，即放大和缩小（3）除法：浮点除法也可以看作是缩小和放大的过程。
6、算术系统：采用浮点数表示法的算术系统，有助于改善有限位数运算效率和精度，执行特殊型计算机指令（如浮点数运算）。
7、缺点：（1）数据精度较低，数据的浮点误差有时可能很大。
（2）单精度浮点数的表示范围有限，双精度浮点数也受制于计算机封装计算机指令的有限位性，所以对使用的运算系统的精度有一定的影响。
（3）浮点乘法和除法的执行效率较慢。
浮点数的书写形式
浮点数的书写形式一、浮点数的书写形式浮点数是计算机中用于表示实数的一种数据类型，它由一个整数部分和一个小数部分组成，并且可以使用科学计数法表示。
在计算机科学中，浮点数的书写形式十分重要，它决定了计算机对实数的精度和范围的表示能力。
1.1 固定点表示法固定点表示法是一种简单且直观的浮点数书写形式。
它将实数表示为一个整数部分和一个小数部分，小数部分的位数是固定的，无论整数部分的位数是多少。
例如，3.14可以表示为3.14，其中整数部分为3，小数部分为14。
1.2 科学计数法表示法科学计数法是一种常用的浮点数书写形式，特别适合表示非常大或非常小的实数。
它将实数表示为一个尾数和一个指数，并且使用基数为10。
例如，3.14可以表示为3.14e0，其中尾数为3.14，指数为0。
1.3 IEEE 754标准表示法IEEE 754是一种国际标准，用于浮点数的表示和计算。
它将浮点数表示为一个符号位、一个指数和一个尾数，并且使用基数为2。
例如，3.14可以表示为0x1.91eb85p1，其中符号位为0表示正数，指数为1，尾数为0x1.91eb85。
二、浮点数的应用领域浮点数在计算机科学中有着广泛的应用，特别是在科学计算、图形学和物理模拟等领域。
以下是几个典型的应用领域：2.1 科学计算科学计算中经常涉及到大量的实数运算，例如求解微分方程、线性代数运算和数值积分等。
浮点数的高精度和较大范围使得它成为科学计算的重要工具。
2.2 图形学图形学是计算机科学中的一个重要领域，它涉及到图像的生成、处理和显示等问题。
浮点数的高精度和较大范围使得它在图形学中能够准确地表示图像的坐标和颜色等信息。
2.3 物理模拟物理模拟是计算机科学中的一个重要应用领域，它涉及到物体的运动、碰撞和变形等问题。
浮点数的高精度和较大范围使得它能够准确地模拟物体的运动和变化过程。
三、浮点数的精度和舍入误差浮点数的精度是指它能够表示的最小的非零实数的大小。
根据IEEE 754标准，单精度浮点数的精度约为6-9位有效数字，双精度浮点数的精度约为15-17位有效数字。
计算机系统中的浮点数
计算机系统中的浮点数⼈类世界的⼩数的表⽰形式1、我们最习惯的⼩数表⽰形式是⼗进制，形式为： 它的值为：2、⼩数的⼆进制表⽰法，形式为： 它的值为：IEEE浮点标准在计算机系统中，因为有字节的限制（C语⾔中float类型占4字节，double类型占8字节），⼩数的表⽰要复杂的多。
IEEE制定的浮点标准得到了所有的计算机的⽀持。
IEEE浮点标准⽤如下形式表⽰⼀个数： 符号（sign）s，1为负数，0为正数。
数值0的符号位解释做特殊情况处理；尾数（significand 有效数）M是⼀个⼩数，范围为1~2-ε或 0~1-ε（即 [1,2) 或 [0,1) ，详情请看“浮点数的类型”部分）阶码（exponent 指数）E的作⽤是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂（可能是负数）标准浮点格式（浮点有3个字段组成）有以下两个类型： 32位的单精度：s、exp和frac字段分别为1位、8位、23位 64位的双精度：s、exp和frac字段分别为1位、11位、52位IEEE浮点数的类型依据阶码字段是否全为0、全为1分为以下三种：1、规格化的值：exp字段（阶码字段）的位模式不全为0，或不全为1. 阶码E=e-Bias 其中，e是exp字段表⽰的⽆符号数，Bias是偏置值2^(k-1)-1（单精度为127，双精度为1023）。
阶码E以此⽅式来表⽰成有符号数。
因此得到E的范围：单精度-126~127，双精度-1022~1023 若字段frac（尾数域）为则定义尾数M=1+f，其中f=。
即尾数域仅仅表⽰⼩数点后⾯的部分，隐含⼩数点前⾯为1。
2、⾮规格化的值：当阶码字段全为0 阶码E=1-Bias 尾数M=f，不包含隐含的开头1 ⽬的是表⽰数值0；表⽰⾮常接近与0.0的数3、特殊值：阶码字段全为1 当尾数域全为0，表⽰⽆穷⼤或⽆穷⼩ 当尾数域不全为0，结果值被称为NaN（Not a Number）我们⽤正数范围内的⽰例，来说明上⾯的三种类型的重⼤意义 e：假定阶码字段是⼀个⽆符号整数表⽰的值 E：偏置之后的阶码值 2^E：阶码的权重数 f：尾码字段描述的⼩数值 M:尾数值 V：⼩数值 V=2^E * MIEEE浮点表⽰的特点1，最⼤⾮规格化数7/512 到最⼩规格化数8/512的平滑转变；2，若将上图中浮点数的位表达式解释为⽆符号整数，它们就是按升序排列的，就像它们表⽰的浮点数⼀样。
单精度浮点数的表示
单精度浮点数的表示单精度浮点数是一种用于表示实数的数据类型，它在计算机科学和数值计算中起着重要的作用。
单精度浮点数采用32位存储空间，其中1位用于表示符号位，8位用于表示指数位，23位用于表示尾数位。
在单精度浮点数中，符号位用来表示数的正负，0代表正数，1代表负数。
指数位用来表示数的指数部分，采用偏移表示法，即通过对指数部分加上一个偏移值来表示实际的指数。
尾数位用来表示数的尾数部分，也叫作有效数字。
单精度浮点数的表示方法如下：首先，我们需要将实数转换为二进制形式。
然后，根据实数的正负确定符号位。
接下来，将二进制小数点移动到尾数的最左边，同时记录移动的位数，这个位数就是指数位的值。
然后，将尾数部分规范化，即去掉最左边的1，并将其余位数填充到尾数位的23位中。
最后，将指数部分加上一个偏移值（127），得到最终的指数位的值。
举个例子来说明单精度浮点数的表示方法。
假设我们要表示的实数是3.75。
首先，将3.75转换为二进制形式，得到11.11。
然后，确定符号位为0，表示正数。
接下来，将二进制小数点移动到尾数的最左边，得到1.111。
同时，记录移动的位数为2，即指数位的值为2。
然后，将尾数部分规范化，得到 1.11100000000000000000000。
最后，将指数部分加上偏移值127，得到指数位的值为129。
通过上述步骤，我们可以将实数3.75表示为单精度浮点数的形式：0 10000001 11100000000000000000000。
其中，第一个0表示正数，10000001表示指数位的值为129，11100000000000000000000表示尾数位的值。
单精度浮点数的表示范围为 1.17549435e-38到 3.40282347e+38，可以表示的有效数字为6到7位。
在进行浮点数运算时，由于单精度浮点数的精度有限，可能会出现舍入误差。
因此，在进行浮点数运算时，需要注意舍入误差可能带来的影响。
浮点数介绍
浮点数编辑本段一、浮点数2、浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd 的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。
如果m的第一位是非0整对阶结束后,即可进行尾数的求和运算。
不论加法运算还是减法运算,都按加法进行操作,其方法与定点加减法运算完全一样。
(4) 结果规格化在浮点加减运算时,尾数求和的结果也可以得到01.ф…ф或10.ф…ф,即两符号位不等,这在定点加减法运算中称为溢出,是不允许的。
但在浮点运算中,它表明尾数求和结果的绝对值大于1,向左破坏了规格化。
此时将运算结果右移以实现规格化表示,称为向右规格化。
规则是：尾数右移1位,阶码加1。
当尾数不是1.M时需向左规格化。
(5) 舍入处理在对阶或向右规格化时,尾数要向右移位,这样,被右移的尾数的低位部分会被丢掉,从而造成一定误差,因此要进行舍入处理。
简单的舍入方法有两种：一种是"0舍1入"法,即如果右移时被丢掉数位的最高位为0则舍去,为1则将尾数的末位加"1"。
另一种是"恒置一"法,即只要数位被移掉,就在尾数的末尾恒置"1"。
在IEEE754标准中,舍入处理提供了四种可选方法：就近舍入其实质就是通常所说的"四舍五入"。
例如,尾数超出规定的23位的多余位数字是10010,多余位的值超过规定的最低有效位值的一半,故最低有效位应增1。
若多余的5位是01111,则简单的截尾即可。
对多余的5位10000这种特殊情况：若最低有效位现为0,则截尾；若最低有效位现为1,则向上进一位使其变为 0。
计算机中的二进制表示（定点数,浮点数）
计算机中的⼆进制表⽰（定点数,浮点数）1 规则及表⽰⽅法⾸先是对有符号数⽽⾔:1. ⼆进制的最⾼位是符号位：0–>正，1–>负2. 正数的原码，反码，补码⼀样3. 负数的反码==原码的符号位不变，其他的位取反4. 负数的补码==反码+15. 0的反码，补码都是0。
数值0的补码只有⼀个，即：0的补码=00000000B6. 计算机运算的时候都是以补码的⽅式运算的。
2 补充1. （-128）没有相应的原码和反码。
(-128)=(1000 0000)补码2. 采⽤补码的原因:1. 使⽤补码可以使符号位与其他位统⼀进⾏处理。
2. 减法可以按照加法处理。
如果最⾼位（符号位）有进位，则进位就舍弃。
3. 已知补码，求原码:补码的补码。
（因为：对于⼆进制来说先减1后取反和先取反后加1得到的结果是⼀样的）浮点数⼆进制表⽰根据国际标准IEEE 754，任意⼀个⼆进制浮点数V可以表⽰成下⾯的形式：V = (-1)s * M * 2E1. (-1)s表⽰符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
2. M表⽰有效数字，⼤于等于1，⼩于2。
3. 2E表⽰指数位。
(其中2也可以换成别的基),E是⼩数点左移的位数举例来说：⼗进制的-5.0，写成⼆进制是-101.0，相当于-1.01×22。
那么，s=1，M=1.01，E=2。
IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最⾼的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。
对于64位的浮点数，最⾼的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。
规则及表⽰⽅法IEEE 754对有效数字M和指数E，还有⼀些特别规定。
前⾯说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表⽰⼩数部分。
IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第⼀位总是1，因此可以被舍去，只保存后⾯的xxxxxx部分。
16进制表示浮点数
16进制表示浮点数摘要：1.16 进制表示浮点数的概述2.16 进制表示浮点数的方法3.16 进制表示浮点数的优缺点4.16 进制表示浮点数的应用实例正文：【16 进制表示浮点数概述】在计算机科学中，浮点数是一种用于表示实数的数值类型，它可以表示任意大小的数字，包括整数和小数。
而在计算机内部，浮点数通常采用16 进制表示，这是因为16 进制可以提供足够的精度来表示大多数实数，并且相对于其他进制，16 进制具有更好的可读性和表示能力。
本文将详细介绍16 进制表示浮点数的方法、优缺点以及应用实例。
【16 进制表示浮点数的方法】16 进制表示浮点数的方法可以分为三个部分：符号位、尾数和指数。
1.符号位：与整数的表示方法相同，浮点数的符号位用1 位二进制数表示，0 表示正数，1 表示负数。
2.尾数：尾数部分用于表示浮点数的小数部分，它通常采用16 进制的形式。
尾数的位数决定了浮点数的精度，通常情况下，尾数部分越多，精度越高。
3.指数：指数部分用于表示浮点数的整数部分，它也采用16 进制表示。
指数的位数决定了浮点数的表示范围，通常情况下，指数部分越多，表示范围越大。
【16 进制表示浮点数的优缺点】1.优点：（1）精度高：16 进制表示浮点数可以提供足够的精度来表示大多数实数。
（2）可读性强：16 进制表示法相对于其他进制，具有更好的可读性。
（3）表示范围广：16 进制表示法可以表示较大的整数和小数范围。
2.缺点：（1）存储空间较大：由于16 进制表示法需要用更多的位数来表示数字，因此相对于其他进制，其存储空间较大。
（2）计算速度较慢：由于计算机内部采用16 进制表示法进行计算，因此相对于其他进制，其计算速度可能较慢。
【16 进制表示浮点数的应用实例】16 进制表示浮点数在许多计算机程序和应用中都有广泛应用，例如：（1）图形渲染：在计算机图形渲染中，浮点数通常用于表示物体的位置、颜色和纹理等属性，16 进制表示法可以提供足够的精度来渲染逼真的图像。
ieee 754-1985 浮点数表示方法
IEEE 754-1985 浮点数表示方法一、背景介绍IEEE 754-1985是一种用于计算机系统中浮点数表示的标准。
这一标准定义了浮点数的格式、表示范围、精度以及运算规则，是科学计算、工程计算和数据处理中广泛使用的一种标准。
它的出现改变了以往各种不同计算机系统之间浮点数表示的不一致性，促进了软件开发和数据交换的统一和规范化。
二、基本结构IEEE 754-1985标准定义了三种不同的浮点数格式：单精度、双精度和扩展双精度。
其中，单精度浮点数占用32位，双精度浮点数占用64位，扩展双精度浮点数占用80位。
这三种浮点数格式都包括三个部分：符号位(S)、指数位(E)和尾数位(M)。
具体的格式如下：1. 单精度浮点数符号位：1位指数位：8位尾数位：23位2. 双精度浮点数符号位：1位指数位：11位尾数位：52位3. 扩展双精度浮点数符号位：1位指数位：15位尾数位：64位三、浮点数表示范围根据IEEE 754-1985标准，不同格式的浮点数可以表示的范围也不同。
以双精度浮点数为例，它可以表示的范围大约是1.7 x 10^(-308)到1.7 x 10^308，而单精度和扩展双精度浮点数的表示范围也可以根据其格式类似地计算出来。
四、浮点数表示精度除了表示范围之外，IEEE 754-1985标准还规定了浮点数的表示精度。
双精度浮点数具有大约15位有效数字，这意味着它的表示精度可以达到小数点后15位。
单精度和扩展双精度浮点数的表示精度也可以通过类似的方式得出。
五、浮点数运算规则IEEE 754-1985标准还规定了浮点数的运算规则，包括加减乘除、开方、取模等一系列运算。
这些运算规则不仅规定了浮点数之间的运算规则，还规定了特殊值(如正无穷、负无穷、NaN)的处理方式，以及溢出、下溢等异常情况的处理方式。
六、浮点数表示的优缺点根据IEEE 754-1985标准，浮点数可以表示大范围的数值，并且具有较高的精度，这使得它在科学计算和工程计算中得到了广泛的应用。
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浮点数在计算机中的表示法浮点数在计算机中的表示法是一种用于表示带有小数点的数字的方法。
浮点数表示法通常用于表示实数，如3.14159。
在计算机中，浮点数通常用二进制表示。
下面将详细介绍浮点数在计算机中的表示法。
一、二进制小数
计算机内部存储和处理的所有数据最终都被转换为二进制形式。
浮点数是一种特殊的数据类型，用于表示带有小数部分的数字。
浮点数由三个部分组成：符号位、指数位和尾数位。
1.符号位：符号位用于表示数字的符号。
它可以是0或1。
0表示正数，1表
示负数。
2.指数位：指数位用于表示数字的小数点位置。
它是一个偏移量，从某个标准
值开始计算。
标准值取决于所使用的浮点数表示法。
3.尾数位：尾数位用于表示数字的小数部分。
它是二进制形式的小数，通常采
用定点表示法。
二、浮点数表示法
计算机中常用的浮点数表示法有单精度浮点数（float）和双精度浮点数（double）。
1.单精度浮点数（float）：它使用32位（4字节）来表示一个浮点数。
其
中，符号位占1位，指数位占8位，尾数位占23位。
单精度浮点数可以提供大约6位十进制精度的数值表示。
2.双精度浮点数（double）：它使用64位（8字节）来表示一个浮点数。
其
中，符号位占1位，指数位占11位，尾数位占52位。
双精度浮点数可以提供大约15位十进制精度的数值表示。
三、浮点数的存储和表示
在计算机中存储和表示浮点数时，首先将浮点数的符号位存储在计算机的内存中。
然后，使用指数位来确定小数点的位置，并将尾数位存储在内存中。
指数位和尾数位的存储方式取决于所使用的浮点数表示法。
四、浮点数的运算
浮点数的运算包括加法、减法、乘法和除法等。
在进行浮点数运算时，需要遵循以下步骤：
1.对齐：首先对齐两个浮点数的指数位和小数位，以确保它们具有相同的精
度。
2.符号运算：根据符号位的值进行相应的运算（加法、减法等）。
3.指数运算：根据指数位的值进行相应的运算（乘法、除法等）。
4.尾数运算：根据尾数位的值进行相应的运算（乘法、除法等）。
5.规格化：将结果尾数进行规格化处理，以确保它符合所使用的浮点数表示法
的标准形式。
6.舍入：将结果舍入到最接近的整数或指定的小数位数。
7.结果存储：将最终结果存储在计算机的内存中。
五、总结
浮点数是计算机中用于表示带有小数部分的数字的一种方法。
计算机内部使用二进制来表示浮点数，并采用单精度和双精度两种不同的表示法来满足不同的精度需求。
在进行浮点数运算时，需要对齐指数位和小数位，并遵循相应的运算规则进行计算。
最后，将结果存储在计算机的内存中以供后续使用。