第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用(原卷版)
思想方法 第3讲 分类讨论思想
思想方法第3讲分类讨论思想 思想概述分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决． 例1(1)(2022·滁州质检)已知过点P (0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，则当|AB |＝23时，直线l 的方程为( )A ．x ＝0B ．15x －8y －8＝0C ．3x －4y ＋4＝0或x ＝0D ．3x ＋4y －4＝0或x ＝0________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则下列选项不正确的是( )A ．{a 2n －1}是等比数列B.∑i ＝15(a 2i －1＋2)＝－10C ．{a 2n }是等比数列D.∑i ＝110a i ＝52________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n 需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．方法二 由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究． 例2设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝________. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．方法三 由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (x )[f (x )]2＋a的最大值为25，则正实数a ＝________.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论．。
第3讲 分类讨论思想+课件 高三数学二轮专题复习
当直线 y＝
3
x－1 与圆 O 相切时，r＝d＝
1 3＋1
＝12
；
当圆 O 过点 C 时，r＝ 34＋41 ＝1.
【对点训练】
1．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和
8π，则两平行截面间的距离是( )
A．1
B．2
C．1或7
D．2或6
解析：画出球的截面图，如图 1 所示，是球的一个大圆，两平行直线是球的 两个平行截面的直径，由题意可得，两个平行截面的半径分别为 3 和 4，则 m＝ 52－32 ＝4，n＝ 52－42 ＝3，当两个平行截面在球心的两侧时，两平 行截面间的距离是 m＋n＝7；
图4
由椭圆性质可知，A1A2为椭圆中的最长弦，所以不能 作为等腰三角形的腰，而作为底时，刚好等腰三角形 的顶点为上顶点或下顶点，不满足题意． 综上所述，满足题意的等腰三角形的个数为8＋8＋2＋ 2＝20.
如图 3，以 B2 为圆心，B1B2 为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点 B1，S， T，
图3 连接 SB1，SB2，TB1，TB2，此时△SB1B2，△TB1B2 为等腰三角形，满足题 意，共有 2 个；
如图4，以B1为圆心，B1B2为半径作圆，此时圆与椭圆 相交于点B2，U，V， 连 接 UB1 ， UB2 ， VB1 ， VB2 ， 此 时 △ UB1B2 ， △ VB1B2 为等腰三角形，满足题意，共有2个；
图1
同理，当 A2B2，A2B1，A1B1 为等腰三角形的底时，也可以各作出 2 个满足 要求的等腰三角形，共有 8 个； 如图 2，当 A1B2 为等腰三角形的腰时，以 B2 为圆心，A1B2 为半径作圆，
图2
则圆的方程为 x2＋(y－1)2＝5，
专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(原卷版)
学习界的00755 ⎨x 2 + 4x +1, ⎨ ⎩( ) = 专题 07分类讨论思想在分段函数中的应用【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。
类型一 分段函数万能模板 内 容使用场景 分段函数解题模板第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解； 第三步 得出结论.例 1 函数 f (x ) = ⎧log 2 x , ⎩x > 0x ≤ 0 ，若实数 a 满足 f ( f (a )) =1，则实数 a 的所有取值的和为（）A ．1B ．17 - C ． -15- D ．-2 1616⎧x + 2, x ≤ -1【变式演练 1】在函数 y = ⎪x 2, - 1 < x < 2 ⎪2x , x ≥ 2 中，若 f (x ) = 1 ，则 x 的值是（ ）A ．1B ．1或32⎧⎪x 2 , x ∈[0, +∞) 例 2 已知函数 f x ⎨ C ． ±1D ．在区间(-∞, +∞) 上是增函数,则常数 a 的取值范围是 ⎪⎩x 3 + a 2- 3a + 2, x ∈ (-∞, 0 ) （ ）A ． (1, 2)B ． (-∞,1] [2, +∞)C ． [1, 2]D ． (-∞,1) (2, +∞ )3f (x ) = ⎪ ⎩⎪ 1 ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 【变式演练 2】【甘肃省张掖市第二中学 2020-2021 学年高三第一学期 10 月月考数学（理）】已知函数⎧2 + log ⎨ 2x , 1 ≤ x < 1 8 ，若 f (a ) = f (b )(a < b ) ，则b - a 的取值范围为（ ）⎪2x ,1 ≤ x ≤ 2A ． ⎛ 0,3 ⎤B ． ⎛ 0,7 ⎤C ． ⎛ 0,9 ⎤D ． ⎛ 0,15 ⎤2 ⎥⎦4 ⎥⎦8 ⎦⎥8 ⎥⎦⎧(x - a )2, x ≤ 0, ⎪例 3 f (x ) = ⎨ 1 若 f (0) 是 f (x ) 的最小值，则 a 的取值范围为（）.⎪⎩x + x+ a , x > 0,(A)[-1,2](B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0, 2]⎧x + 2- 3, x ≥ 1 【变式演练 3】已知函数 f (x ) = ⎨ x ，则 f ( f (-3)) = ， f (x ) 的最小值是．⎪⎩lg(x 2 +1), x < 1例 4 已知函数 y = f ( x ) 是二次函数，且满足 f (0) = 3 ， f (-1) = f (3) = 0（1）求 y = f ( x ) 的解析式；（2）若 x ∈[t , t + 2] ，试将 y = f ( x ) 的最大值表示成关于 t 的函数 g (t ) ．⎨⎛ ⎨ 2 【变式演练 4】【天津市静海区 2020-2021 学年高三上学期第一次月考】已知函数⎧a x , x > 1f ( x ) = ⎪ 4 - a ⎫ x + 2, x ≤ 1是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）⎪ 2 ⎪⎩⎝ ⎭A ． (1, +∞)B ． [4,8)C ．(4,8)D ． (1,8)例 5.设函数 f (x ) = x 2- ax + b , a , b ∈ R ．（1） 当 a = 2 时，记函数| f ( x ) | 在[0，4]上的最大值为 g (b ) ，求 g (b ) 的最小值；（2） 存在实数 a ，使得当 x ∈[0, b ] 时， 2 ≤ f ( x ) ≤ 6 恒成立，求b 的最大值及此时a 的值．【变式演练 5】【2018 年全国普通考试理科数学（北京卷）】设函数 ƒ䝐ℨ⺁=[aℨ2 — 䝐4a + 1⺁ℨ + 4a + ௲]e ℨ．（1） 若曲线 y t ƒ ℨ 在点（1，ƒ䝐1⺁）处的切线与 ℨ 轴平行，求 a ；（2） 若 ƒ䝐ℨ⺁在 ℨ t 2 处取得极小值，求 a 的取值范围．【高考再现】⎧x 3 , 1.【2020 年高考天津卷 9】已知函数 f (x ) = ⎨x 0, 若函数 g (x ) = f (x ) - kx 2- 2x (k ∈ R ) 恰有 4个零点，则k 的取值范围是（ ）⎩-x , x < 0.A ． ⎛-∞, - 1 ⎫(2 2, +∞)B ． ⎛-∞, - 1 ⎫ (0, 2 2)2 ⎪ 2 ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ． (-∞, 0) (0, 2 2)D ． (-∞, 0) (2 2, +∞)2【.⎧x 2 - x + 3, x ≤ 1,2017 天津理】已知函数 f (x ) = ⎪ x + , x > 1.设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥| x + a | 在 R 上恒成立， 2则 a 的取值范围是⎩⎪ x⎨2x, x > 0⎨（A ）[-47 , 2] 16 （B ）[- 47 , 39]16 16（C ）[-2 3, 2]（D ）[-2 3, 39]163. 【2016 高考浙江文数】已知函数 f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与 f （x ）的最小值相等”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件x 2 - x + 3, x ≤ 1,4. 【2017 年全国普通考试理科数学】已知函数 f ( x ) = { 2设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 x + , x > 1. x f ( x ) ≥ x+ a 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是2 A ． ⎡- 47 , 2⎤B ． ⎡- 47 ,39 ⎤C ． ⎡-2 3, 2⎤D ． ⎡-2 3,39 ⎤⎣⎢ 16 ⎥⎦⎣⎢ 16 16 ⎥⎦⎣⎦⎣⎢16 ⎥⎦⎧⎪1- x , x ≥ 05.【2015 高考陕西，文 4】设 f (x ) = ⎨ ⎪⎩ 2x, x < 0，则 f ( f (-2)) = （ ）A. -1B.14C.12D.32【反馈练习】1. 【江西省新余市第一中学 2021 届高三第四次模拟考试数学（文）】已知函数 f (x ) = ⎧1+ log 2 (-x ), x < 0，⎩ 则 f (-1) + f (1) = （）A ．2B ．3C ．4D ．52. 【广西北海市 2021 届高三第一次模拟考试数学（理）】已知函数 f (x ) = ⎧log 2 x , x > 0 ，则 f (1) - f (-1) =⎩3 - 4x , x ≤ 0（）A ．-7B ．2C ．7D ．-4⎩⎨1 ⎩ ( )⎪⎩⎭⎝ ⎭3. 已知函数 f ( x ) = ⎧(3 - a ) x - 7, x ≤ 8 ，若数列{a } 满足 a = f (n )(n ∈ N * )，且{a } 是递增数列，则实 ⎨a x -8 , x > 8 n n n 数a 的取值范围是（）A ． (1, 3)B ．⎡17 ,3⎫C ．⎛ 17 ,3⎫D ． [2,3)⎢⎣ 9 ⎪ 9 ⎪4【. ⎧ 云南省红河州 2021 届高中毕业生第一次复习统一检测数学（文）】已知函数 f ( x ) = ⎪1- x 2 , -1 ≤ x < 0- x , 0 ≤ x < 1，⎪ f ( x - 2), x ≥ 1 若函数 g ( x ) = f ( x ) - k (0 ≤ k ≤ 1) 的所有零点从小到大依次成等差数列，则 g ( x ) 的零点一定不包含（）A ． 2019 -22B ．2019C ．2020D ． 2020 +22⎧x 3 + a 2- 4 x + 4 - a , x > 0 5. 【宁夏银川一中 2021 届高三第四次月考数学（理科）】已知函数 f (x ) = ⎨ ，⎪⎩a x , x ≤ 0是单调递增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．(1, 2) B ．(1, 3] C ．[2, 3] D ．[3, +∞)⎧e x - e - x , x > 0,6. 【河南省 2020 届高三（6 月份）高考数学（文科）质检】已知函数 f (x ) = ⎨-x 2 , x 0, 若a = 50.01,b = 3log 2, c = log 0.9 ，则有（ ）2 33A ． f (b ) > f (a ) > f (c )B ． f (c ) > f (a ) > f (b )C. f (a ) > f (c ) > f (b )D. f (a ) > f (b ) > f (c )7【. 2020 届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数 f ( x ) = ax + 1+ 2x 2+ ax -1（ a ∈ R ）的最小值为 0，则a = （ ）⎩ ⎨⎪ 1 2⎩A.12B. -1C ． ±1D ．± 128．【贵州省贵阳市四校 2021 届高三上学期联合考试】在区间[-2，2]随机取一个数x ，则事件⎧2x , ( x ≤ 0) ⎡ 1 ⎤“ y = ⎨x +1, (x > 0)，且y ∈ ⎢⎣ 2 , 2⎥⎦ ”发生的概率为（ ）7531A ．8 B ．8C ．8D ． 29【. ⎧ log 2 x , x > 0 安徽省宿州市泗县第一中学2020 届高三下学期最后一卷数学（文）】已知函数 f ( x ) = ⎪ ， x + x + 2, x ≤ 0 ⎩ 4x x x 2 + x x 2方程 f ( x ) = a 有四个不同根 x ， x ， x ， x ，且满足 x < x < x < x ， 则 4 - 1 3 2 3 的取值范围是1 2 3 4 1 2 3 43（）A ． ⎡2 2, +∞)⎡ 129⎤ B ．2 2,C ． ⎛ 9 , +∞ ⎫D ． ⎛ 9 ,129 ⎫⎣⎢⎣8 ⎥⎦2 ⎪ 2 8 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭10．【上海市闵行区 2021 届高三上学期一模】已知定义在[0, +∞) 上的函数 f (x ) 满足f ( x ) = ⎧⎪15 - x -1 , 0 ≤ x < 2 .设 f (x ) 在[2n - 2, 2n )(n ∈ N *) 上的最大值记作 a ， S 为数列{a }的前 n ⎨⎪ f ( x - 2) - 2, x ≥ 2 项和，则S n 的最大值为 .n n n x 2。
2019届高三数学(理)二轮专题复习：专题八+第3讲+分类讨论、转化与化归思想+Word版含解析
2019届高三数学（理）二轮专题复习 专题八 数学思想、数学核心素养与数学文化第3讲 分类讨论、转化与化归思想数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m .解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意.若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92. ② 由②①，得1＋q ＋q 2q 2＝3， 即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6，综上可知，a 1＝32或a 1＝6.答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2018·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( )A.8B.10C.16D.32 (2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2.因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，。
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题8_第3讲_分类讨论思想(含答案)
第3讲 分类讨论思想1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 2．分类讨论的常见类型（1）由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． （2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．（3）由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（4）由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．（5）由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．（6）由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 3．分类讨论的原则 （1）不重不漏．（2）标准要统一，层次要分明．（3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 4．解分类问题的步骤（1）确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． （2）对所讨论的对象进行合理的分类．（3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． （4）归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例1 （1）(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．（2）在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >3，2x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23B ．1716C ．32D ．1（2）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列 B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 例2 （1）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0，x ≤2表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点)．（2）设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为________．思维升华 求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．（1）已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( )A ．－12B ．12C ．0D ．－12或0（2）设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．热点三 由参数引起的分类讨论例3 (2014·四川改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．思维升华 一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．已知函数g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．（1）若函数g (x )过点(1,1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； （2）判断函数f (x )的单调性．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论． 常见的分类讨论问题有：（1）集合：注意集合中空集∅的讨论．（2）函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a >1和0<a <1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．（3）数列：由S n 求a n 分n ＝1和n >1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论． （4）三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．（5）不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论． （6）立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；（7）平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．（8）排列、组合、概率中的分类计数问题． （9）去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．真题感悟1．(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A ．5B ． 5C ．2D ．12．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2014·广东)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( ) A ．60 B ．90 C ．120 D ．130 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1， x ≥0，(a ＋2)e axx <0为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－2,0) C ．[－1,0) D ．[－1，＋∞)2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或123．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( ) A ．1或3 B ．1或4 C ．2或3 D ．2或4 5．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .6．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性．例1 (1)a ≤2 (2)32或6 变式训练1 (1)C (2)D例2 (1)20 (2)12或32 变式训练2 (1)D (2)2或72例3 解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .变式训练3 解 (1)因为函数g (x )过点(1,1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2(x ＋1)2＝x ＋3(x ＋1)2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0,0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(x >－1)， 所以f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝x ＋1＋a (x ＋1)2.①当a ≥0时，因为x >－1，所以f ′(x )>0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．②当a <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >－1，得－1<x <－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >－1，得x >－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a <0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减， 在(－1－a ，＋∞)上单调递增． BCD CCCD5．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘q ，得 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).6．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。
本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。
分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。
它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。
本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。
二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。
使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。
三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。
2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。
3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。
四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。
1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。
例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。
解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。
第3讲 分类讨论思想
第3讲分类讨论思想在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法.分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点.分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用.[例1] 等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为( )A.－3B.1C.－3或1D.1或3[解析] 设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n，3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝，Sn＋2＝，代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或故a1＝1或－3.故选C.[答案] C[技法领悟]本题易忽略对q＝1的情况进行讨论，而直接利用Sn＝(q≠1)，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的.本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论.[应用体验]1.已知函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为________.解析：f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.第3讲分类讨论思想在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法.分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点.分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用.[例1] 等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为( )A.－3B.1C.－3或1D.1或3[解析] 设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n，3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝，Sn＋2＝，代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或故a1＝1或－3.故选C.[答案] C[技法领悟]本题易忽略对q＝1的情况进行讨论，而直接利用Sn＝(q≠1)，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的.本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论.[应用体验]1.已知函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为________.解析：f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.。
第3讲分类讨论思想
x 2 (a x 2 1) 2 1 a 2 ,
即x4-a2x2+a2=0,令t=x2, 则t2-a2t+a2=0(*)且t＞0,
∵a＞0,
∴t1t2=a2＞0,t1+t2=a2＞0.
方程(*)的判别式Δ =a2(a2-4). (1)当Δ <0,即0<a<2时,方程(*)无正实根; (2)当Δ =0,即a=2时,方程(*)有两个相等的正实根 ; 根. (3)当Δ >0时,即a>2时,方程(*)有两个相异正实 综上所述,当0<a<2时,
答案
15 (0， ) 3
解析 先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：
1 4 S1＝2× ×4a×3a＋(3a＋4a＋5a)× ＝12a2＋48. 2 a 再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积： ①若 AC＝5a，AB＝4a，BC＝3a，则该四棱柱的全面积 2 为 S2＝2×4a×3a＋2(3a＋4a)× ＝24a2＋28. a
5.如图所示，矩形ABCD中，AB=1， BC=a（a>0）,PA⊥平面AC,且PA=1, 问BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD
并说明理由.
解 设AQ=x(x>0),则AQ2=x2, QD2=QC2+CD2= (a x 2 1) 2 1. AD2=a2. 若PQ⊥QD则AQ⊥DQ 在Rt△AQD中,由勾股定理得:
则 f(x)是区间[1,2]上的增函数，所以 m＝f(1)＝1－a. ②当 1<a≤2 时， 在区间[1,2]上，f(x)＝x2|x－a|≥0， 由 f(a)＝0，知 m＝f(a)＝0.
③当 a>2 时， 在区间[1,2]上，f(x)＝ax2－x3， f′(x)＝2ax－3x
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第3讲 分类讨论思想在解析几何中的应用 在解答某些数学问题时。有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法。是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。分类讨论思想在数学问题具有明显的。逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。 解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。也是高考常考查的知识点。 【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用 1、直线方程的几种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 不含垂直于坐标轴的直线
截距式 xa＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 2、圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0). 方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 3、 直线与圆的位置关系 三种位置关系：相交、相切、相离． 相离 相切 相交
图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0
几何观点 d＞r d＝r d＜r
【例】（2023四川南充高三模拟）过(2,2)P作圆22:(1)1Cxy的切线，则其切线方程为____________. ． 【思维提升】涉及到直线的方程问题。若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。
【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过2,0A,0,2B,2,4C三点的圆与直线240kxyk的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．无法确定
【变式1.2】（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线1:480laxy与直线
2:3(1)60lxay平行，则a的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 3或4 D. 3或6 【变式1.3】 （202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆1O：22325xy，圆2O：2261125xy，下列直线中，与圆1O，2O都相切的是（ ） A．34370xy B．34320xy C．43160xy D．43340xy 【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点2,4P引圆22111xy的切线，则切线的方程为（ ） A．2x或4340xy B．4340xy C．2x或4340xy D．4340xy
【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用 1、 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于||F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|||MF1＋||MF2＝2a}，||F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2、 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F1F2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M||| ||MF1－||MF2＝2a}，||F1F2＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0. (1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线； (3)当a＞c时，点P不存在． 3、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
【例】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点10,3F，20,3F，动点P满足条件
129PFPFtt（t为常数，且0t），则点P的轨迹是______.
【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。在求圆锥曲线的方程式特别是椭圆、双曲线要判断焦点在x轴，还是y轴。否则就要讨论。 【变式2.1】（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学期中联考）（多选题）在平面直角坐标
系中，有两个圆1C：2221 xy和2C：2222xyr，其中常数r满足12r，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ） A．两个椭圆 B．两个双曲线 C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
【变式2.2】（2022宁夏隆德高三期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为10，焦距为6，则椭圆的方程（ ） A．221916xy B．2212516xy C．2212516xy或2251162xy D．以上都不对 【变式2.3】（2022湖北师大附中期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为10，焦距为6，则椭圆的方程（ ） A．221916xy B．2212516xy C．2212516xy或2251162xy D．以上都不对 【应用三】分类讨论思想在圆锥曲线性质中的应用 1、 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ||F1F
2＝2c
离心率 e＝ca， e∈(0,1)
a，b，c 的关系 c2＝a2－b2
2 、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±bax y＝±abx 离心率 e＝ ca ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长||A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长||B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 3 、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2
离心率 e＝1 准线 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0))
||PF＝ x0＋p2 ||PF＝ －x0＋p2 ||PF＝ y0＋p2 ||PF＝
－y0＋p2 【例】【2020年山东卷09】已知曲线𝐶:𝑚𝑥
2+𝑛𝑦2=1.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为√𝑛 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为𝑦=±√−𝑚𝑛𝑥
D．若m=0，n>0，则C是两条直线 【思维提升】圆锥曲线的性质的考查关键要注意焦点在什么轴上，进而确定的值。不易明确的就要进行分类讨论。
【变式3.1】（2022福建·莆田锦江中学高二期末）若椭圆2214xym的焦距为2，则m（ ） A．3 B．5 C．2 D．1